2026高考数学二轮复习专项突破：函数的图象与性质

第2讲函数的图象与性质

—探究真题明确方向

1.(2024•全国甲卷，理T7)函数/(x)=-x2+(ey、)sinx在区间［-2.8,2.8］的图象大致为()

2.(2025•全国【卷，T5)已知人x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2«时，，段)=5・2］，则/(一习等

于()

A4C.iD；

3.(多选)(2022•新高考全国I卷，T12)已知函数/(x)及其导函数八x)的定义域均为R,记g(x)=/'(x).若/弓一

2x),g(2+x)均为偶函数，则()

A;/(0>0B.g(-0=0C:/(-l)=A4)D,g(-l)=g(2)

4.(2023•全国甲卷文，T14)若/(x)=(x-1)2+ax+sin(x+为偶函数，则a=.

命题热度：

本讲是历年高考命题必考的内容，高中低档题目都有考杳，主要以选择题或填空题的形式让行考杳，分值

约为10〜12分.

考查方向：一是函数的性质，主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及其性质的综合应用；二

是基本初等函数，主要考查鎏指对函数的图象与性质；三是函数的图象，主要考查画图、识图以及图象的

应用.

1.答案B

解析/(-x)=-x2+(c-v-e')sin(-r)

=-x2+(ex-ex)sinx=/(x),

又函数危)的定义域为［-2.8,2.8］.

故该函数为偶函数，可排除A,C,

又./(l)=-l+(e-7)sinl>-l+(e-%*1，

故可排除D.

2.答案A

解析由题意知人工)号(-外，yu+2)=ya)对一切xwR成立,

于是/(奇窕月田=5型气

3.答案BC

解析方法一(转化法)因为/修-2。，g(2+x)均为偶函数，

所以/(|一2%)守6+2%),

即端-力唬+丫)，

以2+x)=g(2-x),

所以j(3-x)=f(x),g(4-x)=g(x),

则/(-1)=/(4),故C正确；

函数贡x)，以')的图象分别关于直线尸|,尸2对称，

又ga)=f(x),且函数4t)可导，

所以9值)=°，g(3-x)=-g(x)，

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),

所以g(x+2尸-g(x+1)=四)，

所以g(-9=g®=o,

g(-l)=g(D=・g(2),故B正确,D错误；

若函数｛x)满足题设条件，

则函数7(x)+qc为常数)也满足题设条件，

所以无法确定火0)的函数值，故A错误.

方法二(特例法)因为/(|一2%),g(2+x)均为偶函数，所以函教/(x)的图象关于直线x=1对称，函数g(x)的

图象关于直线x=2对称.取符合题意的一个函数兀0=l(x£R),则/(0尸1,排除A；

取符合题意的一个函数/(x)=sinTLV,贝I/〈X尸兀cosnx,即g(x)=ncos⑪，所以g(-1)=兀cos(㈤=-兀，g(2)=?rcos

2兀=兀，所以g(・l)以以2),排除D.故选BC.

4.答案2

解析•.•/(X尸(x-1)2+or+sin(x+

=(x-1)2+«x+cosx=x2+(a-2)x+1+cosx,

且函数为偶函数，

/.67-2=0,解得4=2.

经验证，当。=2时满足题意.

考点一函数的性质

一支2—0/7V-QXV0

例1(1)(2024•新课标I卷)已知函数/(x户’‘在R上单调递增，则a的取值范围

,ex4-ln(x+1),x>0

是()

A.(-8,o]0]

C.[-h1]D.[0,十8)

答案B

解析因为Hx)在R上单调递增，

且xNO时，./(刈=c"+ln(rH)单调递增，

--2a>0,

则需满足2x(-1)

—a<e°4-Ini,

解得-lWa<0,

即〃的取值范围是［-1,0］.

(2)(多选)(2025•银川模拟)已知定义在R上的函数於)满足府尸二/1+号，代1)=1，./(0)=-2，且/［一］)

为奇函数，贝山)

A：/U)为奇函数

B：/(x)为偶函数

C：/Cv)是周期为3的周期函数

D7(0)+/(l)+…+火30)=-2

答案BCD

解析对于A,因为人x)是定义在R上的函数，且/(0尸・2,所以/(x)不是奇函数，故A错误；

对于B,因为/(%—・)为奇函数，所以%—

由/(幻=/'1+|)可得，

/(X-沪力(X-：+州(*+)

所以J(r_§=/(%+J

即/(-x-»(x+J

所以4・x)=/a),即人幻是偶函数，故B正确；

对于C,由/(X尸/卜+3可得，4什3)=二/1+|)=儿丫)，所以/(处是周期为3的周期函数，故C正确；

对于D,,A2)=A-2)=AD=A-i)=n

所以40)+/(1)+/(2)=0,由周期性可得，

XO)+A1)+•--47(30)=10［/(0)4/1)+A2)］+A0)=-2,故D正确.

