2025-2026学年九年级数学下册中考《圆》重难点突破

园重难点突破

【考点1圆周角定理及其推论】

【例1】如图，8。是。。的直径，点小C在圆上，且。。=。8,则/历1C=（）

A.120°B.90°C.60°D.30°

【变式1-1】如图，已知△力BC内接于OO,8c是。。的直径，力。平分N比1C,交。。于。，若8C=4,

则CD的长为（）

A

A.2B.2\[2C.3D.372

【变式1-2】如图，是。O的直径，点C、。都在。。上，AD//OC,若。0=4诋，JC=2V5,则的

半径为（）

D

C.V2D.5

【变式1-3］如图，在OO中，点4、B、C均在圆上，连接ON、OB、OC、BC、AC,若AC〃OB,OC=4,

C.V89D.8

【考点2弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系】

【例2】如图,月片是半圆的直径，C、。是半圆上的两点，且NA4C=46°,尬=而，则

NDAB=

【变式2/】如图，48是。。的直径，BC=CD=DE,ZCOD=32°,则/力的度数

【变式2-2］如图，在半径为R的。。中，是直径，/1C是弦，。为女的中点，AC与BD交于点、E,若

点£是8。的中点，则AC的长

D

【变式2-3]如图1,一艺术拱门由两部分组成，卜部为矩形/EC。，AB,的长分别是2百机和4〃?，上

部是圆心为O的劣弧CD,圆心角NCOO=120°.现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD

所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱|二上的点到地面的最大距离"小，则人的最大

图1图2图3图4

【考点3垂径定理及其推论】

【例3】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CO=20cm,水深G尸=2c〃].若水面上升2c〃?（fG=2sn）,

则此时水面宽AB为多少？

【变式3-1］如图，4?是OC的弦，直径MV_L4?于点0,MN=10,44=8,如图建立坐标系.我们把横

纵坐标都是整数的点叫做整数点，则OC上的整数点有（）个.

A.6B.8C.10D.12

【变式3-2】2008年北京奥运会圆了所有中国人的百年奥运梦，开幕式上奇特的点火式为世界所震惊.（图

中为奥运会中所用的圣火盆），其中圣火盆高120。胆，盆体深20cm,立柱高110。〃，CD=60cm.试求

盆口圆的直径力从

H

【变式3・3】已知。。中18C为等边三角形，点。在43上，点力在弦CO上;

（1）如图（1）连接OO,OC，在4c上取一点M,使MB=OB,连接。W,求证：OB+BC=CD；

（2）如图（2）,在（1）的条件下，过。作OEL4C于£,若8=408,。后=2代，求。。半径.

【考点4圈内接四边形的性质】

【例4】在O。的内接四边形48。。中，AB=AD,ZC=U0°：若点E在而上，求NE的度数.

A

E

'D

B

【变式4-1］如图，四边形/4CO是OO的内接四边形，点尸是。。延长线上的一点，且力。平分N4QP,

AE上CD于点、E.

(1)求证：AB=AC.

(2)若80=11,DE=2,求的长.

【变式4-2］如图，四边形内接于OO,对角线力C是。。的直径，AB,。。的延长线交于点G,Z

.4CD=NRCG,DF±AC于点E,交AB于点F,OHA.AB于点H.

(1)求证：△48。是等腰三角形；

(2)求证：OE=OH；

【变式4-3】如图，圆。是的外接圆，4c是直径，过。作OQ〃4C交于点Z）.延长交圆。

于点£,作E/_L/1C于点巴连接。〃并延长交直线8c于点G,连接EG.

（1）求证：FC=GC；

（2）四边形£/MG是哪种特殊四边形？请说明理由.

【考点5点、直线、圆与圆的位置关系】

【例5】以坐标原点0为圆心，1为半径作圆，直线y=・x+b与。。相交，则6的取值范围是（）

A.-\<h<\B.->/2<b<V2C.-V2<Z><0D.0<b<>/2

【变式5-1]在平面直角坐标系x。），中，点"的坐标为（2,0）,。"的半径为4,则点尸（-2,3）与

0M的位置关系是（）

A.点尸在OM内B.点P在0股上C.点。在。M外D.不能确定

【变式5-2]（2021•广东模拟）如图,已知的半径为1,圆心的坐标为（4,3）.点尸（加，〃）是04

上的一个动点，则用2+/的最大值为一.

【变式5-3］如图，已知。。与03的半径分别为2和1,且两圆外切，点片为OOi上一点，^AO\Oi=

30°,点P为线段。。2上的一个动点，过P作。M的平行线/,如果在002上有且仅有2个点到直线/

【考点6三角形的外接圆和内切圆】

【例6】如图，△48C和△。£尸分别是的外切正三角形和内接正三角形，若△。四的面积为1,则4

,48C的面积为（）

A.8B.6C.4D.2

【变式6-1］（2021秋•南宁期中）如图，把RtZXOlA置于平面直角坐标系中，点力的坐标为（0,4）,点

B的坐标为（3,0）,点。是内切圆的圆心.将RtZ\044沿x轴的正方向作无滑动滚动，使

它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为小，第二次滚动后圆心为尸2,…，依此规律，第2020

次滚动后，RtZXCMA内切圆的圆心尸2020的坐标是.

