2026年高考数学复习（全国）重难点03 函数性质的灵活运用9大题型（解析版）

重难点03函数性质的灵活运用9大题型

【全国通用】

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1、函数性质的灵活运用

函数及其性质是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，函数的单调性、奇偶性、对称性与周

期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进

行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解.对于选择题和填空题部分，重点考查基

本初等函数的单调性、奇偶性、周期性等，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参

数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大，需要灵活求解，二轮复习时

需要加强这方面的训练.

知识梳理

知识点1函数的单调性与最值问题的解题策略

1.求函数的单调区间

求函数的单调区间，应先求定义域,在定义域内求单调区间.

2.函数单调性的判断

(1)函数单调性的判断方法：①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性；④导数法.

⑵函数产左⑴)的单调性应根据外层函数.尸筋和内层函数个⑴的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.

(3)函数单调性的几条常用结论：

①若/(幻是增函数,则-/0)为减函数；若f(x)是减函数，则-/(x)为增函数;

②若/(幻和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数;

③若/(幻>0且/(幻为增函数，则函数/怖为增函数，」一为减函数；

/(A)

④若/(.r)>0旦/(戈)为减函数，则函数为减函数，看为增函数.

3.求函数最值的三种基本方法：

⑴单调性法:先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法:先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法:先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等'的条件后用基本不等式求出最值.

4.复杂函数求最值：

对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

知识点2函数的奇偶性及其应用

1.函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

⑵判断人工)与火㈤是否具有笠量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式

(/U)+/(-x)=O(奇函数)或/(x)/-x)=O［偶函数))是否成立.

⑶运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数,

如fM+g(x)J(x)-g(x)J(x)Xg(x)J(x)+g(x)•

对于运算函数有如下结论：奇士奇=奇；偶士偶=偶：奇士偶二非奇非偶；奇乂(+)奇=偶；奇x(+)偶二奇；偶x(.)

偶=偶.

(4)复合函数)，=/［g(x)］的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为意.

(5)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数/(x)=「I)Gw0)或函数f(x)=mJ--).

a-1a+\

②函数/@)=±(相—「).

③函数/(X)=log,叶'=logw(l+—)或函数f(x)=log“七2=log“(1-3-)

x-tnx-mx+mx+m

2

④函数/(x)=log“(6+|+x)或函数f(x)=logjVx+I-x).

2.函数奇偶性的应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数

或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.

(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

知识点3函数的周期性与对称性的常用结论

1.函数的周期性常用结论m是不为o的常数)

(1)若凡什〃)可(工)，则T=a\

(2)若yU+aQ/U-a)，则7=2^；

(3)若大x+a)=7U),则7=2^7；

(4)若凡计4尸/(：),则丁=2〃；

(5)若人什〃)=一/(5),

则T=2a；

(6)??J(x+a)=J(x+b),则T=\a-b\(atb)\

2.对称性的三个常用结论

(1)若函数心)满足,/(a+x)寸力-x),则尸状x)的图象关于直线丫=-y—对称.

审，。)对称.

(2)若函数次幻满足J[a+x)=-fib-x)，则)q/5)的图象关于点

a-\rbc\,,,

(3)若函数/U)满足J[a+x)+fih-x)=c,则)q/(幻的图象关于点下一,引对称.

3.函数的的对称性与周期性的关系

⑴若函数y=/(%)有两条对称轴，x=b(a<b),则函数数x)是周期函数,且T=2(。一a)；

(2)若函数y—/(x)的图象有两个对称中心(a,c),S,c)(a<Z?)，则函数y-f(x)是周期函数,旦T—2(力-〃)；

⑶若函数y=f(x)有一条对称轴R=a和一个对称中心S，O)(〃<b),则函数y=f(x)是周期函数,且

T=4(b-a).

知识点4抽象函数及其解题策略

1.抽象函数及其求解方法

我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用尸式幻表示，抽象函

数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集丁身,

是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.

举一反三

【题型1函数的单调性及其应用】

【例1】(2025•广东清远♦一模)设函数/(%)=%-：，则函数“约为()

A.奇函数，旦在(0,+8)单调递增

B.奇函数，且在(0,+8)单调递减

C.偶函数，且在(0,+8)单调递增

D.偶函数，且在(0,+8)单调递减

【答案】A

【解题思路】利用函数的奇偶性定义、单调性定义判断即可.

【解答过程】易知f(%)的定义域为(一8,0)3(0,+8),且f(-x)+/(*)=-%+；+工一：=0,

所以/(幻为奇函数，

因为函数y==一:在(0,+8)上单调递增，

所以/(x)=无一：在(0,+8)上单调递增，

故选：A.

