华师大版九年级数学下册《与圆有关的位置关系》教案

华师大版九年级下册数学27.2与圆有关的位置关系教案

27.2.1点与圆的位置关系

教学目标

b知识与技能

1.了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的

位置关系.

2.了解不在同一直线上的三点确定一个圆，能画出三角形的外接

圆.

3.了解三角形外接圆、圆的外接三角形、三角形外心的概念.

才过程与方法

通过自主探索与交流合作，经历探索确定圆的结论及作图方法，给

出不在同一直线上三点确定一个圆，能运用点与圆的位置关系的结论

解决一些实际问题.

中情感、态度与价值观

L培养观察力，严密、全面分析问题的思维习惯.

2.学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

重点难点

讲重点

用数量关系判断点和圆的位置关系，用尺规作三角形的外接圆，求

直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径.

少难点

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运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径.

教学过程

一、自学导纲

1.圆是如何定义的？(要求学生用两种定义回答)

2.你能举例圆是如何形成的吗？

3.圆形成后，圆上的点到圆心的距离如何？

4.如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想.

二、合作互动

探究一点与圆的位置关系

(1)我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径.若点在圆上,

那么这个点到圆心的距离等于半径；若点在圆外，那么这个点到圆心

的距离大于半径；若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半经.

如图所示，设。。的半径为r,A点在圆内，B点在圆上，C点在圆

外，那么OA<r,OB=r,OC>r.反过来也成立.

设。。的半径为r,点P到圆心的距离为d,则有：

点P在圆外=d>r,

点P在圆上=d=r,

点P在圆内

(2)反馈训练1：

①。0的半径r=5cm,圆心0到直线AB的距离d=0D=3cm.在直

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线AB上有P、Q、R三点，且有PD=4cm,QD>4cm,RD<4cm.P>Q、R

三点对于(DO的位置各是怎么样的？

②RtZ^ABC中，ZC=90°,CD±AB,AB=13,AC=5,以C点为圆

心，为半径的圆与点A、B、D的位置关系是怎样的？

探究二小在同一直线上的三点确定一个圆

(1)过一点A可以画多少个圆？

教师引导学生画图，并得出圆心可以是平面上任一点，半径就是这

点和点A之间的线段.

(2)平面上有两点A、B,经过A、B点的圆有几个？圆心在哪里？

教师引导学生画图，得出过二点可以作无数个圆，这些圆的圆心在

段线AB的垂直平分线匕

(3)平面上有三点A、B、C,经过A、B、C三点的圆有几个？圆心

在哪里？

教师可提问学生：同学们想一想，画圆的要素是什么？(圆心确定

圆的位置，半径决定圆的大小)，所以关键的问题是定其圆心和半径.

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归纳：如图所示，如果A、B、C三点不在同一条直线上，那么经

过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，而经过B、C

两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，此时，这两条垂直

平分线一定相交，设交点为0,则OA=OB=OC,于是以0为圆心，0A

为半径画圆，便可画出经过A、B、C三点的圆.

结论：不在同一直线上的三点确定一个圆.

说明：教师讲解“确定”的含义.

思考：①经过三点能确定一个圆吗？

答案：当三点在同一直线上，不能作圆，当三点不在同一直线上,

能确定一个圆.

②过三角形的三个顶点能作一个圆吗？由此你能猜想出什么结

论？

探究三三角形的外接圆

由上面讨论可知，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画

一个.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆

(circumcircle).三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心

(circumcenter).这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外

心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距

离相等.

思考：三角形外心有什么性质？

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例1如图，已知矩形ABCD的边AB=3cni,AD=4cm.

.I,----------------

(1)以A为圆心，4cm为半径作。A,则点B、C、D与。A的位置关

系如何？

(2)若以A为圆心作。A,使B、C、D三点至少有一点在圆内，且

至少有一点在圆外，则。A的半径r的取值范围是什么？

分析：要判断B、C、D与。A的位置关系，只要比较AB、AC、AD

与半径4cm的大小关系.

解答：(1)••・AB=3cmV4cm,.••点B在。A内.

;AC==5(cm)>4cm,・••点C在0A外.

VAD=4cm,・♦•点D在(DA上.

(2)・・・ABVADVAC,・••满足条件的(DA半径r的取值范围是3cm<r

<5cm.

