勾股定理（6基础题型+7提升题型+培优）-八年级数学下册题型专练【含答案】

18.1.1勾股定理

利用勾股定理解直角三角形

利用勾股定理证明线段的平方关系

求线段的平方和或差

A基础达标题

根据直角三角形的三边求面积

勾股定理与网格问题

证明勾股定理

利用勾股定理解决折叠问题

解决弦图中的计算问题

勾股定理构造直角三角形利用勾股定理解决问题

B能力提升题利用勾股定理求线段的长

勾股定理解决规律类问题

勾股定理与面积问题

勾股定理与三角形全等的综合

C拓展培优题

基础达标题

题型一利用勾股定理解直角三角形

I.在△力台。中，NB=90>,AB=®BC=l,则4c的长为（）

A.1B.2C.3D.4

2.如图,在Rt△月8C中，Z5=9O°,为4=5,BC=12,则/C的长为（）

A.12B.13C.14D.15

3.已知直角三角形的三边长分别为7,〃+1,〃+2（〃+2是斜边），则〃=

4.已知△48C中，ZC=90°,a,力为直角边，。为斜边.

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⑴若4=1,b=2,求

（2）若。=4,c=5,求人.

题型二利用勾股定理证明线段的平方关系

5.在RtZ\48C中，,/C的对边分别是“，b,c,若乙4=90。，则（）

A.a2+h2=c2B.a2+c2=b2C.b2+c2=a2D.a+c=b

6.设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a,b及h,则下列关系正确的是（

7.已知直角三角形的三内角/力、/B、/C所对的边分别是加、〃、P,NC是直角,

则〃1、〃、P三者之间的关系是.

8.如图，在△4?。中，/。=90°,“是4。的中点，“。_148于点。，试说明：

题型三求线段的平方和或差

9.若直角三角形的三边长为3,4,切，则小的值为（）

A.10B.7C.25D.25或7

10.在RtZiABC中，斜边BC=IO,则BC2+AB?+AC2等于（）

A.20B.100C.200D.144

11.如图，四边形力8。。中,对角线力。，〃力相交于点0,且4。工8。.若48=0，/。=6

则。力2-8。2的值为（）

A.2B.3C.4D.5

12.如图，四边形48。。的对角线4C_LAQ,相交于点O.若48=3CQ=6,则

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13.如图，在中，CE平分乙4CB,平分乙4CD且£*|8。交4c于若EF=

10,求CQ+C/的值.

题型四根据直角三角形的三边求面积

14.如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形4&C,若正方形C的边长

为7cm,则48两个正方形的面积之和为（）

D.63cm'

15.如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（）

C.6cm2D.12cm2

16.如图，在Rl△月4。中，4C8=90。，分别以4cse48为边在三角形外部作正方形,

若以4C和8c为边的正方形面积分别为5和3,则以48为边的正方形面积S的值

为.

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17.如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且4从C三

个正方形的面积分别为7、16、3,则正方形。的面积为.

题型五勾股定理与网格问题

18.△Z8C在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为1cm,则的长为（）

C.4cmD.4.2cm

19.如图是4x4方格中的一-个阴影正方形，若每个小方格的边长是1,则该阴影正方形的边

长为（）.

A.Vl2B.x/9C.>/8D.Vfo

20.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点,

△48。的顶点在格点上，则a/lA。的三边长。，b,c的大小关系是（）

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h

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.c<a<b

题型六证明勾股定理

22.卜面四幅图中，不能用面枳法验证勾股定理的是（）

23.新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的

有（）

24.在一次数学实践活动中，宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个

大正方形，如图所示.设直角二角形较长的直角边长为较短的直角边长为“，大正方形

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边长为J请你写出db，c之间的关系式是.（化到最简）

25.如图，四边形4CQE是直角梯形，点〃在CQ上.在Rta/BC和RtABOE中,

NC=ZD=900"C=BD=a,BC=ED=b,AB=BE=c.试利用该图形验证勾股定理.

能力提升题

题型一利用勾股定理解决折叠问题

26.如图，长方形44。。中，点E在边48上，将一边折叠，使点/恰好落在边8C的

点尸处，折痕为。£.若4B=4,BF=2,则4E：的长是（）

27.如图1,在RtZ\48C中，ZC=90°,将△力8。按如图2所示方式折叠，使点力与点8

重合，折痕为。E,若80=5,8C=6,则底的长是（）

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A.辿B.—C.-D.-

7443

28.如图，在中，ZC=90°,JC=8,BC=6,将△48。沿。E折叠，使点8与

点4重合，则C七的长度为.

