2024人教版八年级数学下册 二次根式及其性质（第1课时 二次根式概念）教学设计

19.1二次根式及其性质（第1课时）教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课从实际问题出发，用含有根号的式子表示数量和数量关系，归纳得到二次根式的概念，并探索

二次根式有意义的条件。

2.内容分析

本节课是“数与代数”领域的重要内容，承接算术平方根的知识，是后续学习二次根式运算以及解无

理方程的基础。从实际问题引入，通过用含根号的式子表示数量和数量关系，让学生经历“具体情境一数

学抽象一概念形成”的过程，符合学生从具象到抽象的认知规律。二次根式的概念界定与有意义的条件探

究，是本节课的核心，前者是对“形如声（色0）的式子”的本质概括，后者则是对二次根式中被开方数取

值范围的精准把握，二者共同构成了本节课的知识框架，也为培养学生的数学抽象、逻辑推理素养搭建了

载体。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：了解二次根式的概念，探索二次根式有意义的条件。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）根据算术平方根的意义了解一次根式的概念；探索二次根式有意义的条件，发展推理能力。

（2）能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，发展抽象能力和应用意识。

2.目标解析

（1）让学生经历从特殊到一般的抽象过程，得到二次根式的概念；探索二次根式有意义的条件时，需

结合算术平方根的非负性进行推理，培养学生严谨的逻辑思维能力。

（2）学生将实际问题中的几何量、物理量等抽象为二次根式的数学表达式，建立实际问题与数学符号

之间的联系，体现“用数学的语言表达现实世界”的学科价值。这一过程也能提升学生分析问题、解决问

题的能力，强化数学与生活的关联。

三、教学问题诊断分析

1.有意义条件的易错点

学生易忽略被开方数非负的隐含条件，例如误将口当作二次根式。

当被开方数为含字母的代数式时（例如绊），学生容易遗漏分母不为零的附加条件，或在解不等式时

出现符号错误。

2.认知衔接的断层点

本节课的知识基础是算术平方根，但部分学生对“非负数才有算术平方根”这•前提记忆模糊，导致

在探索二次根式有意义的条件时，缺乏理论支撑，出现逻辑断层。同时，学生对“代数式”的概念缺乏系

统梳理，容易将二次根式与整式、分式割裂看待。

应对策略：让学生明确被开方数非负的原因，设计对比练习，促进学生的反思总结。

基于以上分析，确定木节课的教学难点为：探索二次根式有意义的条件。

四、教学过程设计

（一）情境引入

引言广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区

域就越广.

实际上，广播电视塔高力与广播电视节目信号的传播半径「之间存在近似关系FA/丽，其中R是地

球半径，心64005?.

厂含有粮号的式子

.整式...表示L工.…守=…工-…J…尸就…

△%--------------数量和数量关系

分式一

整式，分式和含有根号的式子都可以表示数量和数量关系。

设计意图：联系实际，激发兴趣：用广播电视塔的高度与信号传播半径的实际例子，联系数学知识和

生活实际，让抽象的式子变得有实际意义，吸引学生的注意力。

自然引出新内容：借助＞/辆这个含根号的式子，顺势衔接之前学过的整式、分式，点明“含根号的

式子也能表示数量关系”，为后续学习二次根式等内容做铺垫。

构建知识体系：把整式、分式、含根号的式子归为一类（都能表示数量关系），帮学生梳理知识间的

关联，形成更完整的代数式认知框架。

（二）合作探究

思考用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征：

（1）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为底m.

（2）一个大正方形的面积是一个边长为〃的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形

的边长为7样+/.

（3）­■个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间”单位：s）与开始落下时离地面的高度〃（单位：m）

的关系近似为/k5产.如果用含有h的式子表示1,那么t为—.

观察归纳

V65V«2+l'>/2Rh

（1）这些式子分别表示什么意义？

h

答：分别表示65,4+1,2期?的算术平方根.

（2）这些式子有什么共同特征？

答：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根.

二次根式的概念

一般地，我们把形如依3式）的式子叫作二次根式.二次根式也是代数式.

