山东省青岛市2025-2026学年高一年级2月测试数学试题

山东省青岛市2025-2026学年高一年级2月测试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.sin21O=()

A.-•!"B.1_

22

C.-立D.在

22

2.若命题2x+l>3,则力为（）

A.V.¥>I,2x+l<3B.去<1,2x4-1<3

C.Vx<l,2x+l>3D.3x>\,2x+l<3

3.已知关于x的一元二次方程办2+云+c・=0，条件p:4c<0,条件夕：方程有一个正根一

个负根.则〃是9的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数/（x）=xlnx—l的零点所在区间为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,+8）

5.将函数/（力=8§伍一凸图象上所有的点向左平行移动斗个单位长度，得到函数g（x）

I6/6

的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间为（）

6.英国经济学家马尔萨斯提出了自然状态下人口增长模型：>（其中f表示经过的时

间，先表示当，=0时的人口数，「表示人口的增长率），2025年5月联合国经济和社会事务

部下属的人口司宣布，全球人口总数将于2025年底达到80亿，2100年底达到100亿.则

2025年底到2100年底这段时间内的人口增长率约为（）（ln2大0.69,In5al.61）

A.0.257%B.0.307%C.0.425%D.0.863%

7.已知aw（0,7t）,sina+cosa=:，则si吟的值为（）

J乙

o1

8.已知函数f(x)=log27匚+2x—l,若实数满足/(a)+/0)=。，则4+：的最小值为

1-Xab

()

A.5B.3+2&C.4D.4+76

二、多选题

9.若b>a>l,则()

A.(；)>(；B.ab+\>a+bC.Iog/>1

D.

b

10.已知/(工)=2802%+刀112工_1,则()

A.+]=/")B.b=£

C.〃%)的增区间为+.,kcZD.y=/(x)后有4个零点

JU4

11.已知函数/(",g(x)的定义域均为R,且〃x)+g(2-x)=5,^(.v)-/(x-4)=7,

若g(x)的图象关于直线x=2对称，则()

A./(x)的图象关于点(一1,一1)对称B.g(3)=5

C./(X)的图象关于直线x=0对称D.5(-2025)=6

三、填空题

12.写出一个定义域为R,且单调递增的奇函数/(可=.

13.已知〃力〉I,log“b+log〃a=|-,ab=ba,则，活=.

14.已知a,方>0,对DxwR,有c/cos2x-»sirLK<2恒成立，则a+A的最大值为.

四、解答题

15.已知集合A={M1«X<2},8=<xgK2，-“K4..

⑴当a=l时，求QA)C8；

(2)若A。3=0,求实数”的取值范围.

试卷第2页，共4页

16.（1）在tana,tan/?与tan（a+/7）均有意义时，，利用两角和的正弦、余弦公式，推导出用

角a、B的正切表示lan（a-夕）的公式;

/、、4tan20°+tan400+tan120°,,，十

(2)求----------------------的值.

tan20°tan4()°

17.某型号电动汽车配备智能续航预估系统.系统根据实时车速箕（千米/小时）与路面状

况，计算出•个低电量警报阈值距离石3）（千米）.当系统估算的剩余可行驶距离低于E3）

时，将向驾驶员发出低电量警报.£（口）为以下四项阈值的总和：基础阈值、匀速行驶阚值、

车载设备阈值、风阻与滚动阈值.其中风阻与滚动阈值与车速的平方成止比，且受路面系数

，影响（/与路面坡度、粗糙度有关，满足0.5V/W1.0）.当车辆以不超过90千米/小时

的速度匀速行驶时.，各部分的阈值距离如下表所示：

阈值基础阈值匀速行驶阈值车载设备阈值风阻与滚动阈值

£j=

距离（千米）品=5&=0.06vE2=0.04V100y

⑴请写出七3）与期的函数关系式.若某次行驶中7=1.0,当系统恰好发出低电量警报，求

车辆剩余可行驶的最短时诃.

（结果精确到0.01,参考数据石。2.236）

⑵要求在复杂路面条件下（U.5W/41.0）,七。）均不超过60T米，求车速v的最大值.

18.已知单位圆。与x，y轴正半轴分别交于48两点，过线段OA上一点。作％轴的垂线交

单位圆于点P（P在第一象限），延长QP至点N,使得夕为QN的中点，连接

BN,AP,BP,OP.设N4OP=a.

