2026年高考数学复习高效演练：立体几何中的向量方法

笫6讲立体几何中的向量方法

昌曲知识▼⑥❾回顾理教材•夯实必备知识.

一、知识梳理

1.两条异面直线所成角的求法

设。，力分别是两异面直线八，/2的方向向最，则

介与，2所成的角0a与b的夹角p

范围[o,I10.n]

a1Q♦臼oab

求法cos"糜1C°S0_|G网

2.直线与平面所成角的求法

设直线/的方向向量为a,平面”的法向量为〃，直线/与平面a所成的角为aQ与〃

的夹角为夕，则sin夕=|8$川=编.

3.求二面角的大小

(I)如图①，AB,CO分别是二面角a一/一用的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的

大小。=〈存，丽〉.

(2)如图②③，〃/,〃2分别是二面角口一，一夕的两个半平面。，夕的法向量，则二面角的

大小0满足|cos例=|cos〈血，火〉I，二面角的平面角大个是向量川与n2的夹角(或其补角).

常用结论

利用空间向量求距离

(I)两点间的距离

设点A(X|,Nl，Z1),点8(X2，肾，Z2)，则|AB|=忸以=7-X2)2+(VI—m)2+(Z1—Z»2.

⑵点到平面的距离

如图所示，已知A8为平面a的一条斜线段，〃为平面a的法向量，则8到平面a的距

离为成，|=端四

二、教材衍化

1.已知两平面的法向量分别为帆=(0,1，0),/1=(0,1,1),则两平面所成的二面角

的大小为

mn]啦

解析：cos〈/〃，〃〉=,即(m,n)=45°.所以两平面所成二面角为

Mn\~\.y[2~2

45。或180°—45。=135°.

答案：45。或135°

2.在正方体ABC。-A出IGQI中，七是CiG的中点，则异面直线。七与AC夹角的余

弦值为.

解析：如图建立空间直角坐标系。一型，设D4=l,A(l,0,0),C(0,1,0),《0,J,1),

则启=(-1,1,0),及：=((),1\设异面直线。E与AC所成的角为仇则cos<9=|cos

<Ac,虎〉尸嘿

答案:嚅

3.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱MBC-AIBIG的底面边长为2,侧棱长为26,

则AG与侧面A881Al所成的角为.

解析：以。为原点建立空间直角坐标系，如图所示，得下列坐标：4(2,0,0),Ci(0,

0,2的.点Ci在侧面ABBiAi内的射影为点2,所以代]=(一2,0,2<2).AC2

=(一I坐，2啦)，设直钱AG与平面囱4所成的角为仇则cos0=|AG-ACd1+0+8

\ACI\\AC2\2小义3

it

4.;又8G0，,所以夕=6

答案范

一、思考辨析

判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角.()

(2)已知。=(一2,-3,1),b=Q,0,4),c=(—4,一6,2),则。〃c,a_Lb.()

⑶已知两平面的法向量分别为加=((),1,0),/1=(0,1,1),则两平面所成的二面角

的大小为45°.()

答案：(1)X(2)7(3)义

二、易错纠偏

常见误区|(1)异面直线所成角的取值范围出错：

(2)二面角的取值范围出错.

1.已知2a+)=(0,—5,10),c=(l,-2,-2),a・c=4,步|=12,则以瓦c为方向

向量的两直线的夹角为.

解析：由邂意得，(2a+b)c=()+10-20=-10,

be-18

即2ec+》c=-10.因为ac=4,所以bc=-18,所以cos〈A,c〉=

布12X,1+4+4

=一1,所以〈力，。〉=120°,所以两直线的夹角为60。.

答案：60°

2.已知向量机，〃分别是直线/的方向向量、平面a的法向量，若cos(in,n)=一J，

则/与a所成的角为.

解析：设/与a所成的南为仇则sinJ=|cos〈〃?，〃〉|=J,所以。=30°.

答案：30°

明考向•直击考例考法.

考点一异面直线所成的角(基础型)

复习指导|能用向量方法解决直线与直线的夹角的计算问题.

核心素养：数学运算

回0如图，在四棱推P-A8C。中，■平面ABCD,底面ABCO是菱形，AB=2,N

BAD=60°.

(1)求证：^。_1_平面用(7;

⑵若限=A8,求与AC所成角的余弦值.

【解】(1)证明：因为四边形4/3CQ是菱形，所以4C_L/3Q.

因为%_L平面ABC。，所以附_L8D

又因为4CG%=A,所以BQ_L平面布C.

