2026年高考数学复习讲义：正余弦定理在解三角形中的综合应用（原卷版）

专题09正余弦定理在解三角形中的综合应用

01析•考情精解

02构•知能框架

03破•题型攻坚

考点正余弦定理在解三角形中的综合应用

真题动向

知识点1正弦定理

必备知识知识点2余弦定理

知识点3三角形面积公式

题型1正、余弦定理解三角形

题型2三角形解个数问题

题型3判断三角形形状

题型4三角形面积问题

题型5三角形边长最值问题

命题预测

题型6三角形角度最值问题

题型7三角形中线问题

题型8三角形角平分线问题

题型9解三角形与三角恒等变换

题型10解三角形实际应用

-±

析•考情精解

命题轨解三角形是上海卷数学的核心考点，每年必考1题，主要以选择题、中档解答题形式呈现。高频

考查正弦定理、余弦定理及面枳公式，涉及边角互化、判断三角形形状、多解问题等基础内容。

迹透视

考点2025年2024年2023年

考点频

正余弦定理在解三上海卷T8,5分

次总结上海卷T11,5分

角形中的综合应用

人预计在2026年高考中，运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关

2026DP

的实际问题.利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题仍是考查的重点。结合三

题预测角恒等变换与三角函数图象与性质、解三角形的题目多以解答题形式出现，分值为10分.

构•知能框架

•题型攻坚

考点正余弦定理在解三角形中的综合应用

1.（2024•上海•高考真题）已知点6在点C正北方向，点。在点C的正东方向，6C=8,存在点A满足

NBAC=16.5o,NOAC=37。，则N8C4=（精确到0.1度）

2.（2023•上海•高考真题）在VABC中，已知a=4,b=5,c=6,则sinA二

知识点1正弦定理

1正弦定埋的描述

①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

②符号语言：在AA8C中，若角A、3及C所对边的边长分别为。，b及c,则有

smAsinBsinC

2正弦定理的推广及常用变形公式

在AA3C中，若角A、6及C所对边的边长分别为。，b及J其外接圆半径为R,则

工=」=2R

sinAsinBsinC

asin3=/?sinA；Z?sinC=csinB；asinC=csinA；

③sinA:sinB:sinC=a:b:c

abca+b+ca+ba+cb+c-

④------=-------=-------=-------------------------=----------------=----------------=----------------=2R

sinAsinBsinCsinA+sin3+sinCsinA4-sinBsinA+sinCsinB+sinC

⑤〃=2Rsin4,b=2Rs\nB,c=2/?sinC（可实现边到角的转化）

®s\nA=—,sinB=—,sinC=—（可实现先到边的转化）

2R2R2R

知识点2余弦定理

1余弦定理的描述

①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的于方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两

②符号语言：在A4BC中，内角A,8,C,所对的边分别是。，仇j则:

a2=h2+c2-2力ccosA;

b2=a2+c2-2。。cosB

c2=a2+b2-2。〃cosC

2余弦定理的推论

,*>，,

,+c~-a~

cosA=--------------

2bc

cosB=

2ac

C『+/_c2

cosC=

2ab

知识点3三角形面积公式

①S」x底x高；

2

@S=—absinC=—icsinB=—Z?csinA：

222

③S=L(〃+力+c»(其中，。，4c是三角形A5c的各边长，/•是三角形43c的内切圆半径)；

2

④5=也(其中，。力，。是三角形A8C的各边长，R是三角形A8C的外接圆半径).

4R

【易错提醒】常用结论

在三角形中的三角函数关系

①sin(A+6)=sinC

②cos(A+3)=-cosC

③lan(A+B)=-tanC

®sin(------)=cos—

22

,A+。、.C

©cos(---)=sin—

22

⑥若sin/A=sinB<=>/I=B

⑦若sin2/1=sin2^<=>A=B或A+8=工

2

题型1正、余弦定理解三角形

3

I.VABC的内角A、〃、C的对边分别为〃、b、J若"6,c=2,sinA=-,则sinC=（）

B

A.1-icID-i

3

2.在VABC中,角A8,C所对的边分别为a也。，AB=2,AC=3,cosA=-,则〃=()

4

A.1B.2C.3D.4

3.在VA4c中,角A、“、C的对边分别为。、b、c,若。=夜，b=丛,4=45%则8=()

A.30°B.60°C.120D.60“或120

题型2三角形解个数问题

4.在V4AC中，内角A8,C的对边分别为4，0,c,根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A.。=6,4=60,C=45B.b=诟,c=6、B=60

C.a-5/3,Z?=2,A=45D.a=8,0=4,4=80

5.已知VABC的内角AB,C的对边分别为，也c,月）=6,4=1，若V/1AC有两解，则。的取值范围为（）

A.(3>/3,-l-ooB.(3,3N/3)C.(3,+oo)D.(36,6)

6.在VA8C中，内角ABC的对边分别为分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A.a=5,A=40。，3=75°B.a=4,b=5,c=6

C.a=3,b=4,A=30。D.a=2,c=V2,C-60°

7.在V/IAC中，a,力分别为内角人.△所对的边，b=5.月=40。,若有两解，则”的取值范围为

()

A.(0,5)B.(0,5]C.(5,10)D.(10,+oo)

题型3判断三角形形状

8.在VA3C中，a=3c.sC,则VA4c的形状是().