QX+1YV1

【变式1-1](2025•安徽合肥・一模)若/(%)='是R上的增函数，则实数a的取值范围为()

Jnx+2a,x>1

A.(1,+oo)B.[1,+co)C.(2,+oo)D.[2,4-co)

【答案】B

【解题思路】分类讨论X<1及XZl的/(切的单调性，再注意分段函数的内部衔接点的大小关系，即可得到Q

的取值范围.

【解答过程】当XVI时，若/'(切=。久+1为单调递增函数，则。>0;

当％21时，f(%)=ln%+2a为单调递增函数,

若/(%)是R上的增函数，需有a+lW2a,解得a21.

故选：B.

【变式1-2](25-26高一上•四川眉山・月考)已知函数八幻的定义域为R,且它的图象关于工=-2对称，当

Xt<x2<一2时，一)一"小)>0恒成立，设a=/(-3),b=/(0),c=/(2),则a,b,c的大小关系为()

X1-X?

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【解题思路】根据题意，得到函数/(%)在(-8,-2)上单调递增，再由/"(%)的图象关于％=-2对称，求得b=

/"(一4),c=/(-6),结合/(-6)</(-4)</(-3),即可求解.

【解答过程】由函数f(x)的定义域为R,当必<小<一2时，33恒成立，

X1~X2

可得函数/(%)在(-8,-2)上单调递增，

又由函数/•(%)的图象关于％=-2对称，可得6=/(0)="-4),c=f(2)=f(-6),

则有〃-6)Vf(-4)vf(-3),^c<b<a.

故选：D.

【变式1-3］(2。25•黑龙江大庆•一模)已知函数/")的定义域为匕/(l+x)=/(3-X),且/(乃在［2,+8)上

单调递减，则不等式/(2%-3)>〃3)的解集是()

A.(-00,3)B.(-oo,2)C.(3,+oo)D.(2,3)

【答案】D

【解题思路】根据给定条件，利用对称性及单调性求解函数不等式.

【解答过程】由函数/(%)的定义域为R,f(l+x)=f(3-x),得函数/(%)的图象关于直线x=2对称，

又函数f(x)在［2,+8)上单调递减,则不等式f(2%-3)>f(3)<=>|2x-3-2|<|3-2|,

即一1<2%一5<1,解得2Vx<3,所以所求不等式的解集为［2,3).

故选：D.

【题型2函数的最值问题】

【例2】(2025•宁夏陕西•模拟预测)已知函数/(%+1)=2*-2-。则/(%)在［-1,1］上的最大值为()

A-IB-TC.。D,1

【答案】C

【解题思路】先利用换元法求出/•(》)的解析式，再利用定义法求证/(%)在［-1,1］上的单调性即可求出.

【解答过程】/•(%+1)=2*-2-巴令t=x+l,则f(t)=2・i-2iT,

则/(%)=2X-1—21-X,xGR,

Vxlfx2e［-1,1］K-1<X1<X2<1,=(2必一】一2一修)-(2^-1-21一小)

=(2时、2必7)一(杀—/卜(2/T-2^)(1+

因-14%1<%2工1，则％—1，则24-1〈2孙-1,

又产1+*-2>0,则，(%1)-f(x2)<0,即/Qq)<f(x2),

则/(%)在［-1,1］上单调递增,

则/(%)的最大值为/(1)=0.

故选；C.

【变式2-1］(2025・湖南•模拟预测)已知函数/(%),M-VxG(0,+oo),/(幻二2”是7•(幻在(0,+8)上的最小

值为2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解题思路】根据充分、必要条件的判断方法，结合函数最小值的概念进行判断.

【解答过程】先判断充分性：若函数/(外在(0,+8)的最小值为3,

则“Vxe(0,+8),/(X)>2”成立，但“/(%)在(0,+8)上的最小值为2”不成立,

所以"XG(0,+oo),/(X)>2”不是“/(%)在(0,+8)上的最小值为2”的充分条件.

再判断必要性：”/(%)在(0,+8)上的最小值为2”时,可得“V%W(0,+8),f(%)N2”成立,

所以“Wre(0,+oo),/-(x)>2”是“/(%)在(0,+8)上的最小值为2”的必要条件.

综上：“Vxe(0,+co),y(x)>2”是“/"(%)在(0,十8)上的最小值为2”的必要不充分条件.

故选：B.

【变式2-2］(2025•广东•模拟预测)已知/(%)是R上的奇函数，/(x-l)-/(3-x)=0,若/(外在［0,1］上单

调递增,且/(1)=2,则f(%)在R上的最小值是()

A.-4B.-3C.-2D.-1

【答案】C

【解题思路】由已知可得f(x)的对称中心和对称轴，进而得到周期性，再根据单调性可得一个周期内的最小

值.

【解答过程】由/•(%)是奇函数，可得/•(-%)=-/•(%).

