河北省唐山市2025-2026学年度高二年级第一学期期末考试数学试题

河北省唐山市2025-2026学年度高二年级第一学期期末考试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在数列｛%｝中，4=1，an=\+—[n>2,“wN〉IIIIJa.=()

an-\

3

A.2B.3C.-

2

2.已知直线,的方程为x+百y-5=0,则/的倾斜角为()

A.3(/B.60°C.120°D.150°

3.三棱锥力-5。的所有棱氏都为2,£/分别是48,的中点，则济.赤=()

A.-1B.1C.-2D.2

4.椭圆£+/=勺左、右焦点分别为片，F2,经过鸟的直线交椭圆于4B两点,

若△力8月的周长为4石，则该椭圆的离心率为()

A.yB.—C.—D.亚

2323

5.在正方体力44GA中，。为棱的中点,而=X和+)，而+z而，则x+y+z=

)

A.-1B.-3C.1D.3

6.已知圆。经过力(1,2)、4(3,4)两点，圆心在直线x-)，+l=0上，则圆C的方程为()

A.(x-l)2+(y-2)2=4B.(x-3)2+(y-4)2=8

C.(x-2)2+(y-3)2=2D.(x-l)：+(y-4)2=4

7.过圆C：(x-4)2+(y-4『=2上的动点/作圆。/+产=1的两条切线，切点分别为

48,则四边形K404周长的最大值为()

A.8B.16C.2x/17+2D.25+2

8.经过抛物线V=3x焦点产的直线与抛物线交于48两点,若以日=3忸日，则|48|=

()

试卷第1页，共4页

A.3B.4C.5D.6

二、多选题

9.已知等差数列｛%｝的公差为d,前〃项和为5,凡=25,0=3,则（）

2

A.d-2B.6=13C.S7=49D.=4n-1

10.已知点力（-2,0）］（1,0）,动点/>满足|尸力|=2仍用，设动点P的轨迹为C,下列说法正确

的是（）

A.。的方程为（》-2『+/=4

B.。上存在点"在直线N=x+I上

C.C上存在点N到点（-2,3）的距离为8

D.。与圆/+丁=4的公共弦所在的直线方程为x=l

11.在正三棱柱444G中，4B=2,44=1,则（）

A.直线4c与所成角的正切值为2

B.直线4。与平面/18G所成角的余弦值为妪

10

C.若M为直线8c上一动点，则的最小值为殍

D.三棱锥4-48G的外接球的表面积为等

三、填空题

12.已知〃=（肛2,1）是平面。的一个法向量，直线/的一个方向向量为丫=（4,-5,2）,且

则相=.

13.已知斜率为1的直线与抛物线/=外交于4B两点,O为坐标原点，OALOB,则线

段AB的中点坐标为.

2、

14.已知双曲线G二-〃>0）的右焦点为尸，实轴长为4,渐近线方程为

a'b'

y=±与x，动点M在双曲线左支上，“为圆£：/+°_3）2=4上一点，则阿8|+|M目的

最小值为.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.已知等差数列几｝的首项q=l,且％+%+/=9.

⑴求数列｛%｝的通项公式:

(2)令”=——，求数列也｝的前〃项和S”.

a“a”

16.已知圆C：x2+y2+4x-2j^-ll=0,直线/：2x+y-5=0.

(1)求C的圆心坐标与半径；

(2)求直线/被圆。截得的弦48的长度；

(3)过点2(0,5)作圆的切线，求切线所在直线的方程.

17.记数列｛q｝的前〃项前为S”，已知S.=3"-l,数列｛4｝满足："=—>=4%.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)求证：数列｛与｝为等差数列，并求也｝的通项公式.

18.如图，心48c和△8C。所在的平面垂直，且

AC=2,BC=CD=a,/ACB=/BCD=120°.

(1)当4。工BC时，求〃的值；

(2)当@=2时,求点8到平面4c。的距离；

(3)求平面力C。和平面8CD夹角的余弦值.

19.已知椭圆「。+。1(〃>“0)经过点向，离心率为卜直线/的方程为x=-4.

(1)求「的方程；

(2)过「的左焦点/的直线与「交于4B两点.

(i)求△。48(。为坐标原点)面积的最大值；

试卷第3页，共4页

100

(ii)M(-4,i)为/上的动点，记直线力M，8%的斜率之和为的/N,求》.

f=l

试卷第4页，共4页

《河北省唐山市2025-2026学年度高二年级第一学期期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CDA0CCBBACDAD

题号11

答案ACD

1.C

【分析】根据数列的递推公式，先由首项求出火,再由的求出力•

【详解】已知q=1,根据递推公式=1+」一（«>2）,

%

当〃=2时，%=1+—=1+-=2.

61

当〃=3时，%=1+，=1+：=1.

a222

故选：C.

