人教B版高中数学必修3 第8章《向量的数量积与三角恒等变换》复习提升

人教B版2019高中数学必修3第8章向量的数量积与三角恒等变换

复习提升

1.（2021•北京・单元测试）在△4BC中，已知|而|二6,|元|=5=30。，求布•谓.

2.（2021北京单元测试）已知/4的夹角为120。，且㈤=1,同=2,当向量五十篇与

Aa+b的夹角为钝角时，求A的取值范围.

3.（2021.北京・单元测试）若非零向量G4满足|2+同=向，则（）

A.\2a\>\2a+b\B.|2a|<\2a+b\

C.\2b\>\a+2b\D.\2b\<\a+2b\

4.（2021・北京・单元测试）已知G工G,同=1,对任意tWR,恒有I五一同N|五一生，则（）

A.aleB.a1（a—e）

C.e1（a-e）D.（a+e）1（a-e）

5.（2021・北京单元测试）已知P为△力8。所在平面内一点，且满足IABIPC+\BCIPA+\CAI

丽=6,则点P为△/WC的一心.

6.（2021・北京・单元测试）若cosa=1,aG（0,^）,则tan；=.

7.（2021.北京・单元测试）已知0<a<^,-^</?<0,cos（^+a）=1=.

LZ\4/3\42/3

⑴求cosa的值；

⑵求cos（a+0的值.

8.(2021・北京•单元测试)已知函数/(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,xGR.

(1)求函数fQ)的最小正周期；

(2)求函数/(x)在区间格,｝］上的最小值和最大值.

9.(2021・北京・单元测试)若sing-a)=］则cos6+2a)=()

A.--B.-C.--D.-

9339

10.(2021.北京・单兀测试)若cosQ—a)=1,sin(：+夕)=募,aw&乎),夕w(0,：),则

cos(a+/?)=()

A.々B.一qC.--D.63

65656565

11.(2021・北京单元测试)计算cos700cos335°4-sinll00sin25°的结果是()

A.—B.1C.—D.1

225

12.（2021.北京•单元测试）已知sinx-siny=-，cosx-cosy=，且x,y为锐角，则

tan（x-y）的值是（）

A,卓B.C,土？D.

14

13.（2021・北京・单元测试）已知向量a=（1,2）,3=（m,T）,且但+另）,五，则实数m的值为

（）

A.-1B.2C.-3D.4

14.（2021.北京・单元测试）已知菱形ABCD的边长为2,”，点P满足AP=XAB,XE

R.若丽•丽=-3,则4=()

A.；B.C.\D.

2233

15.(2021.北京・单元测试)在平行四边形ABCD中，48=4,力。=2,而•而=4,点P在边

6上，则瓦？•PB的取值范围是()

A.[-1,8]B.[-l,+oo)

C.[0,8]D.[-1,0]

16.（2021.北京・单元测试）如图所示，在6X4的网格中，每个小正方形的边长均为1,点。J,

B,C均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），求赤•而的值.

17.（2021.北京・单元测试）如图，在梯形ABCD中，AB//DC,AB=BC=2,CD=1,LABC=；,

E是边BC上一动点，求荏,屁的最小值.

2

18.(2021・北京・单元测试)已知函数/(x)=(Q+2cos0cos(x+8)为奇函数，且/(以=。，其中

aeR,0e(0,TT).

(1)求Q,8的值；

(2)若aW，/d+])+(cos(a+：)cos2a=0,求cosa-sina的值.

19.（2021•北京单元测试）已知a为锐角，且tan（a+^）=2,则sin2a=（）

V?..3a7J?..

—D.-----C------U.----

1010104

20.(2021•北京・单元测试)已知cosa+cos0=1,sina4-sin/?=当，则cos(a-6)=

21.(2021・北京・单元测试)已知函数/(x)=cos2x+VJsinxcosx+1,xGR.

(1)求/•(幻的最小正周期和最值.

⑵设季隽5），且，（。+展）=弟求。8侬+勺的值•

答案

1.【答案】因为I而1=6,In|=5=30。，

向量而和位的夹角为小的补角，为150。，

所以AB-CA=\AB\x\AC\xcosl500=6x5x(*)=-15V3.

