2026年高考数学一轮复习（基础版）第六章 数列

§6.1数列的概念

【课标要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.2.了解数列是自变量为正整

数的一类特殊函数.

---------------------------落实主干知识---------------------------

1.数列的有关概念

概念含义

数列按照______________排列的一列数

数列的项数列中的______________

如果数列｛〃”）的第〃项小与它的________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那

通项公式

么这个式子叫做这个数列的通项公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫

递推公式

做这个数列的递推公式

数列｛/｝的把数列｛为｝从第1项起到第〃项止的各项之和，称为数列｛d｝的前〃项和，记作s“，

前〃项和即Sn=______________

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数______

项数

无穷数列项数______

递增数列小+1_______Un

项与项

递减数列1_______4”其中〃三N*

间的大

常数列

an+\_______an

小关系

摆动数列从第二呗起，有些坝大于它的前一坝，有些坝小于它的前一坝的数列

3.数列与函数的关系

数列伍”｝是从正整数集N'（或它的有限子集｛1,2,｝）到实数集R的函数，其自变量是序号〃，对

应的函数值是数列的第〃项内,记为an=J｛n）.

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“Y”或“x”）

⑴数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列.（）

（2）数列1,0,1,0,1,0,…的通项公式只能是呢=匕展二（）

（3）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.（）

（4）若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.（）

2.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用小石子来研究数.如图口的数1,5,12,22,…称为五边形数，则

第8个五边形数是.

3.已知数列｛%｝满足内=1,a”=〃+a〃-i（/?22，〃仁N”）,则数列（〃”｝的通项公式,

4.已知数列｛%｝的前〃项和为S„,且S〃=〃2—4〃+1,则an=.

国微点提醒

1.灵活应用两个常用结论

(1)若数列｛小｝的前〃项和为S〃，则m=E】'n：l'c皿

Sn-£工一1，力22,?!£N.

(2)在数列｛斯｝中,若为最大,则，:|：：；：；

若。〃最小，则a＜。"一"〃》？,〃£N".

lun-Un+V

2.掌握数列的函数性质

由于数列可以看作一个关于，?(〃WN*)的函数，因此它具备函数的某些性质：

(1)单调性——若斯+■〃，则｛〃“｝为递增数列；若诙+“〃，则｛",｝为递减数列,否则为摆动数列或常数列

(。〃+|—a”).

(2)周期性——若如+%=«,(〃为非零常数)，则｛〃“｝为周期数列，A为｛〃”｝的一个周期.

3.关注数列通项公式的注意点

(1)并不是所有的数列都有通项公式；

(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一；

(3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的.

---------------------------探究核心题型----------------------------

题型一由小与S”的关系求通项公式

例1(1)(多诜)(2024.黄冈模拟)数列｛小｝满足:〃尸1,Si=3〃”522),则下列结论中正确的是()

A1

A.6T2—

B.数列｛〃〃｝是等比数列

4

C.a〃+i=y“(〃22)

D.数列｛S〃｝是等比数列

(2)(2024・天津模拟)设数列(〃,,｝满足用+2〃2+3〃3~1----=l(〃£N)，则数列｛止｝的前5项和

为.

思维升华小与S“的关系问题的求解思路

⑴利用恁=*一*7(〃22)转化为只含£,S.7的关系式,再求解.

(2)利用£一工7=小(〃22)转化为只含小，m—1的关系式，再求解.

跟踪训练1⑴(2024•漳州模拟汜知各项均不为0的数列｛m｝的前〃项和为S”，若3*=如+1,则我等

a7

于()

A—B.谒

C.|D.；

23

(2)(2025・广州模拟)已知数列｛m｝的前〃项和*=1+〃,则吐的最小值为

an

题型二由数列的递推关系求通项公式

命题点1累加法

例2(2024・唐山模拟)已知数列｛斯｝满足%+1=%+勿+2〃，6/IO=13O,则0等于()

A.lB.2

C.3D.4

命题点2累乘法

例3已知数列｛m｝满足二^=〃，切=1,则3=

%+1一厮

思维升华(1)形如6+i—的数列，利用累加法，即可求数列他“｝的通项公式.