由/(%-l)-/(3-x)=0,可得f(%)的图象关于%=1对称，

即/(一切=/(工+2),则有f(工+2)=-/(%),

所以八%+4)=-/(x+2)=f(x),即/(幻的周期为4.

因为/(均在［0,1］单调递增，且是奇函数图像关于原点对称，

则/(幻在［一1,0］单调递增，即八功在单调递增.

又因为/(、)的图象关于％=1对称，则f(x)在［L3］单调递减.

所以在一个周期内=汽3)=f(T)=一/⑴=一2,

即/&)在R上的最小值是-2.

故选：C.

【变式2-3](2025•新疆・三模)已知函数/•(%)=111|略|一：，若/(%)在区间(科6?)上有最大值，则实数/〃

的取值范围是()

A.(V2,V3)B.(V2,2)C.(2,3)D.(75,3)

【答案】D

【解题思路】分类讨论取绝对值，得出函数外幻的解析式，然后分别求导，判断f(x)在每个分段区间上的单

调性即可得出答案.

【解答过程】当%>1时，/(X)=In(^77)-ln(x-1)-ln(x4-1)-

=J_____】i=,

'')x-lX+l44(X-1)(x4-1)

当IV%V3时,fM>0,f(%)单调递增,

当%>3时，f(x)<0,f(%)单调递减，所以/(%)在％=3处取得极大值，

若/(%)在区间(Mm?)上有最大值，只需｛]22：(3即可，解得me(b,3)；

当一1V%V1时，/(x)=In(舒)—*=ln(l—x)—ln(x+1)—

/⑺=三一击一：=4(二)：：+五显然此时尸。)<0,八切单调递减，不存在有最大值的开区间：

当x<一1时，/(X)=In(抹)~~=ln(—x+1)-ln(—x—1)—£

=二2____Z2__l=93,

xI1x144(x1)(x11)

当-3V%V-1时，r(x)>0,/(%)单调递增，

当“<一3时，/•'(%)<0,/■(%)单调递减，所以/•(%)在％=-3处取得极小值，

此时也不存在最大值的开区间，

故选:D.

【题型3函数的奇偶性的综合应用】

【例3】(2025•陕西汉中•一模)若函数/(X)=Q+W■为奇函数，则实数Q=()

A.-1B.1C.2D.4

【答案】C

【解题思路】根据函数为奇函数，利用特殊值求得。的值，再根据奇函数定义验证函数为奇函数，即可确定

答案.

【解答过程】函数/(%)=。+4；为奇函数，故必有八一1)=一八1)成立，

即a+止7=-(。+在)，解得Q=2,

则此时f(%)=2+^-=零:，定义域为(一8,0)u(0,+oo),

3人一13人一1

而/(一乃=*p=乎善=一/(幻，即函数/'(x)=a+生v为奇函数，符合题意，

3人一11—3人一1

故a=2,

故选：C.

【变式3-1】(2025・安徽・二模)已知函数f(x)=ln(%2-2%+2),下列函数中为偶函数的是()

A./(x)+1B./(x)-1C./(x+1)D.f(x-1)

【答案】C

【解题思路】求出函数的定义域，根据偶函数的定义逐项判断即可.

【解答过程】因为"一2》+2=a-1)2+121,故/•(%)的定义域为R

选项A：/(x)+1=ln(x2-2x+2)+1=ln[e(x2-2x+2)],

/(-x)+1=ln[e((—x)2—2(—x)+2)]=ln[e(x2+2x+2)],

/U)+l^/(-x)+l,所以/'CO+l不是偶函数，故A错误；

2

选项B：/(x)-1=ln(x-2%+2)-1=y(_x)_i=®(-叱―=

/(.x)-1/(-x)-1,所以/•(幻一1不是偶函数，故B错误：

选项C：/(x+1)=ln((x+I)2-2(x4-1)4-2)=ln(x2+1),

/(-%+1)=ln((—%+I)2—2(—x+1)+2)=ln(x2+1),

/-(x+l)=/(-x+l),所以/'(x+1)为偶函数，故C正确；

选项D：f[x-1)=In((x-I)2-2(x-1)+2)=ln(x2-4x+5),

f(-x-1)=ln((—x—I)2—2(—x—1)+2)=ln(x2+4x4-5),

1)Hf(-x-1),所以网＞一1)不是偶函数，故D错误.

故选:C.

【变式3-2](2025•广西南宁•模拟预测)己知f(x)是定义在R上的奇函数,当XV0时/■(%)=/+%,则/⑵

的值为()

A.2B.-2C.6D.-6

【答案】B

【解题思路】根据奇函数性质以及x<0时的解析式求解即可.