（2）求PR+/W取得最大值时。的值:

(3)若awJ,］，设AOP。的面积为S，线段NRN4与劣弧4P围成的图形面积是反，记

(_62)

f(a)=S2-S^求/(a)的值域.

参考公式：cosa-cos/?=-2sina+^sin———

-22

19.函数/(x)定义域为(0,+8),对于D，〃,〃>0,/(m)>0,/(n)>0,

(1)若/(耳=2'+4,求实数2的值；

(2)若=证明：

(i)/⑶/(2")<2一”(我N)

(ii)当xe(0,l)时，/(x)<2x：当xw(l,+<»)时，/(x)>x-l.

试卷第4页，共4页

《山东省青岛市2025-2026学年高一年级2月测试数学试题》参考答案

题号1234567891()

答案ADCBABCBBCDBC

题号11

答案ACD

1.A

【分析】利用诱导公式化筒求值

【详解】由诱导公式可知，sin210=sin(180+30)=-sin30=.

故选：A

2.D

【分析】根据全称量词命题的否定的定义求解即可.

【详解】根据全称量词命题的否定，

由命题P：Vx>l,2.r+l>3,则f为小>1,2x+l<3.

故选：D

3.C

【分析】根据题意，由韦达定理及判别式代入计算，结合充分条件以及必要条件的定义，即

可得到结果.

【详解】若关于X的一元二次方程数2+Zn-+c=0有一个正根一个负根，

得，A=Z?2-4ac>0,则ac<0；

c

MX,=—<0

"a

反之，若acv(),则△=//-4〃c>0，—<0»。工0,

a

此时方程有一个正根一个负根，

所以〃是夕的充要条件.

故选：C

4.B

【分析】结合对数函数性质分析当0<x«l时，/(“<0,判断函数/(可在(1,y)上的单调

性，结合零点存在性定理判断结论.

【详解】当0<xKl时，InxVO,所以；dnxMO,

答案第1页，共13页

iftAlnx-l<-l<(),所以函数在(0,1)上没有零点,

设片,/且王<12,

贝！J1<Nv/，0<InX)<Inx2

故％Inx,<x2Inx2,xyIn-1<x2Inx2-1,

所以/a)</(z),故函数AM在a”)上单调递增,

又〃1)=()一1<(),/(2)=21n2-l=ln4-l>lne-l=0,

所以函数/(x)=#nx-l的零点所在区间为(1,2).

故选：B.

5.A

【分析】先根据函数的平移及诱导公式得到g(x)=sin2.x,再结合正弦函数的性质求解即可.

【详解】由题意，g(x)=/X+?]=COS2X+•=cos(2.r+：=sin2x,

k6)\6)6.\2)

令+2kit<2x<—+2/ai,keZ,^--+kii<x<—+kji,ke7j,

2244

结合选项，函数g(%)的一个单调递增区间为.

故选：A

6.B

【分析】记2025年底全球人口总数为先，由题意得当1=75时，)，=1()0,代入函数模型求

解即可得到答案.

【详解】记2025年底全球人口总数为4，则%=80,

由题意得当/=1(乂)-25=75时，)-100,

e，r

代入y=yo得100=80e%',

5

r24_In5-ln4In5-21n21.61-2x0.69

万

一a0.307%'

~15--~7575-

即2025年底到2KX)年底这段时间内的人口增长率约为。.307%.

故选：B.

7.C

答案第2页，共13页

3

【分析】由题设结合平方关系求得cosa=-g,再根据降累公式求解即可.

【详解】由aw(O,冗),得sina>0,

因为sina+cosa=《，所以cosa=《-sina,

又sin?a+cos2a=1，则sin%+--sina|=1,

15J

433

解得sina=《或5吊1=(舍去)，fflcoscr=--,

号阻,则修第

故选：C

8.B

【分析】求出函数/("的定义域为(04)，证明/(x)+/(l—力=0,从而得到〃+〃=1,其

中《。€(0,1),利用基本大等式即可求出答案.

【详解】函数/(力=1。82/工+21-1的定义域为(0』)，

I-X

由/(x)=log2-^-+2x-l^,

1-X

V1—V

/(x)+/(I)=log2L+2x-l+log?--+2(l-x)-l

=log,f—x---+2x-l-2x+2-l=0,

\l--vxJ

由/(〃)+/S)=0,所以“+8=1,其中a,〃e(0,l),

则湾仔泊力3+河衣2厌=3+2日

当且仅当丝=：,即a=2-"〃=五-1时，等号成立，

ab

oi

所以士+3的最小值为3+2&.

ab

故选：B.

