吉林省某中学2025-2026学年高二年级上册1月期末考试数学试题

吉林省东北师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期1月

期末考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.实轴长为6的双曲线工-《=1的渐近线方程为（）

nr4

2239

A.y=±-xB.y=±-xC.y=±-xD.y=±-x

9322

2.从2名男同学和4名女同学中随机选出3人参加数学竞赛，则恰好选出I名男同学和2

名女同学的概率为（）

3345

A.-B.-C.-D.—

5456

3.已知圆G：/+y2=4与圆G："-2）2+（），-2『=4相交，则经过两圆交点的直线方程为

（）

A.x+y=OB.x-y=OC.x-y-2=0D.x+y-2=0

4.5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，

则不同的报名方法种数是（）

A.81B.100C.125D.243

5.己知尸|,工分别是椭圆C:£+2=l（a>h>0）的左、右焦点，点〃在。上，且APF鸟周

长为8,则。的取值范围为（）

A.（1,4）B.（2,4）C.（1,4]D.（2.4]

6.有甲、乙、丙、丁、戊5辆车需要停放在5个并排车位中，并且甲车不与乙车相邻停放，

则停放方法共有（）种

A.36B.48C.72D.144

7.628被7除所得的余数为（）

A.1B.2C.3D.6

8.已知。为坐标原点，抛物线C：）,2=4”的焦点为忆M,N为C上异于原点的两点，若

OM_LMN,贝+的最小值为（）

A.8及+10B.8C.272+|D.4

二、多选题

9.已知（21-提、的展开式的各二项式系数之和为128,则（）

A.〃二7

B.展开式中无常数项

C.展开式中第4项和第5项的二项式系数最大

D.展开式的各项系数之和是-1

10.甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白

球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取

出1球.记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A,“从甲盒中取出的球是白球”为事件8,“从

乙盒中取出的球是红球”为事件C,则（）

A.A与B互斥B.人与C独立C.P（C|A）=gD.P（C）=^

11.已知双曲线C：工-工=|的左、右焦点分别为6、网,过人的直线交双曲线C的右

927

支于尸，Q两点，记△打夕心，△片（?马内切圆的圆心分别为。，。2,过点。分别作双曲线C

的两条渐近线的垂线，垂足分别为也，M则下列说法正确的是（）

A.|P周+|Q用的最小值为21B.柏,•禧=108

C.|MN|的最小值为苧D.圆01和圆的面积之和的最小值为187r

三、填空题

12.fx--"I的二项展开式中含/的项的系数为_____（用数字作答）.

12."

13.6个人排成一排，若甲必须站在排头或排尾，而乙不站在两端，那么不同站法总数为_

（用数字作答）.

14.已知尸为椭圆事+方=l（a>b>0）上的一点,人、马分别为左、右焦点，A为右顶点,

o为坐标原点，点人到OP的距离为4（4工0），点P到4轴的距离为外若4=苧4,且

试卷第2页，共4页

|列讣归用=|PO「，则此椭圆的离心率为.

四、解答题

15.已知圆。的方程为f+y2-2x+2y-〃?=0.

⑴求实数，〃的取值范围；

⑵若圆C与直线/：x+y+2=0交于W.N两点，且|MN|=2«,求〃?的值.

16.现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5

首歌曲和5个小品.

(I)若从第I张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，

第2次抽到歌曲的概率；

(2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2,则从第1张节目单中随机抽取1个节目：若点

数为3,4,5,6,则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率.

17.已知直线x+y—l=O与抛物线Cy2=2px(p>0)交于A,B两点,且|人用=8.

⑴求抛物线的方程；

⑵若M,N为C上不同的两点，且西・丽=-4,判断直线MN是否过定点，如果是，求

出定点坐标，如果不是，请说明理由.

18.在四棱锥尸一ABC。中，B4_L底面ABC。，AD/IBC,PA=AB=BC=1,AD=2，M

是尸。中点.

⑴求证：CM//平面见4；

(2)若

①求平面P8C与平面尸CD夹角的余弦值；

②在线段4。上是否存在点Q,使得点。到平面AM。的距离为《？若存在，求出黑的值;

/tit)

若不存在，请说明理由.

19.已知椭圆C:]+/=l(a>〃>0)过点P[I,]｝焦距为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点Q(〃?,0),若椭圆C上的点到Q的距离的最小值是I,求正实数〃?的值；

(3)。为坐标原点，A、B是C上异于P的两点(A、0、A三点不共线)，若直线必与的

斜率之和为3,求△OA8的面积的最大值.