【解答过程】由于/(%)是定义在R上的奇函数，则/(2)=-/(-2),

由于当％V0时/(%)=/+%,则f(-2)=2,

所以/(2)=-2,

故选：B.

【变式3-3](2025•福建漳州•模拟预测)定义在R上的奇函数/(0满足：Vxi，%2E(0，+8),且对看必，

地止皿>1,若/1(2)=2,则不等式/'(x)>%的解集为()

Xi-X2

A.(0,2)B.(2,+8)C.(-oo,-2)U(0.2)D.(-2,0)U(2,4-oo)

【答案】D

【解题思路】根据题干条件，构造函数g(x)=/(x)结合单调性的定义，可得贝幻的单调性，根据奇偶

性的定义，可得g(x)的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案.

【解答过程】因为\//,孙£(。，+8),且与工七，止止皿>1,

xl-x2

所以/'(/)一八及)_]=r(xi)-r(x2)-a[一邕)_r(xi)fiTr(x2)T2]>0,

xx

Xx-x2X1-X2l^2

设g(%)=/(%)-%，

则如>0,VXVX26(0,4-00),且必H小，，

X1-X2

根据单调性的定义可得，g(x)在(。,+8)上单调递增，

因为/"(%)在R上为奇函数，

所以g(-x)=/(-x)-(-x)=-f(x)4-x=-[f(x)-x]=-g(%),

所以g(x)在R上为奇函数，

所以g(x)在(-8,0)上单调递增，

因为/(2)=2,

所以,q(2)=f(2)-2=0,则0(-2)=一。(2)=0,

所以gQ)=fW-x>0的解集为(-2,0)U(2,+CO),

所以/(幻>x的解集为(一2,0)U(2,+8).

故选：D.

【题型4函数的图象问题】

【例4】(2025•甘肃武威・模拟预测)如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为()

A.f(幻=ln(Vx2+1+x)B./(x)=ln(Vx2+1-x)

C.fM=InVxrTT+xD./(x)=InVx2+1-x

【答案】B

【解题思路】应用函数对称性判断C,D,再根据％>0时，/(幻>0排除人.

【解答过程】由图可知函数图象关于•原点对称，所以该函数为奇函数，

f(x)=In，/+i+X中,^(2)=lnV5+2,/(-2)=lnV5-2,-f(2),f(-2)不相等,所以C选项错误；

=lnVPTl-x+,/(2)=lnV5-2,/(-2)=lnV5+2,-/(2),/'(-2)不相等，所以D选项错误：

对于f(%)=ln(VF率T+x),当丫>0时，/(x)>0,与图象不符，故排除A.

故选：B.

【变式4-1](2025・四川成都•一模)已知定义在R上的奇函数/(%)在[0,+8)上的图象如图所示，则不等式(工-

V3i/(x)>0的解集为()

u

A.(一3,0)U(75,3)B.(-3,0)U(0,3)

C.(-co,-3)U(0,3)D.(-O),-3)U(V3,3)

【答案】A

【解题思路】根据函数为奇函数可得函数的图象，进而由数形结合可得不等式的解集.

【解答过程】因为/■(%)是定义在R二的奇函数，所以函数图象关尸原点对称，故得函数的图象如下：且

由图象可知，要使(4一K)f(x)>0,当A:时，/(X)>0,得门<尤<3；

当XV遍时，/-(%)<0,得-3VYV0；

当x=不等式不成立;

综上，不等式(x-V3)/(x)>0的解集为(-3,0)U(V3,3).

故选:A.

【变式4-2】(2025・四川成都•模拟预测)如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-8,8］上的大致图象，则

x4(sinx-x)

B.

fW=e'+e-x

x4(cosx-x)

D./(x)=Z+e-

【答案】A

【解题思路】利用函数图象并结合奇偶性的定义与函数值的正负逐个排除求解即可.

【解答过程】根据图象可知，/(幻是奇函数,

(r)4sin(-x)_x4sinx

对于A,由题意得"-幻=

e*+e-*e*+c-*=

则/(%)是奇函数，符合题意，故A正确,

(-x)4[sin(-x)-(-x)]_x4(sinx-x)

对于B,/(-X)=

ex+e-xE+e-x=一/⑺，

则/(%)是奇函数，令g(x)=sinx-T,则g'(x)=cosx-1V0,

当xe(0,+8)时，g(x)在(0,+8)上单调递减,

则g(x)=sinxV0,与图象不符，故B错误,

14cos1cosl(T)4COS(-])_cosl

对于C,由题意得f(l)=-79

e1+e-ie+e-1，/(-I)=e1+e-1e+e-i

costcosl2COS1,c

则/⑴+/(T)=H---------r=-------700,

e+e-1e+e-1e+e-1

可得/(x)不是奇函数，故C错误,

l4(cosl-l)cosl-1

对于D,由题意得/(1)=

e1+e-ie〔+eT

(-1)41(COS(T)-(T))]_COS1+1

/(-I)=-1.»

e1+e-ie1+e-1

COS1-1cosl+12cosl

则/⑴+,0

+/(—1)=e1+e-1e+e-1

可得/'(%)不是奇函数，故D错误.