(2)形如的数列，利用累乘法，即可求数列｛〃“｝的通项公式.

an

跟踪训练2(1)已知数列｛4｝的前〃项和为S”，42=6,S'=@#(〃£N*),则数列｛〃”｝的通项公式为

()

n

A.c%=3〃B.an=3

C.a〃=〃+4D.a”=1+2

(2)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的

高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者

高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1,2,4,7,11,16,22,则该数列的第20

项为.

题型三数列的性质

命题点1数列的单调性

例4（2024・阜阳模拟）已知数列叫｝满足a“=2〃2+a〃q£R）,则“｛跖｝为递增数列”是“Q0”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

命题点2数列的周期性

例5（2025•孝感模拟）在数列｛〃“｝中，m=-2,4同〃+尸小一1,则数列｛小｝的前2025项的积为（）

A.-lB.-2

C.-3D.：

2

命题点3数列的最值

例6数列也｝满足儿=需，则当〃=时，乩取最大值为

思维升华（1）解决数列的周期性问题，先求出数列的前几项，的定数列的周期，再根据周期性求值.

（2）解决数列的单调性问题，常用作差比较法，根据差的符号判断数列｛斯｝的单调性.

跟踪训练3（1）（2024・周口模拟）在数列｛斯｝中，6/|=1,敢=5,斯+2=a〃+|—a”5£N"）,则。2025的值为

（）

A.5B.-5

C.4D.-4

（2）（多选）（2024・泰安模拟）已知数列｛小｝的通项公式为%=二（〃£1＜）,前〃项和为S”，则下列说法正确

2n—7

的是（）

A.数列｛〃”｝为递减数列

B.使斯£Z的项共有5项

C.数列｛〃〃｝有最大项C14

D.使S〃取得最小值的〃为4

答案精析

落实主干知识

1.确定的顺序每一个数序号〃

ai+s+…+斯

2.有限无限><=

自主诊断

1.⑴、(2)X⑶X(4)V

2.92

解析V5-l=4,12-5=7,22-12=10,

・•・相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3,

・••第5个五边形数是22+13=35,第6个五边形数是35+16=51,第7个五边形数是51+19=70,第8

个五边形数是70+22=92.

，(n+i)

，—-

解析数列｛m｝满足0=1,

。”=〃+诙-1(〃22，〃仁N，),

可得。尸1,

ai—a\=2,

43-2=3,

。4-43=4,

a,—a,-\=n,

以上各式相加可得以=1+2+3+-+〃=吗2心2),又内=1符合该式，所以外="产

A-2,n=l,

(2n-5,n>2

解析当〃=1时，s=Si=-2；

当〃22时,1=S〃—S“-l=〃2—4〃+1—[("-1)2—4(〃—1)+1]

=2/7-5.

因为当n=1时，不满足m=2〃-5,

所以%=卜2透=1,

2n—5,n>2.

探究核心题型

例1(l)ACD[由S〃T=3a”(〃22),

当〃=2时，S=ai=3的=1,

解得“2=1,所以=,

故A正确；

当〃>1时,可得S”=3a“+i,

-

所以S〃-Sn-i=3。“+13an(n22),

所以*7„=!—3an(n>2),即々“十1=，”(〃22),而a2=^i,故C正确，B不正确；

由S〃-I=34"(/222),

得SE=3(S〃-S“T)(〃22),

即弃=3〃22),所以数列(SJ是等比数列，故D正确.]

S/iY3

喈

解析当〃=1时，0=3,

当〃22时,

ci\+2(12+3密+…+“a”=2〃+I,

6;|+2(12+3。3+…+(〃-1)a〃-1

=2/1—1,

两式相减可得〃4—2,

所以a=-,

nn

又当n=1时，0]=2,

所以“I不满足上式，

3,九=1,

所以斯=

'"-n,n>2,

所以工+工+工+工+工=工+2+之+±+2=丝

。2。3。4。5322223

跟踪训练1(1)A[因为3s“=。”+1,则3S〃+I=MH+1,

两式相减可得3斯+1=。〃+\—an,

即2a,+[=-atl,

令〃=7,可得2。8=一。7,

且4H0,所以会=一打

«72

瓯

2

解析因为Sn=n+n,

则当时，4=S〃-Sn-i=/+»一(〃一1尸一(〃-1)=2〃,

又当n=1时,=Si=2,满足。”=2〃,

故a>,=2n,

则且12==+9

an2n

=-(n+-')+->--2/+工=二,

2\nJ22y]n22

当且仅当〃=2,

n

即〃=3时取等号，

所以山的最小值为1

an2

例2D[由题意可得

斯+1一斯=。1+2〃,

则可得6-41=41+2,

6-42=0+4,

00-〃9=4l+18,

将以上等式左右两边分别相加得

八,9x(24-18)八,八八

t/io—«i=9tzH-----——=96/14-90,

即So=10m+90,

又0o=13O,所以ci\=4.]