2.D

【分析】先由方程求出直线的斜率，再求出直线倾斜角即可.

【详解】•••直线/的方程为x+向-5=0,「.），=-3x+逮，故直线的斜率为〃=-立，

333

设直线/的倾斜角为。，则tanO=-又。目0。［80。），即8=150。.

故选：D.

3.A

【分析】三棱锥力-4。。中，由题意可得任意两条棱的夹角为60。，又瓦尸分别是的

中点，再根据数量枳的定义求解.

【详解】

丁瓦F分别是44,的中点、，；.E尸〃BD且EF二gBD,即

2

丽」丽,

2

答案第1页，共13页

又•.•三棱锥4-ACO的所有棱长都为2,.•・任意两条棱的夹角为600,

...方•瓦=(防瓦二J而口无kos砺，赤=gx2x2xcosl2()°=—l,

故选:A.

4.D

【分析】根据椭圆的定义求出。，即可求出J从而求出离心率.

【详解】由题意及椭圆的定义可知

。“m=|/8卜卜丹+|5片|=|4&|+冲2卜|4居卜"|卜也=4瓦即〃=底

又b=1,c=yja2—b2=73-1=\l2，

则离心率为e=£=孚=*.

ay/33

故诜:D.

5.C

【分析】用彳7、福、丽表示向量而、制、而，利用空间向量基本定理可得出关

于X、V、z的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出x+y+z的值.

因为。为的中点，所以加=彳瓦+可。=12+(奉，

又因为48=+力£,AXD=A]A+AiDi,^A1O=xAxB+yA}D+zA}Dxt

即;+=x48+y4Q+z4。]=x+卜y府+44

=(x+y)4力+工44+(y+z)42,

答案第2页，共13页

x+y=—x=1

________________'2.

显然44、4月、42不共面，所以卜=1,解得卜=-5，故x+y+z=l.

y+z=oi

z=一

2

故选：c.

6.C

【分析】设圆心q”,“+i),根据|力。|=他。|结合平面内两点间的距离公式可得出关于。的

等式，解出。的值，可得出圆心。的坐标，进而可求出圆的半径，即可得出圆。的方程.

【详解】根据题意设圆心。(d。+1),因为圆［经过4(1,2)、8(3,4)两点，则14cl=|BC|,

所以+(4+1-2)2=4(+,解得。=2,

故圆心为C(2,3),圆的半径为=’(2-1『+(3-2)2=6，

故圆C的方程为(x—2)2+(y—3)2=2.

故选：C.

7.B

【分析】由勾股定理表示出切线长M4以及所求周长，根据几何关系可得当。,CM共线且

按此顺序排列时取得最大值，计算求解即可.

【详解】由题意，={pMf—=椒2卜1,

四边形M力OB周长为|AM|+\MB\+\OA\+\OB\=2yj\OM^+2，

当O,C,A4共线且按此顺序排列时，UMmax=|。。|+口3卜5x/2,

则四边形周长最大值为16,

故选：B.

答案第3页，共13页

【分析】首先根据焦半径公式并结合条件，得到点48H勺横坐标，即可求得弦长.

【详解】由题意得，抛物线的焦点坐标为I[,。1,准线方程为x=-

设力(X，必),8仁,%)，/=3石，货=3±,

3(劣、

•.•|力可=3忸川一•.根据抛物线的定义可知为+1=3x2+-①，

又』力耳二3忸H，|川二3同，即$=9%②,

QI

由①②可得再=：,々=彳，

33

.•.|J5|=X,+-+X2+-=4.

故选：B.

9.ACD

【分析】根据条件列方程组求出首项和公差，再结合等差数列的通项公式和求和公式逐一求

解.

5x47

S=5al4------d=25fa=I

【详解」由s'2可得，'.故A正确；

)、

生=6+d=34=2

4=q+5d=l+10=ll,故B错误；

$=7q+*d=7+21x2=49,故C正确；

2

因为%=1+2(〃-1)=2〃-1,所以a,4+[=(2〃-1)(2〃+1)=4/，-1,故D正确.

故选：ACD

10.AD

【分析】对A,设~(xj),由|P/|=2|P却坐标化化简得解：对B,求出圆心到直线V=x+1

的距离与半径比较得解；对C,求出圆心C到点(-2,3)的距离分析判断：对D,将两圆方程

相减得解.

【详解】对于A,设户('M，由|4|=2|尸8|,则J(x+2『+r=2，(1)2+丁,

化简得(无-2)气_/=4,所以点P的轨迹C的方程为(x-2『+y2=4,故A正确:

对于B,由C的方程为(x-2)~+y2=4,圆心到直线yT+1的距离2

V2V2

所以直线二31和圆(x2)2।/.4相离，即。上不存在点A/在直线y-x+l上，故B错误;

答案第4页，共13页

对于C,设圆(42『+/=4的圆心为C(2,0),半径/♦=2,

则圆心。到点(-2,3)的距离为[(2+2)2+(0—3)2=§,

所以圆上点到点(-2,3)的距离d'满足5-2MdY5+2,即3Kdy7,

故C上不存在点M到点(-2,3)的距离为8,故C错误；

对于D,由收-21+'=4,得工=],所以。与圆八9=4的公共弦所在的直线方程为工=1,

X'+y'=4

故D正确.