(2)设4CC4Q=。.

因为NB4O=60。，PA=AB=2,

所以BO=1,AO=CO=y[3.

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Qyyz,

则尸(0,一巾，2),40,一木，0),8(1,0,0),C(0,3,0).

所以两=(1,5，-2),AC=((),2小，0).

设P8与AC所成角为仇则

八I丽启I6必

F嬴力赤斫4.

即尸8与AC所成角的余弦值为乎.

管信明

用向量法求异面直线所成角的一般步骤

⑴选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.

(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量.

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.

(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.

[提醒I注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别：

当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线

的方向向量的夹角为钝角对，其补角才是异面直线所成的角.

如图，在三棱锥P-A3C中，见_1_底面ABC,NB4C=90。.点。，E,N

分别为棱布，PC,8C的中点，M是线段人。的中点，PA=AC=4,AB=2.

(1)求证：MN〃平面BQE；

(2)已知点〃在楂PA上，且直线NH与直线8E所成角的余弦值为坐求线段4〃的长.

解：如图，以A为原点，分别以油，就，崩的方向为x轴，)，轴，z轴的正方向建立

空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),6(2,0,0),C(0,4,0),尸(0,0,4),D(0,0,

2),E(0,2,2),M(0,0,1),Ml，2,0).

BNcy

(1)证明：DE=(0,2,0),DB=(2.0,-2).

设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,

cln-DE=(),Ef2**y=0,

2A—2z=0.

〃。8=0,

不妨设z=l,可取〃=(1,0,1).

又加=(1,2,-1),可得疝•〃=().

因为MNQ平面BDE,

所以MN〃平面BDE.

(2)依题意，设AH=/;(0W"W4),则"(0,0,/?),

进而可得而/=(一1,-2,A),近=(一2,2,2).

由已知，得|cos〈砺，BE>|=叫叫

\NH\\BE\

|2A~2|V7

一业2+5><2小.21

Q|

整理得10万2-2]〃+8=0,解得力=《或/?=5.

Q1

所以，线段的长为《或不

4”JJ

考点二直线与平面所成的角(基础型)

复习指导I能用向量方法解决直线与平面的夹角的计算问题.

核心素养：数学运算

例2如图，在几何体AC。一ABCiQi中，四边形AOG4与四边形CZ)AG均为矩

形，平面AODiAJ•平面CQQiG，81A1J■平面AODiAi，AD=CD=\,AA\=A^B]=2,E为

棱A4i的中点.

(1)证明:BiGJL平面CGE;

(2)求直线BC与平面BCE所成角的正弦值.

【解】(1)证明：因为BIAIJ"平面AOUAi，所以BiAiJLOU，又。DJON，BAE

D\A\=A\,

所以OQiJ■平面AifiiCiDi，

又DD\〃CC\,所以CGJ•平而AiBCDi.

因为BCiU平面A/iGDi,所以CCJBiG.

因为平面A。。'J"平面CQQiG，平面AOQAn平面CQQ£=OQi，CiDi±DDi，

所以GDiJL平面ADDiAi.

经计算可得8/=小，BC=也,EC尸小,

从而BiE2=BiG+ECY，

所以在△AiECi中，BiCi.LCiE.

又CG，GEU平面CGE,CCinc)£=Ci，

所以SGJL平面CGE.

(2)如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，依题意得4(0,0,0),C(l,0,

1),囱(0,2,2),Ci(L2,1),E(0,1,0),

则&：=(一1,1,-I),BTC=(1,-2,-1).

帆・8|C=0,

设平面8CE的法向量为小=(%,>>,z),则，

7WCE=0,

x—2y-z=0,

即；消去x得)，+2z=0,

-x+y-z=0,

不妨设z=1,可得加=(-3,-2,1)为平面8CE的一个法向量,

易得瓦匕=(1,0,-1),设直线81G与平面BCE所成角为以

,一、mFhCi—42x/7

则sin^=|cos〈m,B\C\)|=~=/T7p,=~if

|m|•IB1C1I54XV727

故直线BiG与平面BCE所成角的正弦值为平.

就窗窗

(1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：①分别求出斜线和它在平面内的射影

直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②通过平面的法向量来求，即

求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.

(2)若直线/与平面a的夹角为仇直线/的方向向量，与平面a的法向量〃的夹角为外,

则8若—B或8=6一专

[提醒I求解直线和平面所成角，要注意直线的方向向量与平面法向量的夹角和所求角

之间的关系，线面角的正弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.