例3210

,,2a”〃(a“+1,

即+i=(%+2)a“，

可得之二=山，

«nn

・・.%X.X皿X也X…X会X"=Kx型X〃X〃X…X±X三,

°19018.17°16°2°11918171621

.-.^=^2=210,即s()=210.

跟踪训练2(1)A[当〃=1时，

S|=4|；

当〃22时，a„=S„—S,t-i

_(n+l)a„-nan_1

2，

整理得(〃-1)m=nan-\,

方法一即工=白，由累乘法，

a“-in-l

得小=。2乂强X&X…Xq-=6X三X±X…X」-=3"(〃22),

。2。3nn12RW-1

又52=一依=〃2+勿，

解得幻=3,满足上式，

综上,an=3〃(〃£N").

方法二即学=舞宣〃22),

所以数列恃｝为常数列，

所以血=等=号3,

n22

所以斯=3〃(〃WN)]

(2)191

解析设该高阶等差数列为｛〃“｝,则｛m｝的前7项分别为1,2,4,7,11,16,22.

依题意ci2—a\=\,

。3-优=2,

勿一的=3,

。20-619=19,

相加可得。20—0=1+2+3+・・・+19=3笋=190.

所以。20=190+1=191.

例4C|由｛〃”｝为递增数列得，出+L知=[2(〃+1尸+2(〃+1)]—(2]+而)=2+4〃+2>0,〃EN«,

则%>一(4〃+2)对于〃£N"恒成立，得2>—6,可得420=2>—6,反之不行.]

例5A[因为4M+1=〃”-I,G.W0,

所以％+1=1——,

Gn

又0=-2,则«2=|,=：,。4=­2,

所以数列｛斯｝的周期为3，且0a26=—1,

设数列｛小｝的前〃项积为Tn,

则“025=。1〃2。3…。2025=(-1)675=-1.]

例64羡

O

PJJic士汗••，r3n—43n-710-3n

解析方法一・乩+|一儿=方--布=¥-，

・•・当〃<3时，加|>瓦，｛儿｝单调递增，

当〃24时，儿+1%，也｝单调递减,

故当〃=4时，(8Jmax=〃4=j.

O

方法二令产叫+「

也>bn-lt

3n-73n—4

3n-73n-10

｛2^-1—2n一2，

解得,

又〃GN",，〃=4,

故当〃=4时，

S")ma\=〃4=].

O

跟踪训练3(1)C[因为ci\=\,G=5,0|+2=0»+1-a”(〃£N),

所以43=42—0=4,。4=。3—42=—1,«5=i?4—«3=-5,t/6=<?5-^4=-4,<77=«6—«5=1,«8=«7-^6=5,

故数列｛%｝的周期为6,

所以。2025=。6x337+3=。3=4.]

(2)BC[画出数列仅〃｝的通项m=&(〃WN")的图象(图略)，由图可知，当1W〃W3时，数列｛斯｝递减；当

〃24时，数列｛〃”｝递减，因为内=白=-9,田=总=9,所以a3Voi,数列伍”｝不是递减数列，故A错误；

6-78-7

由A的分析可知,0>0>。2>。3,〃4>。5>。6>…>。，故数列｛〃〃｝的最大项为。4,最小项为。3,故C正确；

由小EZ，则二£Z,又“WN",所以〃=2或〃=3或〃=4或〃=5或〃=8,所以使即EZ的项共有5项，

271—7

故B正确；

因为当“W3时，%<0,当心4时,a“>0,所以当n=3时，S”取得最小值,故D错误」

§6.2等差数列

【课标要求】1.理解等差数列的概念和通项公式的意义2探索并掌握等差数列的前〃项和公式，理解等差数

列的通项公式与前〃项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.

