湖北咸宁市2025-2026学年上学期高中期末考试高三数学试题

湖北咸宁市2025-2026学年上学期高中期末考试高三数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.复数（4+i）（l—i）的虚部为（）

A.3B.-3C.3iD.-3/

2.已知集合/\=卜|可42},8=卜6力/一2%-3<0},则Ac3的元素个数为（）

A.3B.4C.5D.6

3.已知双曲线。：£-营=1（。>0/>0）的离心率为当，则C的渐近线方程为（）

A.y=±xB.y=±-xC.>'=±|xD.y=±-x

J234

4.若函数=tan|；但+以。〉0）的图象的一个对称中心的横坐标为2,则。的最小值为（）

A71

AB.-C.-D.-

-n643

5.等比数列{%}的前〃项和为S“，4+4=28,生q=27,则邑=（）

A.60B.50C.40D.3()

6.已知/(x)是定义在R上的偶函数，且/(4-力=/(1)，当OWxW2时，/(x)=2x-l,

则”2026)=()

A.-1B.1C.3D.7

7.已知圆C：（X-3）2+），2=9上有不同的4个点到直线/：），=依的距离等于1,则实数攵的取

值范围是（）

A阳C（-14}D.号明

8.已知函数"x）=ex,g（x）=；ar2,其中。>0,若存在两条不同的直线同时与曲线），=/（x）

和），=g（x）相切，则正数。的取值范围是（）

B.『C.(0,e)D.(e,+8)

二、多选题

9.在长方体A4CO-AQC。中，底面A48为正方形，区尸分别是人牛的中点，则下

列结论一定成立的是（）

A.EFLAA.B.M_L平面4。£>山

C.AE1CFD.AC//平面4EF

10.过抛物线C：的焦点尸作直线与抛物线。交于48两点，。为坐标原点，直线。4,

4

。8的斜率分别为勺,&，则下列说法正确的是（）

A.以A4为直径的圆与抛物线的准线相切

B.用用=-2

C.|"1+2忸目的最小值为节逑

D.△048面积的最小值为上

16

II.在锐角VAAC中，角4B、C的对边分别为〃、b、c,若3/一3方2=02,则下列结论正

确的是（）

A.c=3bcosAB.taiiA=3tanB

C.tan/^>—D.tan/HanfitanC的最小值为迹

24

三、填空题

12.（r+2丫的展开式中的常数项是___.

Ix）

13.己知同=1,忖=2,后与5的夹角为?，若侬+防）1万（此A），则K―闽=.

14.不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的1个白球和3个黑球，从袋子中逐个取球，规

则如下：若取到黑球，则不放回且立即停止取球；若取到白球，则放回袋中，然后向袋中加

入一个除颜色外完全相同的白球，继续取球.若最多进疔〃次取球（〃eN*,〃之2）,即当取

球次数为〃时，立即停止取球，记随机变量X”为取球的次数，设X”的数学期望为£（X“），

则£区）=,E（X„）=（用〃表示）.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000

名得到如下列联表：

效果明显效果不明显合计

甲方案10002001200

乙方案600200800

合计160040()2(X)0

(1)在1200名选择甲方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取12人，再从

这12名患者中随机抽取4人，设这4人中至少有1名患者效果不明显为事件A,求事件4的

概率尸(A).

(2)根据小概率值a=0.001的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联.

附：_______二―一_______

n=a+b+c+d.

+/?)卜•+d乂a+c)(〃+d)

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510.828

16.已知数列｛4｝中，％=4,a“=%+2"T+3(〃N2,〃eN)

⑴证明数列｛q-2”｝是等差数列，并求｛%｝的通项公式；

⑵设—1，求2的前〃项和

17.如图1所示，在梯形A8C。中，BE±,BC=6,4。=12,A^E=BE=4,把△.'BE

沿麻折起，得到四棱锥A-BCOE,如图2所示.

(I)若AD=4x/J,证明：AO_L平面ABE.