9.BCD

答案第3页，共13页

【分析】根据指数函数的单调性判断A；根据不等式的基本性质利用作差法判断B；根据对

数函数的单调性判断C：根据对勾函数的单调性判断D.

【详解】对于A,由力且函数y=在R上为减函数，

则故A错谩；

对于B,由则，心+1—〃一力=(。-1乂6-1)>0,

所以4〃+1>4+/),故BiE确；

对于C,由且函数y=log“x在(0,+8)上为增函数，

则log/>log/=1，故C正确；

对于D,由对勾函数的性质可知，函数y=x+，在(1,18)上为增函数，

X

而则.+，<〃+!，故D正确.

aD

故选：BCD

10.BC

【分析】先根据三角恒等变换公式化简可得/(x)=〃sin2x+cos2x=5/^~7Tsin(2x+9),再

结合函数的周期公式判断A；由题设可得。sin1十cos^n^W,进而可得)=逐，即可判

断B；再根据正弦函数的性.质求解判断C：结合图象判断D.

【详解】由

f(x)=2COS2X+/?sin2x-1=/?sin2x+cos2x=+1sin(2x+(p),cos(p=/-,sin(p=/1

\Jb2+1业2+1

则函数的最小正周期为7=或=冗.故A错误：

因为，(x)«/J所以/(力-=/))=加in〈+cosg="2+l.

则立〃+，=配公>0,解得力=石，则/(x)=2sin(2x+R,故B正确;

22k6/

令一工+24兀<2x+—<—+2/at,kGZ,得一二+E4xJ'+kit,kJZ,

26236

所以f(x)的增区间为/_沔+,,kwZ,故C正确;

答案第4页，共13页

对于D,令)，=仆)-楙=0,则小)磺

作出函数/(1)与y的大致图象:

由图可知，函数/(X)与尸］有5个交点，则)，=/(力-］有5个零点，故D错误.

故选：BC

11.ACD

【分析】根据题设分析可得〃14)+“27)=-2,进而判断A；由g(x)的图象关于直线

x=2对称，可得g(x)=g(4-x),进而得到f(x)=f(x+4),/(-x)=/(x),即可判断C,

并且得到函数/(x)是以4为周期的函数，由g(x)=7+/(x)可得函数g(x)也是以4为周期

的函数，进而求解判断BD.

【详解】对于A,由f(x)+g(2-x)=5,得f(2r)+g(x)=5,即g(x)=5-〃2-x),

由g(x)-/(x-4)=7,得g(x)=7+/(x-4),

贝IJ5-/(2-刈=7+/(1),即“X—4)+/(27)=-2,

则/W的图象关于点对称，故A正确；

对于C,因为g(x)的图象关于直线x=2对称，所以g")=g(4-力，

又g(x)=5—八2-x),所以g(4T)=5-/(x-2),

所以g(x)=5-/(x-2),而g(x)=7+/(x-4)

则5-7(X-2)=7+/(Y-4),gp/(x-4)+/(x-2)=-2,

则/(M+/(X+2)=-2,即/(X+2)+/(X+4)=-2,

所以/W=/(x+4),则函数。(%)是以4为周期的函数,

答案第5页，共13页

由/(I)+f(2-x)=-2,/(x-4)+/(x-2)=-2,

M/(2-x)=/(x-2),M/(-x)=/(x),

所以/(x)的图象关于直线x=0对称，故C正确；

对于BD,由g(x)=7+/(x-4)=7+/(x),

则函数g(x)也是以4为周期的函数,

由/(4一4)+/(2一司二-2,W/(-3)+/(l)=-2,

即/(1)+/。)=_2,则/(1)二-1

由g(4-x)=5—/(x-2),得g(3)=5-/(l)=6,

而g(-2025)=g(-507x4+3)=g(3)=6,故B错误，D正确.

故选：ACD

12.x(答案不唯一)

【分析】根据题意求解即可.

【详解】由题意，如/(x)=x,/(x)=x\…，定义域为R,且在R上单调递增，为奇函数.

故答案为：](答案不唯一).

