二项式定理及其应用（核心考点讲与练）-高考数学一轮复习（新高考专用）解析版

考点25二项式定理及其应用(核心考点讲与练)

尼点考蕾)

1.二项式定理

(1)二项式定理：(a+〃)"=C%"+C%i力+…+战/，/+…+屐//(〃£N)；

(2)通项公式：Ti=C5b,它表示第r+1项:

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C：,C,…，C：

2.二项式系数的性质

性质性质描述

对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即d=c3

当今y矍(〃£NJ时，是递增的

二项式系

增减性

数C当女＞券(〃£N.)时，是递减的

n

二项式当〃为偶数时，中间的一项C：取得最大值

系数最

/I-IW+I

当〃为奇数时，中间的两项C；^与c3取得最大值

大值

3.各二项式系数和

(1)(a+力)"展开式的各二项式系数和：C：+C：+d+…+C；=g.

(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C+C+C+-=C,+C+e+•,•=墨.

(1)求展开式中的第〃项，可依据二项式的通项直接求出第〃项.

(2)求展开式中的特定项，可依据条件写出第，*+1项，再由特定项的特点求出“直即可.

(3)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由特定项得出

/■值，最后求出其参数.

2.(1)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：Cfek=O,1,2,…，〃).

(2)二项式定理给出的是一个恒等式，对于，〃的一切值都成立.因此，可将m〃设定为一些恃殊的值.在

使用赋值法时，令a,》等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、一1或0”，有时也取其他值.

3.一般地，若危)=〃0+。工+和［2+…则危)的展开式中各项系数之和为川)，奇数项系数之和为加

।1_।_/(0+/(-1)/但物足万将⑦访*I।।/⑴一/(一1)

+02+04+...----------------------,偶数项系数之和为0+43+05+...-----------------------.

22

4.二项式定理及通项的应用

(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当

变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.

(2)运用二项式定理一定要牢记通项7i+i=C历厂％'注意(。+份〃与3+。)〃虽然相同，但用二项

式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.

(3)在通项为+1=心〃厂恸5£用)中,要注意有〃£N+,依N,kWn,即k=0,1,2,…,n.

2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展

开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求屐开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0,±1.

求展开式的指定预

1.(2021山东师范大学附属中学高三_L期中)在2工-的展开式中，各项系数和与二项式系数和之

和为65,则常数项为

【答案】60

【分析】由题设可得2"+1=65求〃，再写出二项式展开式的通项，确定常数项对应的，•值，即可求常数项.

【详解】由题设，令x=l,则各项系数和为1，而二项式系数和为2"，

・・・2”+1=65,可得〃=6.

\,6--r

・•・二项式展开式通项为乙1=c；(2犬)(6-(-7>=(-1)，.2jc；-x2

当r=4时,常数项为7；=(T)、22C：=4X15=60.

故答案为：60

（\V1

2.（2021吉林省桦甸市四中高三上10月月考）若二项式--x的展开式中所有项的系数和为则展

（2）64

开式中二项式系数最大的项为（）

A.一：/B.C.-20x3D.I5x4

24

【答案】A

【分析】令;v=l可求得〃的值，再根据二项式系数的性质结合展开式的通项可求得二项式系数最大的项.

所以〃=6,展开式有7项，

所以二项式（g-x）展开式中二项式系数最大的为第4项，

（=（一1）3《（£|"】=一|「

故选：A.

3.（2021新疆克拉玛依市高三第三次模拟检测）若二项式（l+2x）”（〃wN+）的展开式中所有项的二项式系

数和为128,则该二项式展开式中含有/项的系数为（）

A.1344B.672C.336D.168

【答案】B

【分析】先求出〃，再写出二项式展开式的通项，令X的指数等于5即可求解.

【详解】因为二项式（1+2力”（〃在电）的展开式中所有项的二项式系数和为128

所以2"=128,解得〃=7,

所以（1+2.r）7的展开式通项为：（2x/,

令t=5可得"二225x5=672/,

所以该二项式展开式中含有V项的系数为672.