体会等差数列与一元函数的关系.

■落实主干知识.

I.等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第起，每一项与它的前一项的差都等于,那么这

个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示，定义表达式

为.

(2)等差中项

由三个数。，A,8组成等差数列，则4叫做。与〃的等差中项，且有.

2.等差数列的有关公式

(1)通项公式：an=.

(2)前〃项和公式：S„=或S„=.

3.等差数列的常用性质

⑴若3｝为等差数列，且〃+“=$+/，则(p,q,s,

(2)等差数列｛〃“｝的单调性

当dX)时，｛«,｝是数列；

当d<0时，｛«,｝是数列；

当1=0时，｛〃“｝是.

4.等差数列前〃项和的常用性质

⑴当公0时，等差数列｛m｝的前〃项和&=犷+(的一步是关于〃的二次函数

(2)在等差数列｛斯｝中，若切>0,,则S“存在最值；若0Vo,(1>0,则S”存在最—

值.

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“小’或"X”)

(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()

(2)等差数列｛斯｝中，00=«+的.()

(3)若等差数列｛斯｝的前〃项和为Sn,则S6,S12,$8也成等差数列.()

(4)若|小｝是等差数列，则对任意〃三N"都有2所产出+廿2.()

2.(2024.沈阳模拟)记等差数列｛%｝的前〃项和为S”，若〃尸2,/+m=8,则如等于()

A.51B.102

C.119D.238

3.数列｛而的前〃项和S尸〃2+3〃+皿加为常数),则“加=0”是“数列｛〃”｝是等差数列”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既木充分也不必要条件

D.充要条件

4.（2024・重庆模拟）已知等差数列｛m｝的前〃项和为S7,放=4,Sg=63,则例=.

国微点提醒

掌握等差数列的常用性质

（1）若数列｛小｝是等差数列,公差为d,则勾,。+〃，，该+.，…伏,m£N*）是公差为的等差数列.

（2）若s为等差数列｛斯｝的前〃项和,则数列，S2nLsm,S3〃「S2m，…也是等差数列.

⑶若工为等差数列｛“〃｝的前〃项和，则数列｛*｝也为等差数列.

（4）数列｛小｝是等差数列QS.=A〃2+8〃（A,B为常数）.

■探究核心题型.

题型一等差数列基本量的运算

例1（1）（2024・汕头模拟汜知等差数列｛“1的前〃项和为S“，且。3=5,S2=4,若&+即+[=100,则

〃等于（）

A.8B.9

C.10D.11

（2）（2024.沈阳模拟）我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第

每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传说的是，有996斤棉花要赠送给

八个子女做旅费，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.根据这些信息第

三个孩子分得的棉花斤数为（）

A.99B.116

C.133D.150

思维升华（1）等差数列的通项公式及前〃项和公式共涉及五个量内，〃，d,斯，S”，知道其中三个就能求

出另外两个（简称“知三求二”）.

（2）确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项⑶和公差d.

跟踪训练1⑴(2024・重庆模拟)中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年

4月执行载人航天飞行任务.运送“神十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2

km,以后每秒钟通过的路程都增加3km,在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序则

从点火到进入转弯程序大约需要的时间是()

A.10秒B.11秒

C.12秒D.13秒

(2)(2024.新课标全国H)记S”为等差数列｛小｝的前〃项和，若的十四=7,3a2+as=5,则So

题型二等差数列的判定与证明

例2(2025•深圳模拟)记为数列｛斯｝的前〃项和,已知0=1,且,45+1—为+$二号匚.

(1)证明：｛1｝为等差数列；

⑵证明：｛拳｝为等差数列，并求数列伍“｝的通项公式.

思维升华判断数列｛〃“)是等差数列的常用方法

⑴定义法：对于〃22的任意自然数，验证出一为一为同一常数.

(2)等差中项法：验证2GLi=斯+加2(〃23,成立.

(3)通项公式法：验证an=pn-\-q.