试卷第4页，共4页

《吉林省东北师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题》参考

答案

题号12345678910

答案CADDBCDAABCACD

题号11

答案BCD

I.C

【分析】由题意，双曲线的'实轴长为6,可得＞=9,进而可求得其渐近线方程.

【详解】因为双曲线的实轴长为6,即2网=6,所以加=9,

所以双曲线方程为f-二=1,令工-二=0,得尸土。，

94942

即双曲线£一二二]的渐近线方程为y=士葭.

942

故选：C

2.A

【分析】根据古典概型的概率公式可得解•.

【详解】六名同学选3名同学，有C：=20种选法，

其中恰好选出一名男同学和两名女同学有C；・C；=2x6=12种选法，

所以恰好选出1名男同学和2名女同学的概率为尸=?12=]3.

故选：A

3.D

【分析】将两个圆的方程相减，即可得到答案.

【详解】由题意得圆C?方程可化为f+丁-44-4"4=0,

将圆G方程丁+V=4和圆G方程f+y2-4x-4y+4=0相减，

即可得经过两圆交点的直线方程为x+）」2=0.

故选：D.

4.D

【分析】分析可知每个同学都有3种选择，结合分步乘法计数原理可得结果.

【详解】5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运

动队，

答案第1页，共14页

则每个同学都有3种选择，由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为3、=243种.

故选：D.

5.B

【分析】先利用椭圆定义表示三角形周长，再结合椭圆的基本参数关系列等式，最后求出不

等式的解即可.

【详解】由题知,△巴谯的周长为，“格=|尸耳|+|明|+|.用,

因为点。在椭圆。上，所以旧用=2°,且|尸用+|P勾=2%

所以2a+2c=8,化简得a+c=4,即c=4-a,

又因为椭圆定义要求a〉c>(),

且从=a2-c2>0也等价于〃>c,

代入c=4一。，得。>4一〃>0,

先解4-〃>0,得。<4,

再解得加>4,即。>2,

综上，"的取值范围是(2,4).

故选：B.

6.C

【分析】利用间接法，先将5辆车任意排放，再排除甲车与乙车相邻停放，结合排列数运算

求解.

【详解】先将5辆车任意排放，停放方法共有A；=12。种，

若甲车与乙车相邻停放，则停放方法共有A；A：=48种，

所以甲车不与乙车相邻停放，则停放方法共有120-48=72种.

故选：C.

7.D

【分析】把62%用二项式定理展开，进而求解即可.

【详解】由

62”=(63—=《63"+(463%『+(^6397.(—1)2+...+募63・(—1)'，4・(—1)99

9H97

=C263"-C；963+C^63---+C^63-7+6,

展开式中除了最后的6均能被7整除，

答案第2页，共14页

则62'为被7除所得的余数为6.

故选：D

8.A

/2、/2、

【分析】设M3刖，N»,然后根据垂直利用向量的数量积为0列出等式，得到

(4J14J

n=-^-m,然后列出归+的表达式并化简，根据基木不等式的性质即可求得最小

值.

【详解】根据抛物线的对称性，设MJi,N

4I4

则OM=[MN=("J，〃一加.

因为OM±MN»所以0折MN=————+m(n-rn)=—m2n2-—m4+mn-m2=0.

44v71616

化简得：〃?(〃-〃?)[〃?(〃+"?)+16]=0,

当〃?=〃时，M,N重合，不符合题意，所以〃z(〃+〃z)+16=0或〃?=0,

当"?(〃+〃7)+16=0时，即"7(〃+"7)=-16,得至1]〃=一"一

又抛物线C：)，2=4x的焦点为F,所以打1,0),

所以

忻训+|m|=q+1+!+1=日产c/+128+20Mnr64

+2=+2=---------：---—---+—r+10

2m22nr

根据基本不等式的性质可得叵+W+10N2、忙记■+=«+，

2m2V2nr

当且仅当生1=斗，即汨=8人时等号成立，1H：时|EM+|W|取最小值为8人+10.

2itr

当〃=70时，”点与。点重合，此时不满足题意，

综上，|FM|+|m|取最小直为8&+10.

故选：A.

9.ABC

答案第3页，共14页

【分析】利用二项式系数和公式可先得〃判定A,利用道项公式可判定B,利用二项式系数

的性质可判定C,利用赋直法可判定D.

【详解】由题意可知2”=128,则〃=7,故A正确；

设［展开式的通项为7；M=G・(2x)7f•(——)'=4・2»•(—l)'・『-3，(rwZ,0K/Y7),

显然7-3r=0无整数解，故B正确.