考法全练;(2020・深圳模拟)如图，四棱锥P一/由中，底面A8CO为菱形，PD

=PB,〃为PC上的点，过A”的平面分别交PB,PD干点、M,N,且40〃平面AM4N.

(I)证明：MNLPC；

(2)设，为PC的中点，PA=PC=y[3AB,见与平面所成的角为60。，求4。与平

面AM”N所成角的正弦值.

解：(1)证明：如图①，连接AC交8。于点0,连接P0.

图①

因为四边形ABCD为菱形,

所以8D_LAC,且。为的中点.

因为PD=PB,所以PO_LB。,

因为ACGPO=O,且AC,POU平面以C,

所以BQJL平面PAC.

因为PCU平而%C,所以BD工PC.

因为4。〃平面AMHN,且平面4M//NG平面P4Q=MN,所以BD〃MN,所以MNLPC.

⑵由(1)知^。_1_人。且P。，8。，

因为%=?。，且O为AC的中点,

所以PO_LAC,所以夕O_L平面A8CD,

因为以与平面AI3CD所成的角为ZPAO,所以/必。=60。，所以A0=]%,P0=

因为PA=y[^AB,所以BO=^-PA

以O为坐标原点，OA,db,标的方向分别为K轴，y轴，Z轴的正方向，建立如图②

所示的空间直角坐标系，记以=2,则0(0,0,0),A(l,0,()),8(0,一坐0),C(-l,

0,0）,Q（0,坐0）,

四*

一

，

图

33%亚'

所以丽(芈,-OO

=0,2T

2,

f2V3

〃丽=0,3v=Of

设平面AM//N的法向量为〃=(x,y,z),财即j_

n-AH=0,[_玄+^z=0,

令K=2,解得)：=0,Z=2，5,所以〃=(2,0,2市)足千面人/团小的一个法向量.

记4。与平而AM//N所成角为8,

则singcos〈〃，AD)|=

f4'

\n\\AD\

所以AD与平面AMHN所成角的正弦值为早.

考点三二面角(综合型)

复习指导|能用向量方法解决面与面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问

题中的作用.

核心素养：数学运算、逻辑推理

侧回(2019•高考全国卷I)如图，直四棱柱A4CO—A的G。的底面是菱形，AA]=4,

AB=2,NB4O=60。，E,M,N分别是BC,B&,AQ的中点.

(1)证明：MN〃平面COE；

(2)求二面角A-M4-N的正弦值.

【解】(1)证明：连接8C，ME.因为M,E分别为BC的中点、,所以ME〃打C，

且ME=gBiC.

又因为N为4。的中点，所以NO=%iD

由题设知4Bi幺DC,可得81c幺AD,

故ME^ND,

因此四边形MNDE为平行四边形，MN〃石Q.

又MNQ平面EDG,所以MN//平面C\DE.

(2)由已知可得。E_LD4.以。为坐标原点，汤的方向为x轴正方向，建立如图所示的空

间直角坐标系O-xyz,则A(2,0,0),A)(2,0,4),M(l,小，2),Ml，0,2),/M=(0,

0,-4),府=(一1,小，-2),Q=(-l,0,一2),疝=(0,一小，0).

设m=(x,)，，z)为平面AiMA的法向量,

利AiM=O‘所以厂"小厂22=。，

则.

[―4z=0.

j〃A|A=0.

可取〃1=(小，1,0).

〃•加=0,

设〃=(p,g,r)为平面4例N的法向量,则《

.“•4N=0.

一小q=0,

所以可取〃=(2,0,-I).

-p-2r=0.

2小

于是cos〈帆，〃〉=

制II川—2X小一5'

所以二面角A-AM「N的正弦值为手.

利用向量法计算二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面

的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

⑵找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为

起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

考法全练;如图，已知四棱锥S-A8c。的底面是边长为2的正方形，且平面SADJL

平面A8CD,M,N分别为棱A。，8c的中点，P,Q为侧棱S。上的三等分点.

(I)求证：PN〃平面MQC；

⑵若SA=SD=yj2,求二面角D-SA-N的余弦值.

解：⑴证明：法一：如图，连接4户.

因为P,。为侧棱SO上的三等分点，所以S尸=PQ=QD

又M为4。的中点，所以A0〃MQ.

因为A闪平面QA/C,MQU平面QMC,所以AP〃平面QMC.

因为M,N分别为棱A。，BC的中点，所以易得AN〃CM.