【知识点】平面向量的数量积与垂直

2.【答案】因为|由=1,|同=2,d与B的夹角为120。，

所以db=\a\'|b|cosl20°=1x2x(―1)=—1.

因为向量d+与/id+3的夹角为钝角,

所以(a+Ab)-(Ad+b)<0,且两向量不共线.

又(G+Ab)■(Aa+b)=Aa2+(A2+l)d-b+Ab2,

2

所以A—(A4-1)4-4A<0z

解得入〈手或入>手.

又当(1+Ab)//(Ad+b)时，A=±1,

所以A的取值范围是(—00,—1)U(-1,5U(5+；21,+8)

【知识点】平面向量的数量积与垂直

3.【答案】C

【解析】由|/7+/)|=|/)|得日2+・/)+/)2=b2,即2(7•/)=—a2.

27

又(2五+»-(2&)2=4日不+京=庐-2衣，符号不能确定，故人，8均不对.又(五+2»-

(2b)2=d2+4d-b=-a2<0,故\2b\>|a+2b\.故选C.

【知识点】平面向量的数量积与垂直

4.【答案】C

【解析】由1五一忖＞|a-e|得（a-te）2N0-旬？，即产一2d+2d•3-1N0恒成立,

则zJ<0,BP4(2•3产—4(2d•3—1)W0,即(五•3-1产40,得3•G=1,故e-(a-e)=

ed-e2=1-1=0,即e1(a-e).St®C.

【知识点】平面向量的数量积与垂直

5.【答案】内

【解析】由题意得IASIPC+\BC\(PC+司)+1CA\(PC+CB)=O,

即PC-(|AB|+|FCI+|G4|)+|BC|-CA+\CA\CB=Q,

所以

而_|配卜—+i—卜而

—\AB\+\B^\+\CA\

_(CACB\|面I函

―(两i十诲J|AB|+|5?|+|C4|-

又El=liSil=1*

所以CP在乙4cB的平分线上.同理而在KBAC的平分线上，故P为△48C的内心.

【知识点】平面向量的数量积与垂直

6.

【解析】因为aW（O《）,

所以"（0,：）.又cosa

所以tan

【知识点】二倍角公式

7.【答案】

(1)因为0<a<]，

所以FT+aV，

444

因为cosG+a)=；

所以sinR+a)=雪,

所以

cosa=cos(g+a-

=cos(3+a)cos：+sin(B+a)sin：

_隹+4

一6

(2)因为一?<0<0,

所以汴

因为COS(^-f,

所以sing-§=3

所以

cos(a+

=cos[Q+a)-Q-f|]

=8S(；+。cos(D+sinQ+a)sinQ-f

=1x亚十型x在

3333

5V3

=V-

【知识点】两角和与差的余弦

8.【答案】

f(x)=2cosx(sinx-cosx)4-1

⑴=sin2x—cos2x

=V2sin(2x-

所以函数f(x)的最小正周期T=y=n.

(2)因为已”午，

所以0《2%一加？，

44

所以当0W2%-：工2,即时，f(x)单调递增；

当上2%-上斗，即乎gw3时，/(口单调递减.

24484

所以当无二祭时，f(无)取得最大值，且最大值为/(y)=>/2.

又f0=。J(?)=停in(T-;)=-岳吟=-1，

所以函数fM在区间曲耳]上的最小值为-1.

【知识点】Asin®x+w)形式函数的性质、辅助角公式

9.【答案】A

【解析】因为sin傅一a)=cos[^-Q-a)]=cos停十a)=J

所以cos(g+2a)=2cos2(g+a)—1=2xg)-1=.

【知识点】二倍角公式

10.【答案】C

【解析】因为甘，

所以:—a€(—^0)，

所以sinQ-a)=-Jl^|=-^.

因为0七（°，9，

所以三+即（盟），

所以cos（：+S）=Jl—胃号,

所以

cos(a+/?)=cos[Q+£)-(?-a)]

=cosQ+/?)cos(3-a)+sin(E+S)sin(；-a

=3+4㈠

13513\57

15-48

一65

33

=----.

65

【知识点】两角和与差的余弦

11.【答案】A

cos70°cos335°+sinllO°sin250

=cos70°cos25°+sin700sin250

【解析】=cos(700-25。)

=cos45°

42

——.