因为〃=7,所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最大，

即第4、5项二项式系数最大，分别为C；,C；,故C正确；

令人=1,则(2x1—(1=1,故D错误；

故选：ABC.

10.ACD

【分析】4与8是互斥事件，A正确，P(4)-P(C)wP(AC),B错误，利用公式计算CD正

确，得到答案.

【详解】对选项A：A与B是互斥事件，正确：

4?91|,4^974

对选项B：。(4)=K=Q，/>(^C)=TX-=-»P(C)=ZX7+ZXZ=Q»

o3323oooo9

尸(A)P(C)工尸(AC),错误；

1

C-1

\3

n=--=-正确

/z\22

\^/^

3-

437?4

对选项D：P(C)=-x^-x-=-,正确.

66+669

故选：ACD

11.BCD

【分析】对于A,根据双曲线的定义可得p4|+|Q用=|尸。+12,进而结合|P0为通径时最

小即可求解判断：对于B,设的内切圆分别切边p耳PV，E区于点E/G,由圆的几

何性质及切线长定理可得G(3,0),即可得到。।的横坐标为3,设«(3,〃?)，进而求解判断即

可;对于C,易得双曲线C的渐近线方程为y=±6x,进而得到ZMP/V=|,|PM|.|P/V|=^,

答案第4页，共14页

再结合余弦定理及基本不等式求解判断即可；对于D,利用三角形相似可得|«G||02Gl=9,

进而结合基本不等式求解判断即可.

【详解】对于A,由双曲线Cy-^y=l,则〃=3”33c=6,即6(F0),玛(6,0),

根据双曲线的定义，可知|超|+|Q£|=|P6|+勿+|。周+勿=|PQ|+12,

当轴时，为通径最小，

此时尸(6,9),Q(6,—9),即|P@=18,

所以(附|+|Q6*n=|尸虱「12=18+12=30,故A错误;

对于B,设△耳尸&的内切圆分别切边P0PB，耳青于点E/G,

由圆的几何性质可得*_Lx轴，

由切线长定理可得|阳=|户4，忻目=忻口,怩/|=|6G|,

而|尸国一|/用+山闾=为+2=18,

则闺同+|咫一(附|+国|)+|科+内口=18,

即归目+忻G|=2|4G|=18,则旧G|=9,即G(3,o),

则。।的横坐标为3,设4(3,〃?)，

则粒=(9,6),强=(12,0),所以祠=108,故B正确；

对于C,双曲线C的渐近线方程为)，=±2工=±屈，且两渐近线的倾斜角分别为

a33

由题意，PMA.OM.PNA.ON,则O,P,M,N四点共圆，

而NMON=三,则NMPN=2,

33

设P(%,y°),则1增=1,即3*_3=27,

则归闸=回爰山|川|二径妥1,

所以|PM|.|PN|=与N・咚⑷二四抖二号，

答案第5页，共14页

则|MN|二PM『+1PN『-21PM11PN|cos方=yj\PM^+\PN^-\PM\\PN\

WM|PN|=孚,当且仅当|PM|=|PN|=乎时取等号，

所以|MN|的最小值为¥，故C正确；

对于D,在△GO2鸟中，NO6Q=9（）。。02上工轴，易得△。。鸟~△6GQ,

则圈二得，即优G『=|qG||aq=32=9,

设圆Oi和圆。2的半径为小r2，则石5=9,

所以圆。］和圆。2的面积之和为叫*+叫2=兀d+片）22孙弓=18兀,

当且仅当（=弓=3时等号成立，

则圆。和圆。2的面积之和的最小值为18兀,故D正确.

故选：BCD

【详解】1-士］的展开式的通项公式为却=。产（-=卜£|'G-2，，「=0,1,...,8,

令8-2r=4,解得r=2,所以f项的系数为（-；Jc；=7.

故答案为：7

答案第6页，共14页

13.192

【分析】特殊元素法，先排甲，再排乙，最后排其余4人，根据排列数结合分步乘法计数原

理运算求解.

【详解】甲必须站在排头或排尾有4=2种，

乙不站在两端，乙在中间4个位置选一个，有A；=4种站法，

其余4人没有限制，有A：=24种站法，

所以不同站法总数为2x4x24=192.

故答案为：192.

14.巨

3

【分析】设PGMK（-C,。），用（GO）,由已知得出|O/f=/+）,2=京2,再由椭圆定义

得出也「+2俨用户用=41,由卢用.归国=归0/，得出归附疗用|=:〃，结合两

点之间距离公式，代入化简整理即可求得离心率.