故选：AD.

11.ACD

【分析】对于A,可通过平移直线找到角，再利用三角函数求解；对于B,可通过建立空间

直角坐标系，利用向量法求解：对于C,可通过向量法求解；对于D,可通过确定球心位置，

利用勾股定理求出半径，进而求出表面积.

【详解】选项A,如图取4c中点。，连接4),4。,Z)G，

因为出48C是正三角形，所以力力又正三棱柱中平面，平面4CCM，平面

/BCD平面8CG4=〃C,4Ou平面ABC,所以力平面8。。蜴，

因为ABUAS，所以Z5.4C就是直线4C与AB所成的角，

在正隹48。中，月8=2,则力。=6，DC=1,AQ=S心+力力；={(后+[=2,

4c=《4。+DC?=,2?+/=石,5,C=ylBB；+BC2=Vl2+22=75,J,=2,

取4c中点石，连接4E,则4E1BC，4E=J4厌-BF=卜_(42=乎'

答案第5页，共13页

“四吗瓷衿二堂蜉邛，

sinNB《C=3一咚）2=手,tan/44c=2，所以选项A正确;

选项B,如图以。为原点，分别以。8,D4,。。所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则/（0,瓜0）,B（I,O,o）,c（-i,o,0）,4（0,G,1）,G（-1,0,1）,

AB=（1,-®0）国=（-1,-其1）,丞=（-1,-73,-1）,

小荏=》_"=0

设平面48G的法向量为万=（X//）,则一一；，令y=i,则

n-AC}=-x->j3y+z=0

x=VJ,z=2>/3»所以）=（百,

设直线4。与平面ABC,所成角为0,

则

sin.=|cos（4C,.）|=^L=n...........9艮乎\--------，卓彦

14cl"叫J（_1）2+（_6）2+㈠）2xJ（G）2+1、（2扬2V5X45

,所以选项B错误:

选项C,鸵二（一2,0,—1）,葩=（1,一百,0）,

设丽=%麻=（-2%0,-A）,则丽=福+丽=（1-22,-6，-㈤,

|A^f|=7（l-2/l）2+（-x/3）2+（-/l）2=,5万-4/1+4=^5（z-|）2+y,

答案第6页，共13页

当〃羡时，|丽|取得最小值占6,所以选项c正确：

35

选项D,设出48C的外接圆半径为〃，由正弦定理2〃=q==~^=芷，Wr=—，

sinCsin6033

设三棱锥4-ABC,的外接球半径为R,球心为0,0到平面18C的距离为d=；,

则氏2=/+[2=（苧丫+（，=,：=J|，

1919冗

所以夕卜接球的表面积5=4兀膻=4JTX£=詈，所以选项D正确.

故选：ACD.

12.2

【分析】根据平面法向量的性质，结合空间向量平行的性质的坐标运算进行求解即可.

【详解】•••///a,.•・直线/的一个方向向量与平面。的一个法向量垂直，

Z/V=4w/-10+2=0»解得〃？=2.

故答案为：2.

13.（2,6）

【分析】设直线方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理、向量垂直的条件求出直线方

程，进而求出线段43的口点坐标.

【详解】•••斜率为1的直线，，设直线的方程为，=x+〃J或孙必）,4仇,必），

d=4y

联立《一，即,一一4丫一4〃1=0,..•%+占=4,内心=-4〃7,

y=x+m

又x；二4凹，与唯仇,

*耳/噜二中3

,.•04103,则方.砺=0，又0/=（七,必）,。8=包，8），

2

•e•为》2+乂券=°•即-4/H4-m=0.解得〃？=。：或=4.

当机=0时，直线过原点，则点4。*不能构成三角形，故加=4,

/.yx+y2=Xj+4+x2+4=12,

设线段48的中点坐标为（x。/。），

答案第7页，共13页

22

则

21tli=2=6

No=

22

则线段力8的中点坐标为（2,6）.

故答案为：（2,6）.

14.6

【分析】利用已知条件先求出双曲线方程，再利用双曲线定义把|河£|转化到阿司，然后再

利用到圆上的动点距离转化到圆心的距离，最后易得距离之和的最小值.

