高考数学复习训练：排列与组合

2026高考数学

排列与组合

基础巩固练

1.某单位计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节

目安排的方法数为（B）

A.9B.18

C.24D.27

解析由题意，先从后面3个位置中选择一个安排A节目，然后其他3个节目任

意排在剩下的3个位置，共有玛A§=18种方法.

D2345678910111213141516

2.（2024•江苏宿迁三模）甲、乙、丙等5人站成一排，甲、乙相邻，且乙、丙

不相邻，则不同排法共有（B）

A.24种B.36种

C.48种D.72种

解析甲、乙捆绑在一起看成一个整体，与丙以外的2人全排列,

有AgA>12（种）排法，

又因为乙、丙不相邻，

所以把丙放入一共有3种，所以一共有12X3=36（种）排法.

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4.（2024•山东滨州二模）某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1

人，每人值班1天,若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3

日，则不同的安排方案共有（B）

A.42种B.40种

C.36种D.30种

解析甲、乙相邻的排列数是A姐以其中甲、乙相邻且丙排在5月3日的排

列数为2A弘经所以不同的安排方案共有A2A弱f40（种）.

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5.（2025•上海青浦模拟）已知外必…，即是1222,"WN）满足下列性质

T的一个排列，性质T:排列生,。2,…4中有且仅有一个。1＞。汁1（，三｛1,2,…

1｝）,当〃=5时，满足性质7的数列的个数是（B）

A.6B.24

C.5D.120

解析当〃=5时,生,电…,的是1,2,3,4,5的一个排列,由排列a1,%…,5中有且仅

有一个可＞『+1«三｛1,2,3,4｝）,可得的=2,。2,。3,。4,。5是1,3,4,5的任意一个排列，

则满足性质的数列一共有A：=24（个）.

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6.（2024•河南新乡二模）老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其

中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（D）

A.248种B.168种

C.360种D.210种

解析第一类:甲、乙、丙每人分得2本，有髭C犯>90（种）分法；

第二类:甲分得2本，乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3本，

有髭玛禺A>120（种）分法.

所以由分类加法计数原理可得共有90+120=210（种）不同的分法.

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7.（2024•山东青岛二模）甲、乙、丙、丁、戊5名调查员分别去城东、城南、

城西、城北四个区域进行数据采集，每个区域至少去一名调查员，若甲不去

城东，则不同的安排方法共有（D）

A.36种B.60种

C.96种D.180种

解析城东去1人，不同安排方法有禺CSg=144（种）；

城东去2人，不同安排方法有（：办436（种），

所以不同的安排方法共有144+36=180（种）.

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8.（多选题）（2024•新疆克孜勒苏模拟）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一

排拍照留念，下列结论正确的是（ACD）

A.站成一排不同的站法共有120种

B.若甲和乙不相邻，则不同的站法共有36种

C.若甲站在最中间，则不同的站法共有24种

D.若甲不站排头，则不同的站法共有96种

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解析甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，

不同的站队方式共有Ag=120（种），故A正确；

甲和乙不相邻的站队方式有A必＞72（种），故B不正确；

甲在最中间的不同的站队方式有A1=24（种），故C正确；

甲不站排头，则先从其余四人中选一人站排头，再将其余三人与甲任意排,

故不同的站队方式有C/A[=96（种），故D正确.故选ACD.

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9.（2024•福建泉州模拟）围棋在中国古时称“弈”，是一种策略性二人棋类游

戏.围棋棋盘由纵横各19条等距离、垂直交叉的平行线构成.则围棋棋盘上

的矩形数量为29241.（用数字作答）

解析矩形是在同一平面内，由两组平行线段组成，且每两相交线段均垂直

的闭合图形.则横向19条线、纵向19条线中各选择2条即可构成矩形，即

*第9=29241.

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10.（2024・山东聊城三模）2本相同的图画书和2本不同的音乐书全部分给3

个小朋友，每人至少1本，且2本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法

共有15种.

解析由题可知,1个小朋友分得2本书，且此2本均为音乐书，或者1本图画书、

1本音乐书，其他小朋友各分得1本书.

若2本均为音乐书，有禺=3（种）分法；

若1本图画书、1本音乐书,有禺禺A'=12（种）分法.

故共有3+12=15（种）不同的分法.

