广东省广州市2025-2026学年高二年级上册诊断练习数学B卷（试卷+解析）

2025学年第一学期诊断练习

高二数学（B卷）

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号填

写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3,非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位

置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以

上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

—•—

1.己知空间向量旭=（ZT，1）,"=（4,一2,力,若一则x=（）

A.-5B.-3C.2D.4

2.己知双曲线。的一条渐近线的斜率为且焦点在x轴上，则。的离心率为（）

A.-B.-C,显D.在

2422

3.已知正方体45co的棱长为1,以力为原点，｛刀，标,刀;｝为单位正交基底，建立空间直

角坐标系，则平面力力。的一个法向量是（）

A.（1,1,1）B.C.（1,-U）D.（-1,1,1）

4.己知直线加r+〃y+l=0与圆二i有两个公共点，若点尸的坐标为（加,〃），则（）

A.点。在圆。上B.点。在圆。外

C.点。在圆。内D.以上皆有可能

5,我国古代数学名著《九章算术・商功》中记载：“斜解立方，得两里堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖

嚅.阳马居二，鳖嚅居一，不易之率也.”若由棱长为1的正方体45C。-44GA斜解得到堑堵

AAXBy-DD｝C1,则直线/与到平面O4G的距离为（）

A.yB.-C.—D.—

2322

6.数列｛%｝满足q=2,an+[=man+（3-wz）（wGN*,ZZ;GRj,则“〃7=3”是"数列｛qj成等比数列''的

（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知数列｛为｝,对任意的〃£]<,满足圆/+/-2。/-240+沙=0与圆/+）2—2]—2〉—2=0的

公共弦长为4.记数列｛q｝的前〃项和为S“，则$2026=（）

A.6078B.5065C.4052D.3039

8.在三棱锥产一48C中，平面尸4C_1_平面力BC,且ZC=6,PA+PC=6五,AB=2BC,则三棱

锥P-44。体积的最大值为（）

A.12B.1272C.24D.24-72

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分.

9.己知数列｛/｝是公比为夕的等比数列，且生=2,4=8,则（）

12n1

A.夕=2B.a6=32C.an=2"D.a2tt=2

10.已知圆C:（x—a『+y2=i,直线/:x—y+2=0,记直线/与V轴交点为力，则（）

A.若直线/与圆C相切，则拒—2

B.若直线/被圆C截得的弦长为2,则。=-2

C.不存在。，使圆C上有三个点到直线/的距离都为1

D.由点4向圆。作切线，则切线长的最小值为

11.在棱长为1的正方体中，点。满足旃=几比+4函，其中〃£[05,

则（）

A.若2=1,则平面NAP_L平面BZQC

B.若〃=；,有且仅有一个点人使得4。_L平面487

C.若〃=之，则异面直线4尸和力用所成角的取值范围足4,2

D.若力产与平面88CC所成角为5,则动点尸的轨迹长为］

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知A为抛物线C：/=2PMp＞0）上一点，点/到C的焦点的距离为8,到y轴的距离为6,则〃=

13.已知等差数列%｝共有1（）项，前三项的和为6,后3项的和为-15,则｛4｝的通项公式勾=；

记c'=2"。，则…g的最大值为.

14.己知点M（/,2-/），若圆/+/=2上存在两点力、B,使得N4W8=60°，则%的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆。经过/（—1,0）,8（2,-3）两点，且圆心。在x轴上.

（1）求圆C的方程；

（2）求与圆。关于直线/：x-y+l=0对称的圆的方程.

16.记S”为等比数列"（｝的前〃项和，己知3s“+。用=1.

（1）求｛4｝的通项公式：

（2）设〃=（-1广）％,求数列也｝的前〃项和

22

17.已知椭圆0+'=1（4＞力＞0）的离心率为:，左、右焦点分别为耳，工，忻工1=2,过点片且斜

率为A的直线，与y轴相交于点£与椭圆相交于C,D两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）当4=」，求△冢C。的面积；

2-

（3）若扉=方,求k的值.

18.如图，在四棱锥〃—48C。中,底面力8co是矩形，侧面H。！,底面/8CQ,旦尸分别是棱40,P。

上的动点.

p

I4,

B^-----------'-^C

（1）当产是棱。。的中点，证明：P8〃平面"C；

（2）当/04。=120。，PA=AD=2AB=2,且AE=DF=a.