由渐近线方程为y=±立工，得2=1，即6=百，

2a2

双曲线方程为C：4-一^-=1,.-.c2=a2+d2=4+3=7,

43

二•双曲线的右焦点为F（V7,0）,左焦点为£（-x/7,0）,

由双曲线的定义得|Mr|=2〃+|吟|=4+|"司，

•・•8为圆£：/+（尸3）2=4上一点，圆心上（0,3）,半径,一2,

:.\MB\>\ME\-r=\ME\-2,即|A例+|加/|=的邳+4+的用之网勾+|岫|+22|即|+2,

而|他|=V779=4,阿用+|〃目的最小值为4+2=6.

故答案为：6.

15.（1）%=2〃-1

⑵s，=2L//+41

【分析】（1）根据等差数列的下标性质和等差数列的通项公式进行求解即可；

答案第8页，共13页

（2）运用裂项相消法进行求解即可.

【详解】（1）因为数列｛《｝是等差数列，

所以由/+%+%=9=3g=9n%=3,

又因为4=1,所以公差d=2,

所以〃“=2〃一I.

L11

(2)由(1)得"=-----=不~[\仆q

44+i(2n-\)(2n+\)

\_(_i______5_、

=212〃-12/7+1>

所以S”="+&+&+…+4

1

n

2/z+l

16.(1)圆心坐标为(一2,1),半径为4.

(2)亚

5

(3)y=5或4x+3y-15=0

【分析】（1）通过配方法将圆的一般方程转化为标准方程，进而得到圆心坐标和半径;

（2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理即可求出弦长;

（3）分切线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，当斜率存在时，利用圆心到切线的距离

等于半径求出斜率，进而得到切线方程.

【详解】（1）圆C：（x+2『+（y-1『=16,

所以C的圆心坐标为（-2,1）,半径为〃=4.

(2)圆心C到直线I的距离d=14+3-5|=

出5

所以|力却=2\Jr2—d2=2Jl6—苧=8f.

答案第9页，共13页

(3)VCP=^(0+2)2+(5-1)2=x/§0>r=4,故点产在园外，

当切线/'的斜率不存在时，过点尸(。,5)的方程为x=0,此时C的圆心坐标为(-2,1)到直线

x=0的距离为4=2工人故直线X=0不是圆的切线；

当切线/'的斜率存在.设切线/'所在直线的方程为丁=米+5,

.„|-2Zr+4|

即h-y+5=0,则圆心C到直线/'的距离d'=」=4,

LJ1+F

4

整理得女2+必=0,解得"=0或A=-§,

所以切线所在直线的方程为》=5或4x+3y-15=0.

17.⑴4=2X3"T

(2)证明见解析，4=(8〃+1)3"-2

【分析】(1)利用々"MS”—S.T的关系即可求出；

(2)利用等差数列的定义即可证明数列•(争，等差数列，进而求出｛4｝的通项公式.

【详解】(1)当〃=1时，«|=5)=31-1=2,

当〃22时，％=S”-=(3"-1)-(3-J1)=2x3”。

当〃=1时，卬=2成立，

综上，牝=2x3。

(2)因为%-34=44=8x3"，等式两边同时除以产，可得21去=：，

又4=3，，•?=g=1，

所以数列修］是以冬=1为首项，1为公差的等差数列，

DJJy

bn.8/8〃+1Hrt,8〃+1”/od

-=l+-(??-l)=__,即”=_^-x3=(8/7+1)3.

故也｝的通项公式为(8〃+1)3”-2.

18.(1)。=2

⑵亚

答案第10页，共13页

【分析】（1）利用面面垂克性质定理证明线面垂直，建立空间直角坐标系，求直线，。和直

线4c的方向向量，利用向量方法证明结论.

（2）求出平面/CO的法向量，利用点到平面距禽公式求解即可.

（3）分别求出平面力CO和平面BCO的法向量，然后利用平面夹角公式求解即可.

【详解】（1）如图，在平面5c。内，过点。作CE_LSC交于点石：在平面月5C内，过

点C作CFLBC交于点F.

因为平面H8C_L平面平面48CCI平面8CO=8C,CE1BC,C£u平面8。。，所

以"_L平面/14C.

以C为坐标原点，分别以。凡CB,CE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

AD——---F1,~~a,8C=(0,-4,0).

2

由4）,8。可得而灰=-^+1（一。）=0,解得a=2.

IZ/

（2）设平面力。。的法向量为所=（如必，zj.

当Q=2时，B=(石,-1,0),历=(0,-1,码，於={(),-2,°,

m-CA=0,瓜i-%=0,

则即取而=0，囱,1）.

加•丽=0,

-y}+=0,

元同」-2冈_2而

所以点8到平面ACD的距离d=

|同加5

（3）由Q）可知平面4C。的一个法向量为而=（1,也」），与。的值无关.

答案第11页，共13页

平面8C。的一个法向量为万=(1,0、0).

\m-n\_1_x/5

|cos(泣砌=j洲"jx/55

所以平面ACD和平面BCD的夹角的余弦值为正

5

19.⑴三+匕=1

43