2

【知识点】两角和与差的余弦

12.【答案】B

【解析】因为sinx-siny二一，cosx-cosy=1,

所以(sinx-siny)2=g,(cosx-cosy)2=g,

两式左右两侧分别相加得2-2sinxsiny-2cosxcosy=1,

所以cos(x-y)=1.

因为x,y为锐角，sinx-siny<0,

所以x<y,

所以sin(x-y)=-Jl_cos2(x_y)=-甘,

所以tan(1一y)=瑞公=一千=一雪•

【知识点】两角和与差的余弦

13.【答案】C

【解析】因为向量a=(1,2),b=,

所以d+B=(1+m,1).

因为(G+W_L2,

所以(G+B)•6=(),即l+m+2=0,

所以m=-3.

【知识点】平面向量数量积的坐标运算

14.【答案】A

~BD-CP=(而一画•(Q-元)

=(AD-A6)•(AAB-AB-AD)

【解析】=M/1B.-45)

=乂22cosg-2?)

=—6A

=—3.

解得”]

故选A.

【知识点】平面向量的数量积与垂直

15.【答案】A

【解析】因为=4,=2,而•而=4,

所以\AB\-［AD\•COSZ-DAB=4,

所以cosZ-DAB=1,

所以Z.DAB=60°,

以A为原点，AB所在的直线为无轴，的垂线为y轴，建立平面直角坐标系(图略).

所以4(0,0),8(4,0),D(1,V3),

设P(x,V3)(l<x<5)

所以PA=(-x,-V3),Pfi=(4-x,-V3),

所以百丽=x(x-4)+3=x2-4x4-3=(x-2)2—1,

2

设/-(x)=(x-2)-l(l<x<5),

则/(x)在11,2)上单调递减,在［2,5］上单调递增,

结合二次函数的性质可知：函数的最小值为/(2)=-1,函数的最大值为/(5)=8,

则为•丽的取值范围是［-1,8］.

【知识点】平面向量数量积的坐标运算

16.【答案】设水平向右和竖直向上的单位向量分别为百和五，则|瓦|二|慈|=1,且可•瓦=0,

由题图可知历=3百+2芍，漏=6司-3宅，

所以。。-AB—(3瓦>+2冕)•(6否—3匹)=18可2+3区•ej—6eJ2=12.

【知识点】平面向量的数量积与垂直

17.【答案】过点。作6148,垂足为F,

因为AB=BC=2,CD=1,Z,ABC=-,

3

所以BF=1,CF=,AF=CD=1.

又因为AF//DC,所以四边形AFCD为矩形.

以力为坐标原点，AB所在直线为％轴，710所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所

示，

则4(0,0),C(1,V3),B(2Q),。(0,百)

而二(1,-⑹.

设F(x,y)(l<%<2),

所以CE=(%-l,y-V3).

因为CE//CB,

所以y-遮+V3(x-1)=0,

所以y=一4-2V3.

因为族=(x,y),DE=(r,y-⑹,

所以

AE-DE=x2+y2-V3y

=x2+(2V3—V3x)2—>/3(2\/3—V3x)

=4/一9%+6

=4(Ty+ax2),

当X=：时，荏说取得最小值.

oID

【知识点】平面向量数量积的坐标运算

18.【答案】

(1)因为f(x)=(a+2cos20-cos(x+6)是奇函数，

22

所以(Q+2coscos(x+8)=-(Q+2cos§cos(-x+0),

整理得cosxcosO=0,

所以cosO=0.又0fc(0,n)，得0=^,

所以fM=-sinx.(a+2cos2.

由f(；)=0，得一(0+1)=0，即a=一1・

⑵由(1)易知fW=-^sin2x,

/(]++1cos(a+9cos2a=0,即sin(a+J=gcos(a+Jcos2a.

因为cos2a=sin(2a+=sin2(a+粉=2sin(a+gcos(a+J,

所以sin(a+^)=|cos2(a+7),sin(a+：).

又

所以a+标(手冷)，

所以sin(a+?)=0或cos2(a+^)=1.

由sin(a+：)=0,得a=y,

所以cosa-sina=cos--sin—=—y/2.

44

2(.S3n,1n,Sir4日(,n\\flO

Scos2^+-)=-,-<a+-<