（I）若BE工PC,求。的值：

（II）当四棱锥5-尸4"的体积最小时，求平面尸EC与平面POC的夹角的余弦值.

19.已知动点P（x,y）与定点（2,0）的距离和它到定直线/：1=1的距离的比是常数正.记动点P的轨迹

为曲线C.

（1）求曲线C的方程：

（31、1

（2）已知点片的坐标为一不，弓,按照如下方式依次构造点匕（〃=2,3…）；过《“作斜率为一3的直

线与曲线C的右支交于点。,1，令，，为2i关于y轴的对称点.记勺的坐标为（吃,外）.

（I）证明：数列｛七+”｝是等比数列：

（ID设S”为△月月+月■的面积，证明:对任意正整数〃，Sn=Sn+I.

20.如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截

圆柱是底面圆。的直径，力8=28C=2,椭圆所在平面垂直于平面N8C。，且与底面所成的二面

角的大小为45。，椭圆上的点£1=1,2,3,4）在底面上的投影分别为点耳，且点耳均在直径.48的同一

侧.若点片，网,K，片将半圆均分成5等份.求：（片片一2）・（外5一2）・（£居一2）・（£/；一2）

F\F2

2025学年第一学期诊断练习

高二数学（B卷）

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号填

写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3,非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位

置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以

上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

—•一

1.己知空间向量旭=（ZT，1）,"=（4,一2,力,若一则x=（）

A.-5B.—3C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量平行的坐标表示即可求解.

【详解】因为〃?//〃，所以三尤£R,使得〃?二兄〃，

因为薪=(2,-1,1),3=(4,—2,x),

2=4/1

所以一1二—24,解得

1=Zx

故选：C.

2.已知双曲线C的一条渐近线的斜率为:，且焦点在x轴上，则C的离心率为（）

35

A.-B.-c瓜D.好

2422

【答案】D

【解析】

【分析】根据渐近线斜率及g=Ji+(2)计算求解.

【详解】因为双曲线的焦点在工轴上，则双曲线c的一条渐近线的斜率为

2a

则c的离心率为£=Ji+—

aN⑴2

故选：D.

3.已知正方体4BCQ-44GA的棱长为1,以力为原点，｛耘，通,焉；｝为单位正交基底,建立空间直

角坐标系，则平面力乃。的一个法向量是()

A.(1,1,1)B.(1,1,-1)C.(1,-U)D.(-1,1,1)

【答案】A

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，求出点坐标,然后方程组求出平面43。的一个法向量.

【详解】建立坐标系并确定点坐标，如图

以/为原点，｛彳瓦万，刀;｝为单位正交基底，正方体棱长为1,则各点坐标为：4(0,。』),町0,0)，

布二(i,o,-1),4^=(0,1,-1),

设平面48。的法向量为"=(x/,z),则万_L港且方J.而,

即

\ii'AXB=x-z=0

1万♦4。=y-z=0

化简得X=z,N=z,

令z=l,则x=l,y=L即法向量为万=(LU).

故选:A.

4.已知直线"次+〃歹+1=0与圆C:/+/=i有两个公共点，若点尸的坐标为（叽〃），则（）

A.点尸在圆。上B.点尸在圆C外

C.点P在圆。内D,以上皆有可能

【答案】B

【解析】

【分析】由直线与圆C相交得到〃/+〃2>1，即可判断.

［详解】因为直线心++1=0与圆C:犬+V=1有两个公共点，

所以直线mx+〃V+1=0与圆。相交，

1

所以;PK<1则-Jm2+n2>1•即w2+w2>1•

所以点尸（加,〃）在圆。外.

故选：B

5.我国古代数学名著《九章算术・商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖

嚅.阳马居二，鳖脯居一，不易之率也.”若由棱长为1的正方体44CO-44GA斜解得到堑堵

则直线力用到平面。4c的距离为（）

A.jB.aC.包D.立

2322

【答案】B

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，将问题转化为点到平面的距离，利用向量法求解可得.

【详解】如图，以。为原点，应，比,Q方;分别为x，N，z轴建立空间直角坐标系，

则。（0,0,0,0）,4（1,0/）,G（0,1,1）,4

瓯二（0』,1）,西=0,0』）,西二（0,1,1）,

因为彳瓦二方，，且力与2平面。4G，z）Gu平面。4G，所以力4//平面r）4G，

所以点A到平面D力©的距离即为直线AB｝到平面Q4G的距离，

设平面04G的法向量为前=(x,y,z),

I,H=JC4~Z=0/、

则＜_1，取x=l,得则万=(11,T,

DC^n=y+z=O

——/DAni.p.