故选:B.

4.（2021安徽省怀宁中学高三上模拟测试）（3工一5）2。-1）7的展开式中/项的系数为（）

A.140B.-1120C.-140D.112O

【答案】B

【分析】利用二项式定理求(x—l『的展开式中“4,/和/项的系数，从而可求(3工一5)2(1-1)7的展开式

中工6项的系数.

【详解】(3x-5)2(x-I)7=(9x2-30x+25)(x-l)7,

(-1)7的屐开式的通项公式为加=C*7f(_])].=0]…7

令7—〃=4,得r=3,所以C；f(-l)3=-35f；

令7f=5,得厂=2,所以方/(_1『=2民5；

令7—r=6,得r=1,所以Cjf(―1)=—,

所以(3x—5)2(x—1)7的展开式中f项的系数一35x9+21x(—30)+25x(—7)=7120.

故选:B.

5.(2021北京市第十三中学高三上期中)在(«-2)5的展开式中，工的系数为()

x

A.-10B.10C.-5D.5

【答案】A

53

【分析】首先求出展开式的通项，再令——厂=1,即可求出，，再代入计算可得；

22

【详解】解：二项式(4一2)展开式的通项为却1=仁(4『[一：)=c;f告(一2丫

令=解得r=1，所以(-2)1=-10x,所以展开式中工的系数为一10,

故选：A

聋耳臣＞二项式系数的性质或各项系数

(\Y729

1.若二项式--X的展开式中所有项的系数的绝对值的和为k，则展开式中二项式系数最大的项为

(2)64

()

A.一|丁B.yx4C.-20x3D.15/

【答案】A

【分析】令x=-l,根据展开式中系数的绝对值的和得到〃=6.再判断二项式系数最大的项为第4项，根

据二项式定理计算得到答案.

【详解】令x=T，可得展开式中系数的绝对值的和为（31=Zr2,解得〃=6.

•••展开式有7项，

门、6/1\3s

二•二项式上一工展开式中二项式系数最大的为第4项，7；=C：-（-l）V=--r\

12J2

故选A.

2.（2022年高考数学一轮复习）已知（/+。）（2工一的展开式中各项系数的和为3,则该展开式中常

数项为（）

A.8（）B.160C.240D.320

【答案】D

【分析】令x=l解得。=2,再求得（2九-4）展开式的通项公式求解.

【详解】令x=l得（1+。）（2-1）6=3,解得。=2,

则（24一5）展开式的通项为=（-1）'2―晨%6-",

6

则（d+2）（2x—gI展开式中常数项为2x（7）226"谖+（_1）326-3或=320.

故选:D

二项式系数的性质及各项系数和

1..（多选题）若（工2一2工+2）'=。0+。仃+//+-,+卬0^°，则下列选项正确的是（）

A.4=32B.a2=320

C.q+生+…+%（）=32D.,|+同|4---Fko|=3O93

【答案】AD

【分析】令x=0,求出生，可判断选项4根据多项式乘积运算法则，结合组合知识求出生，可判断选项

凡令x=l,求出&…+4。结合/值，可判断选项。：利用（/+2x+2）’展开式所有项系数

和为|4|+何|+|七|+.一+|40|，结合曲值，可判断选项D.

【详解】令x=0，4=25=32,所以A正确；

五项相同的因式相乘，要得到含F的项，可以是五个因式中，一个取/其他四个因式取2,或两个因式取一21

其他三个因式取2,所以g=C；xlx24+C；x(-2)2x23=400,所以8不正确；

令人=1,则《)+4+&+...+。10=1,

所以q+4+-+4o=1-32=-31,所以C不正确；

+2X+2丫展开式所有项系数和为同+同+同+...+|叫，

令x=l,得⑷+同+同+.・・+=5,=3125,

所以同+同+.・・+|叫=3125-32=3093，所以。正确.

故选：AD.