(4)前〃项和公式法：验证S”=A〃2+8儿

跟踪训练2(2024・晋中模拟)已知数列(如｝的前〃项和为S”“产;，且当〃22(〃£N*)时，2s〃$尸-

⑴证明：数歹晦｝是等差数列；

(2)设数列｛小｝满足儿=旦_,求加+的值.

an+l

题型三等差数列的性质

命题点1项的性质

例3(多选)(2025・临沂模拟)已知数列｛〃”｝是等差数列，5“是其前〃项和，则下列命题为真命题的是

()

A.若内=4,(%=7,则内2=25

B.若敢+S3=4,则Sw=28

C.若Si5Vo,贝IJS7>S8

D.若｛m｝和｛w｝都为递增数列，贝50

命题点2和的性质

例4(1)(2024・咸阳模拟汜知等差数列｛〃“)的前〃项和为S”，若S4=2,58=12，则$6等于()

A.26B.34

C.56D.90

(2)已知等差数列｛m｝,｛/力｝的前〃项和分别为S〃与T”,且普=芸=,则詈等于()

Tn2n-lb6

A.-B.空

311

C.-D.-

2325

思维升华等差数列的性质

(I)若何〃｝为等差数列，且k-\-l=m-\-n(k,/,/〃，,则。+。/=%+册；

(2)若他“｝是公差为d的等差数列,则为，为+〃,,以+痴，…伙,加EN")组成公差为〃以的等差数列;

(3)在等差数列｛小｝中，数列Sm,S2m-Sm,S'LS2m，…也是等差数列，且有S2rt=1+%)=…="(%+。/»

+1)>S2tLi-(2〃一1)斯.

跟踪训练3⑴（多选）（2024・沈阳模拟）设｛小｝是等差数列，公差为d,S”是其前〃项的和，且S5<S6,S6

=S7>S«,则下列结论正确的是（）

A.dWO

B.A7=0

C.S6与S7均为S“的最大值

D.满足S„<0的n的最小值为14

（2）（2024.湖北联考）如果一个等差数列的前10呗和为54,后10呗和为146,且所启呗和为390,则这

个数列有（）

A.36项B.37项

C.38项D.39项

答案精析

落实主干知识

1.(1)2同一个常数d七一加严"(常数)(〃22,〃£N*)

(2)2A=a+〃

2.(1)。|+(〃-l)d

??(??-1)刀Si+a”)

(2)/?«|4

22

3.(1)%+%=as+a,

⑵递增递减常数列

4.(2)大小

自主诊断

1.⑴X(2)X(3)X(4)4

2.B［在等差数列｛小｝中，0=2,。3+g=2。5=8,即绮=4,

所以d=Q=：,

□-1/

贝lJSi7=17X2+m^X^

=102.］

3.D［当〃?=0时,工=〃2+3〃,贝0=$=4,

2

an=S,-S„-1=tr+3w-(zZ-1)-3(rz-I)=2n+2(/?>2),m=4也满足斯=2〃+2,

所以q〃一a”-1=2(〃22),

故数列｛诙｝为等差数列；

由数列｛〃”｝为等差数列，ai=Si=4+"?,满足小=2〃+2(〃,2),

故4+/n=4,所以/〃=0,

综上可知，“相=0”是“数列｛%｝是等差数列”的充要条件」

4.10

解析因为G=4,§9=63,

所以$9=出产

9(a；4-fl8)

即空手2=63,解得禽=10.

探究核心题型

例1(I)B［设数列伍〃｝的公差为d,由s=5,S2=4,

%+2d=5,

得

a1+a14-d=4,

%=1,

解得

d=2,

于是小=2〃一1,

„1+271-1?

S,t=--------n=n~,

由Sn+an+1=100,得〃2+2〃+1=1()。，又nGN*,所以〃=9.]

(2)A［依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，

设该等差数列为｛斯｝,公差为"，前〃项和为工,第一个孩子所得棉花斤数为m,

则由题意得d=17,S8=8m+等义17=996,

解得(7I=65,

所以<73=切+(3—l)d=65+2X17=99.］

跟踪训练1(1)C［设每一秒钟通过的路程为小，

由题意可知数列仅“｝为等差数列，

则数列首项m=2,公差d=3,

所以%=°i+(〃一\)d

=2+(〃-1)X3=3〃-1,

由S尸以即+厮)_(3〉-l+2)n

解得〃=12或〃=一日(舍去).］

⑵95

解析方法一(基本量法)

设数列仅〃｝的公差为d,

则由题意得

。1+24+%+3d=7,

.3(。1\d)\ar\4d=5,

解得心"冬

(d=3,

则So=lOm+等〃

=10X(-4)4-45X3=95.