因为ANQ平面QMC,CMU平面QMC,所以AN//平面QMC.

因为人P,4NU平面小N,JLAPQAN=A,所以平面布N〃平面MQC.

又尸NU平面用M所以尸N〃平而MQC.

法二：如图，连接ND交CM于点R,连接QR,MN.

因为在正方形人BCO中，M,N分别为人。，BC的中点,

所以四边形MNCQ为矩形，所以R为N。的中点.

又。为尸。的中点，所以PN//QR.

因为QRU平面MQC,PNd平面MQC,

所以〃N〃平面MQC.

(2)因为SA2+SD2=AC)2,所以△SA。为等腰直角三角形.

连接SM,因为M为八。的中点，所以SM_LAO,所以SM=1.又平面S4O_L平面A6C。,

所以SM_L平面ABCD.

以A为坐标原点，AB,4。所在直线分别为x,y轴，过点A且与平面A8C。垂直的直

线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则以0,0,0),N(2，1,0),。(0,2,0),5(0,1,I),

所以俞=(2,I,0),衣=(0,1,I).

设〃i=(x,y,z)为平面SAN的法向量，

n\,AN=0,[2x+y=0,

则＜得1,取y=2,得〃尸(一1,2,-2).

八

I/i)-4X5—=0,,y+z=0,

又平面SAO的一个法向量为〃2=（1，0,0）,

“7/\•〃2—11

所以cos〈川，~r~；~|=VT7T=-

112/=\|wi|•|«2|1X33

易知二面角Q-SAW为锐二面角，

故二面角O-S4-N的余弦值为;.

》6磅演练▼②僖突破练好题­突破高分瓶颈.

［基础题组练］

1.将边长为1的正方形A4。。（及其内部）绕。。旋转一周形成圆柱，如图，念长为看,

A；5长为争其中囱与C在平面AAOi。的同侧.则异面直线BC与所成的角的大小为

)

A乙

6

7t

C.jD.

2

解析：选B.以。为坐标原点建系如图,

1),Bi惇,]),[坐V,0)

则4(0,1,0),Ai(0,1,

所以筋1=((),0,1),/fc=(o,-1,-1),

〃/一一、启•戒

所以cos{AA],B\C;=------------

|A4iim

OXO-f-QX(-|)+lX(-i)^2

ix^/o2+(-i)2+(-i)2—2

所以〈AAi,BiC〉=了，

所以异面直线与/Ui所成的角为也故选B.

2.如图,已知长方体ABCDAICQ中,AD=AAt=LAB=3,E为线段已8上一点,

且AE=53,则。G与平面OiEC所成的角的正弦值为【)

C坐D.当

解析：选A.如图，以。为坐标原点，DA,DC,。。所在直线分别为x轴，y轴，z

轴建立空间直角坐标系，则C(0,3,1),。[(0,0,1),E(l,1,0),C(0,3,0),所以比।

=(0,3,1),加=(1,1,-1),D1C=(0,3,-1).

设平面DiEC的法向量为般=(x,y,z),

nD^E=0,[x-Fy—z=0,x=2y,

则<即，即，取y=1,得〃=(2,L3).

3y-z=0,z=3y,

〃♦£)<=(),

e,,f、DC\,n

因为cos(DCi，〃〉=--------

I虎11•同

J"稿;N"=嗜’所以DO与平面»EC所成的甬的正弦值为嗜,故选

A.

3.在正方体A4CO—A由IGQI中，点七为的中点，则平面4E。与平面A8CQ所

成的锐二面角的余弦值为.

解析：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1,则4(0,0,

I),《1,0,0(0.I,0),所以X]7)=(0.1.-1),届=(1,0,一设平面4SD的

法向量为〃/=(1,y,z),则，

_A\E•ni=0,

y=2,

即＜所以所以〃/=(1,2,2).又干面ABC。的一个法向量为“2=(0,

z=2,

29

0,1),所以cos〈〃/•/〃)=］，故平面AiEO与平面ABCZ)所成的锐二面角的余弦值为？

2

答蔡-

3

4.如图，正三棱柱ABCABiG的所有棱长都相等，E,F,G分别为AB,A4,4G的

中点，则SF与平面GEF所成角的正弦值为.

解析：设正三棱柱的棱长为2,取4c的中点。，连接OG,DB,分别以DB,DG

所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

则民(0,小,2),F(l,0,1),雄，田，。)，G(0，0,2),

B>=(L-小，-1),EF=Q,一坐，11GF={\,0,-1).