202122021

2.己知(1+X)=a0+a]x+a2x++…+a202lx,则

々2020+2“2OI9+3。2。18+4g017+，',+2020%+202lc«)=()

A.2021X22021B.202lx22020

C.2020x22021D.2020X22020

【答案】B

【分析】根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项(2021-4)4M£N,AK2021,再借助二项式

性质即可得解.

【详解】依题意，凡=&21，攵€N/V2021,

当。1时,

20711

(2021-^,=(2021-^21=2021^.-^-,=2021C^.

\NU，1-K)•*K»

2020,

2021-------二^-------=2021(%一U篇),

[2020-(Z-1)]!«-1)!20212020

「2021

于是得。2020+2生019+3%018+440I7+…+202。4+2021%=Z(2021-+20214

L«=1.

202120212021

=[£2021(^,-C^)]+202=2021CC

oZ2O2,-Z^O

&=i上=0k=1

=2021(22021-22O2O)=2O21X22020.

1.（2020年全国统一高考（新课标I））。+汇）*+），）5的展开式中13）3的系数为（）

x

A.5B.10

C.15D.20

【答案】C

【分析】求得（x+y）s展开式的通项公式为7\i=C05-y（rwN且-45）,即可求得卜+支与（工+»

展开式的乘积为或C3jy+2形式，对r分别赋值为3,1即可求得的系数，问题得解.

【详解】（x+y）5展开式的通项公式为（〃£N且，W5）

所以X+?）的各项与。十展开式的通项的乘积可表示为：

工加=工产了=C；产了和汇7；“=21G产了=S'm

XX

在工7二二。"6-、,「中，令厂=3,可得：xT,=C^y\该项中/）,3的系数为］0,

在21&i=c"jy+2中，令/•二，可得：^-7；=cy/,该项中Vy3的系数为5

XX

所以的系数为10+5=15

故选:C

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属

于中档题.

,2A

2.（2020年全国统一高考（新课标III））（『十一）6的展开式中常数项是（用数字作答）.

【答案】240

【分析】写出［f+iJ二项式展开通项，即可求得常数项.

【详解】•••（/+2）

其二项式展开通项：

…月

=C"-2r（2）”「

二仁（2）「・工3"

当12—3厂=0,解得r=4

.(x2+-l的展开式中常数项是：C^-24=C^16=15X16=240.

故答案为：240.

【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握（。-人）〃的展开

通项公式考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

一、单选题

1.（2022・全国•模拟预测）在（1+2力5（1+），）"（422）的展开式中，记廿）严项的系数为〃也〃），若

/（2,1）+/（1,2）=220,则展开式中所有项的系数和为（）

A.648B.1296C.1944D.3888

【答案】D

【分析】先根据+2）二220及二项式定理的有关知识得关于〃的方程，解方程求得〃的值，再

利用赋值法求展开式中所有项的系数和即可.

【详解］由题意知/（2,1）+/（1,2）=4C：C+2cq=40a+5a（a-l）=220,

即〃2+7〃-44=（）,解得。=4或。=一11（舍去）,

・・・〃=4,

令x=y=1,得展开式中所有项的系数和为3$x2"=3888.

故选：D.

2.(2022♦山东淄博，~■模)若(1—x)=旬+q(1+x)+生(1+x)~+…+6(1+x)，则4=(

A.-448B.-112C.112D.448

【答案】C

【分析】(1一4=。-1)8=[(1+工)-2]8,然后根据二项式展开式项的系数计算即可.

—88828

[详解](1X)=(X—I)=[(1+X)—2]=6f0+<?!(1+X)4-6f2(l+X)+,•,4-6Z8(l+X)

4=C1(-2)2=112.

故选:C.

3.（2022•福建漳州•一模）已知二项式（办+），）5（〃eR）的展开式的所有项的系数和为32,则（丁一白尸的

展开式中常数项为（）

A.45B.-45C.1D.-1

【答案】A

【分析】根据赋值法以及二项展开式的通项公式即可求出.