方法二(利用下标和性质)

设数列优〃｝的公差为d,

由。3+a=。2+。5=7,

3。2+怒=5,

得“2=—1,的=8,

故〃=^?=3，"6=11,

则$0=出抖X10=5(6/5+6/6)

=5X19=95.

例2⑴证明・・"〃加*,4$+「为+5=竺比

2

%+1©2'7

•，.数列停■）是首项为1,

公差为T的等差数列.

⑵解泸+如一t

即2sM=(〃+1)〃”，

25n一i=1(〃22),

两式作差得

2斯=(〃+1)。〃—nan-[,

即(〃一1)。“=〃6_](〃22),

・T=等〃22),

即詈—寰=0(〃2)，又牛=],

・・・密｝是首项为1,

公差为0的等差数列，

=1,即ci=n.

nn

跟踪训练2⑴证明因为2s“ST=一小(〃22),

所以2s-cin+l,

则2Sfi'Sn+\=Sn-S"+l,

因为$=0=gw(),易知，W(),

所以力弋弋=2

又亳=:=2,

Si%

所以数列｛2｝是首项与公差都为2的等差数列.

⑵解由(1)得4=2+2(〃-1)=2〃，则S产;，

Sn2n

当11=1时，

S2-S11-1=一2；

当〃22时，a”=S〃一S”7

2n2(n-l)

2n(n-l)

所以办=手要="，

-------------n-1

2(n+l)〃

所以瓦+"01=—23101+149

101-150

例3BC［由的，46,49,02成等差数列，且公差为3,所以。12=4+3X3=13,所以A错误；

由$4=14(Q；Q14)=小”3)=28,所以B正确；

由S|5=W"s)=1548Vo,所以a8Vo，又因为S8-S7=a8<0，则&>晶，所以C正确；

因为数列伍“｝为递增数列，可得公差6/>0,因为数列｛知为十1｝为递增数列，可得加2。“+1—4小+尸。〃十「2力0,

所以对任意的〃22,an>0，但0的正负不确定，

所以D错误.]

例4(1)C[由数列｛m｝为等差数列，

可知S4,SJ-SA,Sl2-S8,$6一$?也为等差数列，

由S4=2,S8=12,得S8-S4=10,

故S|2—S8=18,$6一$2=26,

即有02=18+S8=30,

56=26+$2=56.]

(2)A[因为｛斯｝,｛儿｝均为等差数列，

所以”=%=Qi±QR=

匕62b681+a17*ii

因为次=臂，

7rt2n-l

所以a=3x11+2=5]

7r人匕62X11-13」

跟踪训练3(l)BCD[因为Ss=Si>Ss,所以57-56=«7=0,58-57=«8<0,所以d=as-ai<0，故A错误，

B正确；因为S5<56,S6=S7>Sg,所以S6与S7均为S”的最大值，故C正确；

因为2〃7=。|+03,由S”=M也粤2=0,Si4="/&^=7(s+a8)v0,故D正确」

⑵D[依题意2H---Fa]o=54,即-9H---\~all-\+an=146,

_

所以“1+02+…+aio+a〃-9l---Fa“-i+a“=200,因为a\+an=a2-\-an-\=**'=a\Q~\~atl-9,

所以“|+斯=20,

所以s,产当产=等=390,解得〃=391

§6.3等比数列

【课标要求】1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义2掌握等比数列前〃项和公式，

理解等比数列的通项公式与前〃项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相

应的问题4体会等比数列与指数函数的关系.

・落实主干知识・

1.等比数列有关的概念

(1)定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于常数，

那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母式qWO)表示.

(2)等比中项：如果在。与〃中间插入一个数G,使a,G"成数列，那么

叫做。与人的等比中项，此时，炉=.

2.等比数列的通项公式及前〃项和公式

(1)若等比数列｛。〃｝的首项为m,公比为q,则其通项公式为.

(2)等比数列通项公式的推广：

(3)等比数列的前〃项和公式：当夕=1时，Sn=na\；当qWl时，Stl==.

