高考数学备考考点 集合 知识点冲关 （附解析）

专题---集合

1.集合的含义与表示

（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系.

（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.

2.集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的了•集.

（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.

3.集合的基本运算

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

（3）能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算.

一、集合的基本概念

属于，记为ael

1.元素与集合的关系：

不属于，记为。任，

2.集合中元素的特征:

一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的

确定性

元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合

集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.这

互异性

个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素

集合与其中元素的排列顺序无关，如〃，b，C组成的集合与力，C,4组成的集合是相同

无序性

的集合.这个特性通常被用来判断两个集合的关系

3.集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作裳.

4.常用数集及其记法：

富房敷老

非负整数集

集合正整数集整数集有理数集实数集复数集

（自然数集）

符号NN*或N1ZQRC

注意：实数集R不能表示为{xk为所有实数}或{R},因为“{}”包含“所有”“全体”的含义

5.集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法.

二、集合间的基本关系

自然语言符号语言图示

集合力中任意一个元（或

子集

素都是集合8的元素强口

集合力是集合4的子集，A^B(或

真子集且集合B中至少有一

基本运）

个元素不在集合力中

关系

集合48中元素相同C3

相等1

或集合48互为子集

空集是任何集合的子集，是任01，

空集

何非空集合的真子集058(8/0)

必记结论（1）若集合A中含有n个元素，则有@却个子集,有零一1个非空子集,有零一1个真子集,有鬻一2

个非空真子集.（2）子集关系的传递性，即力

注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况,

否则会造成漏解.

三、集合的基本运算

1.集合的基本运算

富房敷老

运算自然语言符号语言Venn图

由属于集合力且属于

交集集合8的所有元素组A[}B-{x\xQA^xeB}

成的集合(32)

由所有属于集合力或

并集属于集合5的元素组A\JB={x\xeA^xeB}

成的集合G3©

由全集U中不属于集亘

补集合力的所有元素组成必/二且A}

的集合

2.集合运算的相关结论

交集A()BQAA(]A=AAQ0=0

并集

A[JA^A4U0二4

补集

赖/)=/gU=0乐0=UQMn/二。QMU/二u

3.必记结论

/仪804口8=40/1^=8。陋3a<=>/八(?")二0

考向一集合的基本概念

解决集合概念问题的一般思路：

(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，江是其他集合,

然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义.常见的集合的意义如卜.表：

集合3/(x)=0}{x|/(x)＞。}{x\y=f(x)}{y\y=f{^}{(xj)|y=/(x)}

富房敷老

不等式

集合的方程=0函数函数V=/（x）函数y=/（x）图象

/（句＞0的

意义的解集的定义域的值域上的点集

解集

（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的

互异性.

典例引领

S________r

典例1已知集合4={1,一1},3=则集合C={a-b|ae4方eB}中元素的个数为

A.2B.3

C.4D.5

【答案】D

【解析】当以=11时，6=1,0,—L则。-6=0,1,2；当值=-1时，含=匕返一1，则a—力二一2,—1,0,故集

合。={4一目4£46£8}={-2,-1,0,1,2}，即元素的个数为5,故选D.

【名师点睛】在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入

点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性，以确保答案正确.

变式拓展

1.已知力二{。一1,2/+5。+1,。2+[},Tww，求实数a的道.

考向二集合间的基本关系

集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问

题.主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：（1）求子集的个数：（2）由集合间的关系求

参数的取值范围.

典例引领

S________r

典例2已知集合力={xeZ|三240},8={＞旧=X2/£4},则集合称的子集的个数为

x+2

A.7B.8

富房敷老

c.15D.16

【答案】B

【解析】集合4={x£Z|±240}={TaL2}，8={y|y二f/€/}={0』,4},故集合B的子集的

个数为矛=g.故选B.

【名师点睛】求集合的子集（真子集）个数问题，当集合的元素个数较少时，也可以利用枚举法解决，枚举法

不失为求集合的子集（真子集）个数的好方法，使用时应做到不重不漏.