又。4=(1,0,0),所以直线AB,到平面O4£的距离为d=――=-^=—

问G3

故选:B

6.数列｛qj满足q=2,all+]=man+(3-w)(/7GN*,wGRj,则“〃2=3”是“数列｛4｝成等比数列”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用等比数列的定义结合充分条件、必要条件的定义分析即可.

【详解】若〃7=3,则％讨=34，所以｛凡｝是以2为首项，3为公比的等比数列，充分性成立；

若｛《7｝成等比数列，则的=加6+3-〃7=〃7+3,。3=ma2+3-/«=m~+2m+3,

因为=Q]%，,(加+3)"=2(〃「+2〃?+3),

解得〃?=-1或加=3,

当加=一1时,。角=4一勺，此时4+|+%=4,%+2+勺1=4,

即%+2=4，｛q｝是以2为周期的数列,

所以卬=。3=%=.一=々21=2，%=%=。6=…二的〃=2,

即％=2,此时｛%｝成等比数列，必要性不成立.

故选：A

7.已知数列｛/｝,对任意的〃EN*，满足圆/+;/2-2%”-24向歹二0与圆/+/一2%一2)-2二0的

公共弦长为4.记数列｛勺｝的前〃项和为S”，则52026=()

A.6078B.5065C.4052D.3039

【答案】D

【解析】

【分析】求出圆f+y2—2x—2y-2=0的圆心。的坐标和半径，将两圆方程作差，可得出公共弦所在直

线的方程，分析可知，公共弦所在直线过圆心C,即可得出%+%讨的值，再利用并项求和法可求得S2026

的值.

【详解】圆/+/一2工一2j一2二0的标准方程为(工一1)2+()，-1)2=4,圆心为C。』)，半径为

u=2,

将圆方程作差得(2。〃-2)x+(2t7z:+1-2)^-2=0,即=0,

故两圆公共弦所在直线的方程为(%—+-1)〉一1二0,

因为公共弦长为4=2〃，则直线(见—1)》+(。田-1)丁一1二0过点C,

所以%—1+%+]—1—1=0,整理可得。“+1+4〃=3,

所以52026=(q+?)+(%+%)4…+(42025+%026)=1。13乂3=3。39.

故选：D.

8.在三棱锥。一48。中，平面尸4C_L平面48C,且4。=6,PA+PC=6C，AB=2BC,则三棱

锥P一48C体积的最大值为()

A.12B.1272C.24D.2472

【答案】A

【解析】

【分析】根据椭圆的定义结合面面垂直求出点尸到平面48C的高，再通过坐标法求出V48C的最大面积,

最后代入三棱锥体积公式算出体积最大值.

【详解】在平面HC中，因为"+PC=6&>6=4C，故点尸的轨迹是以4。为焦点的椭圆，其中

长半轴长4=3板，半焦距力。=3,点尸到4C的距离即为椭圆上的点到焦点所在直线的距离，其

最大值为短半轴长6==7=J(3、/5)2—32=3，

因为平面21c♦平面/8C,因此，点尸到平面/8C的最大距离为3；

设C(0,0),4(6,0),3(x,y),

由,48=24。得：“—y+V=26+丁,化简得(x+2)2+/=i6,所以I川max=4,

所以(%8c)t皿=；x6x4=12.

所以极锥「一力6c体积的最大值为嗫=1x12x3=12.

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，有选错的得。分，部分选对得部分分.

9.已知数列｛4｝是公比为9的等比数列，且生=2,%=8,则()

A.4=2R氏=32C.〃”=2iD.〃2“=22"T

【答案】BD

【解析】

【分析】根据等比数列的通项公式逐项判断即可.

【详解】设数列｛凡｝的首项为年因为%=2,%=8,所以a闻=2吗/=8,解得如=4,

对于A,q=±2,所以A错误；

对干B,。6=。应2=8又4=32,所以B正确；

对于C,%=%夕”2=2X(±2)I=仕所以C错误：

对于D,%“=%夕"2=%(/)〃-1=2乂41=22〃，所以D正确.

故选：BD.

