弧长及扇形的面积（达标练习）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.9弧长及扇形的面积

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一、单选题

1.如图，RSABC中,ZACB=90J,AC=BC=2,在以A8的中点。为坐标原点、A8所在直

线为上•轴建立的平面直角坐标系中，将绕点B顺时针旋转，使点A旋转至），轴正半轴

上的N处，则图中阴影部分面积为（）

4422

A.-71-2B.一冗C.—71D.一乃一2

3333

2.若圆锥的底面积为1671cm2,母线长为12cm,则它的侧面展开图的圆心角为（）

A.240°B.120°C.180°D.90°

3.如图，已知CJABCD的对角线BD=4cm,将oABCD绕其对•称中心O旋转180。，则点D

所转过的路径长为（）

A.4；1cmB.3冗cmC.271cmD.ncm

4.已知圆锥的侧面积是3冗，母线是3,则圆锥的高为（）

QS

A.2B.2&C,-D.-

52

5.如图，点4、B、C、。都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧,

弧E尸经过格点。，则扇形AE/的面积是（）

4〃n9兀c5冗

A.——B.—C.乃D.——

384

6.如图，人8为。O的直径，点。在。。上，若NOC4=50。，人8=4,则灰?的长为（）

39918

7..如图，图中正方形ABCD的边长为4,则图中阴影部分的面枳为（）

DC

AR

A.16-4）B.32-8）C.8乃-16D.无法确定

8.如图，直线4〃《，直线机分别交心4于点4、B,以A为圆心，AB长为半径画弧，分

别交丛4于直线〃，同侧的点C、D,乙位＞6=35。，AB=9,则。。的长等于（）

9.如图，在矩形ABCD中，CD=1,ZDBC=30°.若将BD绕点B旋转后，点D落在DC

延长线上的点E处，点D经过的路径则图中阴影部分的面积是（）

n丛

C.

2~~2

10.如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为

)

C.135°D.150°

11.如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边VA4C,分别以点A,B,C为圆心,

以长为半径作6C，AC，A8,三弧所围成的图形就是一个曲边三角形.如果一个曲边

三角形的周长为2兀，则此曲边三角形的面积为（）

A.2it—2>/3B.2兀一C.27rD.71—>/3

12.如图所示，在心AA8C中，A3=4,AC=5,48。=90。.分别以人。，BC,A3为直

径作半圆（以AC为直径的半圆恰好经过点8,则图中阴影部分的面积是（）

二、填空题

13.75。的圆心角所对的弧长是2.5乃cm,则此弧所在圆的半径是cm.

14.如图，点A、B、C在CO上，若NBAC=45。，OB=2,则图中阴影部分的面积为

15.已知一个扇形的面积是12兀，弧长是2兀，则这个扇形的半径为.

16.若圆锥底面的半径为4,它的侧面展开图的面积为16%，则它的母线长为.

17.如图，两圆半径均为1,且图中两块阴影部分的面积相等，那。。1的长度是

二、解答题

18.如图,已知扇形A08的半径为10cm,圆心角为54。,求此扇形的面积(结果保留兀).

19.如图，人B是。0的直径，点。是人8延长线上的一点，点C在。O上，且AOCD,

20°.

⑴求证：C。是。。的切线；

(2)若。。的半径为3,求图中阴影部分的面积.

20.如图，在VA8C中，AB=AC=6,N84C=40。，以力A8为直径的。。与边4C、RC分

别交于点D、E.求。石的长.

21.如图，圆形铁皮。。的半径为2&m，从中剪出一个圆心角NMC=9O。的扇形84C,

点AB,C都在。。上.

A

(I)求扇形的面积；

(2)将这个扇形围成一个圆锥，直接写出圆锥的底面半径和高.

22.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为「(cm)的用形，设扇形的面积为V(cm2),求

扇形的面积＞与它的半径，•之间的函数解析式.这个函数是二次函数吗？请写出半径一的取

值范围.

23.如图，在VA3c中，?B90?,点。为AC上一点，以8为直径的0。交A3于点E,

连接CE,且CE平分

c

o

A

E'B

⑴求证：AE是0。的切线;

(2)若4=30。，。。的半径为5,求图中阴影部分的面积.