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综合提升练

11.（2024•河南九师联盟联考）有除颜色外大小相同的9个小球淇中有2个红

球,3个白球,4个黑球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，要求2个红球相

邻,3个白球两两互不相邻，不同的排列种数为（A）

A.100B.120

C.10800D.21600

解析将4个黑球放好有一种，形成5个空，从中选一个空将2个红球作为一个

整体排上，有玛种排法，如此就形成6个空，将3个白球插空到6个空中，有髭种

排法，故共有玛髭=100（种）不同排法

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12.（2025•重庆九龙坡模拟）在某次竞赛活动的组织过程中,有甲、乙等5名

教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目,每名教师只参加一个

服务项目,每个服务项目至少有一名教师参加•若甲、乙两名教师不参加同

一个服务项目，则不同的安排方案有（B）

A.108种

B.114种

C.150种

D.240种

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解析5名教师按3：1：1分组有虞种方法，按2：2：1分组有「聆2「2种分法，因

A2

此5名教师的安排方案有（髭+等「2「2）A罚中,当甲、乙在同一组时，甲乙可视

A2

为1个人，即相当于4名教师的安排方案，有《Ag种，所以所求不同的安排方

「2p2

案有（玛+窄混-CiAi=25X6-6X6=114（种）.

A?

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13.（2024•浙江金华模拟）将1至8这8个整数排成一列,要求任意相邻两项互

质，则不同的排列方法有1728种.

解析由于任意相邻两项互质，所以偶数必须隔开，所以先把四个奇数排成

一列有A点种方法，然后把偶数插空进去，四个偶数中只有6不能与3相邻，其

他偶数可以随意插空，所以先考虑把6插空，有种选择，剩下的3个偶数在

剩下的4个空中随意插空，所以共有A[A丛728（种）排列方法.

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14.（2024・福建厦门模拟）有10名演员，其中8人会唱歌,5人会跳舞，现要表演

一个2人唱歌2人伴舞的节目.则不同的选派方法共有199种.

解析由题意，易知10名演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞,3人既会唱歌

又会跳舞,以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究：

①只会唱歌的5人中没有人选上唱歌人员,有鬣鬣种选派方法；

②只会唱歌的5人中只有1人选上唱歌人员，有乙玛鬣种选派方法；

③只会唱歌的5人中有2人选上唱歌人员,有髭髭种选派方法.

由分类加法计数原理知，选派方法共有鬣髭+禺禺第+髭髭=199（种）.

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15.(17分)(2025•北京房山检测)设数列｛d〃｝("WN*),4为1,2,3,…/的满足下

列性质厂的排列为,。2,…,4的个数，性质7：排列中仅存在一个1三｛12…，

〃-1｝,使得%＞见+].

⑴求4&的值，并写出〃=3时其中一种排列的情形；

(2)若〃=4,求满足性质T的所有排列的情形；

(3)求数列｛dn｝的通项公式.

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解(1)由性质7的定义可知:当〃=1时，由1构成的排列不满足性质，故4=0;

当〃=2时,由构成的排列2,1满足性质7；故心=1；

当〃=3时，由1,2,3构成的所有排列为

(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,2,1),(3,1,2),其中满足仅存在一个W{1,2,3},

使得的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(31,2),从中任选一个即可.

(2)若〃=4,由1,2,3,4构成的所有AZ=24种排列中，符合性质T的排列有

(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(2,1,3,4),(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(3,1,

2,4),(3,4,1,2),(4,1,2,3),故&=1L

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(3)由(1),(2)可得4=0,必=1,，3=404=11,同理可得%=26,可归纳出d〃=2〃-〃-l.

证明：

二,在1,2,…，〃的所有排列(由,电…中，若。i=〃(KW〃-1),从(〃・1)个数

1,2,3,…，〃-1中选(3)个数，从小到大排列为as,…,％，其余的则按从小到

大的顺序排列在余下位置，

二满足题意的排列个数为Cj1M，若a尸〃-1,则满足题意的排列个数为服小

71-1

综上4=4.1+与cjM=%+2〃/-1,即力力「2〃-1-1,

i=i1

二%=(4-41)+(41-力-2)+・・・+(必-4)=21+22+・・・+2〃-1-5-1)*(-1)

=2x(1,---1+1-〃=2〃-〃-1,故数列｛d〃｝的通项公式为d〃=2〃-n-l.

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创新应用练

16.（多选题）某电影院的一个播放厅的座位如

侬幕

图所示（标黑表示该座位的票已被购买），甲、银幕中I心线

乙两人打算购买两张该播放厅的票，且甲、乙

不坐前两排.（ABD）ggggg：（yigiuiggo

A.若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种gggOQPQQggQ

回回回回回回回回回。回回

B.若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1

154种回回回。回。回回回回回回

C.若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种回回回回回回回回回回回回回回

D.若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐

同一排，则购票的情况共有508种