13.8

[分析】根据log/+log/=|结合换底公式可得log,/=3或log,*=2,由6?=两边取对

数，再结合换底公式可得2=log,*,进而得到/=*或七,进而求解即可.

a[a=2b[b=2a

5,,I5

【详解】因为log“"log/=/,所以084〃+'^7了=^，

则2(log,/)?_5log.〃+2=0,解得log”方=g或log。b=?,

又a"=b",>1,则Inah=Inb"，即Z?Ina=aInb,

…，bIn/7.,

所以一=";—=log”〃，

aIna

」门“一，_.

则一,或噎，即工;或.b=a2

b=2a'

2I"

答案第6页，共13页

"4a=2

解得则而=

沙=2或b=4'8.

故答案为：8.

14.>/3+1

【分析】根据cos2x=l-2sin2x对不等式化简，令/=疝皿€卜1』，由题意得V，4-1,1］,

一一2/?/+〃一2£0恒成立，f(t)=-2at2-2ht+a-2,t,分为一《4一1和

-lv-二<0两种情况分别求的最大值，即可求出答案.

2a

【详解】因为cos2x=l-2sin」x，

所以不等式6rcos2x-2Z?siiKK2可化为-2〃5廿x-2/2sinx+«-2<0,

令，=sinx,/e|-l,l],

贝(J-2asin2x-2/?sinx+a-2<0可化为一2a--2bt+(7-2<0,

由题意得V/w[T,l],—2〃——力/+〃—2W0恒成立,

令f(t)=-2ar-2b/+«-2,/,

因为a/>。，则函数/⑺开口向下，图象的对称轴为"―(，-^<0,

当-?4-1时，即2«40时，函数/⑺在［T1］上单调递减，

则〃T)=-。+动-2V0,lip-a+2b<2,

=2

［-a+2b=2a=3

又2〃-八()，两式相加得a+bW2,当且仅当。人八，即:时等号成立，

2a-b=0

,b=4—

3

故此时a+。的最大值为2；

当-1<小<0时，即2j>0时，函数/⑴在一：上单调递增，在卜点/］上单调

递减，

则f——-=-2a(——-1—2/?f——-1+tz—2<0♦即〃20-2/+4a,

I2a)(2a)[la)

则—2a2+4ci>0f解得a£(0,2),则〃<J—2a?+4a»

答案第7页，共13页

则a+Z?<a+J-2a?+4a=a++2,

令a-l=cosaee(0,7c),则一2(〃-1)2+2=2(1—(：052夕)=241128,

因为。40,兀)，则sin<9>0,

贝！Ja+yj-2(a-1)2+2=cos。+&sin。+1=>/5sin(。+⑴+1,

其中sine=巫，cos(p=—,

33

所以当0+9=］时，a+J—2(〃—1J+2取得最大值为1+G，

此时cos6=cos值一e)=sin0=*,则«=1+cos0-1+B,

则a+〃工1+VL当且仅当a=l+且，〃=J-2〃2+4〃=述时,等号成立，满足勿一人>0,

33

故此时的最大值为G+1,

又。+1>2,

所以a+〃的最大值为6+1.

故答案为：x/5+l.

15.(l)(^A)nB={x|0<x<ln£2<x<3}

⑵(y,-l)“3,y)

【分析】(1)解指数不等式求出集合8,再根据集合的运算即可求解；

(2)解指数不等式求出集合A,根据AC|8=0列不等式，求解即可得到答案.

【详解】(1)因为4={刈41<2},所以QA={xk<l或XN2},

当〃=1时，不等式可化为27交1£22，解得

故8=3。W},

所以(%4卜8二卜|04%<1或2<x<3}.

(2)不等式…44可化为2T421,<22,解得〃一14文42+a,

即4={目〃-1<x<2+«|,

答案第8页，共13页

因为4口8=0,所以。+2<1或“一1之2,

解得〃<一1或,

所以实数〃的取值范围为｛-8,-1）。［3,也）.

/0、tana+tan//,「

16.（1）lan（a+^）=---------g；（2）

1-urnatari/

【分析】（1）根据公式结合商数关系推导即可;

（2）先根据两角和的正切公式得至I」tan20o+tan40o=JJ-Gtan2（nan40。，再代入求解即可.

