高考数学复习：数列不等式的证明与求解参数（原卷版）

专题09数列不等式的证明与求解参数

♦题型一:数列不等式的证明

方法解密：

对「既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法，错位相减或者裂项相

消即可证明.大可分为两种题型，一是数列不等式的证明，二是通过不等式求解n的取值范围.下面我们来看

下数列不等式证明的例题.

【经典例题1】已知等比数列｛%｝（"叱）为递增数列，且短="，5%=2%+2&.

⑴求数列｛q｝的通项公式；

（2）设2=——（〃£旷），数列低｝的前〃项和为S”，证明：S“<6.

【经典例题2】已知正项数列—｝的前〃项和为S；,且满足q=l,生=3,4.2=31-24,数列｛%｝满

足2~G+3~c?+4~Q+♦••+（〃+1yqi=〃.

⑴求出｛6｝,｛%｝的通项公式；

⑵设数列1q;二的前〃项和为求证：

16

[[log2（«„+1）]

【经典例题3】已知数列｛〃“｝前〃项和为S”，若且2S“，S1,S”」（〃之2，〃eN）成等差数歹九

⑴求证：数列卜〃-1｝是等比数列；

⑵记数列｛S“-l｝的前〃项和为「，求证：

总结:掌握此题型的关键是对数列求和,错位相减以及裂项相消有较为熟练的掌握与应用.以及要对裂项相消

的常见的变换形式有一定的了解.在稍加练习的情况下即可掌握，难度不大.接下来看下通过不等式求解n的

取值范围的相关题型.

【经典例题4】等差数列｛4｝前〃项和为S”，且％+%=16,S9=8l.

⑴求数列｛q｝的通项公式：

(2)设数列一!一「的前〃项和为T,2

n若求〃的最小值.

4+4+2,

【练习1】等差数列｛q｝中，前三项分别为X,2X,5X-4,前〃项和为S“，且&=255O.

⑴求x和*的值；

1111

(2)求7；=三+「三+…+不

(3)证明:Tn<\

【练习2】已知数列｛4｝的前〃项和为S“，2s”=3凡-4,

⑴求数列｛勺｝的通项公式；

,、

(2)设d=log,学，。为数列;3的前〃项和.证明：1K4<2

4也%J

【练习3】已知数列｛〃,｝的前〃项和为S”，且2s“+l=4qt(〃£N)数列出｝为等差数列，4=2%,且

⑴求数列几｝,也｝的通项公式；

⑵对任意的正整数〃，有cn=,求证：q+j+i+GVl.

【练习4】已知数列｛4｝的前〃项和为S”，4=3,%=4,Sn+l+2Sn_l=3Sn-2(n>2).

⑴证明：数列｛%-2｝是等比数列，并求数列｛4｝的通项公式；

|I

⑵记数列出｝的前〃项和为小证明：

%%123

♦题型二:数列不等式求解参数

方法解密：

对于此类含参数不等式题型,大部分可以通过分离参数等方式转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调

性，函数类型可通过运算法则或者求导进行判断.数列可通过作差法进行判断.即%>OxtnjN”恒

成立,数列单调递增.-%<o对〃€N*恒成立,数列单调递减.

含参不等式问题乂可以分为恒成立问题和存在性(有解)问题.

(1)VXGDf(x)<a恒成立，则/(x)max<a

(2)匕£。/(%)>。恒成立，则/(“卷11>4

下面看一下有关恒成立问题的例题：

【经典例题1】已知%=3/+〃，若，“442”对于任意〃cN♦恒成立，则实数4的取值范围是.

【经典例题2】已知数列｛〃“｝满足《=；,4一4+1=4+14(4工0)且5”=4/2+,4+—+%%.若对任意

2

«>8,«eN\不等式5">£■，宜成立，则正整数％的最小值为.

分离参数的关键是需要求谁的值以及范围,就将谁分离出来.然后观察是恒成立还是存在性问题,两种问法

对于最值的选择是不同的.接下来是有关存在性问题的例题：

【经典例题3］数列｛〃〃｝的通项公式为〃〃=3〃，记数列｛“〃｝的前n项和为Sn,若3xeN.使得

卜“+4&之3〃-6成立，则实数〃的取值范围是.

