核心素养导向下的“分数除法（一）：一个数除以分数”教学设计-小学六年级数学

核心素养导向下的“分数除法（一）：一个数除以分数”教学设计——小学六年级数学

  一、教学背景深度剖析

  （一）课标依据与核心素养解读

  本节课教学内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域中的“数与运算”主题。课标明确指出，要引导学生探索并掌握分数除法的计算方法，感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性。本节课是分数除法计算法则的种子课与关键课，它上承整数除法、分数乘法的意义与计算，下启分数除法解决实际问题以及比、比例等相关知识，是构建完整运算体系的重要枢纽。从核心素养视角审视，本节课旨在重点发展学生的运算能力、推理意识和模型意识。学生通过探索“一个数除以分数”的算法，经历“具体情境感知—提出算法猜想—多途径验证—归纳概括法则”的完整过程，这不仅是对程序性知识（算法）的掌握，更是对算理（为什么这样算）的深刻理解，体现了从感性具体到理性抽象的逻辑推理过程。同时，将“除以一个分数”转化为“乘这个分数的倒数”的模型建构，有助于学生体悟数学知识之间的内在联系与转化思想，形成结构化的认知网络。

  （二）教材纵横关联分析

  纵向来看，在人教版教材体系中，学生已在三年级学习了整数、小数的除法，理解了“平均分”的除法意义；在五年级下册系统认识了分数，掌握了分数的基本性质以及同分母、异分母分数的加减法；在本册第一单元学习了分数乘法，理解了分数乘法的意义（求一个数的几分之几是多少）及计算方法，并掌握了“乘积为1的两个数互为倒数”的概念。所有这些，均为本课学习奠定了坚实的知识基础与经验储备。横向来看，本课是分数除法单元的第一课时（通常将“分数除以整数”作为前置准备或并入本课），其推导出的计算法则具有普遍适用性，将直接应用于后续“分数混合运算”及解决各类分数除法实际问题。教材通常通过创设一个包含“包含除”意义的情境（如“小明2/3小时走了2km，求速度”），引导学生列出除法算式“2÷2/3”，进而借助几何直观（线段图、长方形面积模型）或利用“商不变性质”、“等式变形”等代数推理方式，发现并验证计算方法的合理性。本设计将在教材经典情境基础上进行重构与深化，着力于暴露学生的真实思维过程，促进深度学习。

  （三）学情现实考量与预设

  六年级的学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们具备一定的自主探究、合作交流的能力，并且积累了较为丰富的数学活动经验。对于“一个数除以分数”这一全新的计算课题，学生的认知起点和潜在困难主要体现在：第一，除法意义的扩展。学生熟悉的除法情境多与“平均分”（等分除）有关，而对“2÷2/3”这类“求一个数里包含几个另一个数”（包含除）的分数除法情境相对陌生，理解其现实意义是首要挑战。第二，算法猜想可能多样。部分学生可能受整数、小数除法计算负迁移的影响，错误地认为“2÷2/3=2÷2÷3”；部分学生可能直觉联想到乘法，但未必能清晰表述关系；还有学生可能尝试将分数化为小数再计算（当除数是可化为有限小数的分数时）。这些多样化的初始想法，正是课堂探究的宝贵资源。第三，算理理解是难点。理解“除以一个分数等于乘这个分数的倒数”这一“颠倒相乘”的操作背后的数学原理（无论是基于“商不变性质”的代数推导，还是基于几何模型的直观解释），需要较强的逻辑推理能力和数形结合思想。因此，教学必须提供充分的直观支撑和逻辑阶梯，引导学生在操作、观察、比较、推理中自主“发现”法则，而非被动“接受”法则。

  二、学习目标体系设定

  基于以上分析，确立以下多维、可测的学习目标：

  （一）知识与技能目标

  1.结合具体情境，理解“一个数除以分数”的现实意义与数学本质，能正确列出除法算式。

  2.经历探索“一个数除以分数”计算方法的过程，归纳并掌握“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”的通用计算法则，并能正确、熟练地进行计算。