10.已知圆C:(x-a『十/=1,直线/:工一卜+2=0,记直线/与y轴交点为力，则()

A.若直线/与圆C相切，则〃=板-2

B.若直线/被圆C截得的弦长为2,则。=-2

C.不存在。，使圆C上有三个点到直线/的距离都为1

D.由点4向圆C作切线，则切线长的最小值为退

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用直线与圆的位置关系可判定A,利用弦长公式可判定B,利用圆的性质可判定C,利用勾股定

理结合二次函数的性质可判定D.

【详解】易知圆的圆心及半径为。（。,0）/=1,4（0,2）,

对于A,若直线/与圆C相切，

|<7+2|t—

d

则圆心C到直线/的距离=/,/'=1，'。=±。2-2,故A错误;

川+(-1)

1(〃+2)’,解得Q=—2,故B正确;

对于B,由弦长公式可知2二2*2_Q2=2,

对于C,由于圆。的半径为1,结合圆的对称性，

可知若/过圆心，圆中到/距离为1的点有2个，

若/不过圆心，圆中到/距离为1的点至多有2个，故C正确；

对于D,由勾股定理可知切线长]卜。,一/=Jd+32J?，

当。=0时取得等号，故D正确.

故选：BCD

11.在棱长为1的正方体力8CQ-44GA中，点p满足丽=丸胫+〃丽，其中2«0』],//e[0,l],

则（）

A.若九=1,则平面平面

B.若〃=；,有且仅有一个点A使得4c，平面457

C.若〃=4,则异面直线。夕和/片所成角的取值范围是

D.若“P与平面84CC所成角为£，则动点尸的轨迹长为:

42

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,证明力q_L平面34。。，即可证得面面垂直；对于B,若4CJ■平面/4。，则必有

4C-ZP=0,根据该式列出方程，解得2=-；，结合aw[0,l],即可判断；对于C,写出麻与福,

再运用向量夹角公式，结合函数的单调性，即可得解；对于D,根据线面角的大小以及向量夹角公式，列

出方程，即可确定点尸的轨迹，继而求出其长度.

【详解】以。为坐标原点，分别以。为x，v，z轴，建立空间直角坐标系.

对于A：在正方体中，易知。/，平面44,因为力qu平面处?用4，

故R4,如不在正方形力4片4中，易知48_L4片，

又因为。4n4B=4,D44Bu平面A4QC,

故,44_1,平面84。。，又因为平面4&P,

故平面力4。1平面844。，故A正确；

对于B：易知布=(-1,1,一1),福=(0,1,1),5C=(-1,0,0),西=(0,0,1),

故而=4沅+〃西=(-九0,〃)，若〃=’,则BA=(-4,0」)，

懑=刀+即=(0,1,0)+(-/l,o,g)=,

若&C_L平面,44尸，则必有4C_L,4尸，得万./=(),

即4+g=0,得义=一；，而故不存在满足条件的P,故B错误；

对于C：由B可知，BP=ABC4-=(-/l,0,/7)>若〃=2,则加=/15。+〃8瓦=(-4,0,义)，易

知用二(1,1,-1),

印二印+而=(1_/M4_1),

又因为布=(0,1,1),设异面直线D}P和/4所成角为0,

nl△I麻•河4

贝Ucos0=.——L——==-=/,

1。尸卜1力片|“--8/1+6

当兄=0时，cos6=0,此时异面直线。尸和才耳所成角为5；

当几€(0』]时,4442-82+6

则8S*\WJui，+8),

2

开口向上的二次函数y=6--8/+4的对称轴为/=§,因为y[1,+8),

故y=6产—8,十4在z=1时取得最小值2,此时——取得最大值—,

故当fw[l,+oo)时，COS。=J—;-------€(0,

V6/2-8/+4

综上所述，当丸£[0,1]时，cos6^6[0,—]»则。

即异面直线。『和4片所成角的取值范围是止;],故C正确:

42

对干D：由B可知，丽=疯+〃函=(_儿0,〃),又因为通二(0,1,0),

故懑=益+而=(一%」,〃)，

易知在正方体中，49_L平面88£C,故3=(0,1,0)是平面34G。的一个法向量，

因为4户与平面88CC所成角为色，故有|cos〈万工>|=।凄〃！=I、]

414Tl〃l十〃'+1

化简得分+//=1,则|方向==i，

又因为4(1,1,0),丽=(一儿0,〃),故。(一九十1,1,〃)，又因为2£[0』],〃£[0』],

故点尸位于8CG4的内部(含边界)，

因此点P的轨迹为以“为圆心，半径为1,圆心角为m的圆弧，

27rX17T

因此点。的轨迹长为-----=一，故D正确.