［规律方法］(1)函数的奇偶性的判断方法有定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数X奇函数是偶函

数)；函数单调性的判断方法有定义法、图象法、导数法、性质法(在共同的单调区间内，增函数+增函数为

增函数等)；函数的单调性和奇偶性的联系密切，涉及比较大小、解不等式、求函数最值(值域)、零点等.

(2)函数的周期性和对称性的常用结论

①若/(x+a)=：/(x)(或/(X+Q)=焉，其中/(%)》0),则以)的一个周期为21al.

②若义工)的图象关于直线x=a和x=b对称，则/(x)的一个周期为2\a-b\.

③若4x)的图象关于点(a,0)和直线―/)对称，则人幻的一个周期为4|。力|.

④若函数/(x)满足关系式其a+x)+以-x)=2b,则函数y=Ax)的图象关于点(〃，8)对称.

⑤若函数人x)满足关系式他+xAgx),则函数y=/(x)的图象关于直线广呼对称.

跟踪演练1⑴(2025・黄冈模拟)已知函数,/(x)=sinx+eJer,若。=/(-2),后f。，fin2),贝i]()

A..a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.b<c<a

答案A

解析由、/(x)=sinx+ev-e-r得，

/(x)=cosx+e'+eZ

•••声”227^^=2,

当且仅当e'=e*,即尸0时等号成立，

而cosx£[-1,1],.*./(x)=cosx+e'+eX),

即/(X)在R上单调递增，

V-2<^=lnVe<ln2,

.V(-2)</Q)</(In2),即a<b<c.

(2)(多选)已知函数(丫)的定义域为口，且«什))4於-月=/回)/3),次1)=1,则()

A/0)=2

BH3-X)=/(3+X)

C4Y)是周期函数

D/(x)的解析式可能为/(x)=2sin%

答案ABC

解析由/("历4/(、处%)/&),

川尸1，

令口，尸0,有川)t/u)=w1)/(0),

可得贝0尸2,故A正确；

令尸。，则A)0+A-JO=/(O)/00=W)，

则Ar)=/(-y)，

又人苗的定义域为R,故函数4r)是偶函数，

而/(x)=2sin%为奇函数，故D错误；

令尸1,则加什i)yx-i)=/(*)/(1)=/(.)

所以j(x+l)=/(x)W-l),

则/月(A1)此・2),

Av+l)=[Ax-lW-2)]；/(x-l)

=处-2),

所以/)=次/3)=4x-6),则/A)的一个周期为6,故C正确;

由于7U)为偶函数且一个周期为6,

故/(3-X)=/(X-3)=/(3+X),故B正确.

考点二基本初等函数

例2(1)(多选)已知黑函数./(X尸(8，/-5)%/，则()

.,V3

B：/U)的定义域为R

C/U)为非奇非偶函数

D.不等式火2、+1)次5-x)的解集为G，+8)

答案AC

解析由幕函数以)=(8加⑶婢?知，8〃/-5=1,解得小三卜会，故A正确；

人外=:=正，则.儿丫)的定义域为［0,+8),所以,危)为非奇非偶函数，故B错误，C正确；

3

由")="知,函数/(x)在［0,+8)二单调递增,

由<2vH)>/(5-x)可得，0W5-x〈2rH,解得黑W5,即不等式.侬+1)力(5-x)的解集为(g,5］故D错误.

(2)(2025•全国I卷)已知2+log2%=3+log3尸5+logsz,则x,y,z的大小关系不可能为()

A.x〉户zB.x>z>y

C.y>x>zD.y>z>x

答案B

解析方法一设2+10g2X=3+k)g3)=5+k)g5Z=〃7,

3

令〃7=2,则尸1,产3T=1,z=5'=-^-f此时x">z,A有可能；

令机=5,则x=8,尸9,z=l,此时户x>z,C有可能；

令m=8,贝《尸26=64,J^=35=243,Z=53=125,此时J>Z>X,D有可能.