设平面GEF的法向量为〃=(x,y,z),

\EF-H=0,-雪y+z=0,

叫叫22.

际・〃=(),L-z=0,

取X=l,则Z=l,），=小，

故〃=（1,小,1）为平面GE/的一个法向量,

|1-3~1|_3

所以|cos〈〃瓦力〉1=

小X3-5

3

所以8砂与平面GEF所成角的正弦值为

3

答案：5

5.如图所示，菱形A8C。中，N/WC=60。，4c与6。相交于点。，4£_1_平面A4CO,

CF//AE,AB=AE=2.

（1）求证：8Q_L平面AC"；

（2）当直线F0与平面BED所成的角为45。时，求异面直线OF与所成角的余弦值的

大小.

解：（1）证明：因为四边形A8C。是菱形，

所以8Q_LAC.

因为AK_L乎而"DU千面A/JCD,

所以BDLAE.

又因为ACGA£=4,AC,AEU平面ACF£.

所以BO_L平面ACFE.

（2）以。为原点，OA,OB所在直线分别为x轴，），轴，过点。且平行于C尸的直线为z

轴（向上为正方向），建立空间直角坐标系，

则8(0,小,0),0(0,一小,0),E(l,0,2),F(-l,0,a)(a>0),OF=(~l,0,

a).

设平面£30的法向量为〃=(x,y,z),

[A/3V=0,

则有《即，,

[nOE=0.&+2z=。，

令z=l,贝"〃=(一2,0,1),

—►

由题意得sin45°=|ccs(OF,〃〉|=0”闾

\OF\\n\

_|2+H_小

《?+I•小2’

解得a=3或。=一；(舍去).

J

所以5?=(—1,0,3),BE=(\,一小，2),

—

C0S〈,-°*凡B—E〉.=而1砺+6=生y[5

故异面直线0”与BE所成角的余弦值为坐.

6.(202()•湖北十堰4月调研汝U图，在三棱锥P—A6C中，河为4。的中点，PALPC,

ABA.BC,AB=BC,PB=p,AC=2,N%C=300.

>

-c

R

(1)证明：8M_L平面以C；

(2)求二面角4一以一C的余弦值.

解：⑴证明：因为用，尸C,ABA.BC,所以MP=MB=)C=1,

入MP?+MB2=BP2,所以

因为M为AC的中点,所以8M_L4C

又ACCMP=M,所以8M_L平面以C.

(2)法一：取MC的中点O,连接P0,取BC的中点E,连接EO,则OEJ/BM,从而

OEA.AC.

因为以_LPC,ZMC=30°,所以MP=MC=PC=1.

又。为MC的中点，所以POA-AC.

由⑴知BML平面以C,OPU平面PAC,所以BM_LP0.

又8MGAC=M,所以尸O_L平面A6C.

以。为坐标原点，OA,OE,0P所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标

系，如图所示，

由题意知AR,o,oj,BQ,1,o）,

《0,0,坐）,BP=\——1,2],法=（1,—1,0）»

〃旃=-%-）,+坐z=0,

{nBA=x-y=0,

令x=l,得〃=（1,1,小）为平面4尸8的一个法向量，

易得平面以C的一个法向量为兀=（0,1,0）,cos〈〃，兀〉=坐，由图知二面角5一以

—C为锐角，

所以二面角B一附一C的余弦值为小.

法二：取出的中点H,连接HM,HB,

因为M为AC的中点，所以“M〃尸C,又以_LPC,所以“

由（1）知BM_L平面PAC,则BHLPA.

所以NBHM为二面角8一以一。的平面角.

因为AC=2,必_LPC,NB4C=3O。，所以又8M=1,则BH=yl

乙乙

=立

一2，

所以COSNBHM=&^=变,即二面角8一以一C的余弦值为坐.

DLlJJ

7.（2020・合肥模拟）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，M_L平面

ABCD,OE_L平面A8CQ,8/=QE,M为棱4E的中点.

H

(1)求证：平面8OM〃平面ER7；

(2)若。E=244求直线AE与平面BDM所成角的正弦值.

解：(1)证明：连接AC,交8。于点N,连接MN,

则N为4C的中点,

又M为AE的中点，轼以MNHEC.

因为MNQ平面EFC,ECU平面EFC,

所以MN〃平面EFC.

因为BF,QE都垂直底面ABCD,所以BF//DE.

因为BF=DE,

所以四边形BDEF为平行四边形,

所以BD//EF.