故选：A.

【变式4-3](2025•贵州遵义・模拟预测)已知函数/(幻的部分图象如图所示，则/(幻的解析式可能为()

A."幻二总B.3)=悬

C八无)=一品D./(%)=击

【答案】D

【解题思路】利用排除法，根据函数定义域、奇偶性以及单调性分析判定即可.

【解答过程】由图可知：函数/(幻的图象关于)，轴对称，定义域有两个间断点，

对于选项A：令IH-1W0,解得％。±1,可知/(幻的定义域为{%|%H±1},

且/(—幻=尸片=-7^-=-/«,可知函数/(幻为奇函数，

其图象关于原点轴对称，故A错误：

对于选项B：令1一/装0,解得第工±1,可知/(%)的定义域为卜|%。±1},

当”>1时，/'(附二息=三=4，

22

'''l-xl-xX--X

因为y=1一》在(1,+8)内单调递减，函数/(%)在(1,+8)内单调递增，故B错误;

对于选项C：因为团+1>0,可知/■(£)的定义域为R,故C错误；

故选：D.

【题型5对称性与周期性的综合应用】

【例5】(2025•湖南•一模)已知f(%),g(%)均为定义在R上的函数,f(x-1)+g(%)=x,f(x)+1=g(l-%)+

%,若/'(2%+1)的图象关于直线％=-1对称，且g(0)=l,则£陷g(i)的值是()

A.463B.464C.465D.466

【答案】B

【解题思路】根据/(2X+1)的图象关于直线％=-1对称，可得-2)=/(-%),再根据f(x)+1=

g(l-％)+%可转化得/•(%)为奇函数，从而得函数/X%)的周期为4,根据对称性与周期性求值即可得出结论.

【解答过程】由/'(2%+1)的图象关于直线4=-1对称，可得f(x+l)的图象关于直线％=-2对称，

即/(%)的图象关于直线％=-1对称，则/Xx-2)=/(-X),

由;■(幻+1=g(l一切+x,可得f(1-x)=g(x)-x,

又f(x-1)+gM=x,得/(%-1)=-g(x)+x,

所以J(1一%)=-/(%—1),

即/(I—%)+/(%—1)=0,所以"%)的图象关于点(0,0)对称,即/(幻为奇函数，

所以/(%-2)=/(-%)=-/(%)=/(%+2),函数/(%)的周期为4；

由/(%-1)+g(x)=%可得9(%)=%-/(x-1),

又因为g(0)=0-f(-l)=1,所以/(一!.)二-1,

根据函数f(%)的性质,得/■(-2)=f(0)=0J(l)=1,/(2)=0,f(3)=/(-l)=-1

所以£浮g⑴=(1+2+3+…+30)—[/(0)+/(I)+…+/(29)]=31xl5-[/(0)+/(I)]=465-

1=464.

故选:B.

【变式5-1](2025•吉林•模拟预测)已知定义域为R的奇函数/'(%)满足/•。)+/(2-％)=2,则()

A./⑵=0B./(10)=10

C.f(x)的最小正周期为2D.x=1是曲线y=/(x)的一条对称轴

【答案】B

【解题思路】根据奇函数的性质以及所给等式变形，结合对称性相周期性定义，赋值计算，对各选项逐一进

行分析判断.

【解答过程】对于A选项，已知f(x)是定义域为R的奇函数，则/(0)=0.

令《=O代入/(%)+/(2)=2可得:/(0)+/(2)=2,将/(0)=0代入得0+/(2)=2,即/'(2)=2,

所以A选项错误.

对于B选项,因为f(%)是奇函数,则/•(一1)=_/(%).

由/(%)+f(2-x)=2可得,(%)=2-/(2-%).

用一刀代替工可得/'(一%)+f(2+%)=2,又因为/■(一%)=—/(%),所以-f(x)+f(2+%)=2,即/'(%+2)=

2+/(%).

那么/'(无+4)=24-f(x+2)=2+2+/(x)=4+/(%).

同理/(%+6)=24-/(x+4)=2+4+/(x)=6+/(%).

/Q+8)=2+/(X+6)=2+6+/(%)=8+/(%).

f(x+10)=2+/(%+8)=2+8+/(x)=10+/(x).

令x=0,则/'(10)=10+f(0)=10+0=10,所以B选项正确.