(2)若平面平面4CDE,A,B,G。在同一个球面上，设该球面所在球的球心为。，

(i)求球。的半径「；

(ii)求直线OC与平面43c所成角的正弦值.

18.已知椭圆C:£+《=l(a>"0)的离心率为正，点(0,2)在C上.

a~b~2

(I)求椭圆。的标准方程；

⑵已知动直线/过曲线C的左焦点/，且与椭圆C分别交于P,Q两点，试问工轴上是否存

在定点R，使得丽•题为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由；

⑶在(2)的条件下，当直线/不与工轴重合时，求△RPQ的面积S的取值范围.

19.已知/(.v)=(x+l)ln(x+l)+izsinr.

⑴当。=1时，求〃工)在(OJ(O))处的切线方程；

⑵若对任意的x«。,兀)，〃工)>0恒成立，求”的取值范围；

⑶证明：-sinl+—sin—+…+/-sin—<In(;2+1).

232n+lnV7

试卷第4页，共4页

《湖北咸宁市2025-2026学年上学期高中期末考试高三数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BADBCCDBABDAC

题号11

答案ACD

1.B

【分析】根据复数的运算法则,化简复数为5-3i,结合复数的定义,即可求解.

［详解］因为（4+i）（lT）=4_4i+i_i2=4_3i_（T）=5-3i,

所以复数（4+i）（l-i）的虚部为-3.

故选：B.

2.A

【分析】求出两集合，再根据交集含义即可得到答案.

【详解】A={^\X\<2}={^-2<x<2},

B={xeZ|X2-2X-3<0）={XGZ|-1<X<3}={0,1,2},

则人口4={0,1,2},则AcB的元素个数为3.

故选：A.

3.D

【分析】根据离心率可得2=，，进而可得渐近线方程.

a4

【详解】由题意可知：6=£=、1+（2丫=姮，解得2=：,

a丫⑴4a4

且双曲线。的焦点在x轴上，所以双曲线。的渐近线方程为），=±：x.

4

故选：D.

4.B

【分析】先求出正切函数的对称中心，根据题意得-F+2=2,keZ,结合。〉0,即可

6c。2（o

求得。的最小正值.

，'必".匚（n）.7cl,「［71kjt

【详解】对于y=tan"3十=,由3=可得，x=----+—,kwL,

k6J626①2（o

即函数丁=1@|］"+看）3>0）的图象的对称中心为（一言+畀0）我2,

答案第1页，共15页

依题意，-4+2=2,婕z,

0692(0

zi~t兀4兀.—

解得=——H----,keZr,

124

因为。＞0,则％=1时，可得。的最小值为。=若+：

故选：B.

5.C

【分析】设等比数列｛为｝的公比为4,利用等比数列的性质和基本量运算求出公比，再由前

〃项和公式计算即得.

【详解】设等比数列｛q｝为公比为夕，因生《=4。=27,且4+2=28,

故可将％,4看成一元二次方程x2-28x+27=0的两根，解得x=1或x=27.

当4=1,4=27,则”=幺=27,解得乡=3,故其二上亘二句；

41-3

(1、

q[27]—J-

当％=27,，=1,则。'=?=方，解得^=彳，故$4=---3^=40.

4z/31

1—

3

故选：C.

6.C

【分析】分析可知函数/("的一个周期为4,结合周期性运算求解即可.

【详解】因为函数“X)是定义在R上的偶函数，且/(4r)=/(-(x-4))=〃x-4),

由题意知/(4一x)=/(x),gp/(x-4)=/(x),可得f(x)=/(x+4),

可知函数的一个周期为4,

乂因为当0KxK2时，/(A)=2X-1,且2026=4X506+2

所以f(2026)=〃2)=3.

故选：C.

7.D

3kl

【分析】求圆心到直线/的距离4=7甘，由题意可知dvr-1,代入运算求解即可.

VA2+1

答案第2页，共15页

【详解】由题意可知：圆C:(x-3Y+y2=9的圆心为C(3,0),半径〃=3,

则。(3,0)到直线/：/ex-)，=。的距离d

若圆。上有不同的4个点到直线/的距离等于1,则dvr-1,

即③网c箱舛2x/5.2石

即/,<2，角限得-----<k<----,

42+155

/2/<2代、

所以实数攵的取值范围是卜亨，亨.