变式拓展

2.已知集合力={—1,2},B={x\ax=\},若8旦力，则由实数。的所有可能的取值组成的集合为

CD..一1,0二•

I2]2\

考向三集合的基本运算

有关集合间运算的试题，在高考中多以客观题的形式出现，且常与函数、方程、不等式等知识相结合，难

度一般不大，常见的类型有：

（1）有限集（数集）间集合的运算

求解时，可以用定义法和Venn图法，在应用Venn图时，注意全集内的元素要不重不漏.

（2）无限集间集合的运算

常结合不等式等内容考查，一般先化简集合，再将集合在数轴上表示出来，最后进行集合运算求范围.

（3）用德-摩根公式法求解集合间的运算

对干有（枷）u（和（加济）n（的情况，可以直接应用德•摩根公式旗」u均二和

顿/n8）=3MU（%8）进行运算.

典例引领

S_________r

典例3已知集合P={X\3X2-2X>0},Q={x|-4<3x+2<3},则（4/））口0=

A.（—1.O）B.（0,1]

富房敷老

C.呜D.呜

【答案】C

【解析】因为。={%|3%2-2%之0}={工|%之：或工40},所以“尸=«%|0<x<-L

又因为Q={工|-4<3%+2W3}=[x\-2<x<1]»

所以他/）m0=卜|0<工4}=（硝，

故迎C.

【名师点睛】对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其

中参数的取值范围时，要注意单独考查等号能否取到.

变式拓展

3.集合p二.（”）»=（；）,,0={aMM=iog2，，

则集合PCI。的元素个数是

A.0个B.1个

C.2个D.3个

4.已知集合4={x|x<l},B={x\3x<1}^则

A.4UB={x|x>l}B.以U寿三联

C./in^={x|x<0}D.408=0

考向四与集合有关的创新题目

与集合有关的创新题目是近几年高考的•个新趋势，试题出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上

定义一种新的运算，并运用它解决相关的一些问题.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧

扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程

之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在（2）用好集合的性质.集合的性质（概念、元素的性质、

运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性

质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.

典例引领

富房敷老

典例4设S是整数集z的非空子集，如果有abcS,则称S关于数的乘法是封闭的.若寞F

是Z的两个不相交的非空子集，7U济二第，口Na,b,cwT,有Q加七7‘；\/x,y,zeVt有小£尸，则

下列结论恒成立的是

A.7；P中至少有一个关于乘法是封闭的B.中至多有一个关于乘法是封闭的

C.7；V中有且只有一个关丁乘法是封闭的D.7；V中每一个关丁乘法都是封闭的

【答案】A

【解析】取7=｛x|x<0,且xeZ｝，P=｛x|x>0,且xeZ｝U｛0｝，可得丁关于乘法不封闭，-关于乘法

封闭，

又取T=｛奇数｝，P=｛偶数｝，可得关于乘法均封闭，故排除B,c,D,选A.

变式拓展

0,[0,x住B,

5.设48是R的两个子集，对任意第E睽，定义：m=\,〃=<c

Lxw4[1,xen.

①若力则对任意或总JLm(\—ri)=；

②若对任意惠虻膝，加+〃=1，则48的关系为.

、《点冲关■充

1.已知集合力={x|x>—l},则下列选项正确的是

A.外口NB.{0}c^

C.0GAD.{O}GJ

2.已知集合力={y|y=x+2},B={x|y=f},则故=

A.{T卦B.R4}

C.[0,+oo)D.R

富房敷老

3.已知集合M={X|X2-4<0},N={x|0<x<1},则，,N=

A.[-2,0]B.[-2,0]U[1,2]

C.[1.2]D.0

4.已知集合力={(x,y)|x+y<2,xjeN},则力中元素的个数为

A.1B.5

C.6D.无数个

5.已知集合/二{0,1,2},8={d2},若BqA,则。=

A.0B.0或1

C.2D.0或1或2

6.己知全集（7=&集合〃={j，|y=L,0vxvl},/V={X||A|2-2|X|<0},则下图中阴影部分所表示的

X

集合为

A.[-2,1)B.[-21]

