正弦定理和余弦定理（知识点）解析版

第1讲正弦定理和余弦定理

考点1:禾I典正弦定理解三角形

一、正弦定理、

考点2:利此余弦定理解三角形

余弦定理

考点3:判断三状

第1讲正弦定

理和余弦定理考点4求三角形的面积

二、三角形中常用的考点5求解几何计算问题

面积公式及常用结论

考点6三角函数求值问题

考点7解三角畛合问题

一、正弦定理、余弦定理

在△A8C中，若角A,B,。所对的边分别是a,b,c,〃为△ABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

+d—2Z?ccosA；

内abc

•—•n—•厂—2R2cacos&

容sinA4sinBsinC

^二片+从一2a〈cosC

⑴a=22sin4,b=2Rs\nB,c=2/?sinC；tr+c1-cT

cosA—2bc；

(2)sinA—2R，sin8—2R，sinC—?R；

变d+A/

cosB-lac；

形(3)a:b'c=sin4:sinB:sinC；

(4)«sin8=AsinA,Z?sinC=csinB,asinC=cr+lr—c2

cos—2ab

csinA

考点1：利用正弦定理解三角形

例1.（2019•辽宁沈阳模拟）已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为mb,c,若4吟8=；,a

=1,则力=（）

A.2B.1

C.#D.&

正

【答案】D[由正弦定理得/尸嘿乎=9=也.]

dillZBI

2

练习1.（2019・山东烟台模拟）在锐角△4EC中，角4,B所对的边长分别为小b,若2asinB=小4则

角A=.

【答案】三「•'2asinB=#b,，2sinAsin8=q5sin8,得sinA=半，/.A号或A=M丁/xABC为

锐角三角形，.,.A=争］

利用正弦定理可解决两类问题

基本类型一般解法

①由A+B+C=I8O。，求出C；

②根据正弦定理，得siK—si3及十4一

已知两角及其中一角的对边，如A,B,a

sinC，求出边瓦心

①根据正弦定理，经讨论求8;

②求出8后，由A+8+C=180°,求出C;

已知两边及其中一边所对的角，如a,b,A

③再根据正弦定理八一白：「，求出边C.

sin/■sinV.

考点2：利用余弦定理解三角形

例2.（2019•山东济南期中）/XABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,若/=«,c=2a,则cosC

=（）

A也B-比

八・4D-4

33

c.彳D.常

【答案】B［由题意得，b2=ac=2a2,即。=地出

层+"一C242+2〃一痴2啦

••・cosC=2ab=2axg=-4•］

练习2.（2017♦全国卷II）Z\ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2〃cos8=aco$C+ccosA,

则B=.

【答案】三［方法一由2bcos4=acosC+ccosA及正弦定理,

得2sinBcosB=sinAcosC+sinCeosA.

.*.2sin8cosA=sin(A+C).

又8+8+。=兀，••.4+C=7t-B.

/.2sin8cosB=sin(7t—B)=sinB.

又sinBWO,cosB=豆：,”/

方法二,在△ABC中，«cosC+ccosA=b,

，条件等式变为2bcosB=b,：.cosB=y

X0<B<n,

利用余弦定理可解决两类问题

已知两边①根据余弦定理c2=a2+Z?2—2abcosC,求出边c;

和它们的序+，-er

②根据cos八一，求出A;

夹角，如

a,h,C③根据4=180°-（A+O,求出A

可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所

对的角，再由A+B+C=180。，求出第三个角；

已知三边

由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二

个角，但仍然是先求较小边所对的角.

考点3:判断三角形的形状

例3、设的内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,若加osC+ccosB=asin4,则△ABC的形

状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不确定

【答案】B[由正弦定理得sinBcosC+sinGeos8=sin%,

/.sin（B+C）=siir^,即sin（7t—A）=sirPA,sinA=sin2A.'/A£（0,兀），/.sinA>0t/.sinA=1,即A

=看「.△ABC为直角三角形.]

［变式探究1］本题1中，若将条件变为2sinAcos8=sinC,判断△A8C的形状.

解,:2sinAcos8=sinC=sin(A+B),

/.2sinAcosB=sinAcos8+cosAsinB,

，sin(A—3)=0.

又A,3为△43。的内角.

...A=8,...△A4C为等腰三角形.

［变式探究2］本题1中，若将条件变为。2+82-»=44且2cos4sinB=sinC,判断△ABC的形状.

+护—/1

解Va--\-b2—c2=ab,/.cosC=--^―,~~~=5，

Zab2

又Ovgr,.,.C=^,又由2cosAsinB=sinC得sin(8—A)=0,.\A=B,

故△ABC为等边三角形.