对于C选项，由f(x+2)=2+f(x)可知f(x+2)所以f(x)的最小正周期不是2,C选项错误.

对于D选项，由/•(0)=0。2=/(2),得x=1不是曲线、=/(%)的对称轴，D选项错误.

故选:B.

【变式5-2](2025•湖南郴州•一模)函数/(%)对以£/?,/(无+2)=/(4-幻，且f(x+6)为奇函数,则下列

说法正确的是()

A.若xE(0,3]时/'(%)=2X,则/(8)=4

B.f(x)的周期为6

C.f(x)的图象关于(一6,0)中心对称

D./(2025)+/(3)中0

【答案】C

【解题思路】对于A选项，首先通过奇偶性得：/'(-%+6)=-/(%+6),然后根据已知条件通过赋值进行

求解；

对于B选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可：

对于C选项，通过奇偶性可得函数关于(6,0)中心对称，再根据函数周期性即可判断正误：

对于D选项,利用函数周期性可得:/(2025)=/(9),再根据f(r+6)=-f(x+6)通过赋值可得：/(9)=

-A3),进而可以判断选项正误.

【解答过程】对于A选项，已知/'a+6)为奇函数，则有/(一%+6)=-/(%+6),

令x=-2,得：f(8)=—f(4),

又/(%+2)=/(4-幻，令％=0,得：/(4)=/(2),

因此可得：/(8)=一/(4)=-/(2)=-4,故A选项错误.

对于B选项，己知/Xx+6)为奇函数，则有/'(-%+6)=-f(x+6),

又/(%+2)=f(4-％),则有/(%)=f(6-％),

由此可得：/(%)=-/(x+6),即有：/(%+12)=-/(x+6)=-(-/(%))=/(x)

因此可得:f(%)的周期为12,故B选项错误.

对干C选项：已知+6)为奇函数，则有/'(一x+6)=—/(%+6),

因此可得：函数f(%)关于(6,0)中心对称，又函数/1)的周期为12,

所以/(%)关于(一6,0)中心对称，故C选项正确；

对于D选项:已知函数/1(%)的周期为12,则有/'(2025)=f(168x12+9)=f(9),

又/1(-4+6)=-/'(%+6),令％=3,得：/(9)=-/(3),

因此可得：/(2025)=即f(2025)+f(3)=0,故D选项错误.

故选:C.

【变式5-3](2025•河北邢台三模)已知定义在R上的函数满足/(x+2)为偶函数，/(4+x)=-/(4-%),

则下列说法错误的是()

A./(%)的图象关于(4,0)中心对称

B./(%)的周期为8

C./(2025)=/"(I)

D.当XE[0,2]时，f(x)=/-2,则/'(7)的值为一1

【答案】D

【解题思路】根据题意推理论证周期性、奇偶性、对称性逐一求解判断各项

【解答过程】因为/(4+%)=-/(4一%),所以/1(%)的图象关于(4,0)中心对称,故A正确;

因为/(无+2)为偶函数，所以/'(一x+2)=f(x+2)

所以/(x)=/(4-x),又因为f(4+%)=-f(4-x),

所以/(%)=-/(4+x),所以/'(4+%)=-/(8+x),

所以fQ)=f(8+%)，所以f(x)的一个周期为8,故B正确；

f(2025)=/(253x8+1)=/(I),故C正确；

由"4+x)=-/(4-x),得/⑺=/(4+3)=-/⑴，

又当口€[0,2]时,/(x)=x2-2x,所以/(1)=M—2X1=—1,即f(7)=l,故D错误.

故选：D.

【题型6类周期函数】

【例6】(2024•云南昆明•二模)定义“函数y=f(%)是。上的a级类周期函数”如下:函数y=/(£),%WD,对

于给定的非零常数a,总存在非零常数7\使得定义域。内的任意实数%都有好(%)=/(%+T)恒成立，此时

7为/'(%)的周期.若y=f(x)是[1,+8)上的。级类周期函数，且7=1,当％w[1,2)时，/(%)=2%+1,且丫=

fG)是[1,十8)上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()

A.[1,+oo)B.[2,+oo)C.[1,4-co)D.[10,4-co)

【答案】C

【解题思路】由题可得一2/I+3),TIWN"xe[n,n+l),然后利用函数的单调性即得.

【解答过程】・.“£[1,2)时/(幻=2%+1,

:.当x€[2,3)时J(x)=af(x-1)=a(2x-1)；

当xE\n,n+1)时,/(x)=af(x-1)=a2f(x-2)=…=an-1/(x—n+1)=an-1•(Zx-2n+3),

即xG[n,n4-1)时,/(%)=Q“T•(2x—2n+3),nGNx,

•・•/(%)在[1,+8)上单调递增，

AG>0且a"一】•(2n-2n+3)>an~2•(2n-2n+5),

解得QN：,

・・・实数。的取信范围是[|,+8).