因为3ZK平面EFC,E/Y平面EFC,

所以〃平面EFC.

又MNPBD=N,所以平面BDM//平而EFC.

(2)因为OE_L平面ABC。，四边形ABC。是正方形,

所以DA,DC,QE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系。-孙z.

■i殳A8=2,则。E=4,从而。(0,0,0),4(2,2,0),M(\,0,2),A(2,0,0),£(0,

0,4),

所以加=(2,2,0),痂=(1,0,2),

设平面BOM的法向量为〃=(x,y,z),

〃。5=0,2x十2y=0,

则彳得,

x+2z=0.

w/W=0,

令x=2,则)，=-2,z=-l,从而〃=(2,-2,-1)为平面BZ)M的一个法向量.

因为AE=(-2,0,4),设直线4E与平面BOM所成的角为仇则

sin<9=|cos〈〃•危〉|=

-15'

\n\-\AE]

所以直线AE与平面BQM所成角的正弦值为嗜.

［综合题组练］

1.（2020.河南联考）如图所示，在四棱锥P—ABCO中，底面A8C。为平行四边形，平

面以。，平面A8CZ）,△以D是边长为4的等边三角形，BCLPB,£■是AD的中点.

（1）求证:BELPD；

（2）若直线AB与平面PAD所成角的正弦值为手，求平面PAD与平面PBC所成的锐二

面角的余弦值.

解：（1）证明：因为△以。是等边三角形，E是4。的中点，所以

又平面以D_L平面ABC。，平面布0G平面ABCO=AD,PEU平面南。，所以尸£_1_平

面ABCD,所以PELBC，PELBE.又BC工PB,PBQPE=P,所以8C_L平面PBE,所以

BC1BE.

又BC〃A。，所以AD_L8E.

又4。00£=£：且/1。，PEU平面外。，所以4E_L平面小。，所以BELPD.

（2）由（1）得BEJ_平面PAD,所以N84E就是直线人8与平面阴。所成的角.

因为直线AB与平面南。所成角的正弦值为华，

即sinN8AE=^^,所以cosNBAE=:.

Ay-»/>4

所以COSN8AE=R=K=Q解得A5=8,则BE=7AB2—AE?=2叵.

由（1）得£A,EB,£尸两两垂直，所以以£为坐标原点，EA,EB,EP所在直线分别为

x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则点P(0,0,2小)，A(2,0,0),0(-2,0,0),B(0,2仃，0),C(一4,2仃，0),

所以而=(0,2-715,-2小)，PC=(-4,2^15,一2小).

设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),

PBm=O,j2Vi5y-2V3z=0,x=0,

由.I解得，

〔一44+2行)，-2小?=0,Z=&.

PC*7/1=0,

令），=1,可得平面尸8c的一个法向量为加=（0,1,小）.

易知平面外。的一个法向量为〃=（0,1,0）,

设平面附。与平面P8C所成的锐二面角的大小为仇

inn_(0，1,小>(0,1,0)小

1向〃1—>/6X16•

所以平面以。与平面P8C所成的锐二面角的余弦值为幸.

O

2.（2020•河南郑州三测）如图①，△A8C中，AB=BC=2,NA8C=90°,E,尸分别为

边AB,AC的中点，以石F为折痕把△人石尸折起，使点八到达点。的位置（如图②），且PB

⑴证明：EF_L平面尸8E；

⑵设N为线段尸产上的动点（包含端点），求直线8N与平面PC尸所成角的正弦值的最大

值.

解:（1）证明：因为£,厂分别为边A&AC的中点，所以EF〃BC.

因为N/WC=90。，所以石凡LBE,EF工PE,义BEC\PE=E,所以EF上平面PBE.

（2）取BE的中点O,连接PO,因为PB=BE=PE,所以PO1BE.

由⑴知£7」平面PBE,EbU平面BCFE,所以平面平面I3CFE.

又POU平面尸8E,平面平面所以PO上平面BCFE.

过点。作OM〃8C交C/于点M,分别以。8,OM,OP所在的直线为4轴，），轴，z

轴建立空间直角坐标系，如图所示，

际=（一;,1,一阴

由N为线段尸产上一动点，得丽=%际（0W2W1）,

则可得《一余当1—2））,

俞=（一九喙（1T））

设千面PCF的法向量为m=（A,y,z）,

1x+2y-2z=0>

PCw=O,

则，即＜取)，=1,则x=—I,z=小，所以〃2=(—I,1,