42

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知A为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，点/到C的焦点的距离为8,到y轴的距离为6,则P

【答案】4

【解析】

【分析】根据抛物线的定义及条件可求答案.

[详解】因为点力到C的焦点的距离为8,

所以点A到准线X=-£的距离为8,

2

因为点4到y轴的距离为6,所以6+§=8,即p=4.

故答案为：4

13.已知等差数列｛%｝共有10项，前三项的和为6,后3项的和为-15,则｛%｝的通项公式%=;

记c“二2""，则CG…c〃的最大值为.

【答案】①.4-/7(1<W<10,«GN*)②.64

【解析】

【分析】设等差数列｛%｝的公差为d,根据题意结合等差数列的通项公式列方程组，求出片,♦即可求出通

项公式，利用指数事的运算结合二次函数的最值即可求出最大值.

【详解】设等差数列｛为｝的公差为”，

4+。？+%=613a[+3d=6[见=3

由题意得<即\xy解得:1，

+«9+^10=-15[3q+24d=-15[d=-1

所以｛〃〃｝的通项公式为%=3+(W-1)X(-1)=4-/?(1<H<10,weN*),

则Cn=2%=24-W(1</?<10,77GN*),

则下2…％=23x2?x…x2｛4-/0=23+2…(j)

兵层)+《，其中〃£N*，

=/~=L

1(7V49

因为〃£]<，且1W〃S1O,所以当〃二3或4时，一上〃一,十空取得最大值6,

212)8

此时cq…c〃取得最大值为=64.

故答案为：4-«(1<W<10,/Z€N*)；64.

14.已知点A/(x°,2一%),若圆=2上存在两点力、8,使得//M8=60°，则%的取值范围是

【答案】[1一6』+6]

【解析】

【分析】对点M与圆的位置关系进行分类讨论，在点“在圆上时，直接验证即可；在点M在圆外时，过

点M作圆/+丁=2的切线，切点分别为£、F,可知=由此计算得出

\0^\<242,再利用两点间的距离公式可得出关于飞的不等式，即可解得/的取值范围.综合可得出与的

取值范围.

【详解】因为x：+（2-Xo）2=2x；-4/+4=2（Xo-1『+222,故点“在圆上或圆外，

若点”在圆上，此时呼+（2-%）2=2（/-1『+2=2,此时玉）=1,

显然在圆=2上存在点力、B,使得N4WB=6（T，符合题意；

若点用在圆外，则与工1,

如F图所示：

切点分别为E、F,则2=60'，

由圆的几何性质可知OE1ME,OFIMF,

由切线长定理可得|M£<|=|A/F|,又因为10M=|0M|,|。目二|。川,故"ME0"MF,

所以ZOME=40MF,故")ME=-4EMF>30\

2

因为sinNOWE-瑞pg,所以|。必二2|。同=2五，

即|2=4+（2-玉））2=2X：-4玉）+448,整理可得x；-2/一2W0,

解得1-6（与〈1+追，此时/£[1—61）=（1/+6]

综上所述，%的取值范围是[1-括』+6].

故答案为：[1-A1+V3].

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆。经过力(一1,0),8(2,—3)两点，且圆心。在x轴上.

(1)求圆C的方程；

(2)求与圆C关于直线/：x—)—1=0对称的圆的方程.

【答案】(1)(X-2)2+/=9；

(2)(x+l)2+(.y-3)2=9.

【解析】

【分析】(1)设圆的一般方程将条件代入可得到方程组，解方程组即可；(2)根据点关于直线的对称关系

求出对称圆的圆心，结合圆的标准方程即可求得.

【小问1详解】

依题意，因为圆心C在》轴上，所以设圆C的方程为f+y2+ox+尸=0,

l-Z)+F=0D=-4

因为圆C经过4(-1,0)1(2,-3)两点,所以＜4+9+2。+万=0'解得‘

F=-5'

所以圆。的方程为.d+j?—软―5=o,即(x—2)2+y=9.

【小问2详解】

由(I)知，圆。的圆心为C(2,0),半径为尸二3；

设C(2,0)关于直线/:x-y+l=0对称的点为。'(加,〃)，

则CC'的中点为M丝t,g,直线CC'的斜率为&二」二：

｛22)加一2

m+2n,八

--------+1=0

因为点CC'关于直线/对称，所以〈，

k=-^—=-\

m-2

加一〃十4=0n=—1./、

即：—解得一所以

〃二3

所以与圆。关于直线/：x—y+l=0对称的圆的方程为(x+l『+(y-3『=9.