总结反思：判断点与圆的位置关系，应先确定点与圆心的距离，再

与半径比较大小.

A.-------------------.D

B'-------------------'C

例2如图所示，已知矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm.

(1)以点A为圆心，4cm为半径作。A,则点B、C、D与。A的位置

关系是如何？

(2)若以A为圆心作。A,使B、C、D三点至少有一点在圆内，且

至少有一点在圆外，则(DA的半径r的取值范围是什么？

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三、反馈训练

1.三角形的外心是（）

A.三条中线的交点

B.三条内角平分线的交点

C.三条高的交点

D.三条边垂直平分线的交点

2.分别画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再画出它

的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的关系？

3.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边

的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.

一个三角形的三边长分别为3、4、5.则这个三角形的外接圆半径

是.

四、导学归纳

本节课你有什么收获？

五、作业

L小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示,

为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片

应该是（）

A.第①块B.第②块

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C.第③块D.第④块

2.下列说法正确的是（）

A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任何点

B.过两点A、B的圆的圆心在一条直线上

C.过小在同一直线上的三点A、B、C的圆的圆心有且只有一个

D.过四点A、B、C、D的圆不存在

3.用图形表示到定点0距离小于或等于4cm,大于或等于2cm的

点的集合.

4.思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是

否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明.

课后反思：

教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离

相离，它是三角形三边垂直平分线的交点.在圆中充分利用这一点可

以解决相关的计算问题.

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27.2.2直线与圆的位置关系

教学目标

百知识与技能

1.了解直线与圆的三种位置关系，理解直线和圆相离、相切、相

交的概念.

2.会用圆心到直线的距离与半径比较，判断直线和圆的位置关系.

衣过程与方法

先观察直线与圆位置关系的所有变化过程；再通过思考得出“圆心

到直线的距离d与半彳仝r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的

对应与等价；最后，实现位置关系（形）与数量关系（数）的结合.

甘情感、态度与价值观

通过探索直线与圆的位置关系的过程,体验数学活动充满着探索与

创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.通过直线和圆的位

置关系的探究，向学生渗透分类、数形结合的思想.

重点难点

百重点

用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系.

百难点

用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系.

教学过程

一、自学导纲

1.我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们和圆的位

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置关系有哪些?

2.同学们也许看过海上日出，如图，如果我们把太阳看作一个圆,

那么太阳在升起的过程中，它和海平面就有下图中的三种位置关系.

3.请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动

硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最

少时有几个？最多时有几个？

二、合作互动

1.提出问题

(1)概括直线与圆有哪几种位置关系，你是怎样区分这几种位置关

系的？

(2)如何用语言描述三种位置关系？

2.讲解新知

从以上的两个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三种,

如下图所示：如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线

与这个圆相离，如图⑴所示.如果一条直线与一个圆只有一个公共

点，那么就说这条直线与这个圆相切，如图⑵所示.此时这条直线

叫做圆的切线，这个公共点叫做切点.如果一条直线与一个圆有两个

公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，如图⑶所示.此时这条

直线叫做圆的割线.

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ri

(1)(2)(3)

3.探究发现

(1)多媒体演示三个图形，观察圆心到直线的距离d与圆半径r之

间的大小关系.

(2)回顾点与圆的位置关系，探索圆心到直线的距离与圆的半径之

间的数量关系.

(当d>r时;直线在圆的外部，与圆没有交点，因此此时直线与圆

相离；

当d=r时，直线与圆只有一个交点，此时直线与圆相切；

当d<r时，直线与圆有两个交点，此时直线与圆相交.)

即如上图，设。。的半径为r,圆心0到直线1的距离为d,从图

中可以看出：

若d>r,直线与00相离；

若(1=1',直线1与。0相切；

若d<r,直线1与。0相交.

(3)反过来，如果已知直线1与。0的位置分别是相离、相切和相

交时，一定有d>r>d=r和d<r吗？

(4)总结:如上图，设。0的半径为r,圆心0到直线1的距离为d,

从图中可以看出：

若d>r=直线1与。0相离；

若(1==0直线1与00相切；

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若d〈r=直线1与。0相交.

所以，若要判断圆与直线的位置关系，可由圆心到直线的距离与圆

的半径进行比较大小，由比较的结果得出结论.

