中考数学复习备考指南：实数（学生版）

中考级学

中考数学一轮复习学案（全国版）

数与式

1.1实数

工备考指南〉

考点分布考查频率命题趋势

考点1实数的分类及正负数的意义☆☆实数部分，每年考查2~4道题,分值为

6~10分，对于实数的复习需要学生熟

考点2实数的相关概念及科学记数法☆☆☆

练掌握实数相关概念及其性质的应月、

实数运算法则和等考点。2025年各省

市选择题会出现相反数、绝对值、倒数、

☆☆☆

考点3实数的运算及大小比较科学计数法问题，填空题会出现实数的

简单计算、解答题仍然以考查实数混合

计算为主。

☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。

函知识导图〉

互为逆运算（、

正

越具

算术平方根

®夯实基础

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1%I知识清单〉

考点1实数的分类及正负数的意义

1.实数的分类

(1)按照分类

正整数

整数零

有理数负整数

实数分数|正分数】

有限小数或无限循环小数

负分数J

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

(2)按照分类

正整数

正有理数4

正实数正分数

正无理数

实数

负整数

负有理数

负实数J负分数

负无理数

注意：0既不属于正数,也不属于负数，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类

(1)开方开不尽的数,如班等;

(2)有特定意义的数,如圆周率Ji,或化简后含有口的数，如窥外2等;

(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等;

(4)某些三角函数，如sin6。。等.

2.正负数的意义

(1)正负数的概念

1)正数：大于o的数叫做正数。

2)负数：前面加上符号“一”的数叫负数。

3)0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界.

【提示】一个数前面的“+”号叫做它的符号.有时，我们为了明确表达意义,在正数前面也加

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上“+”（正）号,如+3,+1.8%,+0.5,….不过一般情况下我们省略“+”不写.

（2）正负数的意义

具有相反意义的量应满足的条件：

①必须是____量，而且是成对出现的；

②只要求意义相反，不要求数量一定.

（3）正数、负数和。在实践中的应用

1）可以用来表示体重的变化情况；

2）可以用来表示不同的海拔高度；

3）可以用来表示某时气温变化情况；

4）可以用来表示货物出口额变化情况；

5）其他情况。

考点2实数的相关概念及科学记数法

1.数轴：规定了—、和方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一-对应.

【注意1】在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴要满足以下要求：

（1）在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点；

（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；

（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个长度取一个点，依次表示1,

2,3,4...；从原点向左，每隔一个长度取一个点，依次表示-1,-2,-3,-4...。分数或者小数也可以

用数轴上的点表示。

【注意2】数轴的画法.

A.画一条水平直线，在直线上取一点表示0,并把这个点叫作原点，选取某一长度作为单位长度，规

定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴.

数轴的画法：

（1）画一条水平直线，定原点（如图），原点表示（）.

（2）规定从原点向右为正方向，那么相反的方向（从原点向左）则为负方向.

（3）选择适当的长度为单位长度.

—3—2—10123

B.画数轴注意事项：

（D原点、单位长度和正方向三要素缺一不可：

（2）直线•般画水平的：

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（3）正方向用箭头表示，一般取从左到右；

（4）取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀。

2.相反数：只有不同，而相同的两个数称为互为相反数，若a、力互为相反数，则

m~b=O.

一般地，a和-a互为相反数；特别地，0的相反数是0.

【温馨提醒】相反数的几何意义

（1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）：

（2）互为相反数的两个数到原点的距离相等.

（3）一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表

示a和-a,这两点关于原点对称.

3,绝对值：数轴上表示数a的点与原点的称数a的绝对值，记作|川.

性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的_______;0的绝对值是0.

即⑴如果a>如那么|a|二a

（2）如果aVO,那么|a|=-a

（3）如果a=0,那么|a|=0

4.倒数：1除以一个不等于的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则

5.科学记数法科学记数法的表示形式为aXW,其中lW|a|<10,n为整数.当原数绝对值___10

时，写成aXIOn的形式.，其中lW|a|V10,n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值____1时，

写成aXlOf的形式，其中lW|a|V10,n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括

小数点前面的零）.