判定三角形形状的2种常用途径

通过正弦定理、余弦定理化角为

角化边|一边•通过代数恒等变换.求出边与

判

|边之间的关系进行判断

定

途通过正弦定理、余弦定理化边为

径边化向I一角・利用三角变换得出三角形内

角之间的关系进行判断

二、三角形中常用的面积公式

1.三角形中常用的面积公式

(I)S=\ah(h表示边a上的高)；

(2)S=J〃csinA=Jacsin8=Ja汰inC；

(3)S=Jr(a+〃+c)(r为三角形的内切圆半径).

2.在△/8C中常用结论

(l)ZA+ZB+ZC=7t.

(2)在三角形中大边对大角，大角对大边.

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

A+8C4+BC

(4)sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=­cos。；tan(A+B)=—tanC；sin--=cosy；cos--=siny.

(5)tanA+tan8+tanC=tanAtanB-tanC.

(6)ZA>ZA>sinB今cosAvcosB.

..,.aa+A+c

(7)合比定理：^—7=.,,..=2R.

sinAsinA+sin4+sinrC

(8)在锐角三角形中①A+B>看②若A=?则2V8,C<^.

考点4求三角形的面积

例4、(2017•全国卷川)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+小cosA=0,4=2巾,

b=2.

⑴求c；

(2)设。为8。边上一点，且AO_LAC,求△A3。的面积.

解⑴由已知可得tanA=一4，所以4=笔

在△A8C中，由余弦定理得28=4+d—4ccos年，

即C2+2C-24=0,

解得c=-6（舍去），c=4.

⑵由题设可得NCAO=5

所以ZBAD=ZBAC-ZCAD=l，

故△43。面积与△AC。面积妁比值为

^ABADsin莹

-i=L

^ACAD

又△ABC的面积为Jx4X2sin/B4C=2小，

所以△A8。的面积为小.

练习4、（2018•全国卷I）448△的内角4,B,C的对边分别为a,b,c.已知加inC+csinB=4asinBsin

C,从+<;2_/=8,则△ABC的面积为.

【答案】2.[*.,^sinC+csin5—4«j>ini?sinC,

由正弦定理得sinBsinC+sinCsin5=4sinAsmBsinC.

又sinBsinC>0,「.sinA=g.

/84

由余弦定理得cosA=荻=2bc=Tc>^1

.A一正u_4__8^3

..cosA-2'hc-^A-3,

「茨sinA/X竽亭平]

考点5求解几何计算问题

例5、如图，在△A8C中，8=$8c=2,点。在边A8上，AD=DC,DELAC,E为垂足.

⑴若△3CQ的面积为W，求43的长；

（2）若DE=*,求角A的大/.、.

A

解⑴•.,△4C。的面积为华，5=1，3c=2,

JJ

.*.1x2XBDXsin,坐，

在△BC。中，由余弦定理可得

CD=qBC?+BD2-2BCBD.3sB

=、/4+/-2乂2义衣：=乎.

：.AB=AD^BD=CD^BD=^-^=^^.

JJJ

/C、••加•6八一ACDE祈

⑵•DE—c,••CD—AO—・—c.4・

''2sinA42sinA

在△BCO中，由正弦定理可得嬴%=晶・

..r/..__2________巫..y/2.工

•/BDC—2NA,••sin2a—TCICOSA—1.••A一4

2sin4sin?

练习5、(2018•北京卷)在△ABC中,。=7,b=8,cosB=-^.

⑴求乙4；

⑵求AC边上的高.

解(1)在△A8C中，因为cos8=—；,

________.n

所以sinB=y11—cos2B=-y.

4-c^曲坦•44sinB小

由正弦定理得sinA—6—2,

由题设知4<ZB<n,所以0vZA<^.

所以乙4=全

(2)在△ABC中，

因为sinC=sin(4+8)=sinAcoscosAsinB=:~r7~,

14

所以AC边上的高为asinC=7X唔=嗓

考点6三角函数求值问题

例6、(2018•天津卷)在△4BC中，内角4,B,C所对的边分别为。，b,c.已知bsin4=acos(B-§.

(1)求角8的大小；

(2)设a=2,c=3,求♦和sin(2A-B)的值.

解(1)在△A8C中，由正弦定理焉=屏，可得与sinA=〃sinB.

sinAsinn

又由加inA=acos(8一益)，得c/sinB=acos(8—3),

即sinB=cos(8一*)，所以tanB=小.

又因为B£(0,兀),所以〃=；.

(2)在△/WC中，由余弦定理及”=2,。=3,8得

得b2=a2-hc2—2accosB=7,故b=币.

,可得sinA=^.

由〃sinA=〃cos(A—三

2

因为。<c,所以cosA=1.

4AJ3

因此sin24=2sinAcosA

cos2A=2COS24—1=；.

所以sin(2A-4)=sin2AcosB—cos2AsinB

4®/