29.如图1,四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形.已知宜

角三角形的两直角边长分别为斜边长为J课堂上，老师结合图形，用不同的方式表

示大正方形的面积，证明了勾股定理/+从=。2.

(1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2.若。=4,6=6,则空白部分的面积

为_.

⑵如图3,长方形/14CO沿/E折叠，使点。落在边上的点F处.若必5,44=3,

求E『的长.

题型二解决弦图中的计算问题

30.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方

形.设直角三角形的两条直角边长分别为〃?，〃(〃?>〃).若小正方形面积为7,

川+〃f=31,则大正方形的边长为()

B.V15C.y/16D.x/19

31.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定埋,创制了•幅''弦图"，后人称具为''赵爽弦

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图如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形力8CO,正方形EFGH,正方

形MAK7的面积分别为E，S2，S3.若正方形EFG”的边长为3,则S+S2+S3的值为()

B.18C.27D.36

32.如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，

AC=4cm,8c=3cm.现将4个直角三角形中边长为4cm的直角边分别向外延长1倍，得

到如图所小的''数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为cm.

33.【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它

为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.

【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展：

G

图①图②

(1)如图①，若黄实的面积为1,所拼得的大正方形的面积为25,每个朱实的面积是；

(2)如图②，将长方形力4CQ的四边4)、DC、CB、切分别延长至£、尸、G、〃，使

得DE=DC=BG=AB,CF=BC=AH=AD,连接E/、FG、GH、HE.

①求证：EF=GH；

②若48=4,BC=3,则图中阴影部分图形的面积为.

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34.补充填空：完成证明

HH

图1图2图3图4

(I)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的''出入相补"无字证明尤为绝妙!其思路是:

如图1.把边长为。、力的两个正方形连在一起，其面积是把这个图形分割成四个

全等的直角三角形和一个正方形如图2,把△力8。和△尸GC.分别旋转到和

得到图3位置，就会形成一个以。为边长的大正方形如图4,其面积为.由于它

们的面积相等，即.

(2)对于图4,可以利用两种不同的方法计算止方形力CFH的面枳并完成上述推理，请你完

成推理过程.

题型三构造直角三角形利用勾股定理解决问题

35.如图，某自动感应门的正上方力处装着一个感应器，离地48=2.1米，当人体进入感应

器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生C。正对门，缓慢走到离

门1.2米的地方时(8C=1.2米)，感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离力。等于

A.1.2米B.1.3米C.1.5米D.2米

36.小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边3米远的水底，竹竿高出水面

I米，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为()

A.4米B.5米C.4.5米D.6米

37.我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的问

题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终

朝笑语欢嬉，良工高土素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在

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地面上时，秋千的踏板离地的距离为•尺，将秋千的踏板往前推两步（每•步为五尺），秋

千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋

38.消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现

场，执行灭火、疏散等救援任务.如图，已知云梯最多能伸长到25m（44=8*=25m）,消

防车高4m.某次任务中，消防车在力处将云梯伸长至最长，消防员从19m（HM=19m）高

的4处救人后，消防车需到达4处使消防员从24〃?（*M=24m）高的"处救人，求消防车

从A处向着火的楼房靠近的距离AB.

题型四利用勾股定理求线段的长

39.如图，4BLCD于B,△44。和ABCE都是等腰直角三角形，如果。=5,BE=2,

那么4C的长为（）

A.V5B.V13C.7D.13

40.如图，在RtZ\/18。中，NB=90°,ZC=15°,作力C的中垂线/交8C于点。，连接

AD,若48=2,则8。的长为（）

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B

A.2B.4C.2GD.2>/5

41.如图，在RtZ\48C中，ZJ=90°,。的平分线8。交力。于点O,OE是8c的垂

8,AD=4f则8E的长为—.

/。〃8。且4。8=45。，满足关系空=：,若

42.如图，四边形川?。。中，AC1BD,

OB3

•=10,则。。的长为.

43.如图，“、N是线段上的两点,AM-MN-2,以点力为圆心，，4N长为半径画

弧；再以点8为圆心，8M长为半径画弧,两弧交于点C,连接4C,BC,发现

44.如图，在△力BC中，过点Z作&?的垂线交8c的延长线于点D已知力C=13,

6c=11,AD=12,求43的长.