24.如图，在VABC中，经过48两点的。。与边8C交于点E,圆心。在上，过点。作

ODJ.交0。于点。，连接A。交于点〃，且AC=FC.

(1)试判断AC与0。的位置关系，并说明理由；

(2)若尸C=6，CE=\,求图中阴影部分的面积(结果俣留万).

《3.9弧长及扇形的面积》参考答案

题号12345678910

答案CBCBDBCCBB

题号1112

答案AD

1.C

【分析】先证明△AZ?C是等腰直角三角形，得至五，进一步求得旋钱角为60。，由

彘形=

S阴影=形八81V+Sd#BC■-S&ABC-SCBUS0形八为V一S旧形《川，即可得到阴影部分的面积.

【详解】解:VZACB=90°,AC=BC=2,

•）△ABC是等腰直角三角形，

：,AB=2AO=2OB=&AC=242，

,：△48。绕点B顺时针旋转，使点4旋转至y轴正半轴二的A处，

・•・"BgAA'BC,

ABAr=BA,

：.BAf=2OB,

即sinZ.OA'B=—,

2

NQ4'A=30。，

・••ZA'ft4=60°,

即旋转角为60。，

S阴影二S扇形人附，+SdABC~S盘BC~S母形（■8c

=S由形AH*-S扇形c*“

60"（2夜）607rx2?

-360360

42

=-7T--7T

33

2

=『

故选：C

【点睛】此题考查了扇形面积、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的三角

函数等知识点，推导出品耽=S塌形如，-S附形CM是解题的美犍.

2.B

【详解】解：设圆锥地面半径为「，则\67r=nr2,r=4,

所以底面周长为2取4=8兀，

设侧面展开图扇形圆心角为〃，

则8k嗤9，解得〃=120°.

IoO

故选B.

3.C

【分析】点D所转过的路径长是一段弧，是一段圆心角为180。，半径为OD的弧，故根据

弧长公式计算即可.

【详解】解：BD=4,

・・・OD=2

・••点D所转过的路径长二粤祟=2兀.

180

故选：C.

【点睛】本题主要考查了弧长公式：/=怒.

1OV

4.B

【分析】设圆锥的底面圆的半径为r,利用圆锥的侧面积公式得到g・2兀「3=3兀，然后解方

程求出r，再利用勾股定理可求出圆锥的高.

【详解】设圆锥的底面圆的半径为r,

根据题意得3・2兀「3=3兀，解得r=l,

所以圆锥的高=7?二7=

故选B.

【点睛】本题考查了圆锥的“算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧K等丁圆锥底

面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

5.D

【分析】本题考查了网格的特点，勾股定理，扇形面积，根据网格的特点求得圆心角和半径

是解题的关键.

根据题意以及网格的特点求得/6b=45。，圆弧的半径为AQ=J而，进而根据扇形面枳公

式进行计算即可.

【详解】解：依题意，点4、B、C、。都在边长为1的网格格点上,

2

/.ZC4F=45°,AD=VP+3=VlO，

二.扇形AEF的面积45°乃x（布）=旦.

36004

故选D.

6.B

【分析】直接利用等腰三角形的性质得出NA的度数，再利用圆周角定理得出N8OC的度数,

再利用弧长公式求出答案.

【详解】解:VZOCA=50°,OA=OC,

：.NA=50。，

••・N80C=2/A=100°,

*：AB=4,

,8。=2,

100;rx210

寸c的长为:--------------=—71

1809

故选:B.

【点睛】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出N80C的度数是解题关

键.

7.C

【详解】：根据图形，得

阴影部分的面积=2x71x22-4x4=871-16.

故选C.

8.C

【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判

定和性质是解题的关键.连接人C,先根据平行线的性质求出NC8O=ZAZ犯=35。，

ZADB=ZABD=35°,AABC=AACB,根据平行线的性质得出NA4C=NACB=70。.根

据弧长公式求出结果即可.