4.例题讲解

例1如图，矩形ABCD中，AB=5,AD=12.

Ai-----------iD

R'-----------'C

(1)试判断以点A为圆心，5为半径的圆与直线BC和CD的位置关

系；

⑵当以A为圆心的圆与直线BD相切时，求(DA的半径;

(3)当(DA与线段BD有公共点时，求(DA的半径r的取值范围：

(4)当。A与线段BD没有公共点时，求(DA的半径r的取值范围.

解答：(1)BC与圆A相切，CD与圆A相离;(2)BD==13•点A到

BD的距离==，所以0A的半径为：⑶WrW12：(4)r<或r>12.

总结反思：判断直线与圆的位置关系，通常是通过比较圆的半径与

圆心到直线的距离的数量关系来确定；判定线段和圆的位置关系时，

应特别注意：圆与线段只有一个公共点时一，可能圆与线段相切或与线

段的一个端点相交；没有公共点时，可能是圆与线段相离，也可能是

线段在圆的内部.

例2已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线1的距离是：

(1)4厘米；(2)5厘米；(3)6厘米.

直线1和圆分别有几个公共点？分别说出直线1与圆的位置关系.

三、反馈训练

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1.已知。0的圆心0到直线1上一点A的距离等于。0的半径，

则直线1和。0的位置关系是.

2.ZA0C=60°，点B在0A上，且0B=2,若以B为圆心、R为

半径的圆与直线0C相离，则R的取值范围是.

3.已知。0的半径r是一元二次方程必一6乂+8=0的一个根，点

0到直线AB的距离是方程的另一个根，判断直线AB与。0的位置关

系.

4.已知有一圆，圆心坐标为(1,0),半径为3cm,此圆与y轴有

怎样的位置关系？若有交点，请求出交点坐标.

四、导学归纳

本节课你有什么收获？

本节课我们学习了直线与圆的位置关系，当我们判断直线与圆的位

置关系时，一般用数量关系(圆心到直线的距离)来体现，即上面讲解

的圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，从而断定是哪种关系.

若d>r=直线1与。0相离=直线和圆没有公共点；

若d=r=直线1与。0相切=直线和圆只有一个公共点；

若d<r=直线1与。0相交=直线和圆有两个公共点.

五、作业

1.《能力培养与测试》同步课时作业.

2.已知点P到直线1的距离为3,以点P为圆心，r为半径画圆，

如果圆上只有两点到直线1的距离均为2,则半径r的取值范围是

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3.已知。。的半径为a,点0到直线AB的距离为b,a、b分别为

方程x?—5x+6=0的两个根,则直线AB与的位置关系为.

4.在aABC中，AB=4,AC=2,若以A为圆心，2为半径的圆与

BC相切，求NA的度数.

课后反思：

教学过程中，强调学生从实际生活中感受，体会直线与圆的几种位

置关系，并会用数学语言来描述归纳，经历将实际问题转化为数学问

题的过程.

27.2.3切线

第1课时切线的判定定理与性质定理

教学目标

b知识与技能

L记住圆的切线的判定定理，并能判定一条直线是否是圆的切线.

2.记住切线的性质定理.

3.会运用切线的判定和性质解决问题.

才过程与方法

通过演示直线和圆相切,培养学生观察图形并能从图形的位置去判

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断图形的性质的能力.

才情感、态度与价值观

通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性.

重点难点

司重点

切线的判定定理和切线判定的方法.

A难点

切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要

素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握

不好并极易忽视.

教学过程

一、自学导纲

1.上节课我们学习了直线和圆的位置关系，知道了直线和圆有三

种位置关系：相离、相切、相交.判断直线和圆的位置关系，可以从

公共点的个数及圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断.

由上可知，判断直线和圆相切，有哪两种方法？除了这两种方法外,

还有其他方法吗？本节课我们将继续探索切线的判定条件.

二、合作互动

1.探究圆的切线的判定方法

(1)由上面的复习，我们可以把上节课所学的切线的定义作为设别

切线的方法1一一定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.

(2)当然，我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离d与半

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径r之间的关系来判断直线与圆是否相切，即：当d=r时，直线与

圆的位置关系是相切.以此作为识别切线的方法2——数量关系法：

圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.