A.直角三角形B.底边为8c的等腰三角形

C,底边为AC的等腰三角形D.底边为AB的等腰三角形

9.在VABC中,角ARC的对边分别为。也c,则“/+〃一必=02”是"v"C为等边三角形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.在V4BC中，cos2-=--（八b、c分别为角4、8、C的对边），则VABC的形状为（）

22c

A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.等腰直角三角形D.正三角形

II.在V4BC中，其内角A,B,C的对边分别为。，b,c,若acos4cosA=c,则VABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

题型4三角形面积问题

12.在V48C中，角A3,C的对边分别为。，仇c.己知。是函数/⑴=/7-12的一个零点，"c=8,且

3

cos>4=-,则V4“。的面积为（）

A.6B.12C.24D.48

13.在VA3C中，已知48=（1,石），J?C=（2,-2A/3）,则VA3。的面积为（）

A.2石B.4C.3>/3D.4x/3

3

14.在VA3c中，8C=8,AC=10,cosZACB=-,则VA4C的面积为（）.

A.8B.16C.32D.64

15.在VABC中,角A,B,C的对边分别是mb,c,若b+c=14,cosB=—,cosC=—，则VABC的

48

面积是（）

A,巫15"

C.9D.18

4

题型5三角形边长最值问题

16.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知角B的内角平分线长为《，若B=g,

则a+2c的最小值为（）

A.6B.2+2邪C.3+2&D.3+25/3

17.在V48C中，若cos2A+cos28=2—sin2。，且VA8C的面积为2,则VA8C周长的最小值为（）

A.4+2及B.4-2x/2C.472+2D.4&-2

18.记VABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,c=4,cosA=旦,若VABC有两解,则a的取值

4

范围是（）

A.（4,y）B.（3,+oo）C.（3,4）D.13,4）

19.在，ABC中，角ARC的对边分别为a/,c,已知角8的内角平分线长为1,若8=与，则a+2c的最

小值为（）

A.6B.3+272C.2+2x/3D.3+26

题型6三角形角度最值问题

20.在VA3c中，A、B、。分别为边。、〃、c所对的内角，若。、b、。成等比数列，则角8的范围是（）

A.0<B<-B.0<B<-C.0<B<-D.-<B<n

4322

21.在V/WC中，5ABAC+3BABC=2CACB贝UcosC的最小值为()

B

-t5

22.在VABC中，向量AC-BC与向量AC+3BC垂直，则8sC+4siMcosB的最大值为（）

A.V2B.&C.2GD.2x/7

23.在VA8C中，角A,B,。所对应的边分别为〃，b,c,且2=4,a=2c,。为AC的中点，则cosZAQB

的最小值为（）

A.-B.且C.-D.也

5544

24.在锐角VA8C中，记内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a（a+〃）=/,则A的取值范围是（）

题型7三角形中线问题

25.在VA3C中，ZBAC=—AO是—3AC的平分线，BD=2CD,44=3,贝”inN48C=()

3f

A国口历

A•1o•Vz•

1474

26.已知在V4BC中，AB=4,4c=6,cosB=J.若VABC的角平分线AO交边AC于点。，贝!八。=()

O

B.更C.1D.3及

555丫

27.在VA8C中，N8AC=—，。的角平分线A。交BC于点。，若CD=4^AB,则tan/48C=（）

A.gB.-C.1D.&

题型8三角形角平分线问题

IT

28.在V4BC中，AB=2,AC=l,/84C=—,/BAC的角平分线交8C于。，则AO=（）

3

AGB."C.QD.迪

333

29.在VA3c中，Z«AC=y,AO是-K4C的平分线，I3D=2CD,AB=3,则sinZA4C=()

A叵R&TV3D.与

o.-----Cr.----

14744

，已知角的内角平分线长为，若

30.在ABC中，角A,B,C的对边分别为as.b,cBV3B=1,

则a+2c的最小值为（）

A.6B.2+2#C.：3+2&D.3+26

31.在VABC中，。的平分线交BC于点。，若AO=AC=3,CO=2,则4/)=()

4曳

A.-B.2C.3D.

335

题型9解三角形与三角恒等变换

已知tanC=4,，则叱£的取值范围是()

32.记7ABe的内角A仇C的对边分别为ahc,

cosAc~

A.（-3,-2）B.3,—1）C.1[-3,0)D.(-3,1)

33.在VABV中,角A优。所对的边分别为a，Ac‘若b+c="厂。为边"的中点，皿”

则纺-C的取值范围是（）

A.（T,4）B.[M,4]C.1(—2,4)D.(-2,4]

34.已知在工ABC中，角A,S,。所对的边分别为a,b,c,—<A<—,若〃=a(a+c),贝I」---‘"瓶"--

64b(x>sA-acosB

的取值范围是（）

A.（0,用B.1喝

C.（界）D.

11

35.在锐角VA8C中，角A,B,。所对的边分别为a,c.^c2+bc-a2=0,则4(sinC+cosC)2+

tanCtanA

的取值范围为（）

36.在锐角三角形ABC中，角4：B,C的对边分别为。，b,c,若42+c'2=x/5ac+/?2，则cosA+sinC的

取值范围为（）

题型10解三角形实际应用

37.如图所示，为测量一棵树加的高度，在地面上选取A,B两点（A,B,H三点共线），从A,B两点

分别测得树尖P的仰角为30。，45。，且A,8两点之间的