【经典例题4】已知数列｛q｝前〃项和为S”，且S“=X铲(〃eV)

2

(1)求数列｛〃”｝的通项公式；

(2)若7；为数列一^的前〃项和，且存在〃eN"使得(-幺4.1之。成立，求实数4的取道范围.

【练习1】设S0为等比数列｛4｝的前〃项和，已知4%。3=27,6=81,若存在使得S,+五-K

川-:成立，则加的最小值为一.

【练习2】已知数列｛〃“｝的前〃项和为S”，q=g,当〃22时，

⑴求S”；

2”

⑵设数列不的前〃项和为若乃；%(〃2+9)-2"恒成立，求4的取值范围.

【练习3】已知等比数列｛q｝的前〃项和为5.,且4=1,率=28,数列也｝满足勿=3陶（〃,）+1.

⑴求数列｛q｝和也｝的通项公式；

⑵若对任意的〃©N'，恒成立，求实数4的取值范围.

【练习4】设数列忆"的前〃项和为工，且S“=2a“-1.

⑴求数列伍,』的通项公式；

⑵若对任意的不等式外（邑+1）23〃-11恒成立，求实数九的取值范围.

【过关检测】

1.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，4=l,a“u=2S“+l（〃eN・）；等差数列也｝中，h2=5,2=4.

（1）求数列m｝,也｝的通项公式；

（2）设数歹前〃项和为「，是否存在正整数〃，使得4>60〃？若存在，求〃的最小值，若不存

在，说明理由.

7

2.已知等比数列｛q｝的前〃项和为S.,4=-(，且-2S?,S,,4S4成等差数列.

⑴求数列｛q｝的公比q和通项％;

⑵设(=1-S“，求满足圜〉上的〃的最大值.

202/

3.记S”是等差数列｛。”｝的前〃项和，若6=%%-4=2.

⑴求数列｛q｝的通项公式4,；

(2)求使Sn>an成立的n的最小值.

4.已知S”为等差数列｛的｝的前〃项和，53=21,53=55.

⑴求4〃、S〃；

⑵若数列——1［的前〃项和Tn,求满足?；>?卷的最小正整数〃.

144+J25

5.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，2s“+2〃=%-2,生=8,其中〃wN*.

⑴记"=勺+1,求证：色｝是等比数列；

(2)设&二誓，数列｛6｝的前〃项和为小求证：

n•

6.己知数列｛〃“｝的前〃项和为S”.

从下面①②③中选择其中•个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第-个解答计分.

①数列｛%｝是等比数列，S?=6,且4叼，2%,4成等差数列；

②数列｛《｝是递增的等比数列，-=32,%+%=12；

③5.=2《「2.

⑴求数列｛q｝的通项公式；

⑵已知数列色｝的前〃项的和为7,，且"=(丁二)0。="证明:T：

7.已知SO是等比数列｛。力的前/项和,S4,52,S3成等差数列，且'-4=-18.

(1)求数列｛。〃｝的通项公式；

(2)是否存在正整数〃，使得S.N2020?若存在，求出符合条件的〃的最小值；若不存在，说明理由.

8.已知正项等比数列｛叫的前〃项和为工，满足q=l,%+2-S”+i=%-5"〃22）.记a=睡2。2<”+>

⑴求数列｛4｝,也｝的通项公式；

⑵设数列［%］前〃项和I,,求使得不等式（>9成立的〃的最小值.

9.已知数列｛〃“｝的前〃项和为工，q=1,1=2s.+1（〃£叱）；等差数列｛〃,｝中，4=5,d=%.

（1）求数列｛〃”｝,他｝的通项公式；

（2）设数列｛。/力“｝前〃项和为，，是否存在正整数〃，使得，>60〃？若存在，求〃的最小值，若不存

在，说明理由.

10.已知等差数列｛q｝公差不为零，4+出+%=%，4•4=%，数