2026高考数学二轮复习专项突破：范围与最值问题

第4讲范围与最值问题

探究真题明确方向,

1.(2025•全国I卷，T18)已知椭圆C：5哈1(。＞6＞0)的离心率为竽，下顶点为从右顶点为8,\AB\=V10.

(1)求。的方程；

(2)已知动点P不在y轴卜，点/?在射线"卜.且满足

(i)设P(〃i,〃),求R的坐标(用m,n表示)；

(ii)设。为坐标原点，。是。上的动点，直线OR的斜率是直线。0的斜率的3倍，求尸。|的最大值.

2.(2023•全国甲卷，理T20)已知直线x・2yH=0与抛物线C：川=2〃如＞。)交于力，B两点,|48|=46.

⑴求P；

(2)设尸为C的焦点，M,N为C上两点，FMFN=0,求面积的最小值.

命题热度：

本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，具有一定的难度，主要以解答题的形式进行考查.分值

约为13〜17分.

考查方向:

考查重点是最值与范围问题，主要考查长度、周长、面积、角度、斜率、向量等相关的最值(范围)问题.

y/a2+b2=V10,=9,

?=(=苧，解得(房=1,

2=2_2

(CabfU=8,

故。的方程为"

⑵(i)设R(xo,词，易知“W0,

方法一所以乂，匕依

m-'"X1Q,

故胆q,且〃?xo>o.

Xom

因为4(0,-1),M〃H，4A|=3,+仇+1)2=3,

即11+(―)]xow=3,解得xo-所以^0=~

[\m/Jmz+(n+l)z/W+(n+l)”

所以R的坐标为(年匕豆，岑台).

\mz+(n+l)z7nz+(n+l)z/

方法二设标=7而，x>0,则|而|=用而又而=(m，〃+1),所以|4*%阳=4而F=3,

即胴2+5+1）2卜3,所以2=^^，所以福而成小〃+l）=b^，，又4。一）'

故R的坐标为（告"，啜号）•

\mz+（n+l）^7"+（〃+1）,/

♦+2-m2f2

（ii）因为总T铲J"?；:2f2,k*由垢片3k8,可得

混+（.+1）2

“+2<2—必\化简得加+〃2+8〃・2=0,即加2+（〃+4）2=18（〃#0）,

3ntm

所以点。在以N（0,-4）为圆心，3位为半径的圆上（除去与y轴的交点），

|PQ|mc为点Q到圆心N的距离加匕半径，

方法一设0(x0,附)，则等始=1，即切=9-9班，

所以IQV)2三诒+(XQ+4)2=9-9坊+访+8及+16=-8始+8%+25

=-8(^-|)2+27^27,当且仅当屋，即0(土苧，；)时取等号，

故|PQ|max=&7+3&=3(75+企).

方法二设。(3cosO,sinJ),所以

107vl2=(3cos〃)?+(sin/7+4)2=9cos26M-sin2^+8sin火16

=9(1-sin2^)+sin2^+8sin>16

=-8sin2<9+8sin8+25

=-8(sin0-1)2+27<27,当且仅当sin”,即。(土竽，J时取等号,

所W|P0|.nax=V27+3V2=3(V3+V2),

2.解（1）设/（弘，〃），B（XB,州）,

.fx-2yI1=0,.

由｛可仔y-4〃.2〃=0,

V=2px,

所以%+y『4p,y.4ys=2p,

所以|阴=6X^yA+yBy-4^^=4715,

即2p»6=0,解得p=2(负值舍去).

⑵由(1)知f=4x,

所以焦点网1,0),显然直线MN的斜率不可能为零,

设直线A/Mx=my+n,M(x\,y\),Ng,/)，

(y2=4%,一a、

由《可得产-4〃y4〃=0,

.x=my4-n,

所以yi+y2=4zn,yiy2=-4n,

A=16/«2+l6〃>0=〃/+〃>0,

因为丽•丽=0,FM=(x\-\,y\),前=(X2-1,尸2),

所以(XI-1)(X2-I)七修/一0，

即(叼1]+〃-1)(〃少2+〃-1)+y必=0,

2

即("/+1)yiy2+m(n-l)(yi+F2)+(w-l)=0,

将y1+)2=4〃?，y以=-4〃代入得，

4〃?2=/P-6〃+1,

所以4(m2+w)=(w-1)2>0,

所以〃#1,且〃2-6〃+120,

解得〃23+2&或“W3-2&.