C.[-2,0)U(1,2]D.[-2,0]U[1,2]

7.已知集合力={x|x=2A+l』cZ},8={x|-l<x44},则集合力口8的真子集的个数是

A.3B.4

C.7D.8

8.设集合A={y[y=-e，+4},B={x\y=lg[(x+2)(3-x)]},则下列关系正确的是

A.AQBB.AC8=0

C.费力URBD.\BQA

9.设集合/={—LL&3,4«={2,3,4}，C={xcR|L,x<3},则(4n0)U8二

A.{2}B.{2,3}

C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4)

10.设〃和Q是两个集合，定义集合P-。二{x|xeP,且X60},如果P={x[l<2'v4卜

富考敷老

0={y|y=2+sinx,xeR},那么尸_Q=

A.{x|O<x<l}B.{x|0<x<2}

C.{x|l<x<2}D.{x|O<x<l}

11.设集合4={2,4},B={a2,2}（其中aVO）,若4=8,则实数a=_____.

12.已知集合/={X|L^N0},B={xy=1g（2x-l）},则/f|分=.

13.已知集合{4,ac}={0,1,2},且下列三个关系：①像声弱：②）=2；③GW0有且只有一个正确，则

100Q+10力+C等于.

14.已知集合力={x\a<x<2a-l},8={%卜1VxV2}若/D8=%,则a的取值范围是

15.己知非空集合历满足：若xuM,则」一£“.则当4c〃时，集合例的所有元素之积为.

1-x

昌通高考以

1.（2019年高考全国I卷文数）已知集合1/={1,2,3,4,5,6,7卜J={2,3,4,5},8二{2,3,6,7卜则

8皿4二

A.{1,6}B.a}

C.{6,7}D.似7}

2.（2019年高考全国II卷文数）已知集合/={x|x>-l},B={x\x<2},则4n展

A.(-1,+oo)B.(-oo,2)

C.(-1,2)D.0

3.（2019年高考全国HI卷文数）已知集合力二{—1,0,1,2},8=则4n8二

A.{-1,0,1}B,{0,1}

c-HOD.他1,2}

4.（2019年高考北京文数）已知集合9={巾1今<2},8={x\x>\},则4U8=

A.(-1,1)B.(1,2)

富房敷老

C.(-1,+00)D.(1?+oo)

5.(2019年高考浙江)已知全集高={-1,0,1,2,3卜集合<={0,1,2},£?={-!,0,1},则@4)08=

A-{~i]B.{051}

C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3)

6.(2019年高考入津文数)设集合4_{-U,2,3,5},“—{2,3,4},C—{xwR|14xv3}/M/nC)U〃—

A.{2}B.{2,3}

C.{-1,2,3}D.也2言4}

7.(2018浙江)已知全集。={1,2,3,4,5},4={1,3},贝！g/=

A.0B.{1,3}

C.(2,4,5)D.{1,2,3,4,5}

8.（2018新课标全国I文科〉已知集合<={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则/口或=

A.{0,2}B.排21-

C.网D.|=2j=.U。2L2}

9.（2018新课标全国in文科）已知集合4二{x|x-G0},8={0,1,2},则408=

A.{0}B.W

C.{1,2}D.{0A2>

10.(2018天津文科)设集合4={1,2,3,4},5={-1,0,2,3},C={xGR|-l<x<2),M(JU^)nC=

A.eB.{0,1}

C.{-1,0,1)D.{2,3,4}

11.（2017新课标全国I文科）已知集合力={x|xv2},8={x|3—2x>0},则

A.jr|5=jx|x<|-»

B.力口8二酸

C.JU^=jx|x<|

D./U8=R

富房敷老

12.(2017新课标全国H文科)设集合力二{1,2,3},8={2,3,4},则4U8二

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}

C.{2,3,4}D.{1,3,4)

13.(2017北京文科)已知全集骏，集合力={x|x<-2或X>2}，则a4二

A.(-2,2)B.(-00,-2)U(2,400)

C.曰⑵D.1吗=2]U[Z权)

14.(2019年高考江苏)己知集合/二{一1,0,1,6},B={X|H》DMER},则.