【易错点提示】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值.

（Da值的确定：lW|a|<10；（2）n值的确定：①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减

1；②当原数大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的

个数（含小数点前的零）；③有计数（量）单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用科

学记数法表示.常用的计数单位有：1亿=10，1万=计量单位有：1mm=10Tm,1nm=10-

'm等.

6.近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五

入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

7.平方根：（1）算术平方根的概念：若/=a（x>0）,则数x叫做a的算术平方根.

（2）平方根的概念：若；2=8则x叫做a的平方根.

（3）表示：a的平方根表示为土45，a的算术平方根表示为赤.

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只有非负数才有平方根，儆平方根和算术平方根都是0

⑷意乂■（石）2=30）；彳同=｛：黑：）

8.立方根：（1）定义：若，则x叫做a的立方根.

（2）表示：a的立方根表示为痂.

（3）.9.数的乘方：求大个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫______.在an中，a叫底

数，n叫指数.

考点3实数的运算及大小比较

1.实数的运算

（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法_______、加法、乘法

________、乘法_______、乘法________.

（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.

（3）指数，负整数指数累：a卉0,则M=l；若aHO,〃为正整数，则。一”=」-.

an

【注意】-1的奇次幕为-1,偶次幕为1.

2.实数的大小比较方法

（1）法：当a＞（）,方＞0时，

（2）法：利用3=肝（/20）,将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小.

（3）法：当a-6=0时，可知a=。；当打一。＞0时，可知a＞。；当aVO时，可知aV

b.

AAA

（4）法：若一=1，WJA=Bx若一＞1,则力＞氏若一VI,则力＜8（4分＞0且今0）.

BBB

（5）比较法：设a、4是两负实数，则同＞网＜=＞。＜及

备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。

号|考点梳曲）

考点1实数的分类及正负数的意义

【例题1】（2024福建省）下列实数中，无理数是（）

A.-3B.OC.匕D.J5

3,

【对点变式练1］（2024•南昌市一模）有下列四个论断：①-人是有理数；②色是分数；③

32

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2.131131113…是无理数；④兀是无理数，其中正确的是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【对点变式练2］（2024四川绵阳一模）下列说法：

（1）0是整数；

（2）-7/3是负分数；

（3）4.2不是正数;

（4）自然数一定是正数；

（5）负分数一定是负有理数.

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【例题2】（2024武汉市）中国是世界上最早使用负数的国家.负数广泛应用到生产和生活中，例

如，若零上3二记作丽，则零下2心记作七.

【对点变式练1］（2024云南一模）下列说法中错误的是（）

A.一个正数的前面加上负号就是负数

B.不是正数的数一定是负数

C.0既不是正数也不是负数

D.正负数可用来表示具有相反意义的量

【对点变式练2］（2024黑龙江绥化一模）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》

的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数.如果收入100元记作+100元.那么70元表示

（）

A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元

考点2实数的相关概念（含平方根、算术平方根、立方根）及科学记数法

【例题3】（2024黑龙江齐齐哈尔）实数-5相反数是（）

11

A.5B.—5cC.—D.-----

55

【对点变式练1】（2024大连二模）下列各组数中互为相反数的是（）

A.-2与'（—2）2B.-2与qCJC.-2与一万D.2与卜2|

【对点变式练2］（2024吉林一模）写出一个负数，使这个数的绝对值小于3

【对点变式练3］（2024南宁一模）・7的倒数是（）

11

A.—B.7C.——D.-7

77

【例题4】（2024江苏常州）16的算术平方根是.

【对点变式练1］（2024武汉一模）3的平方根是（）

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A.9B,岳C._^5D.士币

【对点变式练2]（2024海南二模）”的算术平方根为（）

A.土石B.短C.±2D.2

【对点变式练3]（2024福建厦门一模）实数8的立方根是.