设点F到直线MN的距离为d,

所以,二粤1

y/1+m2

\Mgt1+*(力+丫2)2—4yly2

=J1+"2J1662+16九

=V14-m274(n2—6n+1)4-16n

=2q1+

所以△〃「义的面积

2

X\MN\X旧X+叫7-1|Xj2ZlL-(n-1),

而〃23+2迎或〃<3-2迎，

所以当〃=3-2或时，△MbN的面积最小，为Smm=(2-2鱼)2=12-8匹=4(3-2四).

考点一最值问题

例1(2025•黄山模拟)平面内，动点必(x,y)与定点F(遮，0)的距离和M到定直线/：x萼的距离的比

值是常数?，记动点"的轨迹为曲线足

(1)求曲线E的方程；

(2)0为坐标原点，4,8为曲线E上不同两点，经过儿8两点的直线与圆炉+产=1相切，求△048面

积的最大值.

(x-V3)2+y2

解(1)依题意，可得一।-叼~=y,

化简得f+4炉=4,

即曲线E的方程为%),2=1.

(2)依题意，直线48的斜率不可能是0,

不妨设其方程为x=my+tt

2

则圆x+/=l的圆心0(0,0)到直线x=m)^+t的距离公屋==1,即"产+1=凡①

Vm2+1

x=my+3

由

X2+4y2=4.

消去工，可得S及+dy+Zm”斗尸・4=0,

由J=4W2/2-4(/M2+4)(/2-4)>0,

可得加2--十4>0,

设力(司，y\),8(x2,"),

则，儿：［严

VV7」i'V?=~m~2z~+47»

则M8|=J1+7n2.J(乃+乃)2-4y~2

=EJ(一百安

^^^2-2+4,

将①式代入，化简得|力用也需比,

.尾X1阴Xc/=2V3-J^^f

设2=〃及+1,则m

S"2白扃小

因为鸠22旧=6,当且仅当2=3时取等号，此时片土近，△。/4的面积的最大值为2百X信1

［规律方法］圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有

(1)函数法：一般需要找出所求几何量的函数解析式，要注意自变量的取值范围.求函数的最低时，一般会

用到配方法、基本不等式或者函数的单调性.

(2)方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量

的最值.

(3)不变量法：在平面几何中有一些不变量的最值结果，在求最值时，可以考虑观察图形的几何特点，判断

某个特殊位置满足的最值条件，然后再证明.

跟踪演练1己知。为坐标原点，厂是抛物线C：产=2?武夕＞0)的焦点，M是C上一点，旦|MQ=|"O|=1

(1)求。的方程；

(2)48是C上两点(力，8异于点O),以48为直径的圆过点O,。为48的中点，求直线O。斜率的

最大值.

解(1)由抛物线的定义可知0).

因为|MF|=|A/O|,所以XA3.

因为所以浮|，解得°=2,故。的方程为炉=4x.

(2)由题意知直线出？的斜率不为0,设4(也，〃)，8(加，冲)，其方程为尸叫位，

x=my+t,

联立

2

y—4xf

得jr-4w^-4/=0,A=16(/M2+/)>0,

贝UjW尸4加，以冲=4,

因为以"为直径的圆过点0,所以。4_1_。8,即耐•砺=0,则心加+丁9=0,

即普牛30片。，又y^ynW0,

解得yAyB=-\6=-4/,所以片4.

又x,4+x『m(y,d+j，8)+8=4"/+8,所以。(2"/+4,2m),

当/n=0时，ko"0；

当武。时，心母=总与1£卜*。)。(仇斗

m

故直线O0斜率的最大值为苧.

考点二范围问题

例2(2025•海口模拟)设48两点的坐标分别为(・1,0),(1,0),直线4U,8"相交于点且它们

的斜率之积为3.

⑴求点股的轨迹方程C：

(2)若直线/与。交于P,Q两点,且丽•丽=0(点O为坐标原点)，求『。|的取值范围.

解⑴设点M(x,y),x#±l,则履1尸喜，ku后七,

所以会乂。+3,化简得

x+lx-13

所以点”的轨迹方程为力士1).

•J

(2)当直线/的斜率不存在时，可设P(XP,yp),2(XP,-/),

则而=(XP,yp)tOQ=(XP,-yp),

将其代入双曲线方程得好季1，

又而•丽=%-咒=0,解得y产畔，此时|P0|=2网=75；

当直线/的斜率存在时，设其方程为严米+加，尸8,刃)，0a2,竺)，

y=kx+m

联立2V_1得(3/+2-2妨tv-〃Z2-3=0,则3-*W0,J=l2(//z2-Ar+3)>0.