故选：D.

8.B

【分析】利用导数的几何意义求出曲线y=/(x)在点(/0)处的切线方程，将该切线方■程与

函数g(x)的解析式联立，可得出关于X的二次方程/-2e'x+2e(-1)=0卜”>0)有两个不

等的实根，由△>()可得出2〃=工。工1),构造函数力(:)=二，其中，工I,利用导数分析

函数/?(/)的单调性与极值，数形结合可得出实数。的取值范围.

【详解】在曲线/(x)=e'上取点(/©),广3=d，

故曲线y=/(x)在点(T,e'］处的切线方程为)=e'=e'(x-/),

y-e'=e;(x-r)

联立1,可得以2-2ea+2e'(/-l)=0,

y=泮“

因为存在两条不同的直线同时与曲线y=/(x)和y=gW相切，

则关于x的二次方程/-2e'x+2e'。-1)=0(。>0)有两个不等的实根,

所以△=4e2'_&ze'(/_l)=0,可得加«_l)=e',

所以关于1的方程加。-1)="有两个不等的实根，

显然f=l不满足方程为。-1)=乙故rl,所以2。=总，

令/()=*,其中则〃(/)=：”：；)，列表如下：

'，t-\(z-1)

答案第3页，共15页

1(fl)(L2)2(2收)

—一0+

馋)减减极小值/增

且当r<l时，A(/)--<0；当时，h(t)-->0,如下图所示;

r-1'r-1

故实数。的取值范围是内

故选：B.

9.ABD

答案第4页，共15页

【分析】设A8=2,OR=2a>0,建系并标点，利用空间向量判断空间中线面关系，进而逐

项分析判断.

【详解】设48=2,。2=2">0,

以。为坐标原点，£>4。C。。分别为尤丁衣轴，建立空旬直角坐标系,

A（Z0,0）,B（220）,C（0,Z0）,D（0,0,0），A（2,0,2a）,用（22,2a），G（022a）,E（2,lM）/（12a）

对于选项A：因为E尸=(-1,1,0),4<=(0,0,加)，

innimu

则所=0+0+0=0,所以所_L/U1,故A正确;

对于选项B：因为加=(2,2,0)，函•=((),0,2a),

EFD^=-2+2=0

且彳_______,则曰UOB,EF1BB、,

EFBB.=0

且。BcBB1=8,DB,BBu平面BDD岛,所以功，平面B。/)固，故B正确;

对于选项C：因为荏=((Ua),Ck=(l,0,a),

则了已苫公二/工。，所以AE不与C"垂直，故C错误；

对于选项D：因为46=(-2,2,0),£F=(-l,kO),

则衣=2前，可得AC7/砂，

且AC<Z平面A印，EFu平面BE尸,所以AC//平面B印，故D正确;

故选：ABD.

10.AC

答案第5页，共15页

【分析】依题意设直线A8的方程为），=依+」，与抛物线方程联立，写出韦达定理，结合

16

抛物线焦点弦性质，以及基本不等式推理计算即可逐一判断各选项.

【详解】由题意得，抛物线G/=与的焦点为尸（。,白），准线方程为y=-乙，

41616

显然直线/IB的斜率存在，可设直线AB的方程为,V=依+4，

16

f1

联立方程组一―16,可得4丁一日一白=0,A=3+：>0,

|.y=4x2164

k\

设4（X,到）,8（占，为），则%+占=:，%占二一77，

464

[〃[]