【详解】令X=l，y=l,可得展开式的所有项的系数之和（4+1）'=32,得。=1,

其通项4+产。1。2严-[_6=）=（-l）kC^x20'^,令2（）-与=（）,得2=8,所以展开式中常数项为

（一1）«僚二45.

故选：A.

二、多选题

4.(2022・福建龙岩•一模)已知二项式的展开式中各项系数之和是々，则下列说法正确的有

<2.v)128

()

A.展开式共有7项B.二项式系数最大的项是第4项

C.所有二项式系数和为128D.展开式的有理项共有4项

【答案】CD

【分析】运用代入法，结合二项式系数和公式、通项公式以及二项式系数性质逐一判断即可.

【详解】因为二项式(石一-l)的展开式中各项系数之和是——，

(2x)128

所以令x=l可得：fVT--匚]=—=>—=—=>z?=7.

(2xlJ1282〃128

A：因为，=7,所以展开式共有8项，因此本选项说法不正确;

B：因为〃=7，所以二项式系数最大的项是第4项和第5项，

因此本选项说法不正确；

C：因为〃=7,所以所有二项式系数和为27=128,所以本选项说法正确；

8-3，

D：由B可知：4+]=啖・(-1)'-2一"工丁，当〃=°，2,4,6时，对应的项是有理项，

故本选项说法正确，故选：CD

5.(2022・全国•模拟预测)若<(x,)，)=(百工+2〉)€N*,x、ywR),则下列结论正确的是()

A.若工(1,1)=可+石2，勺、力为整数,则/-々=21

B.£(1，1)-力(1，一)是正整数

C.以z(LT)是月M(L1)的小数部分

D.设力(l,T)=q+限小若。、d”为整数，则c；+(-l广=5%

【答案】ACD

【分析】求出。3、4，可判断A的正误；取〃=2可判断B的正误；利用二项式定理可判断C的正误；分

〃为偶数和〃为奇数两种情况分析讨论，结合二项式定理可判断D的正误.

【详解】对于A,力(1,1)=(6+2?=(6Y+C；・(6『.2+c；•6.22+23=38+176，

所以，ay=38,Z?3=17,则。3=38-17=21,A*j：

对于B,W)_£(l，T)=M+2)"一曲2)”,

因为力(1』)一人(1,-1)=(石+2)2-(、6-2『二8百，不是正整数，B错：

对于C,因为人(1,1)一人(1,-1)=(口+2广一(打一2小

=24/2(石广+以1"(灼”+...+22M是正弊

而。(加(1)=(百一2「’<1,所以以。一1)是月I(1/)的小数部分，CM;

对于D,因为<(1,-1)二(逐一2)"=%+迅4,

当〃为偶数时，G=C：ay+C(q2(—2)2+C：®i(_2"..+C：(—2)”,

啊=C；(石广(-2)+C：的7(-2)3+…+C：T•V5(-2f,

所以扁,-c“=-[c«⑼-C时1(_2)+C(遥厂(-2)2Y(可"(-2)3

+--C：T.石(-2)"“+C：(-2)[=-心+2),

所以(括4+c.)(国百-2)"(6+2)”=-[(6-2)(6+明=-1,

即1=54；

当〃为奇数时，&=<2：(石广(-2)+@(石片•(一2)']..+€：：(-2)”,

啊=C⑼+C；(石广(-2)2+…+C：-'.可—2)"」，

所以商“-c„=C：(V5)"-C：心广(-2)+C：心厂(-2)2

V心厂’(―2)3+…+C；-1.阴-2广,-C：(―2)"=m+2)”,

所以(氐/”+C,)(V5<-c„)=(V5-2)”(石+2)Z，=[(75-2)(75+叫”=1，

即c；+l=5d；,D对.

故选：ACD.

6.(2022.河北.模拟预测)已知(V+3x+2)”的展开式的常数项为16,则()

A.n=4B.〃=8C.展开式中各项的系数之和为216D.展开式口x7的系数

为12

【答案】AD

【分析】根据(d+3x+2)”的展开式的常数项为16,求得〃=4,再由(f+3X+2)4=(X+1)4(X+2)4,

利用通项公式及赋值法求解.