变式拓展

1.【答案】一土.

2

【解析】因为一2e/，所以有。=1二=Z或2"+5。+1=一2，显然

当御时，四工二1，此时。一1二2〃+5。+1二一2，八符合集合兀素的互异性，故舍去•；

当为2+5。+1;一2时，解得9=一二或由I：可知41-1不符合集合元素的互异性，故舍去，

2

3

,、丝:一--1.

2

【名师点睛】本题考查了元素与集合之间的关系，考查了集合元素的互异性，考查了解方程、分类讨论

思想.解答本题时，由一2wJ，有球1二&或却+54+1=-2,显然d+1或-2,解方程求出实数。

的值，但要注意集合元素的互异性.

2.【答案】D

【解析】因为集合力二{-1,2},B={x\ax=\},BqA,

若方为空集，则方程破-1无解，解得磔一群：

若B不为空集，则矮或⑪,由嫡=1解得意=工，所以工=-1或工=宏.解得@=-1或嫁二工，

富房敷老

综上，由实数a的所有可能的取值组成的集合为

故选D.

【名师点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，熟记集合间的关系即可，属于基础题型.解答

本题时，分8为空集和方不为空集两种情况讨论，分别求出。的范围，即可得出结果.

3.【答案】B

【解析】由题意，在同一坐标系中，画出函数7二(1『和y=log2X的图象，

2

如图所示，由图象看出，y=(1)”和y=log2X只有一个交点，

2

所以田门。的元素个数为1,

故选B.

【名师点睛】本题主要考查了集合的交集，以及指数函数与对数函数的图象的应用，其中解答中在同一

坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合法的应用，属于基础题.解答本题时,

在同•坐标系中，画出函数y二(L『和y=log2X的图象，结合图象，即可求解，得到答案.

2

4.【答案】C

【解析】集合8={x|3'<l}，即8=卜,<0卜而力二{x|x<l},

所以/U3三卜力nB={x|x<o},

故选C项.

【名师点睛】本题考杳集合的交集、并集运算，属于简单题懈答本题时，先化简集合〃，然后计算力U8

和力r)B,得到答案.

5.【答案】0A=\B

【解析】AQB,力时，m=0,m(l-n)=O.

时，必有7?~1,7〃(1一/?广0.

富房敷老

综上可得："7(1-〃)=0.

②对任意xWR,〃?+〃=1,则相，〃的值一个为()，另一个为1,

即工£力时，必有好8,或时，必有烬力，

8的关系为力=48.

【名师点睛】本题主要考查新定义知识的应用，集合之间的基本关系等知识，意在考杳学生的转化能力

和计算求解能力.解答本题时，由题意分类讨论和两种情况即可求得加(1-〃)的值，结合题中的

定义和“，〃的关系即可确定/,8之间的关系.

专题冲关

1.【答案】B

【解析】元素与集合的关系，用£;集合与集合的关系，用G,可知B正确.

2.【答案】D

【解析】由题可得因为4={y|y£R}，笈二{x|XdR)，所以{PI8二R・故选D.

【名师点睛】本题主要考查集合的代表元素以及交集的运算，注意求交集时取两个集合的公共元素.

3.【答案】B

【解析】由已知M={x|-2W%W2},N={x|0V%Vl},则为N=[-2,0]U[1,2],故选B.

4.【答案】C

【解析】由题得力={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(U),(2,0)},

所以片中元素的个数为6.

故选C.

【名师点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能

力.解答本题时，直接列举求出4和4中元素的个数得解.