【详解】设P（-ay）,耳（-。,0）,4（c,0）,

过点P作PN_Lx轴于点N,过A作4M_LOP于点M,如图所示，

则△PNOrAMO,所以图二黑，即，=四，

\AM\\AO\&a

又因为人=手4,所以『0|=半"，Bp|OP|2=x2+v2=1a2,

由椭圆定义得，|「耳|+|尸引=勿，则归耳『+|"『+2|PK||P闯=城,

乂因为|小|叫=1。。『=2则|哺+|P周2+,=4",

所以（x+c）2+y2+（x—c）2+y2+16"=4/,将/+V4Q/代入，化简得9c2=2〃，

所以e=£VT2

a

故答案为:VT2

答案第7页，共14页

15.（l）/n>-2

⑵in=6

【分析】（1）将圆的一般方程转化为标准方程即可求解：（2）根据圆心到直线的距离与半径

和弦长之间的关系即可求解.

【详解】（1）依题意，圆C的方程可化为（x-1『+（），+1）2=2+〃?，所以2+〃00,解得〃?>-2,

所以实数机的取值范围是〃0-2；

（2）由（1）如，圆心C（11）,半径为,="二;，所以圆心C到直线/的距离为

所以|MN|=2-42=2《2+-2=2际=2瓜，解得〃?=6.

16.⑴]

⑵*

15

【分析】（1）根据条件概率公式计算即可；

（2）假设相应的事件并求出其概率，然后根据全概率公式即可求解.

【详解】（1）设事件M=”第i次抽到歌曲"（i=L2）,则P（M）=^=|,

P（M%）W=§，

1

3-5

所以尸（加/根）=今符---

39

5-

故在第I次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率为9；

⑵设事件加="取到歌曲”,事件A="掷出的点数为1或2”，则事件8="掷出的点数为3,

4,5,6”，显然A与8为对立事件；

所以尸⑷=]=：,尸⑻=涛，P（M|A）=HP（M|B）=A=1;

OJO3IU〉1UZ

答案第8页，共14页

由全概率公式得P（>W）=P（A）P（仞|A）+P（8）P（例|8）=与2+±x±=2.

353215

Q

所以取到歌曲的概率为方

17.（l）y2=4x

⑵直线MN过定点，定点坐标为（2,0）.

【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理，结合己知条件求出〃值，进而求

得抛物线方程.

（2）分情况讨论，当直线MN的斜率不存在和存在时，联立直线MN与抛物线方程，结合

韦达定理求出的关系式，进而求得结果.

【详解】⑴将直线x+）-l=。变形得），=r+l,与抛物线C:y2=2px联立化简得

?-2（p+l）x+l=0,因为直线x+y—1=0与抛物线C：）?=2庶（〃>0）交于4,两点，

设，则根据韦达定理有X+W=2（〃+1）,%9=1.

因为区母=8,所以

14用=hff+Srf='（百一可）2+（1一.-1+））2=凤E+xJ一工氏=•

将,+%=2（〃+1）,.=1代入化简得|从却=百帖芭+方步-中2=/J/+P=.

继续化简得p2+2〃-8=0,解得〃=T（舍去）或〃=2,

所以抛物线方程为丁=4九

（2）直线MN过定点，理由如下：

当直线MN的斜率不存在时，则设直线MN的方程为x=题，

那么用（小,2裔）,%（.%,-2后），因为OM：O月二-4，

所以4-4/=-4,解得％=2,此时直线的方程为x=2：

当直线MN的斜率存在时：则设直线MN的方程为y=心+力，

联立该直线与抛物线方程得（"+32=4x，化简得公W+（2妨-4卜+从=0

设M（孙姐+与制%如+〃），则根据韦达定理得w三衿中4=，

KK

因为。力.0何=-4,所以

答案第9页，共14页

OMON=X3X4+(仇+〃)(&4+〃)=(左2+1)七X4+幼(X3+4)+Z?2=-4.

代入韦达定理得（X+W+二（4-2幼）+/=_4,化简得4代+4妙+〃2=0,可得兼+力=0,

k2k2

即〃=-2A.

此时直线MN的方程为），="-2攵=刈-2），过定点（2,0）.

综上，直线MN过定点，定点坐标为（2,0）.

【分析】（1）取抬中点N,连接AN,MN根据线线平行证明线面平行；

（2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余

弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值；②设质=%而（0W/IW1）,利用向量法表

示点到平面的距离，列方程，解方程即可.