  3.能运用分数除法计算解决简单的实际问题。

  （二）过程与方法目标

  1.通过几何直观（画线段图、长方形面积图等）和代数推理等多种方式，自主探究并验证“一个数除以分数”的计算方法，发展探索与解决问题的能力。

  2.在小组合作、全班交流中，经历“提出猜想—举例验证—归纳结论”的数学发现过程，提升归纳概括与逻辑推理能力。

  3.体会“数形结合”、“转化与化归”等数学思想方法在探索新知识中的重要作用。

  （三）核心素养与情感态度目标

  1.运算能力：在理解算理的基础上掌握算法，追求运算的合理性、简洁性与灵活性。

  2.推理意识：在探索算法、验证猜想的过程中，养成步步有据的思维习惯，发展合情推理与初步的演绎推理能力。

  3.模型意识：从具体实例中抽象出分数除法的普遍计算模型，体会数学模型的力量。

  4.感受数学知识之间的内在联系，体验探索成功的乐趣，增强学习数学的自信心和求知欲。

  三、教学重难点及突破策略

  （一）教学重点

  探索并理解“一个数除以分数”的计算算理，归纳其计算法则。

  （二）教学难点

  理解“除以一个分数，等于乘这个分数的倒数”的算理本质，实现从直观理解到抽象算法的跨越。

  （三）突破策略

  1.情境激活，双重意义链接：创设既贴近生活又能同时沟通“包含除”与“等分除”意义的复合型情境，如“速度=路程÷时间”模型，帮助学生从现实背景中自然抽象出数学算式，理解算式的意义。

  2.多元表征，贯通算理理解：

    *直观操作表征：提供方格纸、线段图等工具，鼓励学生通过“分一分”、“画一画”，将抽象的算式转化为直观的图形，观察数量关系。

    *语言描述表征：引导学生用自己的语言解释操作过程和图形含义，将直观感知转化为口头表述。

    *符号推理表征：适时引入“商不变性质”或等式基本性质，引导学生进行形式化的代数推导，从更一般的数学原理上证明算法的合理性。

  3.对比勾连，促进结构化认知：将“分数除以整数”、“整数除以分数”、“分数除以分数”的探索过程与结论进行系统对比，引导学生发现它们都可以统一于“乘倒数”的法则之下，体会运算的一致性，构建完整的分数除法认知结构。

  四、教学准备与环境创设

  （一）教师准备

  1.精心设计的多媒体课件，包含问题情境动画、动态几何演示（如线段图分段着色、面积模型分割过程）、关键问题提示、算法归纳过程框架等。

  2.预设课堂探究单（学案），包含核心问题、探究任务指引、记录区域、验证举例区、反思小结区。

  3.实物投影仪，用于实时展示、对比和分析学生的不同探究成果（包括正确和典型错误）。

  （二）学生准备

  1.复习分数乘法的意义、计算方法，以及倒数的概念。

  2.准备直尺、彩笔、方格纸或练习本。

  3.课前可进行简短的口算练习，激活相关旧知。

  （三）环境创设

  布置适合小组合作学习的物理空间，4-6人一组，便于讨论与操作。营造安全、开放、鼓励质疑和表达的课堂氛围，黑板划分为“问题区”、“探究区（算法猜想）”、“验证区（算理阐释）”、“归纳区（法则模型）”等动态区域。

  五、教学实施过程详案（90分钟）

  （一）情境激疑，锚定核心问题（预计时间：8分钟）

    师：同学们，我们之前用分数乘法解决了许多实际问题。今天，我们面对一个新挑战。请看屏幕上的情境（课件动态呈现）：小明和小红是徒步爱好者。周末，小明用2/3小时走了2千米，小红用5/6小时走了5/2千米。他们俩谁走得快一些？你是怎么比的？