方法二设2+log2X=3+log3尸5+log5Z=Z,

则尸2,-2,产3吃z=5e

当X*时，233也解得/瞥等<5；

ln3-InZ

当z>y时，52>3小，解得/考|Z号5.

因此当x>z>y时，/无解，故选B.

［规律方法］(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数〃的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问

题时，首先要看底数。的取值范围.

(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.

跟踪演练2(1)已知函数/“尸2/-计1的值域为此若(1,+8仁.“，则实数。的取值范围是()

A.(-oo,

B［。，；］

C.(-8,+8)

*+8)

答案B

解析当。=0时，,危尸2-计仁(0,+8),符合题意；

当时，因为函数/(、尸2。/一"1的值域为且满足(1,+8)7”，

由指数函数的单调性可知，二次函数产oxJvH的最小值yminWO,

当4>0时，依题意有尸aF-x+l的最小值年1^0,即OV/W,；

当。V0时，不符合题意.综上，

(2)(2025•北京)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间片用og2M单

位：小时)，其中々为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024X109个单位时，

训练时问增加20小时；当训练数据量N从1.024X1()9个单位增加到4.096X109个单位时，训练时间增

加(单位：小时)()

A.2B.4C.20D.40

答案B

解析设当N取106个单位，1.024X109个单位，4.096X10。个单位时所需时间分别为「，一，A,

由题意，ri=A:log2106=6^1og210,

9l0(,

7>心)g2(1.024X10)=A4og2(2X10)=Z:(104-61og210),

?3=A:log2(4.096X109)=Hog2(212X106)=A<124-61og210),

因为Ti-T}=k{10+61og210)-6jtlog210=10^=20,所以/c=2,

所以r3-T2=k(\2+61og210)/(10+61og2l0)=2W,

所以当训练数据量N从1.024X109个单位增加到4.096X1()9个虺位时，训练时间增加4小时.

考点三函数的图象

例3(1)(2025•成者口模拟)函数/㈤式察的部分图象大致为()

答案D

解析根据题意，函数大制的定义域为R,

sin(-nx)sinnx

且/(刁=如)，

e-x.|_exe^+e-*

所以函数人x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A,B；

又当工£(0,1)时，心£(0,71),所以sin心>0,且e'-eAO恒成立,

则/(x)>0,排除C,所以只有D满足.

⑵已知函数以理二言。，若去且/⑷.尸皿则刎的取值范围为()

A.(0,e]B.(0»e)

C.[c,十8)D.(C,十8)

答案A

llnxl,%>0,

(2,x£0,

Inx,x>1,

(-Inx,0<x<1,

当xWO时，/a)=2\所以｛x)在(-8,0)上单调递增，且<0)=1,

所以危)的图象如图所示，又a<b<c,且/(a)=/S)=/(c),不妨令必)=/(8)=/(。尸八

结合图象可知，0<zWl且aW0<：W6<l<cWe,即0</(c)Wl,

所以0<O(c)We,即或c)的取值范围为(0,e］.

［规律方法］(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用

一些特殊点排除不符合要求的图象.

(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、

最值、交点、方程的根等问题.

跟踪演练3(1)(2025•天津)已知函数y=/(x)的图象如图所示，则/(x)的解析式可能为()

AJU),

B於)诏

c/唔

DJ(x)*

答案D

解析由题图可知，该函数为偶函数，而函数J(x)/和函数J(x)/为奇函数，故A,B错误；

又当x£(0,1)时，1-%2>0,x2-l<0,此时,e)=1>0,,e)=悬<0,由题图可知当x£(0,1)时，火工)<0,故

C错误，D正确.

(2)已知Q0,且则函数尸lo即1+J的图象一定经过()

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第二、四象限D.第三、四象限

答案D

解析当x=0时，尸,则当0<4<1时，如图1,函数图象经过第二、三、四象限;

图1

当。>1时，如图2,函数图象经过第一、三、四象限,

所以函数尸log,G+；）的图象一定经过第三、四象限.

专题强化练

[分值：85分]

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.函数产/U）的图象与函数尸3、的图象关于直线尸对称，则/出切⑼等于（）

A.lB.2C.3D.4

答案A

解析因为函数_y=/（x）的图象与函数尸3、的图象关于直线尸x对称，所以y（x尸logsx,所以/

Q）+/（9）=Iog31+-log39=-1+2=1.