则y+%=4玉+%）+^=7+^,乂力=16-（%々）‘二w，

o4©230

对于A,由抛物线的性质，可得M8|=x+y,+』=£+1+1=9,

111--84884

设"的中点为则“正区-3”-入土&-与+j

点M到准线的距离为4=w+A=1=g|AB|,

故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，即A正确；

1

对于B,由勺七二21•&二2平=一:，所以B不正确；

N9_±4

64

对于C，因为）'。2=与，可得）'2=£7

由抛物线的焦半径公式，可得|4尸|=X+J，忸2|=必+J,

1616

则|AF|+2|8F|=y+2V2+—=y+—!—+—>2ly.+—^—+—=3+2^,

11171/216'128y16VI28y,1616

当且仅当y=G时，即y=Y2时，等号成立，所以C正确；

128,八16

对于D,由图知△048的面积SA0A8=1|OP|X|X2-X|1=9J（W+菁f-4/

$代尸田（一白=击内2击,当且仅当％=。时等号成立，

即△043的面积的最小值为上，故D错误.

答案第6页，共15页

故选：AC.

11.ACD

【分析】利用正弦定理、余弦定理，和差化枳公式与和用公式将题设等式化简即可判断A,

B项；借助于和角的正切公式和题设条件由tanC>0即可证明C项：利用求导判断函数单调

性即可求得最小值判断D项.

【详解】对于A,由3/-3从=。2和余弦定理,可得3(d-4ccosA)=/,整理得

2c2=6bccosA*

即得c=3/?cosA,故A正确;

对于B,由3储一3从=。2和正弦定理,可得3sin2A—3siY3=sin2。，则

J-cos2Al-cos28、.2八

3(——T-------------T——)=sin-C,

22

3

即耳(cos28-cos2A)=sin*C,由和差化积公式可得一3[sin(A+8)sin(B-A)]=sin?C,

因sin(A+8)=sin(7r-C)=sinC工0,则得一3sin(B—A)=sinC=sin(A+8),

展开得一3(sinBcosA-cosBsinA)=sinAcos3+cosAsinB,

S^,Wcos^sin4=2cos/4sinB,则有tanA=2tan3,故B错误；

对于C,因V4BC是锐角三角形，故

一/,八、/AC、tanA+tanB3tanB八

tanC=tan(冗-A-B)=-tan(A+B)=-------------=--------；—>0,

1-tanAtanB1-2tan'B

则得1一2出不A<0，即tan??〉:，故tan8>也，即C正确；

对于D,又tanAtan^tanC=2tan2Z?tanC=——，⑦”?,tanB>史*,

l-2tan2fi2

设tan8=x,则xe(立,+8),且/(x)=——r，xe(—,-KO),则八x)=『

2\-2x-2(1-2x)

当孝冷时,r(x)<o,即/*)在(„)上单调递减；

当(当,+8)时，r(X)>0,即/。)在(乎,+o0)上单调递增.

答案第7页，共15页

9

2-X/69

-2=-

4

即当ianB="时，tanAtan&anC的最小值为亚，故D正确.

24

故选：ACD.

12.240

【分析】根据展开式的通项公式，即可求解.

【详解】中，"晨1厂闫’=晨.2'产"

当12—3，=0,r=4时,常数项C：24=240.

故答案为：240

13.V21

【分析】利用向量垂直的充要条件数量枳为0,转化为数量积运算求得女的值，再根据

k-历卜亚甫，利用向量数量积的运算律求得结果.

【详解】因为同=1邛卜2,及与6的夹角为?，所以同Li林=4,15=],

因为(2d+防)_Ld,

所以(24+防)々=2同万•/；=(),即2+2=0,k=-2.

所以,一闽=,一(一2)同=Jd+留=J同-+4小〃+4忖=Vl+4xl+4x4=\/21.

故答案为：0T.

3

27r(v\-3

14,20"2(〃+1)(〃+2)

【分析】由题知X3的可能取值为1,2,3,再依次求各取值对应的概率，进而计算E(X?)即可;

X”的可能取值为123,…对于当2KW〃T,X”=k时,前"1次取白球,第2次取黑

球，进而计算对应概率，兀=〃，前〃-1次都取白球，再计算P(X“=〃)，最后根据裂项求和

求解期望即可.