    （学生可能回答：可以分别求出他们的速度，速度=路程÷时间。）

    师：非常好的思路！比较速度，就需要分别计算“路程÷时间”。那么，请你们为小明和小红分别列出求速度的算式。

    （学生独立列式，教师巡视。预设学生能正确列出：小明的速度：2÷2/3；小红的速度：5/2÷5/6。教师板书这两个算式。）

    师：仔细观察这两个算式，和我们之前学过的除法算式有什么不同？

    生：除数都是分数。

    师：是的，这就是我们今天要深入研究的核心问题——“一个数除以分数”该怎么计算？（教师板书副标题，并指向算式）这两个除法算式在现实生活中表示什么意思？以“2÷2/3”为例，谁能结合情境说说？

    （引导学生理解：求“1小时走多少千米”，就是求“2/3小时走的2千米”所对应的1小时的路程。这实际上是求“单位量”的问题，也是“包含除”的视角：2千米里面包含了几个2/3小时所走的路程？但更贴近速度模型的是“等分除”的扩展：把2千米看作2/3小时走的，求1小时（单位时间）走的，需要把2千米平均分成2份，取3份？这里初步渗透，但不深究，为探究提供动机。）

    师：算式列出来了，意义也明白了，可“2除以三分之二”结果到底等于多少？又该怎样计算呢？这就是摆在我们面前的真实挑战。请大家先独立思考，大胆猜想一下计算方法，并把你的猜想记录在探究单的“算法猜想”区。

  （二）自主探究，初建算法猜想（预计时间：12分钟）

    1.独立思考，记录猜想：学生安静思考，尝试联系已有知识（如整数除法、分数乘法、倒数等）进行猜想。教师巡视，观察并轻声询问学生的想法，收集典型思路（如：2÷2/3=2÷2×3=3；2÷2/3=2×3/2；2÷2/3=2×2/3？2÷2/3=2÷0.666…等）。不急于评价对错。

    2.小组交流，汇集想法：学生在4人小组内轮流分享自己的猜想及简单理由。组长负责记录本组出现的不同猜想。教师深入小组，倾听讨论，必要时用问题引导：“你为什么这么想？”“能用例子或画图说明你的想法吗？”

    3.全班分享，呈现多样：教师邀请持有不同猜想的小组代表上台，将他们的猜想写在黑板的“探究区”。可能呈现的猜想有：

      猜想A：2÷2/3=2÷2×3=3（依据：把除数的分子、分母分别去除被除数？）

      猜想B：2÷2/3=2×3/2=3（依据：感觉像乘以倒过来的数。）

      猜想C：把分数化成小数算，2÷0.666…≈3

      猜想D：2÷2/3=2×2/3=4/3（可能受乘法干扰）

    师：感谢同学们的智慧，产生了这么多有价值的猜想！数学猜想是发现的起点，但猜想是否成立，需要严格的验证。哪一个猜想是正确的？或者它们之间有没有联系？接下来，我们就来想办法验证。

  （三）多维验证，深掘算理本质（预计时间：25分钟）

    师：验证数学猜想，我们有哪些武器？（引导学生回顾：可以举例验证、画图验证、用已有知识推理验证等。）请各小组选择你们最想验证的一到两个猜想，或者针对同一个猜想尝试用不同的方法验证，完成探究单的“验证区”。

    验证活动一：几何直观，化抽象为形象（重点支持猜想B）

    师：对于“2÷2/3”，我们可以尝试用线段图来理解。请大家拿出练习本，画一条线段表示2千米，这是小明2/3小时走的路程。（教师同步在黑板上画）我们的目标是求1小时走的路程。

      步骤1：如何在线段图上表示出“2/3小时”和“1小时”的关系？（引导学生将1小时视为单位“1”，2/3小时是它的三分之二。）

      步骤2：那么，2/3小时对应2千米，先求1/3小时走多少千米，怎么求？（2÷2=1千米）请在图上标出。

      步骤3：1小时里有几个1/3小时？（3个）所以1小时走的路程就是1×3=3千米。整个思考过程用算式记录下来是：先求1/3小时的路程，2÷2=1(km)，再求1小时的路程，1×3=3(km)。整合成一个算式是：2÷2×3。