2.（2025•天津滨海新区模拟）已知。=3。,9,Z>=log29,K*则（）

A..b>c>cB.b>c>a

C.c>a>bD.a>c>b

答案A

解析由题意得，c=e-,n3=elni=1<1=3°<«=309<3'=3=Iog28<log29=5,即戡b>a>c.

3.（2025・西安模拟）若函数/（x户2，+仃-3在（i,+8）上单调，则实数。的取值范围是（）

A.[-2,+°°）B.[-l,+8）

C.（-8,,2]D.（-8,_i]

答案A

解析因为函数尸2、,在R上为增函数，厂好+办.3在（一8,一]上单调递减，在（一,+8）上单调递增,

且函数儿0=2-+欧-3在。，+8)上单调，

根据复合函数的单调性，可得号WI,即心2

所以实数〃的取值范围是12,+OQ).

4.(2025・石家庄模拟)已知函数鼠》)=皿2+以+。/,其中mb为常数,若函数/㈤"的图象如图所示，则

()

A.g(x)的图象与坐标轴有三个交点

B.g(x)的图象的对称轴在y轴左侧

C.关于x的方程g(x)=l有两个不等实根

D.g(x)在区间(1,+8)上单调递增

答案D

解析函数/(X)的图象在R上为减函数，则0<%1,即心1,又图象经过点(-1,1),即代l)=(£fi=l,故

得-l-b=0,解得b=-l,

于是g(x尸以2-工十。十1为开口向上的抛物线，对称轴为直线尸端，又松£(0,；),故B错误；

由g⑴在(a，+8)上单调递增，得g(x)在区间(1,+8)上单调递增，故D正确；

令gQAa^-x+a+UO,

因为所以/=l-4a(a+l)<0,所以函数g(x)的图象与x轴没有交点，与y轴有唯一交点，即的图象

与坐标轴只有一个交点，故A错误；

对于C,方程g(x)=l即为以2-/〃=0,又01,故/=1~4屋<0,所以方程无实数根，故C错误.

5.(2025•沧州模拟)已知a>0,旦/(幻=1用合为奇函数，则()

A/GW©)〉。

B/G)涵>。

C/(如。岁⑶

答案A

解析方法一因为./(X)的定义域为(一3，9,/(X)为奇函数，所以。=3,则/(X尸m三*ln(f^—1),

因此八x)在(一,§上为增函数，

/0呜，破)呜，且鼻小吟

所以小)岁6)现0尸0，

故/⑥>/宸>。・

方法二因为尸In署为奇函数，所以/(-xH/u尸0,

故快吐得。，

所以三静=1,所以“2=9,又4>0,所以4=3,

所以j(x)=l岩，

又/©):<)，3,

/阂=隽)=m2，

因为ln3>ln2>0,故/⑷刁,瑞»0・

6.(2025・赣州模拟)已知。=log23+lo?32,Rog45+log$4,则下列结论正确的是()

A..a>b>2B.a>2>b

C.b>a>2D.2>a>b

答案A

解析设｛x)=x号，x>0,

易知儿t)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，则危)mi・yi)=2,

且a=log23+log32=log23+T^-T=y(log23),

Iog24

Z>=log45+log54=log45-t-j^=/(log45),

因为10g23>10g2V5=10g45>1,

所以川og23)>/(log45)》(l),即a>/»2.

7.(2025•北京)已知函数/(x)的定义域为O,则“函数/(x)的值域为R”是“对任意A/WR,存在其£。，使

得1/(配)|>"”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若函数7U)的值域为R,则对任意"WR,一定存在X1W。，使得J3)=|M+1，

取XO=X|,则充分性成立；

取次幻=2',D=R,则对任意A/WR,一定存在汨£。，使得/3尸四+1，

®xo=xi,则|/(xo)|=|M+l>M,但此时函数y(x)的值域为(0,+8),必要性不成立；

所以“函数./W的值域为R”是“对任意MWR,存在xo£。，使得|/Uo)|>AT的充分不必要条件.

8.下列可以作为方程的图象的是()

答案D

解析当xvO时，^=^-/=^4.¥-/)<0,

若><0,则4x-f>0,即j》v4x<0,不成立,

故六。六0不可能同时成立，故A,B,C错误.