【例题5】（2024深圳）如图，实数a,b,c,d在数轴上表示如下，则最小的实数为（）

abcd

--•--•—«—•--•--->

0

\.aB.bC.cD.d

【对点变式练1]（2024苏州一模）下列数轴表示正确的是（）

IIIII।।।।।।।i।

A.3210-1-2-3B.-1-2-30123

IIIII].III1111^

c.-3-2-1123D.-3-2-10123

【对点变式练2]（2024济南一模）若嬷二一2巴，则实数。在数轴上对应的点的位置是（）.

3

A]%।[[1I.B111111a1»

-3-2-10123-3-2-10123

C]i?।।[।1,DiiiiiI,

-3-2-10123-3-2-10123

【例题6】（2024黑龙江齐齐哈尔）共青团中央发布数据显示截至2023年12月底，全国共有共青

团员7416.7万名.将7416.7万用科学记数法表不为.

【对点变式练1】（2024福建宁化一模）中国华为觑麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，

在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将120

亿个用科学记数法表示为（）

A.1.2x109个B.12x109个C.1.2x10%、D.1.2x10”个

【对点变式练2]（2024四川达州一模）今年我市参加中考的学生人数约为601.101人.对于这个近

似数，下列说法正确的是（）

A.精确到百分位，有3个有效数字口B.精确到百位，有3个有效数字

C.精确到十位，有4个有效数字口D.精确到个位，有5个有效数字

考点3实数的运算及大小比较

【例题7】（2024福建省）计算：

卜5一疯

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【对点变式练1］（2024河南许昌一模）计算：（%+1）。+|6-2

【对点变式练2］（2024湖南益阳一模）计算：（-3）2+2乂（及一1）一卜2间

【例题8】（2024甘肃威武）下列各数中，比-2小的数是（）

A.-1B.YC.4D.1

【对点变式练1］（2024浙江温州一模）数1,0,—三，-2中最大的是（）

3

2

A.1B.0C.----D.-2

3

【对点变式练2］（2024南京一模）比较大小：（填“>”、"V”或.

【对点变式练3】（2024哈尔滨一模）a,力在数轴上位置如图所示，则a,b，一小一方的大小顺

序是（）

b0a

A.-a<b<a<-bB.b<-a<-b<aC.-a<-b<h<aD.h<-a<a<-b

UI真题在线〉

考点L实数的分类及正负数的意义

1.（2024甘肃临夏）下列各数中，是无理数的是（）

A..•B.-C.4/27D.0.13133

23

2.（2024湖南省）在日常生活中，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作（）

A.+1麴元B.毯00元C.-1如元D.T8O元

3.（2024山东威海）一批食品，标准质量为每袋454g.现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准

质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示.那么，最接近标准质量的是（）

A.+7B.-5C.-3D.10

4.（2024江苏连云港）如果公元前121年记作_］21年，那么公元后2024年应记作年.

考点2.实数的相关概念及科学记数法

I.（2024河南省）如图，数躺上点尸表示的数是（）

好

-4_1_1_MB

T01I

A.-1B.0C.1D.2

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2.（2024内蒙古赤峰）如图，数轴上点4M,4分别表示数6a+b,b,若AM>BM，则下列

运算结果一定是正数的是（）

>

B.a-bc.ahD.

3.（2024山东烟台）实数a,b，C在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）

abc

Hl-lIIII:

-3-2-101234

A.b+c>3B.a-c<0C.D.-2a<-2ft

4.（2024湖南省）计算：-（-2024）=

5.（2024江苏盐城）有理数2024的相反数是（)

11

A.2024B.-2024C.D.------------

2024

6.（2024黑龙江大庆）下列各组数中，互为相反数的是（）

B.2024和」一

A.-2024|和—2024

2024

D.一2024和一!一

C.-20241和2024

2024

7.（2024内蒙古包头）若加，〃互为倒数，且满足加+加〃=3,则〃的值为

A.BIC.2D.4

4

8.（2024江苏扬州）实数2的倒数是（)