【详解】依题意，2"=16，

:.〃=4.

・•・(Y+3x+21=(x+1尸(x+2)4,

•••展开式中』的系数为C：・C：+C：x2=12,

展开式中各项系数之和为6=1296，

故选：AD.

7.(2022•浙江•模拟预测)已知(l+2x)"+。(3-X)，=。0+4工+...+。616(。工0),则()

A.n=6B.a=128

C包+幺+...+%=_D.4+2。，H------F6a,=-64

37363\3)

【答案】BC

【分析】比较等式两侧x的最高次知〃=7且。；・27+如。；・3°・(-1)7=0判断人、13；将©中等式两侧乘37,

再令x=3验证即可；对已知等式两侧求导，将x=l代入求值判断D.

【详解】由等式右边最高为一项，且不含，项，则〃=7且。；.27+如。[3°・(-1)?=0,即。=128,故

A错误，B正确；

6

所以(1+2x)7+128(3—X)，=a()+ayx+...+ahx.

C：等式两边同乘37,原等式等价于4+34+...+364=7’,令工=3,则

%+3%+...+3%6=(1+2X3)7+0=77,正确；

D：[(1+2x)7+128(3-X)']'=[〃o+4]1+...+。6工6]',可得：

665

14(1+2.r)-7x128(3-x)=^+2a2x+...+6abx,令4=1,则

66

a}4-2tz2+...+6a6=14x3-7xl28x2=-47138,错误;

故选：BC

三、填空题

8.（2022・海南•模拟预测）在2x-+）的展开式中，/的系数是

【答案】112

【分析】由二项式定理求解

【详解】由二项式定理知的展开式的通项为

&=C；（2x）［—p=（-1//

令r=_］得r=6

2

“丁112

故4=——

x

故答案为：112

9.（2022•福建漳州•二模）已知（2/+＞）6的展开式中工',2的系数为

【答案】240

【分析】写出二项式（2/+y）6展开式的通项公式，根据其通项公式可求得答案.

【详解】（2/+）,）6展开式的通项公式为：

J=。：（2/）6-3=2'/=OJ2,3,4,5,6,

令r=2，则工=24。18y2,

故W的系数为2七；二240,

故答案为：240

10.（2022・天津•一模）在（2丁+，的展开式中，/的系数是.

【答案】60

【分析】利用二项式定理通项公式求出答案.

【详解】的展开式通项公式&1二6（2丁厂.尸=6.26-354"令18-什=2得：r=4,

故4=。：-22/=60/,所以9的系数是6（）.

故答案为：60

11.（2022・北京•模拟预测）在/+士的展开式中，常数项为______.（用数字作答）

kX）

【答案】12

【分析】由二项式写出展开式的通项，进而确定常数项对应的r值，即可求常数项.

2

【详解】由题设,&=产㈠，=2，C产,

x

当厂=2时，常数项为4=22。；=12.

故答案为：12.

12.（2022•湖南•雅礼中学一模）展开式中的常数项为.

【答案】4246

【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.

【详解】（1+加》的展开式的通项:

=C；/,r=0,1,2,3,4,5,6.

/.\io

1+—二的展开式的通项:

I6）

所以满足条件的任㈤有三组：（0,0）,（3,4）,（6,8）,

故常数项为1+C；Ci+C：C：o=4246.

故答案为：4246.

13.(2022•全国•模拟预测)己知(x+〃?)(x-2)4=%+4工+42/+…+%%$，若％=16,则

a}4-a2+%+&+a5=.

【答案】-14

【分析】令x=0,即可求得〃z,再令x=l,结合4二16,即可求得结果.

【详解】令尢=0,可得%="7X（-2）4=16,所以〃Z=I,

令.（=1,得4+4+…+生=2,得4+a2+生+4+%=2—16=-14.

故答案为：一14.