3.等比数列的常用性质

⑴若〃?+"=〃+“，则,其中,n,p,特别地.若2印=〃?+〃，

则，其中〃？，〃，w£N".

(2)以，味，Ot+力”，…仍是等比数列，公比为(k，机WN').

(3)若数列｛斯｝,伯〃｝是两个项数相同的等比数列，则数列｛砥｝,｛pa〃他｝和｛.｝也是等比数列S,p,

产()).

⑷若暝;J或｛葭q021,则等比数列｛/｝递•

若｛KE1瞰;°,则等比数列｛即｝递.

4.等比数列前〃项和的常用性质

若等比数列｛〃“｝的前〃项和为S〃，则S”，,仍成等比数列(公比“=-1且〃

为偶数除外)，其公比为

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打或"X”)

(1)等比数列的公比4是一个常数，它可以是任意实数.()

(2)三个数。,b,c成等比数列的充要条件是从=比.()

（3）数列｛小｝为等比数列，则S4,S8—S4,$2-S8成等比数列.（）

（4）对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积.（）

2.（2024・临汾模拟）在等比数列｛〃”｝中,勾=1,6=4,则的等于（）

A.2B.-2

C.±2D.2V2

3.（2024•呼伦贝尔模拟）已知数列｛为｝是正项等比数列，且改力=32一8的,则等于（）

A.V2B.2

C.4D.2V2

4.（多选）设数列｛知｝是各项均为正数的等比数列，贝弘）

A.G,的，s成等比数列

B.数列｛磋｝是等比数列

C.数列｛怆小｝是等比数列

D.数列｛J是等比数列

国微点提醒

解题时关注三个关键点

（1）当qW（），且时，S,尸&一》/（&£（））是｛知｝成等比数列的充要条件，此时k=1~.

i-q

（2）由为+]=%/”，夕关0,井不能立即断言｛%｝为等比数列，还要验证0/0.

（3）在运用等比数列的前〃项和公式时，必须注意对夕=1与如勺分类讨论，防止因忽略夕=1这一特殊情

形而导致解题失误.

探究核心题型

题型一等比数列基本量的运算

例1（1）（2023•全国甲卷）设等比数列｛小｝的各项均为正数，前〃项和为5“,若0=1,55=553-4,则

S4等于（）

A.竺B”

88

C.15D.40

（2）（2024.北京模拟）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步

不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还其大意为：“有一

个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到

达目的地则此人第三天走的路程为（）

A.12里B.24里

C.48里D.96里

思维升年等比数列基木量的运算的解题策略

⑴等比数列中有五个量©,〃，q⑼，Sn,一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求解.

（2）解方程组时常常利用“作商”消元法.

（3）运田等比数列的前〃项和公式时，一定要讨论公比q=l的情形，否则会漏解或增解.

跟踪训练1（1）已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S”，“2=4,泞=8,则©等于（）

S5-S2

A.16B.8

C.6D.2

（2）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层

的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图

案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列｛斯｝,贝logXw/）的值为（）

A.8B.10

C.12D.16

题型二等比数列的判定与证明

例2（2024.福州模拟）已知数列｛册｝的首项内=）且满足小十尸二生.

52an+l

（1）求证：数列七-2｝为等比数列；

⑵若2+2+广…+萨2。25，求满足条件的最大正整数比

思维升华等比数列的四种常用判定方法

（1）定义法：若工=式夕为非零常数,且心2,〃WN-），则｛斯｝是等比数列.

an-l

⑵等比中项法：若在数列｛斯｝中，“W0且a：+]=a“0L2（〃EN）,则｛小｝是等比数列.

（3）通项公式法：若数列｛斯｝的通项公式可写成为=卬门（。，夕均为非零常数，〃£N*）,则｛斯]是等比数歹I」.

（4）前〃项和公式法：若数列｛%｝的前〃项和S〃=W—碇为常数，且20,夕W0,1），则｛斯｝是等比数列.

跟踪训练2（多选）已知数列｛%｝的前〃项和为S〃，下列说法正确的是（）

A.若/=，则。，C成等比数列

B.若他“｝为等差数列，贝队2心）为等比数列

C.若S”=3〃-1,则数列｛小｝为等比数列

D.若%=1,42=2,3a〃+i=a〃+2a“+2（〃WN*）,则｛斯+1—。〃｝为等比数列

题型三等比数列的性质

命题点1项的性质

例3（2023•全国乙卷）已知｛〃”｝为等比数列，。2々4。5=43。6,。沏0=-8,则ai=.