16.记S”为等比数列｛%｝的前〃项和，已知3s“+。用=1.

(I)求｛〃〃｝的通项公式：

(2)设2=(-1广〃％,求数列也｝的前〃项和7；.

【答案】⑴勺=(-2广

(2)7>(〃-1)-2"+1

【解析】

【分析】(1)根据题设结合S〃与牝的关系可得。向二-2%(〃之2),进而得到数列｛为｝的公比为—2,即

可得到出=一2叫，再由题设得到3%=1即可求得卬二1，.进而求解即可；

(2)由(1)可得，=小2"7,进而利用错位相减法求解即可.

【小问1详解】

由3s.+an+1=1,

当〃22时，3\.,+。〃=1,

两式相减得,3an+an+｝-an=0?即。向二一2/(〃N2),

因为数列｛%｝为等比数列，所以数列｛/｝的公比为一2,

当〃=1时，3%+。2=1，而。2=-2卬，解得q=1,

所以=(-2广1

【小问2详解】

由(1)知,%=(-2)"/，则力”=(一1)"।〃%=(-1)"।〃.(一2广=,

所以7；=1-20+22+3・22+―+〃-2"，

则27；=12+2"+3"+・..+(〃-1)・21+小2”,

两式相减得，-7；=20+2,4-22+--+2rt-|-w2n=？)_〃•2n=(l-n)-2n-l，

则［=(〃―1).2"+1.

22

17.已知椭圆三十与WSA/OO)的离心率为左、右焦点分别为百，鸟，比月|=2,过点片且斜

率为A的直线，与y轴相交于点£,与椭圆相交于C,。两点.

(1)求椭圆的方程；

（2）当〃=[,求△EC。的面积；

2一

（3）若居二瓦，求％的值.

r2v2

【答案】（1）二十2=1

43

⑵些

4

（3）k=±—

2

【解析】

【分析】（1）根据离心率和焦距可得方程；

（2）写出直线方程，与椭圆方程联立，结合弦长公式可得答案：

（3）根据向量关系得出玉+吃=—1，联立方程，结合韦达定理可得答案.

【小问1详解】

22

因为椭圆5r+专■=1（〃>6>0）的离心率为卜忻马二2,所以c=l,a=2,所以/=3,

即椭圆的方程为二+匕=1.

43

【小问2详解】

由（1）可知耳（一1,0）,瑞（1,0）,因为4=g,所以直线方程为y=；（x+l）

即x-2y+l=0；

二+乙=1

联立43,可得16y2-12〉一9二0；

x-2歹+1=0

39

设c（x”必），。（入2,必），则乂十为=：，几彩=一77

410

CD

\\=^^出+丫2）2一外科=层旧+[=J，

|1-0+1|2^/5

F2到直线x—2y+1=0的距离为d="+（2）2=一1•

所以△GCQ的面积为_Lx”乂述=基

2454

【小问3详解】

设E(0,m),则6。=($+1,必),。£=(一々,加一歹2)，

因为打。=DE,所以玉+1=一々，即X]+工2=-1・

上+J

直线方程为y=A(x+1),联立〈43可得(3十4〃2)工2+8穴2工十442-12=0；

y=%(x+1)

18.如图，在四棱锥月一力BCO中，底面48co是矩形，侧面4。_L底面4?。。，E,/分别是棱4Q,尸。

(1)当R是棱产。的中点，证明：PB〃平面力FC；

(2)当N/MQ=120。，PA=AD=2AB=2,且力七二少尸二。.

(I)若BE工PC,求。的值；

(II)当四棱锥的体积最小时，求平面PEC与平面PDC的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析:

(2)(I)-：(II)^2.

320

【解析】

【分析】(1)连接8。，与4C交于点。，连接尸。，证明F0//PB,再利用线面平行的判定定理即可证

明;

(2)(I)建立空间直角坐标系，写出坐标，根据赤.正=0列出方程，即可解得〃；

(II)利用面面垂直的性质定理证明84J_平面4。，因此84为四棱锥8-尸力川的高，因此四棱锥

B-PAEF的体积在四边形PAEF的面积S最小时取到最小值，利用S△尸仞-表示出四边形PAEF

的面积S,求得S最小时所对应的。，再写出各点坐标，求出平面庄C与平面产。。的法向量，再运用向

量夹角公式，即可得解.