14.（2022.北京,二模）二项式（l+x）”（〃wN.）的展开式中/的系数为21,贝卜?=.

【答案】7

【分析】写出二项式展开式通项，根据已知条件有C：=2I,即可求〃值.

【详解】由题设，展开式通项为l+i=C：/，而/的系数为21,

所以C”21,即妁F=21且〃wN"可得〃=7.

故答案为：7

15.（2022•广东湛江•二模）（81+］卜-；）的展开式中常数项为.

【答案】一2言2

O1

【分析】先求得卜-展开式的通项公式，再分别用81乘以1一j的展开式中的常数项和一乘以卜

的展开式中含％的一次项的两种情况求解.

【详解】卜一;j展开式的通项公式为a=C；产=（一1）'3一匕/"

当8i乘以卜-；）时，令5f=（）,解得r=5,常数项为81x（-lyHy=-；；

当:乘以（X_g）时,令5-E,解得i常数项为fT3yx募

(1A/1V?2

所以81+上x—L的展开式中的常数项为—告

Ix人3J81

22

故答案为：一封

O1

442,2

16.(2022•广东潮州•二模)(x-2)=a4x+a^x+a2x+axx4-a0,则%+q+/+4=

【答案】9

【分析】令x=i,可求得%+%+%+q+/=i，再根据二项式定理可求出的的值，进而求出结果.

4432

【详解】在(x-2)=/x+ayx+a2x+qx+4中,

令x=l得，%+%+。2+4+%=।,%=C(-2)=-8,

所以，％+q+%+/=1-（-8）=9.

故答案为：9.

17.（2022•浙江・模拟预测）若N'）的二项展开式中各项的二项式系数和为64,贝I

〃=:展开式中常数项为.

【答案】6-j

【分析】根据二项式系数和求出九=6,再由二项展开式的通项公式求出常数项即可.

【详解】由于2"=64,则〃=6,

所以（X—_L］的展开式的通项公式7；

I2x）

令6-2r=0,解得,=3,故常数项为4=^,/(一()3=20X(-")=—|.

故答案为：6；

18.（2022.江苏无锡.模拟预测）⑴若数列｛q｝的通项公式为4=〃-76，则该数列中的最小项的值为

⑵若（2-巧卜+卡）的展开式中含有常数项，则〃的最小值等于

（3）如图所示的数阵中，用AW"）表示第机行的第〃个数，则以此规律A（8,2）为.

1

3

11

66

111

1012W

1111

IS2222

11111

2137443721

（4）/BC的内角A、B、C所对的边分别为。、b、c.已知sinA:sin8:sinC=ln2:ln4:lm,且回函=〃/,有

下列结论：®2</<8；②—<小<2；③f=4,a=ln2时，△4BC的面积为巫蛇；④当2.</<8时,

98

△ABC为钝角三角形.其中正确的是.（填写所有正确结论的编号）

【答案】12-146##一146+122圭①②④

【分析】⑴令/（"=1-7五*>0）,求导判断单调性，根据危）单调性即可求｛4｝单调性和最小项的值；

⑵求（炉十:2）的通项‘令其通项"的次数为。或一3,求出对应的"的最小值’比较即可得出"的最小值;

（3）规律：①设第〃行第1个分数的分母为册，则有4=3,勺-4=3,%-%=4,4-%=5,…%-an_x=〃+1；

②从第三行起，每一行的第二个数的分母都等于上一行的第一个数的分母和第二个数的分母之和.根据这

两个规律即可求出A（8,2）；

⑷①根据8-。<。<〃+。即可求出/的范围；②结合余弦定理和6c§=〃昭2即可求出m的范围；③求出b、

c,根据三角形面积公式即可求面积；④利用余弦定理判断cosC的正负即可判断三角形为钝角三角形.

【详解】⑴令/（力=4-7辰（x>0）,

749

则广（%）=i一比，令r（x）=。，解得

x£（o,,r（大）<oj（X）单调递减，

文c（?,广（司>（）,/（工）单调递增，

・二数列