■微拓展-------------------------------------------------------------------------------------

下标和相等的等差（比）性质的推广

（I）若数列｛〃”｝为等比数列，目…l+42+…+*”，则0mMm2,…•。皿产工人/松.…S1.

（2）若数列｛〃“｝为等差数列,且〃?|+〃”+…+机产左|+攵2+…+公，贝帽叫+。7n2+…+//以1+以2+…+

典例（1）已知等差数列｛〃”｝,S〃为前n项和，且他=5,Ss=16,则Si产.

（2）等比数列｛〃”｝的各项均为正数，且〃I〃5=4,则Iog2ai+log242+log2«3+log2a4+log2as=.

命题点2和的性质

例4(1)(2024・宣城模拟)设S,是等比数列｛斯｝的前〃项和，若§3=4,田+的+俏=8,则加等于()

%

7

A.2B.-

C.-D.-

37

(2)已知等比数列｛d｝有2〃+1项，m=l,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则〃等于

()

A.2B.3

C.4D.5

思维升华(1)在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若〃?+〃=〃+

q,则“必”二劭的”，可以减少运算量，提高解题速度.

(2)在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注

意设而不求思想的运用.

跟踪训练3(1)(多选)下列说法正确的是()

A.若数列｛小｝为等比数列，且其前〃项和工=2”r+，，则，=—1

B.若数列｛a“｝为等比数列，且Ga?+a3a6=6，则aims…。8=81

C.若数列｛〃“｝为等比数列，S”为其前“项和，则S〃,S2〃一S“，S.-S2”，…成等比数列

D.若项数为偶数的等比数列｛m｝的前〃项和S”满足S奇=32,S偶=16,则公比

(2)(多选)设正项等比数列｛小｝的公比为q,其前〃项和为S〃，前〃项积为T„,且满足条件0>1,生024s

025>1,(«2024—1)(«2O25-1)<0，则下列结论正确的是()

A.数列｛«,｝为递减数列

B.52024+1<5?025

C.T2O24是数歹1」｛〃｝中的最大项

D.74(M9>1

答案精析

落实主干知识

1.(1)2同一个公比(2)等比Gab

2.⑴।⑶叫一q-)

i-q

3.(1)a曲”a凶qa“。“

(2)<(4)增减

4$2”一S〃Sin—Sin

自主诊断

1.⑴X(2)X(3)X(4)4

2.A[由等比数列的性质可知，

送=0必=4,所以°3=±2,

又因为血=/>0,所以6=2.]

a】

3.C[数列仅〃｝是正项等比数列，

由。2。8=32一。3。7,

得sa8+au/7=2磅=32,

得为-4.]

4.ABD[设等比数列｛斯｝的首项为m,公比为q(qNO).

对于A,邃=(Qiq4)2=Q：g8,a3S=(aiq2).(aq6)=ajg8,所以》=的。7,则。3,的，访成等比数列，A正

确；

对于B,因为»=/,

«n

所以数列｛碎｝是等比数列，B正确;

对于C,不妨设等比数列｛%｝为an=],则lga〃=O,所以数列｛lga”｝不是等比数列，C错误；

对于D,因为=+」=；，所以数列｛2｝是等比数列，D正确」

探究核心题型

例1(1)C［方法一若该数列的公比夕=1,

代入55=5§3—4中，

有5=5X3-4,不成立，所以夕W1.

由兽=5义守一4,

1-(?l-q

化简得5/+4=0,

所以/=1(舍)或/=4,

因为此数列各项均为正数，

所以g=2,所以S4==Q=I5.

i-q

方法二由题知1+g+/+q3+g4

=5(1+夕+站)-4,

即”十"=44十4”，

即炉+92—4〃-4二(),

即(4一2)q+i)q+2)=o.

由题知/>0,所以4=2.

所以§4=1+2+4+8=15」

(2)C［由题意可得，此人6天中每天走的路程构成公比为;的等比数列，

设这个数列为｛小｝，前〃项和为S”，

则S6=^^=*I=378