X-T=*

由根与系数的关系得X1+.丫2-六；，X1X2I'.

贝|J。P,。Q=x\X2^-y\y2=xm+(区i+机)("2+〃?)

=(1+3.1X2+而(X1+、2)+〃尸=(1+出)，；拳3+〃加•：；：；+〃?2=0,

化简得3*+3=2/，此时/=6(3+9)>0,

所以『01=11+k27(%1+了)2—4M%

二E・J(甥2-4(宏)

=JT7l2.112（62_依+3）

Y1（3-/）2

_rz|a+i（）k2+9_2L।16k2一

+

々J/_6k2+97'yl/c4_6k2+9*

当QO时，此时|P0|=巡；

综上可得|P0|2V5,故/。|的取值范围为［遍，+8).

［规律方法］圆锥曲线中的危围问题的思路就是选用一个合适的变量(这个变量能够表达要解决的问题)建立

目标函数或不等关系，然后求解.求解范围问题一定要牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系,

然后消去另一个量，保留要求的量”.不等式的来源可以是圆锥曲线的有界性、题目条件中某个量的范围等.

跟踪演练2我们把由半椭圆*^=1(x20)与半椭圆骗=1。£0)合成的曲线称作“果圆”，其中

a2=b2^-c2,a>/»c>0.如图，点在o,B,凡分别是相应椭圆的焦点，4,上和&分别是“果圆”与x

轴、歹轴的交点.

(1)若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

.,22

(2)在⑴的条件下，P为半椭圆淖Y=l(xWO)上任意一点，加点的坐标为(1,0),求|尸产o|+|PQ|的最大值

以及|PM的最小值；

⑶当涧因时，求掷取值范围.

解(1)因为是边长为1的等边三角形，

所以C=V，屏-力2芸，

24

4

所以炉川，得4，

故“果圆”的方程为名产1(x20),

4

v+lg).

⑵由⑴可知,Fo(y,0),

”(o，_JF2(o,I),

;

设P(xo,Jo)(—<x0<0),

满足诒4=iawo)，

4

则FM=J(Xo-1)2+%=J-「就-2%o+2,

因为与(M)WO,由二次函数的性质易知，当刈・o时，1PM取得最小值，

即|尸Mmin=a.

因为|PB|+|PQ|=2,

所以|朋|+|?仔|=2+|尸尸0卜|产后1・2+|后尸2|,

当且仅当P,Fo,B三点共线，且乃在P,吊之间时取等号，

又尸0尸2曰，所以|P尺|+|P*|<2+|吊"2|=3,即|尸吊|+仍尸1|的最大值为3.

(3)因为"三乂+/，a>b>c>0,因此

因为|小42|>|81①|,所以a+c>2/),即c>2/)-a,即VF一川工人〃,

因为"d5b<2力，所以28-Q>0,

所以a2-b2>(2b-a)2=4b2-4ab+a2,化管得Z：,

Q3

所以；的取值范围为(年，I).

专题强化练

［分值：51分］

1.(17分)(2025•贵州适应性考试)已知椭圆C：捺吟=1(。>/*0)的离心率为"，且经过点P(2,V3),其左、右

焦点分别为a,F2.

⑴求C的方程.(5分)

(2)设这*的直线/与。交于4,8两点，且M昨早.

①求直线/的斜率；(6分)

②设W为。上异于4B的动点，求△财力8面积的最大值.(6分)

解⑴由题意得招=会

［a2=b2+c2,

解得。2=8,乂=6,c=V2,

所以。的方程为分=1.

oo

(2)①由(1)得点下(・a,0),

若直线/与x轴重合，贝川48|=2。=4鱼，不符合题意；

设直线/的方程为

点48，>,|),8(x2,yi)9

联立二VL

(3x2+4y2-24=0,

得(3〃P+4)y-6近〃9-18=0,

则4=72加2+72(3相2+4)=288(机2+1)>0,

6迎m-18

…亏不，W

4

所以阳=，1+m2J5+%2-4y/2=4+叫点*+；；Xy)

_曾臂)_24；可得心］,即

所以直线/的斜率为士L

②由①知直线的方程为尸士广应，根据对称性，只需考虑其中一种情况即可.

不妨取直线力8的方程为x->4-V2=0.