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【变式6-2］已知平面直角坐标系中，点力(5,0)、B(―,—)和点尸(〃，了).若。历是△以4的内

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切圆，则面积的最大值是.

【变式6-3］如图1,△/IBC中，AB=AC,。。是的外接圆，过点8作8EJL/C,交O。于点。，垂

足为E,连接/O.

(1)求证：ZBAC=2ZCAD：

(2)如图2,连接CQ,点尸在线段〃。上，且。尸=2。。，G是反:的中点，连接R7,若FG=2,CD

=2或，求。0的半径.

图1图2

【考点7正多边形与圆的关系】

【例7】如图，。是半径为A的正六边形的中心.

（1）求。点到正六边形各边距离之和.

（2）若P点是正六边形内异于。点的任意一点，尸点到正六边形各边距离之和与。点到正六边形各边

电离之和有什么关系？请说明理由.

（3）类比上述探索过程，直接填写结论：

边心距为d的正三边形内任意一点P到各边距离之和等于一.（用含d的代数式表示）

边心距为d的正八边形内任意一点P到各边距离之和等于一.（用含d的代数式表示）

边心距为d的正〃边形内任意一点P到各边距离之和等于—.（用含d、n的代数式表示）

【变式7・1】一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形48。所的中心。重

合，且与边/8、CQ相交于G、〃（如图）.图中阴影部分的面积记为S,三条线段G8、BC、C”的长

度之和记为/,在大正六边形绕点。旋转过程中，下列说法正确的是（）

A.S变化，/不变B.S不变，/变化

C.S变化，/变化D.S与/均不变

【变式7-2］如图，OO是正方形/4CO与正六边形/EPCG〃的外接圆.

(1)正方形力4。。与正六边形力£/CG〃的边长之比为；

(2)连接8K是否为。。的内接正〃边形的一边？如果是，求出〃的值；如果不是，请说明理由.

【变式7-3】如图，/、8、C、。、E是。。上的5等分点，连接4C、CE、EB、BD、DA,得到一个五角星

图形和五边形MNFGH.有下列3个结论：①A0工BE,②/CGD=/COD+/CAD,③其

中正确的结论是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【考点8切线的性质及判定、切线长定理】

【例8】已知：如图△/中，/4C3=90°,以4C为直径的OO交力4于。，过。作O。的切线交8C

于点E,EFLAB,垂足为广

(1)求证：DE=jBC；

(2)若力C=6,8C=8,求c。：Sm”的值.

【变式8-1］如图，在中，/C=90°,点O在4C上，以。1为半径的半圆。交力4于点。，交

.4C于点£,点尸在8c上，且BF=DF.

(1)求证：。尸是半圆。的切线；

(2)若力。=4,8c=3,CF=\,求半圆。的半径长.

B

A0EC

【变式8-2］如图，直线48、BC、CD分别与。。相切于£、尸、G,HAB//CD,OB=6cmtOC=Scm.求:

(1)/8OC的度数：

(2)BE+CG的长;

(3)。。的半径.

4EB

(4

D

【变式8-3]如图，已知力4是。。的直径，点C是。。上一点，力。与过点C的切线垂直，垂足为点Q,

直线QC与44的延长线相交于点P,弦CE平分NRCB,交44于点凡连接

(1)求证：力。平分NZM4；

(2)求证：是等腰三角形：

(3)若力尸=6,EF=2遥,求。。的半径长.

【考点9弧长与扇形面积的有关计算】

【例9】如图，AB=CD=DE=4,NB=NBCD=ND=90：以。为圆心，。。为半径画弧交与点巴

设图中两块阴影部分面积分别为与，S2,则Si-S2=

【变式9-1](2021秋•兴城市期末)如图，在平面直角坐标系中，过点小(1,0)作x轴的垂线交直线)，

=x于点8],以。为圆心，为半径作弧，交x轴于点血：过点加作x轴的垂线交直线j，=x于点历，

以。为圆心，0历为半径作弧，交x轴于点念；过点43作x轴的垂线交直线y=x于点心，以。为圆心,

。为为半径作弧，交x轴于点心,…，按此做法进行下去，设由小阴，小血，弧加以围成的图形面积记

为S1，4汨2,A2A3,弧43A2围成的图形面积记为S2，由力383,力344，弧力4夕3围成的图形面积记为§3，…，

那么52020为.

【变式9-2］如图所示，三角形4BC的边长都为6c机，分别以力、B、。三点为圆心，边长的一半为半径作

孤，求阴影部分的周长.

【变式9-3】如图所示，在扇形中，ZAOB=90°,半径。4=4,点尸位于彳&的3处且靠近点力的位

置.点C、。分别在线段04。8上，CD=4,E为C。的中点，连接E尺BE.在CD滑动过程中（CD

长度始终保持不变），当M取最小值时，阴影部分的周长为

D

【考点10圆锥的有关计算】

【例10】设圆锥的侧面展开图是一个半径为18a叫