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.(2025•北京东城区模拟)已知/a)』。。)'X>()，下列选项中，不能使7U)既是奇函数又是增函数的是

l-g(x)，xvo.

()

A.g(x)=xB.g(x)=x2

C.g(x)=evD.g(x)=ln|x

答案ACD

解析对于A选项，函数./U)的图象如图①中实线部分所示，符合题意；

对于B选项，函数人好的图象如图②中实线部分所示，不符合题意；

对于C选项，函数人外的图象如图③中实线部分所示，符合题意；

对于D选项，函数的图象如图④中实线部分所示，符合题意.

10.(2025•白银模拟)已知定义在R上的函数/2满足火加4%什2)=6,且V/WO,〃(x+f)力(x)<0,则下列说法正

确的是()

A.函数广贝/1)-3为偶函数

B.函数/(x)为减函数

C.函数/(X)的图象关于点(1,3)中心对称

D/(3A-2)-3>0的解集为(1,+8)

答案BC

解析因为火-x)Hx+2)=6,所以J(-x+l)-3=・[/(x+l)-3],

所以函数y=/5H)-3为奇函数，

函数凡T)的图象关于点(1,3)中心对称，故A错误，C正确；

因为V/WO,贝什)(女)〈0,即/4"/)/刈〈0,当介0时，.儿什。勺(x),

当kQ时，所以函数/(上)为减函数，故B正确；

令Z,则/(l)t/(-l+2户6,所以川)=3,

则4342)・3>0等价于/(3x-2)>/(l),

因为函数J(x)为减函数，

所以3x-2<l,即以1,故人3x-2)-3〉0的解集为(-8,1),故D错误.

11.(2025•深圳模拟)已知函数/W的定义域为R,.颁方刃)=危)现)，川)=1,则()

A：/(O尸0

B：/U)的图象关于点(0,0)中心对称

C/(x)的图象关于直线片对称

D:/(2025)=2025

答案ABD

解析对于A,令x=l,尸0,则加l))=/UHK0),因为3)=1,所以「月UH/(0),解得火0尸0,故A正确;

对于B,令尸R则X/U-x))=/U)*x),即加0))=/24孙

由A可知，火0)=0,所以y(0)=/(x)t^-x)=0,即大-x尸丛x),

所以;(x)的图象关于点(0,0)中心对称，故B正确；

对于C,由/(0)=0,川)=1,知/(0)壬/(I),所以/(x)的图象不关于直线T对称，故C错误；

对于D,令尸1-匚则欢x+i-x))=/2t/(i㈤=/(/U))=/(i)=i,

即於)+41㈤=1,

又长力=兆)，则有心)如-1)=1,

即兀归》1)+1,

所以/(2)=/(1)+1=2,{3)=/(2)+1=3,…，{2025)=2025,故D正确.

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.己知函数./U)=lo&(3-x)*q>0且aWl)的图象经过定点力，若解函数尸g(x)的图象也经过该点，则

g(力-------•

答案4

解析因为｛2)弓，所以月(2,

设暴函数尸g(x)=F,

因为寡函数尸如。的图象经过42,i),

所以2弓，解得a=-2,故妙)=/，

因此g(；)=6)2=4

13.(2025・河南名校学术联盟模拟)已知定义在R上的函数火X)的图象是一条连续不断的曲线，旦y(x)满足

、/(x)=A4-x),火外在区间(-8,2)上单调递减，/(0)=0,则关于x的不等式粤。的解集为.

答案(0,2)U(4,+8)

解析由/(x)=/(4-x)得，/U)的图象关于直线尸2对称，

所以/(4)=欣)=0,

由人力在(-8,2)上单调递减，可知危)在(2,+8)上单调递增，

画出凡T)的大致图象如图所示，

结合图象及粤0可得，

俨-%>0,或

I。<xV4(%<0或%>4,

解得0<r<2或r>4,

故不等式罢<0的解集为(0,2)0(4,+8).

14.(2025•镇江模拟)已知4B,。是函数/)=|logM|的图象上的三点,且4在〉轴上,8C〃x轴,BC哼

则而格.

答案\

解析函数人幻的大致图象如图所示，

因为点/在x轴上，所以4(1,0),

因为根据对称性，不妨设伏x,|log2x|),

C(x+5「。g2(x+?|)，x>。,

则-Iog2.r=log2(x+9，所以卜x+*

化简得4『+15x-4=0,

解得x=-4(舍去)或x=j,

所以B