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题型五勾股定理解决规律类问题

45.如图，0P=\,过点P作/7_LOP且&=1,再过点々，作片6_1e且［4=1,又过

点鸟作6QJ_0外且々月=1,…依此法继续作下去，则。鸟心的长度为（）

A.V2027B.72026C.>/2025D.J2024

46.图1是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点。

的直角三角形（如图2所示）演化而成的.如果图2中。4=44=44=..•=44=1，那

么。4必的长为（）

D.2024

47.如图，在△48C中，已知NC=90。,AC=60cm,AB=100cm,a，b,c...是在△/BC

内部的长方形，它们的一个顶点在力8上，一组对边分别在力。上或与4C平行，另一组对

边分别在8C上或与8C平行.若各长方形在力。上的边长相等，长方形。的一边长是

72cm,则这样的长方形a、b、。…的个数是（）

A.6B.7C.8D.9

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题型六勾股定理与面积问题

48.将两个大小不同的含有45。角的三角板48。和BOC按如图所示的方式放置.已知

AB=4g，则四边形/4DC的面积为（）

A.24B.24五C.48D.4872

49.如图，在ZUBC中，/8=90。，/A4C的平分线交BC于Q.若4B=5,BC=\2,则

A.15B.—C.—D.20

33

50.如图，在正三角形力8c中，AC=2,CD=3,BD//AC,则△48。的面积是（）

,3&-出03yli+3r3a+3C372-3

A.------t>.------C.------L）.------

2233

51.如图，N48C=NE4c=90。，4c长3,ABK4,"'长为12,则正方形CQM的面积

52.如图，在△[8C中，AB=AC=5,4c=4石，/£＞平分/加。交6c于点。，求△月8C

的面积.

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题型七勾股定理与三角形全等的综合

53.将两个直角三角形摆放如图，其中4C=//10C=90°,/C：=AB=BD=I,则力。长为

()

A____________H

/

c

A2百R2行「百D,也

a♦o•iz♦

35210

54.如图，在四i力形48CD中,AB=BC.ZABC=ZBDC=9()°.过点力作力E_LAQ干点

E,若DE=2,力E=8,则8。的长为（）

K

EK---------、c

A.10B.12C.14D.16

55.如图，△力3。中，AB=AC,4DJ.BC于点、D,DE平分/4DC,交AC于点E,EFLAB

于点E且交力。于点G,若工G=2,BC=12,则力F的值（）

A

283n5

A.—B.—C.-D.-

，J28

56.如图，在△48C中，AB=AC=25fBC=k1,8。平分N48C,若AD〃BC,则点。

到ZC的距离为（）

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AD

A.14B.20C.24D.25

57.如图，ZUBC与△力CD均为直角三角形，且

ZJC5=ZCJD=90°,AD=2BC=6,AB:BC=5:3,点.E是BD的中点,则力E的长为

22

58.如图，在。中，ZJCT=90°,4c=3,BC=4,4D平分NB4c交BC于点、D,

（2）求CO的长.

59.一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（施为以48为直径的半

圆），则K车的高度必须低丁（）

试卷第15页，共18页

C.2.8米D.2.7米

60.如图，在△48C中，/力。8=90。，BD是△N5C的角平分线，CEJ.BD于点、E,连

接力E.若力。=4,BC=3,AB=5,则的面积为()

4

A.-D

3-I

61.如图，在长方形纸片ABCD中，£为4C的中点，连接北，将"BE沿AE折叠得到AAFE,

连接C尸.若｛4=4,BC=6,求C/的长.

(1)如图1,当点力、上为48边上不同两点，且CZ);CE,求证：AD=BEx

(2)如图2,当点。、E在4B边上,ZDC£=45°,求证：DE2=AD2+BE2:

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（3）点。、E在直线48上，ZDC£=45°,其中4C=8C=4,力。=正，直接写出。£长.

63.综合与实践

勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，被誉为“几何学的基石千百年来，人们对它的证明

趋之若鹫，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵

的政要权贵，甚至还有国家总统（如美国前总统加菲尔德）.

某数学兴趣小组对勾股定理的证明方法也非常感兴趣，对勾股定理的证明进行了以下探究活

动：

探究活动一：

（1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三集形拼成（〃</）），用它可以证明勾股

定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形

与一个小正方形的面积之和，即（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出

结论/+/=—

如图2是美国前总统加菲尔德的证法的图形，梯形面积可以等于或、

（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论

探究活动二：

（2）受总统证法的启发，数学兴趣小组发现把总统证法中其中一个直角三角形进行平移后

拼成一个新的图形（如图3）,也可以证明.梯形48CD面积，一种等于,另一

种等于直角三角形”七和四边形/1ECQ的面积和，即（其中四边形4ECO的面

积用仅含。的代数式表示）（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论

数学兴趣小组发现利用两个全等的直角三角形拼成一个合适的图形就可以完成证明，于是想

到把赵爽弦图中的四个全等直角三角形中只取其中Rt&44。和拼出四边形力CQE

（如图4）尝试证明，请你帮助完成证明（简要说理）.