5.【答案】B

【解析】由8口力，可知8={0,2}或8={1,2},所以•=()或1.故选B.

【名师点睛】本小题主要考查子集的概念，考查集合元素的互异性，属于基础题.解答本题时，根据集合

B是集合力的子集，得出。的所有可能取值，由此得出正确选项.

6.【答案】B

富房敷老

【解析】由题意得”={y[y=],0V%V1}=(1,+8),N={x||x|2-2|x|<0)={x|O<\x\<2)=[—

2,2]..・.\M=(—8,1].图中阴影部分所表示的集合为(4A/)r)N,=故选B.

7.【答案】A

【解析】由题意知，力为奇数集，又由集合8:{x|-l<x«4},

则/08={1,3}.共2个元素,其子集有22=4个，所以真子集有3个.

故选A.

【名师点睛】本题考查集合的子集与真子集，关键是正确理解集合人求出集合力解答本题时，根

据题意由力的意义，再结合交集的定义可得集合力C8,分析可得答案.

8.【答案】C

【解析】由题意A={y|yV4},B={x\(x+2)(3-x)>0]={x\-2<x<3},.\B£A,只有C正确.

9.【答案】D

【解析】因为力nc={l,2},所以(/nC)U8={l,2,3,4}.

故选D.

【名师点睛】集合的运算问题：一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结

合，即借助数轴、坐标系、韦忍图等进行运算.解答本题时，先求力n8,再求(/nc)U8.

10.【答案】D

【解析】P={x[0<x<2},Q={y\\<y<3},AP-0={x|O<x<l).

故选D.

【名师点睛】本题考查描述法的定义，指数函数的单调性，正弦函数的值域，属于基础题.解答本题

时，根据P—0的定义，可先求出〃，Q.然后即可求出P—0.

11.【答案】一2

【解析】因为4=凡所以{5；/,,Q二—2.故答案为一2.

12.【答案]\x-<X<\>

2

【解析】•・・L^N0,.，.0<XV1,.，.4={X|0<XV"，函数7=lg(2x—l)有意义时死》工，所以

x—J2

富考敷老

6={xx>；},因此4nB={x；vx«l}.

【名师点睛】本题考查了不等式的解法、函数的定义域、集合的交集运算，解题的关键是正确理解集

合元素的属性特征和正确解出不等式的解集.解答本题时，解不等式匕土之0,化简集合力的表示，求

x

函数y=lg（2x—1）的定义域，化简集合》的表示，然后求出力D8.

13.【答案】201

【解析】可分下列三种情形（I）若只有①正确，则在2,原2,c=0,所以a=b=l,与集合中元素的互异

性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；

（2）若只有②正确，则6=2,斫2,c=0,这与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的;

（3）若只有③正确，则行0,。=2,屏2,所以c=l,b=0,所以1004+10b+c=100x2+10x0+i=201.

14.【答案】（—oo,3

【解析】因为408=4,所以力仁8,

由已知集合J={x|a<x<2a-1},=<x<2},

所以当4=0时，满足题意，此时。>2。+1，即拄碌一1；

2—13

当力工。时，要使4u8成立，则〈，解得一14。《一，

[2a-1<22

综上，。的取值范围是1—8,|.

【名师点睛】本题考查集合的包含关系，解题的关键是不要忘了空集这一特殊情况，属于一般题.解答

本题时，因为408二%，所以4匚8,建立不等关系即可求出。的取值范围.

15.【答案】一1

【解析】若则」一£":

1-X

11

若4E"，则4----二一一总噩；

I3

富房敷老

,,3»,——=4GM

若一sM，则NL［3

41--

4

13

4---•,集合M的所有元素之积为4x(-：)x(=T.

1!<M=<394

故答案为-L

【名师点晴】本题主要考查集合的表示方法,集合元素的互异性等知识,意在考查学生的转化能力和

计算求解能力.解答本题时，首先确定集合M中的所有元素，然后求解其乘积即可.

直通高考

1.【答案】C

【解析】由