【详解】解：连接AC,如图所示：

m

A/i

♦“"I,,

：,Z.CBD=zLADB=35°,

根据作图可知：AB=AC=AD,

/.ZADB=ZAI3D=35°,ZABC=ZACB,

/.ZACB=ZABC=ZAI3D+NCBD=7()°,

/.ZDL4C=ZACB=7()°,

.ivii/y70兀x97

一CQ的长为-=7汽.

1oU2

故选：c.

9.B

【详解】试题分析：•••四边形ABCD是矩形，.\ZBCD=90°,VCD=I,ZDBC=30°,

•••BD=2CD=2,由勾股定理得BC=JBZ)2_/X?2=+,:将BD绕点B旋转后，点D落在

DC延长线上的点E处，；.BE=BD=2,

S地形DBE=30"x2-=1,SaBCD=1・BC・CD=[XGXI;且,

3603222

，阴影部分的面积=SKi形D3E-SABCD=-.故选B.

32

考点：扇形面积的计算.

10.B

【详解】解：•・,圆锥的底面半径为3,

，圆锥的底面周长为6兀，

•・•圆锥的高是6及，

•••圆锥的母线长为巧诞『=3

设扇形的圆心角为no,

.〃笈x9,

•・--------=6兀,

18()

解得n=120.

答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120。.

故选B.

点睛：本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧

面展开图的弧长，根据勾段定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图

中扇形的圆心角.

11.A

【分析】根据此三角形是由三段弧组成，所以根据弧长公式可得半径，即正三角形的边长，

根据曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，边长为〃的等边三角形的面

积为画,即可求解.

4

【详解】解：设等边三角形ABC的边长为「，

60•4•r1,

----------=-x2万，

1803

解得〃=2,即正三角形的边长为2,

，此曲边三角形的面积为当x2?+3x6°：J—,x2?]=220

43604

故选A

【点睛】本题考查了扇形面积的计算.此题的关键是明确曲边三角形的面积等于三角形的面

积与三个弓形的面积和，然后再根据所给的曲线三角形的周长求出三角形的边长.

12.D

【分析】先利用勾股定理计算BC的长度，然后阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+

以BC为直径的半圆面积以AC为直径的半圆面积.

【详解】解：在阳AA8C中

•••人4=4,AC=5,

/.BC2=AC2-AB2=52-42=9,

ABC=3,

・•・阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+5^8「以AC为直

径的半圆面积=,乂笈、2,+—x,zrxl.52+,x3x4—乃x2.5?=6.故选D.

2222

【点睛】本题考杳扇形面积的计算和勾股定理.在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部

分的面积.

13.6

【分析】由弧长公式：，=噤计算.

1oO

【详解】解：由题意得：圆的半径R=180x2.54+（75乃）=6。〃.

故本题答案为：6.

【点睛】本题考查了弧长公式.

14.TC-2

【分析】先根据圆周角定理证得NB0090。，从而得出AOBC是等腰直角三角形，然后根据

S।训彭二s附怒即口F求得.

【详解】解：・・・NBAC=45。,

••・ZBOC=90°,

•••△OBC是等腰直角三角形，

VOB=2,

**•S阴影=SOBC-SAOBC=~^rx22-X2X2=TI-2.

42

故答案为兀・2

【点睛】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答此题的关

犍.

15.12

【分析】本题考查扇形面积公式•，根据扇形面积公式直接代入求解即可得到答案.

【详解】解：•・•一个扇形的面积是12兀，弧长是24，

/.12^-=—x2nr,

2

解得：r=12,

故答案为：12.

16.4

【分析】设圆锥的母线长为1，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥

底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到3・2兀・4・1=16兀，然后解方程

即可.

【详解】解：设圆锥的母线长为1,

根据题意得!・2兀・4・1=16加

解得1=4兀，

即圆锥的母线长为4.

故答案为4.

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为•扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底

面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

17.-

2

【分析】根据S|J］影部分认眄O形OW)-Sli512aAe+S图影部分ms,I耳根据图中两块阴影部分的面积

相等，得到与.即产S制如“+/忆”，最后根据矩形和扇形的面积公式进行计算可得解.

【详解】根据题意得，S用影阐分柳E=S持影A8OQ-S扇形-5用第q“+S'刖纲;分6,

•••两块阴影部分的面积相等，

S即舶ABOQ-S帆形OAD+S电耙6BC>

.,___90^-xI-

..1xOO.=2x-----------

360

故答案为：y.