【小问1详解】

证明：连接30,与4C交于点0,连接尸0,

在矩形/BCO中，易知点。是8D的中点，又因为点尸是PQ的中点，

故在△P8Q中，尸。是P8的中位线，故F0HPB,

又因为尸0u平面AFC,PBU平面AFC,

故P8〃平面力"C.

(I)过点4作垂直于平面N8CQ的直线/z,易知力8,4。,两两互相垂直，

故可以4为坐标原点，以48,40,42分别为占gz轴，建立如下图所示的空间直角坐标系,

则5(l,0,0),£(0,a,0),P(0,-l,V3),C(l,2,0),。(0,2,0),

则BE=(-l,a,0),PC=(1,3,-6)，

因为8E1尸C,故诟.方=一1+3。=0，解得得。=；.

（1【）因为侧面。4OJL底面48CO,平面HOc平面BA1AD,Z8u平面

ABCD,

故,48_L平面夕力。，因此四棱锥4一4"的高为3/=2,设四边形尸力"的面积为S,

故四棱锥/的体积在四边形口后产的面积最小时取到最小值，

•.•NR4Q=120°,AP=AD,：.^PDA=ZFDE=30°,

S=SmLS"£=Tx2x2xsinl20O-gx4x（2-4）xsin30。

a（2-a）_a2g

=打4-y[3=一（Q-1）4-y/3---

44244

所以当四棱锥8—尸力斯的体积最小时，。=1,故E（0』,0）,则反二（11,0）,

又正二（1,3,-®5c=（1,0,0）,

口.正二0

设平面/EC的一个法向量为，=（石，凹,Z1）,则有

[雇或=0

即卜+3必-任|=0,取石=3,则必=-3,Z]=-26

3+必=°

则平面PEC的一个法向量1二（3,-3,-26）；

一伍.正=0

设平面P0C的一个法向量为？=（%,刈出），则有一

■-R.DC=。

即4+3%-任2=0,得々=0,取为=1,则Z2=6

、工2=°

则平面PDC的一个法向量稔=（0,1,V3）.

设平面尸EC与平面尸。。的夹角为6,

八I—一II〃i,〃，I93』30

则cos0=\cos<n,,/?,>=-=^—==-=—7=-=-----,

12|«,|-|^1V30220

即平面PEC与平面尸。。的夹角的余弦值为"0.

20

19.已知动点P（x,y）与定点（2,0）的距离和它到定直线/：x=l的距离的比是常数JI.记动点。的轨迹

为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

，31、1

（2）已知点4的坐标为-5,5，按照如下方式依次构造点4（〃=2,3…）；过勺_1作斜率为-不的直

线与曲线c的右支交于点。小，令々为2“关于N轴的对称点.记勺的坐标为（乙,尤）.

（D证明：数列｛a+此｝是等比数列；

（II）设s”为⑶+2的面积，证明：对任意正整数〃，S,二S〃+「

【答案】（1）x2-y2=2

（2）（I）证明见解析；（ID证明见解析

【解析】

【分析】（1）由题意得之）+♦=日进而化简即可求解：

|x-1

（2）（I）由题意可得此+=一］,进而得到‘J=3,再利用点差法求得

f+if2x用+,与一乂山+y〃

=3,进而求证即可；

天+以

（II）利用点差法得到晶rJir/J=Xm+Nm+Xl一乂I京〜

,/\,再结(

xx

n+2^yn+2-(n-i-yn-i)

中的结论得£+1+匕+1=!（乙+2+以+2），X〃一尤二；（x“T一约T），最后证明出与/=〃%心即可.

JJ

【小问1详解】

由题意，得J（，_2）+'=丘,整理得工2一/=2,

n

则曲线C的方程为犬一产=2

【小问2详解】

（I）由题意‘P“（x”,y.）,2（kJ“+J,丫二球»

rillli尤+「丹_X"i+Z+=+「尤_3尤+i-尤_x”M+Z-加+”=1

则।一一r，1।-

T“+LZ七加+Z2-xn+I-x„3+X”2'

所以3+3加f=3,

xn+t+x-yn.+yn

Y-V=2

由于工2T,作差得（X向一一+1）（/+1+W4）=（/一匕,）（既十”），

则『显=3_=上32L=3

/+尤%+]一匕+1£+1一州川+当+用

因此数列｛七+”｝是公比为3的等比数列.