(3)观察图形，如图所示，0A是。0的一条半径，过A作0A的垂

线1,直线1与圆有几个公共点，这时直线和圆的位置关系是什么？

(因为0A是圆心0到直线1的距离，所以直线1是的切线.)

可以发现：(1)直线1经过半径0A的外端点A；(2)直线1垂直于

半径0A.这样我们就得到了从位置上来判断直线是圆的切线的方法

3——位置关系法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的

切线.

教师讲解定理应用格式：

♦.•0A是。。的半径，OAJ_1于A,所以1是。。的切线.

2.思

(1)在上图中，如果直线1是。。的切线，切点为A,那么半径0A

与直线1垂直吗？

(由于1是。0的切线，圆心0到直线1的距离等于。0的半径，

所以0A是圆心0到直线1的距离，因此1J_OA,因此得出圆的切线的

性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.)

(2)任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该如何作？

3.典型例题

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例1如图，在△ABC中，AB=AC,0是BC的中点，。。与AB相

切于E.求证：AC也与。0相切.

分析：由于不知道AC上的某个点在圆上，所以应采取过0作AC

的垂线段0D,证0D等于半径.

解答：证明：如图，过0作ODJ_AC于点D,连结OE,AO.TAB与

。。相切于E点，・・・OE，AB.,・・AB=AC,0是BC的中点，「.AO平分NBAC.

又OD±CD,AOE=OD.AAC与。0相切.

总结反思：要说明一条直线是圆的切线，当这条直线与圆有公共点

时，常连结这个点和圆心，说明这条直线与半径垂直，即经过半径的

外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；当不知道这条直线与圆

是否有公共点时，常过圆心0作垂直于这条直线的垂线，说明这条垂

线段等于半径.

例2如图所示，已知直线AB经过。0上的点A,且AB=OA,Z

0BA=45°,证明直线AB是。。的切线.

分析:根据切线的判定定理,AB经过。0上的A点，只需证明0A1AB

即可.

证明：VAB=OA,Z0BA=45°，

：.ZA0B=Z0BA=45°,

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・・・N0AB=90°,

又・・•点A在。0上，

・,・直线AB是。。的切线.

三、反馈训练

1.如图所示，AB是。。的直径，AM为弦，NMAB=30°,过M点

的。0的切线交AB延长线于点N.若0N=12cm,则。0的半径为

cm.

2.如图所示，AB是。0的直径，点C在AB的延长线上，CD与。0

相切于点D.若NC=18°,贝i」NCDA=_______.

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3.如图所示，四边形ABCD内接于。0,BD是。0的直径，AE1CD,

垂足为E,DA平分NBDE.求证：AE是。0的切线.

四、导学归纳

本节课你有什么收获？

内容总结：

L识别一条直线是圆的切线，有三种方法：

(1)根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.

(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径

的直线是圆的切线.

(3)根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条

半径的直线是圆的切线.

2.切线性质：圆的切线垂直于切点的半径.

方法总结

(1)说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果已知直线

过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径即可.

(2)已知圆的切线，常过切点作圆的半径(或直径)，构造直角，利

用直角三角形的性质解题.

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五、作业

《能力培养与测试》同步课时作业.

课后反思：

教学过程中，强调只要出现切线就要想到半径，就要想到有垂直的

关系，要形成一个定势思维.

第2课时切线长定理与三角形的内切圆

教学目标

卡知识与技能

1.了解切线长的概念.

2.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念,

演练掌握并能应用.

3.能作出三角形的内切圆.

方过程与方法

通过探究，使学生发现、掌握切线长定理，并初步学会应用切线长

定理解决问题，同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中

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发现三角形内切圆的画法，能用内心的性质解决问题.

才情感、态度与价值观

经历观察、实验、猜想、证明等数学活动的过程，发展合情推理能

力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地写出推理过程.

重点难点

击重点

切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法和内心的性质.

少难点

切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题,

三角形的内心及其半径的确定.

教学过程

一、自学导纲

1.如何判断一条直线是圆的切线？圆的切线具有什么性质？（经

过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经

过切点的半径.）

2.如图所示，PA是NBAC的平分线，AB是。0的切线，切点为E,

那么AC是。。的切线吗？为什么？

解：连接0E,过0作OFLAC,垂足为F点,

因为AB是00的切线，

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所以OE_LAB.