A.B.2C.D.-

22

9.（2024陕西省）-3的倒数是（）

1

A.3B.-C.1D.-3

33

10.（2024福建省）据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年,

全球度TT（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请

量最大的来源国.数据69610用科学记数法表示为（）

A.6961x10B.696.1xlO123C.6.961xlO4D.0.6961xlO5*

11.（2024甘肃临夏）据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为最

“热辣滚烫”的顶流.2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元.将

数据“27亿”用科学记数法表示为（）

A.2.7x10sB.0.27xlO10C.2.7xlO9D.27xl08

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12.（2024广西）广西壮族自治区统计局发布的数据显示，2023年全区累计接待国内游客8.49亿人

次.将8490（）（）000用科学记数法表示为（）

A.0.849xlO9B.8.49x10sC.84.9xlO7D.849xlO6

13.（2024黑龙江绥化）中国的领水面积约为370000km*12,345678将数370000用科学记数法表示为：

考点3.实数的运算及大小比较

1.（2024四川内江）16的平方根是（）

A.-4B.4C.2D.±4

2.（2024黑龙江大庆）计算：处方=—.

3.（2024内蒙古包头）计算：我+（一1）2°24=.

4.（2024四川广安）强一、标二.

5.（2024四川成都市）若琥.〃为实数，且（加+47+加工=0,则（加+〃丫的值为.

6.（2024吉林省）若（-3）义口的运算结果为正数，则口内的数字可以为（）

A.2B.1C.OD.-1

7.（2024广西）计算：（-3）x4+（-2）2

8.（2024湖北省）计算：（—1）x3+新+2?—2024°

9.（2024江苏盐城）计算：卜2|—（l+;r）°+4sin30o

八、-1

10.（2024甘肃临夏）计算:-V4--4-2025°.

,②卜2|,③（一1『，④工畿爱中任选3个代数式求和:

11.（2024贵州省）在①始

.2

12.（2024黑龙江齐齐哈尔）计算：V4+1-4cos60°|-（7C-5）+J

13.（2024甘肃威武）定义一种新运算*,规定运算法则为：m*n=mn-mn（加，〃均为整数，且

加工0）.例：2*3=2?-2x3=2，则（一2）*2=________.

14.（2024广西）下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温,其中气温最低的是（）

国国C.g|

[8,1Cj

15.（2024广西）写一个比,3大的整数是_______.

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16.（2024广州）四个数-10,-1,0,10中，最小的数是（）

A.-10B.-]C.0D.1（）

17.（2024山东威海）下列各数中，最小的数是（）

A.-2B.-（-2）C.——D..

18.（2024安徽省）我国古代数学家张衡将圆周率取值为/Q,祖冲之给出圆周率的•种分数形式

的近似值为丁•比较大小：晒

7

修项练习）

考点1.实数的分类及正负数的意义

L在下列实数:砺、感、<_*、-().00100()1中，有理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.把卜・列各数分别填在相应的集合内：

139

-11、5%、-2.3、9、3.1415926、0、--、f、2014、-9

643

分数集：.

负数集：.

有理数集：.

3.在-4、-2、（）、1、3、4这六个数中，正数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.在0,-2,5,-0.3中，负数的个数是()

4

f\.IB.2C.3D.4

5.若盈余2万元记作+2万元，则一2万元表示（）

A.盈余2万元B.亏损2万元C.亏损一2万元D.不盈余也不亏损

6.中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首

次正式引入负数.如果收入100元记作+100元.那么-80元表示（）

A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元

考点2.实数的相关概念及科学记数法

1.如图，数轴上有三个点A,B,C,若点A,B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（）

B

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A.-2B.0C.1D.4

2.-3的绝对值是（)

A.-3B.3cr."-1D.A

33

3.—M的相反数是（)

7

3-37

A.一B.—C.—

773

4.七的倒数是（）

33

A.—