    师：观察这个计算过程，2÷2×3，它和哪一个猜想的样子很像？（猜想A）但它等于2×3÷2吗？根据乘除混合运算的顺序，2÷2×3=(2÷2)×3=1×3=3；而2×3÷2=(2×3)÷2=6÷2=3。结果相同！这说明“2÷2×3”可以改写成“2×3÷2”。再进一步看，“2×3÷2”就是“2×(3÷2)”，也就是“2×3/2”。看，我们从线段图推导的过程，竟然自然地导向了“乘以倒数”！这初步验证了猜想B的合理性。

    验证活动二：商不变性质，代数推理的威力（普适性验证）

    师：线段图给了我们直观的验证。我们能否运用学过的运算定律或性质，进行更一般的推理呢？回想一下，在整数、小数除法中，我们常用什么性质来使计算简便？（商不变性质）商不变性质的内容是？

    生：被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变。

    师：太好了！让我们尝试用它来推理“2÷2/3”的计算。我们的目标是让除数变成1，因为任何数除以1都得它本身。怎样把除数2/3变成1？

    生：乘它的倒数3/2。

    师：根据商不变性质，除数乘3/2，要使商不变，被除数应该？

    生：也要乘3/2。

    师：那么计算过程就可以这样写（板书）：

      2÷2/3

      =(2×3/2)÷(2/3×3/2)（应用商不变性质，同时乘3/2）

      =(2×3/2)÷1

      =2×3/2

      =3

    师：看，通过严谨的代数推导，我们直接得到了“2×3/2”这个算式。这强有力地证明了“除以2/3”就等于“乘3/2”，即乘它的倒数。请大家用同样的方法，在练习本上推导一下小红的速度“5/2÷5/6”的计算过程。

    （学生独立尝试推导，教师巡视指导。完成后小组互查。）

    验证活动三：举一反三，实例检验

    师：现在，我们已经从直观和推理两个角度初步确认了“除以一个分数，等于乘这个分数的倒数”的方法。但它是否具有普遍性呢？请各小组再任意举几个“一个数除以分数”的例子（可以是整数除以分数，分数除以分数），先用“乘倒数”的方法算出结果，再用你们喜欢的其他方法（如画图、化小数、商不变性质推导）进行检验，看看结论是否一致。

    （小组活动举例验证，教师收集典型案例。例如：4÷1/2,3/4÷2/3,1÷3/4等。通过大量实例的验证，进一步增强学生对算法普遍性的确信。）

  （四）归纳概括，建构通用模型（预计时间：10分钟）

    师：经过深入的探究和多方验证，我们现在可以响亮地回答课堂开始的问题了。请一位同学完整地总结一下，“一个数除以分数”应该怎样计算？

    （引导学生用规范的语言叙述：一个数除以一个不等于0的分数，等于这个数乘这个分数的倒数。）

    师：（板书完整的计算法则）请大家齐读一遍。这里的“一个数”可以是哪些数？

    生：可以是整数、分数、小数。

    师：对，这就意味着，这个法则对于“分数除以整数”、“整数除以分数”、“分数除以分数”都适用。我们之前学过的“分数除以整数（如3/5÷3）”，用今天的方法怎么算？

    生：等于3/5乘3的倒数1/3，也就是3/5×1/3=1/5。

    师：看，我们之前学的“分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数”是今天这个通用法则的一个特例！数学知识就是这样相互联系，形成一个整体的网络。现在，请大家在探究单的“归纳区”用自己的话写下这个重要的法则，并标注出关键点（“除以”变“乘”，“除数”变成它的“倒数”）。