又因为PA是NBAC的平分线，0F1AC,

所以OF=OE.

所以AC是。0的切线.

思考:你还能写出什么结论？你能写出这个命题的逆命题吗？这个

逆命题成立吗？

说明：由此引出新课.

二、合作互动

1.切线长定理

(1)切线长定理

阅读教材，思考下列问题：

①什么口U做圆外一点到圆的切线长？

②切线长定理的内容是什么？

③这个定理是怎样证明的？

(2)知识讲解

①切线长:切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切

线长.

说明：切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两

个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.

②切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相

等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.

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如图所示，PA、PB分别是。。的切线，A、B为切点=

2.定理拓展

如图所示，PA、PB是。0的两条切线，A、B为切点.

①写出图中所有的垂直关系

②图中有哪些线段相等（除半径外）弧相等？

答案：①OA_LPA,0B1PB,AB1P0；

②PA=PB,AC=BC；=,=.

定理验证略.

3.典型例题

例1如图1,I是△ABC的内心，ZA=80°,求NBIC的度数.

解答：・・•点I是△ABC的内心，AZ1=ZABC,

N2=NACB,

Nl+N2=(ZABC+ZACB).

又・・・NABC+NACB=180°-ZA=180°-80°=100°,

AZl+Z2=X100°=50°,

・・・NBIC=180°-(Zl+Z2)=180°-50°=130°.

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图2

总结反思：如图2,在△ABC中，若已知I为内心，则NBIC=90°

+ZBAC,ZAIB=90°+ZACB,NAIC=90°+NABC.这是此题的一

般结论，记住它对解有关的填空题、选择题很方便.

例2如图所示，PA、PB是。0的两条切线，切点分别是A、B,

直线EF也是。。的切线，切点为Q,交PA、PB为E、F点，已知PA

=12cm,NP=70°.

(1)求4PEF的周长；

(2)求NEOF的度数.

解答：(1)连接PA、PB、EF是。0的切线，

所以PA=PB,EA=EQ,FQ=FB,

所以△PEF的周长=AE+EP+PF+FB=PA+PB=24cm.

(2)连结OQ,因为PA、PB、EF是。0的切线，

所以PA_L0A,PB1OB,EF±OQ,ZAE0=ZQE0,NQF0=NBF0,

所以NA0E=NE0Q,NQ0F=NB0F.

所以NA0B=180°-ZP=110°，所以NE0F=NA0B=55°.

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例3AABC的内切圆。0与AC、AB、BC分别相切于点D、E、F,

且AB=5厘米，BC=9厘米，AC=6厘米，求AE、BF和CD的长.

解答：因为。。与aABC的三边都相切.

所以AE=AD,BE=BF,CD=CF.

设AE=x,BF=y,CD=z,则

即AE=lcm,BF=4cm,CD=5cm.

例4如图所示，己知：在aABC中，ZC=90°,内切圆0与三

边分别切于D、E、F.

(1)试说明：四边形OECF是正方形；

⑵若AD=6,BD=4,求AC和。。的半径.

解答：(1)因为。。与△ABC的三边分况相切于点D、E、F.

所以OE_LBC,OF±AC,又NC=90°,所以四边形OECF是矩形.

又因为OE=OF,所以四边形OECF是正方形.

(2)设。0的半径为r.

因为四边形OECF是正方形，所以CE=CF=OE=OF=r.

由切线长定理知，AF=AD=6,BE=BD=4,由勾股定理得，

AC2+BC2=AB2,即(r+6)2+(r+4)2=IO?.

解得，r=2.所以AC=8.

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4.三角形的内切圆

(1)思考：如图所示为一张三角形铁皮，如何在它上面截下一个面

积最大的圆形铁皮？

提示：画圆必须确定其位置和大小，即确定圆的圆心和半径，而要

截出的圆的面积最大，这个圆必须与三角形的三边都相切.

如图所示，在aABC中，如果有一圆与AB、AC、BC都相切，那么

该圆的圆心到这三角形的三边的距离都相等，如何找到这个圆的圆心

和半径呢？

等同学们想过之后再阐述如何确定圆心和半径.

我们知道，角平分线上的点到角的两边距离相等，反过来，到角两

边距离相等的点在这个角的平分线上.因此，圆心就是aAB