故选：C.

【变式6-1](2025安徽合肥・模拟预测)定义在/?上的函数/'(切满足/(%+1)=：”%)，且当％e[0,1)时，/•(£)=

1一|2x—1|.当工€[m,+8)时，/W/则m的最小值为()

A.三B.2C.炉D.竺

8844

【答案】B

【解题思路】

根据已知计算出/'(%)=表[1-|2%-(271+1)口《表,画出图象，计算/(%)=4,解得％=,，从而求出m的

最小值.

【解答过程】由题意得，当工£[1,2)时，ii/Cx)=\f{x-1)=|(1-|2x-3|),

当xe[2,3)时，故f(x)=\f[x-l)=i(l-|2x-5|)…，

可得在区间[n,?i+l)(n6Z).h,f(x)=^[1—\2x—(2n4-1)|]<去，

所以当几N4时，/(x)<作函数y=/(无)的图象，如图所示，

所以m的最小值为？

O

故选:B.

【变式6-2](24-25高一上・江西吉安・期末)设函数八%)的定义域为R,且/(%+4)=2/(幻，当％W(0,4]时,

=2x2-8x,若对于匕£(-84，都有/(%)二—恒成立，则/的取值范围是()

A.(-00,-7]B.(-oo,-5]C.(-oo,-3]D.(-co,-1]

【答案】A

【解题思路】由f(x+4)=2/(%)和当1e(0,4]时f(%)=2/—8x可以逐次推出(—4,0],(-8,-4],(-12,-8]

上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求%6(-8,-4]时，函数值等于-日时的自变量的值，

得到满足/(幻>一日的》的范围，即得，的取值范围.

【解答过程】当x€(0,4]时，/(%)=2x2-8x=2(x-2)2-8,f(x)E[-8,0]；因/(x+4)=2/(%),即工

每恺大4.对应的纵坐标都变原来的2倍.

当xG(-4,0]时，%+4G(0,4],故/(%+4)=2(%+2)2-8,贝Jf(x)=~f(x+4)=(x+2)2-4,/(x)G

[-4,0]:

当%e(-8,-4]时，％+4W(-4,0],故f(%+4)=(x+6)2—4,则/'(X)=*(x+4)=1(x+6)2—2,/(x)€

[-2,0]；

当才G(一12,—8]时，x+4G(-8,-4],故/(%+4)=：(万+10)2-2,贝ijf(x)-+4)—;(x+10)2-1,

/d,*T

/WG[T，°L

如图，依题意令；(％+6)2-2=-；，解得％=-7或%=-5,由图知当％4-7时，/(x)2-患成立，即须

使(一8,£]q(-8,-7],故得：te(-co,-7].

故选：A.

【变式6-3](2025•江西新余•一模)若函数y=/(%),x£M对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使

得定义域M内的任意实数》,都有a/Q)=/(x+T)恒成立，此时7为f(x)的假周期，函数y=/(%)是M上的a

级假周期困数，若困数y=/(》)是定义在区间[0,+8)内的3级假周期函数且7=2,当XE[0,2),/(x)=

工—2丫2("JVYV11

2'一一，函数g(x)=-2lnx+:/+x+m,若女[C[6,8],三Me(0，+8)使g(%2)一

1/(2-x),l<x<22

f(xD<0成立，则实数?n的取值范围是()

A.(-00,y]B.(-8,12]C.(-00,39]D.[12,+8)

【答案】C

【解题思路】题目主耍考直了函数的性质和最值的求法，可以通过北1W[6,8],Sx26(0,+«)使9Q2)-

fOl)<。成立先将问题转化为g(3)minWf(x)max，从而分别求/COmax和OCOmin，又因为函数/(%)为定义

在区间[0,+8)内的3级假周期函数且7=2,所以可以通过图像分析出函数/(%)在[6,8]的最大值，而对于

函数。。)=一21标+(/+%+小，可以通过求导的方式求得函数的单调性，从而求出函数gQ)的最小值，

并通过g(%)min工/COmax求得根的取值范围.

?x20<x<1

【解答过程】根据题意，对于函数“X),当X€@2)时，/(X)=2

1/(2-x),1<x<2

所以当0WXW1时，/(%)=1-2x2,有最大值/(0)=：,最小值/(1)二一:，

当1cxV2时，=函数/(%)的图象关于直线t=1对称，则此时有一Tvf(x)<£

而三叼6[6,8],3X2W(0,+8)使g(第2)-/(Xi)<。成立可以转化为g(%)minWf(%)max

又由函数y=f(x)是定义在区间[0,+8)内的3级假周期函数，比T=2；

则当XG[6,8),3/(x)=f[x+2),即/•(*)=33/(4—6),则有一0工“工)工今,

所以当工€[6,8]时，/(8)=27/(2)=81/(0)=y,

则函数/(x)在区间[6,8]上的最大值为/(8)=

对于函数g(x)=-2hu:+：/+%+m,有“Q)=竺竽里

所以在(0,1)上，gf(x)<0,函数g(x)为减函数,

在(1,+8)上，g<x)>0,函数g(x)为增函数，

则函数g(x)在(0,+8)上的最小值为g(l)=|+771,

而问题转化为g(x)minW/COmax，m<y,得到Hl范围为(一8,39].