设计意图：通过实例具象化概念：借助长方形围栏、正方形面积、自由落体时间这3个不同场景的实

际问题，让学生用含根号的式子表示数量关系，把抽象的“二次根式”和具体情境相关联，降低理解门

槛。

引导自主归纳特征：通过“观察归纳”，让学生自主发现这些式子的共同特点（表示非负数的算术

平方根），培养其观察、总结的能力，而非直接灌输概念。

自然导出核心概念：从实例和归纳的特征，顺理成章引出“二次根式”的定义，让概念的出现有依

据、有铺垫，帮助学生建立“从具体到抽象”的认知逻辑。

（三）典例分析

例1下列式子，哪些是二次根式？

x/5,y/x2+1,V21，V—3,\/a—2（a>2）,Va—b（a<5）.

答：V5,Vx2+1,Va^2（a>2）是二次根式.

例2当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？

解：由尸2K）,得

x>2.

当XN2时，77。在实数范闱内有意义.

思考当x满足什么条件时，疡在实数范围内有意义？足呢？

答：当工为任意实数时，^>0,位在实数范围内有意义；

当工为非负实数时，力士0，而在实数范围内有意义.

设计意图：巩固概念，明确判定标准：通过例1,让学生运用刚学的二次根式定义进行判断，区分开

三次根式、被开方数为负的式子等，强化对概念的理解。

聚焦核心条件，突破易错点：例2及后续思考，围绕“被开方数非负”这一关键条件展开，覆盖不同

类型的被开方数，帮助学生掌握"二次根式有意义的条件”，同时解决易混淆的情况。

(四)巩固练习

1.下列各式疝于，V3.说,后T中是二次根式的个数有(B)

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2,它的长、宽各应取多少？

解：设它的长为版。〃，宽为2xcm,根据题意得：

3x-2x=18,

f=3,

为正数，

/.,v=V3»

：.3x=3\f3,2X=2A/3.

答：它的长为3V5cm,宽为2V5cm.

3.当〃满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？

(l)Va^l；(2)75^3；(3)V2C+1.

解：⑴由〃TX),得

^>1.

当。之1时，在实数范围内有意义.

(2)由5-。川，得

a<5.

当6区5时，乒耳在实数范围内有意义.

(3)由2o+IK),得

色-

当介-:时，aHTT在实数范围内有意义.

4.当。满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？

(i)Vn2-2n+1；(2)V-(n-i)2.

解：(1)a2-2a+1=(a-1)2>

V(«-l)2>0,

・•.当。取任意实数时，J--20+1在实数范围内有意义.

(2)由-3-1)2对,得51)切,

又・・・(。-1)2却，

/.(«-|)2=u,即4=1.

当4二1时，1一(口一1)2在实数范围内有意义.

5.当。=5时，Jp的值是3L.

6.已知•个大圆的面积是两个小圆的面积之和.如果大圆的半径为小两个小圆的半径分别为2和3,求

，•的值.

解：根据题意得：

7i/2=nx22+nx32,

3=13,

二"为正数，『VT5.

答：/■的值是E.

7Z4BC的面积为12,A8边上的高是A8边长的4倍.求AB的长.

解：根据题意得：

U3X44ZM2,

2

AB2=6,

VAB>0,:.AB*.

答：AB的长为述.

设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知

的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。

(五)归纳总结

二次根式

一般地，我们把形如\G（〃K））的式子叫作二次根

概念

式.二次根式也是代数式.

有意义

当色0时,二次根式旧有意义.

的条件

与算术平方二次根式是非负数的算术平方根.带有根号的

算术平方根是二次根式.

根的关系

（六）感受中考

1.（2025•江苏镇江）使二次根式近口有意义的x的取值范围是（A）

A.x>2B.x<2C.x>2D.x<2

2.（2025・西藏）若代数式怎有意义，则实数%的取值范围是（D）

A.x>2B.x>2C.x<2D.烂2

3.（2025•青海西字）当人-1时,下列代数式在实数范围内有意义的是（B）

.V7TB.叵C.逗D.叵

A・—X-1

4.（2025・河南）请写出一个使反在实数范围内有意义的x的值：3（答案不唯一）

5.（2021•浙江衢州）若