【点睛】本题考查了扇形的面积公式：s=嘤,其中〃为扇形的圆心角的度数，R为圆的

360

半径一或S=；/R，/为扇形的弧长，R为半径，读懂题意，根据条件得出S—码0=Sw+S“小c

是解题的关键.

18.15兀（cm.

【分析】此题考杳了扇形面积公式的求解方法，此题比较简单，解题的关键是注意熟记扇形

面积公式.

直接根据扇形的面积公式求解即可.

【详解】解：此扇形的面积为二、畛1()2=]5兀5]2).

36()

19.(I)见解析：(2)"后一3无

2

【分析】(1)根据圆周角定理和等腰三角形的性质，即可得到答案;

(2)根据扇形面积公式进行计算，即可得到答案.

【详解】(1)证明：连接。C.

QAC=CD,ZACD=]20°,

QOA=OC,

/.Z4CO=Z4=30°.

:.AOCD=ZACD-ZACO=90°.即OC1CD,

.•.CZ)是。。的切线.

(2)解：•.•NA=30。，

/.ZCOB=2Z4=60°.

_60万02_3乃

..以形BX360一5'

在Rt^OCD中,CD=OC^an600=38,

二\-OCD=；℃CO=gx3x3G=竽,

.c_96-3乃

一^VOCD一»扇形HOC—，

・•・图中阴影部分的面积为3二包.

2

【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质和扇形面积公式，解题的关键是掌握圆周

角定理、等腰三角形的性质和扇形面积公式

20.OE的长为

【分析】本题考查圆周角定理，三线合一，求弧长，连接8、OE、AE,根据圆周角定理

和三线合一，推出NDQE=NBAC=40。，进而利用弧长公式进行求解即可.

【详解】解：连接O。、OE、AE,则ND4E=!/OOE.

c

VAB=AC,

ZDAE=-ZBAC.

2

ZDAE=-ZDOE,

2

:.ZDOE=ZBAC=40°,

,/AB=6,

OA=OB=3.

..40兀.2

O£的卜二而又3=§兀.

21.⑴47rm2

⑵圆锥的底面半径为1m,高为厉m

【分析】（1）先判断8c过圆心。，AB=ACt然后由勾股定理求扇形的半径，再根据面积

公式求解即可；

（2）利用底面周长等于展开图的弧长，可求得半径径的长度，然后利用勾股定理即可求出

圆锥的高.

【详解】（1）连接8C,AO,

/.8C过圆心O,

***BC=4>/2m，

•・•从中剪出一个圆心角NBAC=90。的扇形84C,

/.AB=AC.

VAB2+AC-=BC~，

2

/.4公+6=(4可,

，扇形半径为A8=4m；

•・・5向形="叱=4m?；

扇形360

007TX4

（2）设围成圆锥的底面半径为，，则2万一=

1oO

解得;*=1

•・•圆锥的母线氏A6=4m,

，圆锥的高为“2=Vl5m-

【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住

两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径：②圆锥的底面周长

等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键.

22.）'是「的二次函数，其中0＜一＜2（）.

【分析】根据题意和扇形的面积公式将扇形的面积了与它的半径，•之间的关系式表示出来即

可.

【详解】由题意，得弧长为（40-2r）cm,

则=^(40-2r)r=-r+20r.

Jr>0

解得()<〃<20

[40-2r>0

故》是，•的二次函数，其中0vr＜20.

【点睛】本题主要考查扇形面积公式及二次函数的应用，掌握扇形的面积公式是解题的关键.

23.（1）见解析

”、25G25

（2）----------------7T

26

【分析】（1）连接OE,先根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到NO£C=N8CE,

证明OE//8。得到OE_LA8,然后利用切线的判定定理可证得结论；

（2）先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得AE=5G，ZAOE=60°,进而

根据S=SgE—S序形加E求解即可.

【详解】(1)证明：连接OE,

•：OC=OE,

/.NOCE=NOEC,

<CE平分NAC8,

・•・40CE=4BCE,

：.NOEC=/BCE,