方法一由题意，当过点M的直线与直线48平行，B在两直线之间，且与椭圆相切时，点M到直线

的距离最大，即的面积最大.

设其直线方程为x-尸■片0QX&),

x-y+t=0,

联立

3x2+4y2-24=0,

得7r+8々+4--24=0,

则4=64凡28(4?-24)=0,

即-=14,易知片H15符合题意,

直线方程为X-^-\/T4=0,

点M到直线距离的最大值dmax卓近+1.

V2

故4MAB面积的最大值SmaA\AB\dmaAX警乂(V7+1)-"(尸).

方法二因为A/在C上，故可设M(2V5cosa,V6sin«),

则点以到直线44的距离为

,|2>/2cosa—V6sina+x/2|

d=7?

_|>/6sina—2V2cosa—V2|

=

=|V3sina-2cosa-l|=|V7sin(a-^)-l|,

其中8为锐角，且tan°-竽，

所以当sin(aw)=-l时，点M到直线的距离取得最大值为dma=>/7+l.

故△M4B面积的最大值为SmaxW%B|dmax=1x竿X(夕+1)也竺⑴.

2.(17分)(2025•河南H20联盟联考)已知动圆过定点尸(2,0),且在y轴上截得的弦长为4.动圆圆心的轨迹为

曲线E.

(1)求曲线E的方程；(5分)

(2)设过点尸(1,0)的直线交曲线E于力，B两点,过点M(-l,0)的直线W4与E的另一个交点为C,点1

在”与C之间.

①证明：线段8c垂直于x轴；(6分)

②记AEBC的面积为S,4MFC的面积为S”求5s之5的取值范围.(6分)

(1)解由题意，动圆过定点尸(2,0),

当圆心不在y轴上时，设圆心7(》，)，)(4#0),弦的中点为R(0,y),连接图略)，

则由E的性质得/712=用(2+22,

，(工-2)2+产f+4,

整理得/=4x(xW0).

当圆心在歹轴上时，易得圆心坐标为(0,0),也满足上式，

，曲线上的方程为y2=4x.

(2)①证明•・•直线48的斜率不为0,

故设直线48的方程为％=/>+1,力。1,yi),8(x2,»),

联立，「7'可得f_4/4=0,

y—4x,

/=16/+1)>0,

贝,必=4

成+ks：+缶一」,+,：

Xi+lM+1tyi+2t'2+2

_2£丫1理+2。1+及)__&+8C_0

(tyi4-2)(ty2+2)(tyi+2)(ty2+2),

故NBMF=/CMF,

故直线与直线CM关于X轴对称，即点B与点、C关于X轴对称，

・•・线段3C垂直于x轴.

②解由①可知C(X2,--),如图，由对称性，不妨设)〃>0,

•・•点,4在"与C之间，r.x2>1,y:>2,

Si=|>：2yiX(xi-1)=(x2-l)^2^-y2,

S2=1X2)-2,

贝ij5s.s=6月率

令./0，）=6广90＞2）,

则/⑪网牛评心，

令八v）＞o，则2勺＜2企；

令/。）＜0，贝

则,外，）在（2,2企）上单调递增，在（2在，+8）上单调递减,

Av）ma»^/（2V2）=8V2,当yf+8时，后）-»-8.

•••5S2-S的取值范围为（-8,8立］.

ID思维创新、

（共17分）

3.（17分）（2025•郴州模拟）已知双曲线E：舞=1（心0,枕＞0）的左、右焦点分别为R,B,离心率为2,过B

的直线/与双曲线£交于尸，Q两点，当直线/垂直于x轴时，的周长为16.

（1）求双曲线E的标准方程；（5分）

⑵与x轴不重合的直线/，过点M&，0）（枇¥0）,双曲线E上存在两点48关于/对称，且力B的中点M的

横坐标为x'o.

①若io=Zr，o,求实数2的值；（5分）

②若48为双曲线E右支上两个不同的点，〃过点C（0,4）,求N4C8的取值范围.（7分）

解⑴因为当直线/垂直于X轴时，将x=c代入%£=1（〃＞0,/?＞0）,得尸斗，

所以|PB|=IQB|4，

所以|PK|=IQE|S2Q,

因为双曲线E的离心率为2,△尸0”的周长为16,

卜=：=2，

CZ=1,

所以.a2+b2=c2,解得b=V5,

—+4a=16,c=2,

a

所以双曲线E的标准方程为

（2）设力（xi,yi）t8（x2,玖），MQr'o,yo）,

好-要1，

①因为力，B