【详解】（1）

取期中点N,

•.•M为PO中点，

:.MN//ADt且MN='/1Q=1,

2

又8c=1,BC//AD,

答案第10页，共14页

:.BCUMN,且BC=MN,

二四边形BCMN为平行四边形，即CM//8N,・.・8Nu平面E44,CNa平面必儿

.♦.CM〃平面乃仍：

(2)

①・「P4J•平面人AC。，且AB_L4),

则以点A为坐标原点，入8,AD,AP方向为工轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

得A((),0,0),B(1,0,0),C(l,l,0),£>((),2,0),P(0,0,l),加(。」,?

/.BC=(0,1,0),™=(l,0,-l),PD=(0,2,-l),CD=(-l,l,0),

设平面PBC的法向量为不=(%，x，zj,

BC•/?)=J|=0

则,令X]=1,则a=(l，0，l)，

PB-=xi-zi=0

设平面PCD的法向量为％=(x,y,z),

PDr^=2y-z=0

则令X=l,则〃2=(1,1,2),

CD•〃；=一x+y=0

----%•丐3\/3

/.COS77,,&[I]I=J=-----1==-----

同.同肝仔TFx庐了万2，

二平面PAC与平面PO所成角的余弦值为立：

2

②存在点。满足题意，fiD=(-l,2,0),茄=(0,2,0),

假设存在点。满足题意，设丽=2而=(一人240),0W/IW1,

.必_4240),而=0—42/1,0),加=(0,用

设平面M4。的法向量为点=(。也c),

答案第11页，共14页

______1

AMn.=b+—c=0一

则J2,令。=24,则％=(24/1-1,2-2%),

通.元二(—"+2劝=0

|而•司|2(Z-1)|6

所以点力到平面用人。的距离4=、同^'=，/(2疗：+5(4"—、=不7

化简可得8万+2义_1=0,解得4或4=—g(舍去)，即裁=；

9⑴/]

(2)/〃=1或m=3

⑶△

【分析】(1)求出椭圆焦点的坐标，利用椭圆的定义求出。的值，可得出〃的值，即可得出

椭圆C的标准方程；

3

(2)在椭圆C上任取一点石(x,y),可得出丁=3—》2,_2<x<2,可得出

22

|QE『=?-2mr+〃?2+3,令g(x)=?-2/加+〃?2+3,其中机>0,-2<x<2,则函数g(x)

在［-2,2］上的最小值为1,对实数〃，的取值进行分类讨论，结合二次函数的最值可得出关于

实数，〃的等式，即可解出，"的值;

(3)设点A(/y)、BQ,©，对直线A8的斜率是否存在进行分类讨论，当直线A8的斜

率存在时，设直线A8的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由即八+即8=3可求巴，的

值或者/与〃的关系，可得出直线A8所过定点的坐标，然后利用三角形的面积公式以及基

本不等式可求出VA08面积的最大值，当直线AB的斜率不存在时，根据kPA+=3求出t的

值，结合A、0、B三点不共线推出此时不成立，综合可得出答案.

【详解】(1)由题意可知，2c=2,则c=l,所以椭圆C的左、右焦点分别为£(-1,0)、6(1,0),

由椭圆定义可得2a=|叫+归用=J(l+l)2+《-。、+J(1T)；|-。、=4,故。=2,

所以/?二Ja2—c2="-1=-75»

所以椭圆c的标准方程为《+£=1.

43

丫22O

(2)在椭圆C上任取一点E(x,y),其中5+3=1,-2<x<2,所以丁=3一片2,

答案第12页，共14页

c2

\QE^=（x-in）~+y2=x2-2nix+m2+3-—x2=-hnx+m2+3»

2

令g（x）=?_2〃tr+〃?2+3,其中〃?>0,-2<x<2,

由题意可知函数g(x)在［-2,2］上的最小值为1,

2

二次函数g(x)=5■-2〃田+〃/+3的图象开口向上，对称轴为直线工=痴,

当0＜46＜2时，即当0＜初＜g时，函数g(x)在［-2,4/n］上单调递减，在［4/H,2］上单调递增,

所以g（力训=g（4〃7）=（4：）——2Z/7x4fn+m~+3=3-3m2=1»解得=（舍去）:

当4〃止2时，即当机2；时，函数g(x)在［-2,2］上单调递减,

2

此时g（A）nin=g（2）=\-4in+fn+3=1-4〃?+4=1,解得加=1或6=3,符合题意.

综上所述，〃?=1或小=