【详解】(1)已知sin(a+夕)=sinacos尸+cososin夕,

cos(a+£)=cosacos尸一sinasin/?,

所以皿小鬻胃等笺鬻,

分子分母同时除以cosacos^得:

tan(a+/3)~s*nacos^+cosasinp_lana+ian〃

cosacos/3-sinasin/71-tanatan/7'

(2)因为tan600=tan(20°+40°)=⑶,>⑼⑷尸=石,

'7l-tan200tan40°

所以tan20°4-tan40°=G-V3tan20°tan40°,

则tan200+tan400+tan120°_A/5->/3tan20otan40o->/3

tan20utan400tan200tan400

v

17.(l)£(v)=5+0.1vH-,--0--<v<90,0.55小时

l(X)y

（2）50千米/小时

【分析】（I）根据题意列式求解E"）即可，再结合基本不等式求车辆剩余可行驶的最短时

间;

（9）由题意得七（i，）=5+0.1u+忐-K60对任意。.5«/41.0恒成立，进而可得

5o.lv+—<60,再解不等式即可.

+50

【详解】（1）由题意，低电量警报阈值距离为:

E(v)=f+E+E+E,=5+0.061+0.041,+]0()=5+0.1v+，0<v<90,

0(2100/

当7=1。时，E(v)=5+0,1v+-^.

系统发出警报时，牟辆剩余可行驶的时间为:

答案第9页，共13页

t――-~~-=—+0.1+>2J10()+01=1a0,55小时，当且仅当y=10\/5<90,

所以车辆剩余可行驶的最短时间为0.55小时.

2

(2)由题意后3)=5+0.1丫+1460对任意0.5X741.0恒成立，则

1007

5+0.1v+<60,

1°°八

E(v)=5+0.1v+卷为/的减函数，

1007

2

贝|]5+0.加+匕工60,化简得F+5u—50x5500,EP-55<v<5(),

50

所以车速,的最大值为50千米/小时.

18.(1)!

O

⑵a=£

O

(3)哈。〕

【分析】(I)由题意结合二倍角公式求解即可;

a.«\.aa

(2)根据题意，先表示出PB+PN=V2cos---sin—+2sin—cos—

(22)22

cos|-sin|=/,则zw((M),可得P4+PN=---/一1),进而根据二次函数的性质求

解即可;

(3)根据题意，先表示出/(a)=S2-S1=〈fcosa+a—3),asg,利用函数的单调

2k2；L62)

性的定义证明/(a)在IgA]上单调递增，进而求解即可.

L62；

3

【详解】(1)由题意，在△OA4中，由sin/OB4==,

4

IfllJcosrz=cos(?r-2ZOPA)=一cos2NOP人=2sin2ZOPA-1=—

8

(2)在△OPQ中，PQ=sina,aef0,-^L由P为QN的中点,

可得PN=PQ=sina,

在AOPB中，P8=2sin(E—1],

U2)

ll-cnex,'(Ka).rz(a.a\..aa(..it

同T以PB+PN=2sin-----+sina="2cossin—+2sin—cos——,ae(),—

U2)I22)22I2

答案第10页，共13页

e(0.1),

所以2si吟8$今=1一产，PB+PN=亚+i=---6-1),

令1),则力上单调递增,

所以当时，恤)取得最大值，此时

(3)梯形0/W8的面积为:(l+sina)cosa,扇形PO8的面积为n

2

所以S2=；(l+sina)cosa-中一小不血X+小…

S^-sinacosa,

2(2)2(2

兀7tn

所以“a)=S2-S|=5cosa+a—ae

乙21r

11

先证当。引0.时，sina<a,由△04户的面积小于扇形40P的面积，即[sinav^a,所

//L2L2

以sina<a,

兀兀m

3，且囚<。2，

6/7

a

/(%)-/(%)=cos%十%g(cosa]-COS%+a-i)

2~2

r.«+%.%-a,

=-|-2sin妇—n巴二&2sin----上sin----

2l2222

7171，一%

因为a”％e,a2>%,所以。<sin%v],ovsin

65222

所以F(aJ—/(a2)=；(2sin1/、.四+a,,

+a-a<—(^-ajsin'-+a,-a

2212222

J)<0,则/(«)</(%)，

所以小)在厝)上单调递增，又■了且加

0,

L62)12

一3层2兀、

所以/(a)的值域为,u,

12

19.(l)/l=-l

(2)(i)证明见解析：(ii)证明见解析

【分析】(1)由题设可得对于任意正数x,/(.r)=2'+z>0,进而得到义NT,由

/(m+〃)一“〃[)一“〃)=(2"'-1)(2”-1)-；1-1>0恒成立可得右一1,进而得到2