【详解】X3的可能取值为1,2,3,

答案第8页，共15页

3,1331?1

所以P(X3=1)="P(X)=2)=-x-=-,P(X3=3)=-X-=-,

73i77

所以E(Xj=-+2x—+3x-=—；

V374201020

X”的可能取值为123,…

3

P(X”=1)="

当2K&K〃—1,X〃=k时，前k—l次取白球，第k次取黑球，

n/u,、123k-\3Ix2x3x318

r(A„=K)=­x—X—X...X-----X------=--------------------=--------------------

'"7456k+2k+3M&+l)(&+2)(A+3)女伙+1)(&+2)仕+3)

*”=%前〃一1次都取白球，

\12311-16

rni/Xv„=7/)=—X—X—x-------------------.

'"，456w+2〃(/2+1)(〃+2)，

所以E(X“)=lxP(X“=l)+£AP(X“=k)+"(X.i)

*-2

3E186

4金(左+1)(左+2)仅+3)(〃+1)(〃+2)

因为(&+1)仕+2)(&+3).9(7+1)(〃+2)一(&+2)伏+3)

n-118111

所以Z=9+9+

4=2(女+1)佳+2)仅+3)3x44x54x55x6

-------------------=9-------------------=----------------

+(〃+1)(〃+2)3x4(〃+1)(〃+2)4(〃+1)(〃+2)

所以七(X")=Z?(，+l"+2)(%+3)+(n+l)(n+2)

339633

=—+--------:------+----:------=---------------

44(〃+1)(〃+2)(〃+1)(〃+2)2(n+l)(/i+2)

33

综上，2-(/7+1)(/?+2)-

2733

故答案为：20；2一(〃+1)(〃+2)

⑵治疗效果与选择甲、乙方案有关联.

【分析】（1）先计算出抽样比，分别求出所抽取的12人中效果明显与不明显的人数，根据

答案第9页，共15页

所求事件考虑运用对立事件的概率公式计算，结合组合数表示和计算即得；

（2）根据题意，由列联表代入/的计算公式计算，再根据独立性检验内容即可得到结果.

171

【详解】（1）由题意，分层随机抽样的比例为示二诉，则效果明显的患者应抽取

1ZUU1UU

1000x£=l（）人，效果不明显的患者应抽取200X占=2人，

事件A是“至少有I名患者效果不明显”，可用对立事件计算.

-C421014

即；i表示“4人都效果明显“，则P（A）=W=K=右,

-]419

故P(A)=1-P(A)=I-3=3

（2）零假设为M.：治疗效果与选择甲、乙方案无关联,

2OOO(lOOOx2OO-2OOx6OO)2_125

则Z2。20.833>10.828=天皿，

1200x800xl6C0x4006

根据小概率值a=0.（X）l的独立性检验，我们推断”。不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案

有关联.

16.⑴证明见解析，。“=2"+3〃-1

3〃+5

2"

【分析】（1）利用等差数列的定义判断｛勺-2"｝是等差数列，结合等差数列的通项公式求｛&｝

的通项公式.

（2）利用错位相减求和法求数列低｝的前〃项和.

【详解】(1)当〃之2时,a“=/T+2"T+3=qi+2"-2"T+3,

所以，2"1=3,又％=4,所以q-2=2,

故｛凡-2"｝是以2为首项，3为公差的等差数列.

故4—2”=2+(〃—l)x3=3〃—l,所以，勺=2"+3〃-1.

2n+3/2-113〃—1

⑵*嚏-----------1=-----

2”T

3〃一1

…+-，--①--

令(="|+5+2”

答案第10页，共15页

①-②得：/

53〃+5

=1+3x

17.(1)证明过程见解析:

⑵⑴5；(ii)巫

5

【分析】(1)求出各边长，由勾股定理逆定理得A。，4E,证明出线面垂直得到A。,

进而证明出AOJL平面ABE;

(2)(i)作出辅助线，得到Q4=P8=PC=P£)=5,即P为球心。，球。的半径为5：

(ii)建立空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量，由线面角的夹角公式进行求解.