  （五）分层应用，促进能力形成（预计时间：20分钟）

    第一层次：算法巩固，夯实基础

    计算下列各题，并思考如何做得又快又对。

    1.9÷3/4

    2.6/7÷3/14

    3.8/9÷4

    4.3÷9/10

    （要求独立完成，强调书写规范：将“÷”改为“×”，除数变倒数，过程中约分。完成后同桌交换批改，重点讨论错误原因，如：倒数找错、未变乘号、约分错误等。）

    第二层次：综合应用，解决问题

    1.回归情境：现在，请准确计算出小明和小红的速度，并判断谁走得快。

    2.生活应用：一个长方形的面积是8/9平方米，宽是4/5米，长是多少米？（先写出数量关系：长=面积÷宽，再计算。）

    3.思维拓展：已知a×4/5=b÷4/5=c×1(a、b、c均不为0)，请比较a、b、c的大小。

    （第3题旨在引导学生灵活运用倒数和乘除法互逆关系进行推理。假设等式都等于1，则a=5/4，b=4/5，c=1，所以a>c>b。鼓励学生分享不同的比较策略。）

    第三层次：沟通联系，深化理解

    师：回顾我们学过的所有除法，整数除法（如6÷2）、小数除法（如0.6÷0.2）、分数除法，它们的计算方法看起来不同，但在算理上有没有相通之处？

    （引导学生讨论，可以提示用“商不变性质”统一看待。例如：6÷2=(6×0.5)÷(2×0.5)=3÷1=3；0.6÷0.2=(0.6×10)÷(0.2×10)=6÷2=3；2÷2/3=(2×3/2)÷(2/3×3/2)=3÷1=3。本质上都是运用商不变性质，将除数转化为1，从而求出商。这种“转化”思想是数学学习的法宝。）

  （六）课堂总结，升华思想方法（预计时间：10分钟）

    师：这节充满探索味道的数学课即将结束，请大家在小组内从以下三个方面分享你的收获：

    1.知识层面：我学会了计算（），它的法则是（）。

    2.过程与方法层面：我们是通过怎样的过程发现的？用了哪些方法？（情境提问—猜想—画图、推理、举例验证—归纳结论）

    3.思想与感悟层面：这节课给你印象最深的是什么？你体会到了哪些数学思想？（转化思想、数形结合、从特殊到一般等）

    （学生分组交流后，教师邀请几位学生从不同维度进行全班总结。）

    师（总结升华）：同学们，今天我们共同完成了一次完整的数学发现之旅。面对“一个数除以分数”这个新问题，我们没有等待答案的公布，而是勇敢地提出猜想，并动用几何直观和代数推理这两大数学武器，亲手验证、归纳出了计算法则。更重要的是，我们看到了分数除法与之前所学知识的深刻联系，体会到了“转化”这一数学核心思想的强大力量。希望你们在今后的学习中，始终保持着这种敢于猜想、严谨验证的探索精神。最后，老师还有一个问题留给大家课后继续思考：我们今天研究的除法，除数都是小于1的分数（真分数）。如果除数是一个大于1的分数（假分数或带分数），比如2÷4/3，这个计算法则还成立吗？结果会比被除数2大还是小？为什么？这和我们学过的“商与被除数大小关系”的规律有什么联系？请把你的思考和验证过程记录下来。

  （七）布置作业，延伸学习空间

    必做题：

    1.完成课本对应练习页的题目，要求书写工整，过程完整。

    2.自编3道“一个数除以分数”的计算题（涵盖整数、分数除以分数不同类型）并解答。

    选做题/探究题：

    1.（接续课堂最后的思考题）研究：当除数大于1、等于1、小于1（且均不为0）时，商与被除数的大小关系规律。你能用今天学的知识解释这个规律吗？

    2.数学小论文（提纲）：以“‘颠倒相乘’的秘密”为题，尝试用文字、图表等方式，阐述你对分数除法算理的理解，可以回顾整个探究过程。

  六、板书设计规划

    （黑板左侧）（黑板中部核心区）（黑板右侧）

    问题区：探究与验证区：归纳与应用区：

    谁走得快？猜想：计算法则：

    小明：2÷2/3A:2÷2×3一个数除以一个不等于0的数，

    小红：5/2÷5/6B:2×3/2等于乘这个数的倒数。

    C:…（字母表达式：a÷b=a×1/b(b≠0)）

    验证1（图）：示例：

    2km→2/3小时2÷2/3=2×3/2=3

    1km→1/3小时5/2÷5/6=5/2×6/5=3

    3km→1小时思想方法：

    验证2（理）：转化、数形结合、

    2÷2/3从特殊到一般