故选：c.

【题型7抽象函数的性质及其应用】

【例J7】(2025•辽宁抚顺・一模)已知定义域为｛x|x00｝的函数八幻满足/'(X+y)[/(x)+f(y)]=f(x)f(y),

/(I)=2,且当％E(0,+8)时，/"(%)>0恒成立，则下列结论正确的是()

A./(|)=6B./(2x)=2/«

C.外幻为奇函数D.f(%)在区间(0,+8)是单调递增函数

【答案】C

【解题思路】赋值法可判断A,利用奇偶函数的定义及赋值法判断BC,由函数的特例可判断D.

【解答过程】令则/(l)M)+/G)]=/("()

所以2/(§/@)=尸0),因为当xe(0,+8)时，/(%)>0,

所以2啕=出，

令、岩，y4，所以f(i)/0+fG)]=f®/®，

即2陶+2啕]=2产⑶解得：/(1)=3,故A错误；

由题意，函数/'(%)的定义域为(一8,0)u(0,+8),关于原点对称，

令)，=-2%,则/(%-2x)[/­(%)+f(-2切=f(x)f(-2x),BP/(-x)[/(x)+f(-2x)]=/(x)/(-2x)

令r代换％y,则/(r-x)[/(-z)+/(-%)]=/(-x)/(-x),即2f(—2x)f(-x)=/(-x)/(-r),

所以2/(-2x)=/(r),令一x代换工,所以2/(2x)=f(x),故B错误；

由将2/(-2幻=f(一切代入/(一切[/(X)+/(-2%)]=/(外/(一2好，

可得/(一%)[/(x)+铝]=/(%)铝，化简可得/(一无)=-fM，

所以/(x)为奇函数，故C正确;

令%=y=L则/*(2)[/•(l)+f(l)]=/(l)f(l),解得：/(2)=1,/(1)=2>/(2)=1,故D错误.

故选:C.

【变式7-1](2025・甘肃•模拟预测)已知偶函数f(x)满足：尸(幻+尸(％+2)=4,且/(幻/1+：)>(),

若/(2)<0,则/(2025)=()

A.1B.V2C.-V2D.-1

【答案】C

【解题思路】用M弋换工+2,可得产(》+2)+产(%+4)=4,联立方程组，求得/(工+4)=±/(幻，结合函

数/(%)为偶函数，且/(%)/1+5>0,得到/'(%+4)=/(%),可则/'(%)是周期为4的函数，令％=-1,求

得/(I)=-V2,结合/(2025)=/(506x4+1)=/(I),即可求解.

【解答过程】由/2(均+/2(X+2)=4,用x代换x+2,可得产@+2)+产(％+4)=4,

联立方程组乂:T:曹彳：:.：/可得产(%+4)=产⑺，即加+4)=±/(幻，

又由函数人均为偶函数，且八»/卜+3>0,可得/(%)与/&+》同号，

所以/a+4)=fM，可得函数/"(%)是周期为4的函数，

因为/(2)VO,/(I)与f(2)同号,则/■⑴V0,

令万二一1,可得/2(-I)+/2(I)=2/2(I)=4,所以/(1)=一

则“2025)=/(506X4+1)=/(I)=-V2.

故选:C.

【变式7-2](2025•云南昆明•三模)函数y=f(%)在R上的图象是一条连续不断的曲线，且与％轴有且仅有一

个交点，对任意》,yGR,/G)+/(y)=/("2+y2),f(i)=i,则下列说法正确的是()

A./(2)=2B./(%)为奇函数

C.八好在(0,+8)单调递减D.若/(%)式4,则％e[-2,2]

【答案】D

【解题思路】由已知条件，通过赋谊法求出/及奇偶性，结合函数单调性的定义判断出单调性,

即可得出判断.

【解答过程】令x=y=0得,2/(0)=/(0),则/(0)=0；

对于A,令4=y=l,有2/(1)=/(a)，则/■(夜)=2,

令x=y=&,有2/'(在)=/(2),则/'(2)=4。2,故A错误；

/W，x>0

对于B,令y=0,则/'(》)=0fx=0,,故/&)为偶函数，故B错误；