【详解】(1)由题意得AE=AE=4,OE=12-4=8,又AD=46,

&[.AE2+AD2=DE\^ADVAE,

梯形ABC。中，BE1A{D,故BE上AE且BE上DE,

因为4EnO"=E，人E,OEu平面AOE,所以相_L平面AOE,

因为AOu平面AOE,所以照_LA。，

因为AEIBE=E,AE,8Eu平面ABE,所以A。J■平面ABE；

(2)(i)平面A8E_L平面4CQE,交线为BE,

又AEu平面A3E,所以AEJ■平面BCQE,

又BE,OEu平面BCOE,所以A£J_晅，AE±DE,

又BE工DE,AB,C,。在同一个球面上，

取8c的中点G,在。石上取点P,使得E尸=3,连接PG,则尸。=5,

因为褚=8G,EP//BG,BE±DE,所以四边形PGBE为矩形，

答案第11页，共15页

由勾股定理得8P=JBG2+PG2=5，同理c?=5,AP=>]AE2+EP-=5»

所以/<4=P3=PC=PD=5,即尸为球心。，球。的半径为5；

(ii)以E为坐标原点，所在直线分别为Myz轴，建立空间直角坐标系,

故0(0,3,0),C(4,6,0),4(0,0,4),8(4,0,0),AB=(4,0,-4),AC=(4,6,-4),

反=(4,3,0),

设平面ABC的法向量为m=(乂)，,z),

/nAB=(x,>,,z)(4,0,-4)=4x-4z=0

则

/〃•AC=(x,yyz)•(4,6,-4)=4x4-6_y-4z=0

解得y=0,令x=L贝ijz=l,故正=(1,0,1),

设直线OC与平面ABC所成角的大小为6,

则sine=网"咻制=噤2%=¥

直线oc与平面ABC所成角的正弦值大小为芝.

5

⑵在x轴上存在定点上刮，使得即质为定值工7

4

(3)()，

【分析】(1)由离心率和点(0,2)在椭圆上，列出等式求解即可;

(2)当直线，的斜率存在时，设直线/的方程为y=A(x+2),设R(〃2,o),利用韦达定理和

向量的数量积求出机=-15，此时而•题为定值-7入当直线/的斜率不存在时，直线/的方

24

程为x=-2,求出此时点样也满足前面的结论，即得解..

(3)设直线/的方程为X=，町」2,与椭圆方程联立，由根与系数的关系可得

答案第12页，共15页

y+必=*^，、跖，利用=今五即E-引可■求"PQ的面积s的取值范围.

c_V2

~a~^2

a=2y/2

O222

【详解】（1）设椭圆c的半焦距为c（c>o）,由题意可得•7+乒=1,解得•b=2

c=2

cr=b2+c2

所以椭圆C的标准方程为三+二=1.

84

(2)当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=k(x+2),

代入椭圆的方程，可得(2k2+i)/+8Fx+8A2-8=O,

设，尸(刀,乂),。(土,，2)，则，&+)=—,人泾=l，

乙八।1/K।I

设/?(/»,0),则RP-RQ=(xi-m,yl)\x2-m,y2)=(xl-m)\x2-m)+yiy2

=x1x2-m(x}+/)+〃/+P［内々+2(内+x2)+4J

22

=(y+1)%巧+(2攵2—〃。(而+x2)+4k+tn

一8女2一8/,、Sk~、(2〃/++4快2+〃/一8

=K+1)------2K-m•-；—+4K+nr=A-------------------L---------

')2k2+\'72/+12*2+1

若(2W+8m+4*+疗—8为定值,则/一8解得机

2k2+12〃r+8〃?+42

此时—TR点的坐标为卜加

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为工=-2,

x=-2

代入上=1,得

84y=±41

不妨设P（-2,收）。12,一夜）,若万信,0）,

则档停板）哈仁、-0）,RPRQ=­f

综上所述，在x轴上存在定点M-：，。］,使得而.而为定值二.

k2；4

答案第13页，共15页

R

%—

r22

(3)设直线/的方程为x=〃?)，-2,代入椭圆方程匕+2v_=1,

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得(，4，—2)2+V