探究活动三：

（3）数学兴趣小组通过上述探究活动发现了所拼成的图形中两个直角三角形的两条斜边的

试卷第17页，共18页

位置关系是;请你设计一个利用两个全等的直角三角形拼成的合适的图形（与

以上如图形不重复），画出图形并简要说理.

试卷第18页，共18页

1.B

【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键.在直角三角形中，如

果两条直角边分别为。和从斜边为小那么/+/>2=/,gpc=7777.

利用勾股定理直接计算斜边4c的长度即可.

【详解】解：如图，

•••/8=90°,

。是直角三角形，和8。为直角边，4c为斜边，

•••AC=+BC2=y/(y^)2+12="=2•

故选：B.

2.B

【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是关键.

直接根据勾股定理求解即可.

【详解】♦.♦/5=9()。，44=5,8c=12,

；.AC7AB2+BC2=5/52+12?=13,

故选：B.

3.23

【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，列出方程，解方程即可.

【详解】解：由勾股定理，得72+(〃+1)2=5+2『，

去括号，得49+/十2〃+1=/十4〃十4,

化简，得50+2〃=4〃+4,

移项得50-4=4〃-2〃,

合并同类项，得46=2”，

解得〃=23.

故答案为：23.

4.(1)75

答案第1页，共36页

⑵3

【分析1本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键.

（I）利用勾股定理直接计算即可；

（2）利用勾股定理直接计算即可；

【详解】（I）解：•••”，为直角边,c为斜边，4=1，b=2,

''C=y]a2Ihi1=Vl2•22=y/s:

（2）解：•••”，〃为直角边，。为斜边，。=4,c=5,

b=yjc1—a2=-Js2-42=3•

5.C

【分析】根据勾股定理解答即可.

【详解】解：•.•/?!，NB,/C的对边分别是。，b,c,4=90。，

为斜边，

h2+c2=a2.

故选：C.

【点睛】本题考查的勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一

定等于斜边长的平方是解题的关键.

6.A

【分析】设斜边为c,根据勾股定理即可得出c=V7寿，再由三角形的面积公式即可得出

结论.

【详解】解：设斜边为C,根据勾股定理即可得出c=G7万，

1,1,

V—ab=—ch,

22

/.ab=7a2+b2h，即a2b2=a2h2+b2h2,

a2b2a2h2

a2b2h2a2b2h2+a2b2h:*

故选A.

【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和

一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.

答案第2页，共36页

7.p'=m2+n~

【分析】根据在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即可得到答案.

【详解】解：在直角三角形中，NC是直角，

p2=m2+n2；

故答案为"=〃/+〃2

【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握定理的运用.

8.见解析

【分析】本题考查勾股定理，先根据勾股定理得出力。2=4必2-知。2,M。2=8/-8。2,

再得出力河2=力。2+。加2,根据“为8c中点，得出AU=MC,进而进行转换可得出结论.

【详解】解：连接肠/.

因为

所以ZADM=NBDM=9(1°,

所以4。2=疯―"。2,MD'BM'-BD?，

因为NC=90。，

所以4A12=力。2+。加2.

因为M为8c中点，

所以

所以NO?=AM2-MD2=AM2-BM1+BD-=AM2-MC2+BD2=AC2+BD2.

9.D

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分情况讨论,

避免遗漏.

分长为〃?的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可.

【详解】解：当长为用的边为斜边时,由勾股定理得：〃/=33+42=25〃/=32+42=25；

当长为〃，的边为直角边时，由勾股定理得：，"=42-3?=7;

综上所述，力的值为25或7,

答案第3页，共36页

故选：D.

10.C

【分析】根据勾股定理得出，AB^AC2=BC\即可求出答案

【详解1•••在RtAABC中,斜边BC=10

：.AB2+AC2=4c2=100

.'.BC2-\-AB2-\-AC2=100+100=200

故答案为c

【点睛】此题考查了勾股定理的基本运用，三边平方关系是解决此题的关键

11.B

【分析】本题考杳了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边

的平方，利用勾股定理找到COLA。)力力分之间的关系即可求解.

【详解】解：因为力。工8。，所以乙400=N/08=/30C=/C00=90°,

由勾股定理得+。

+CO?=402+02+D()2,

AI)?+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，

所以/夕+。。2=力。2+3。2,所以CD2—女丁二疵一/瓜

因为AB=近，AD=亚,

所以82-8。2=5-2=3,

故选:B.

12.40

【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得

AD2+BC2=(JO2+Z)O2)+(BO2+CO2)=AB2+CD2,进而可得到结论.

【详解】解：•:AB=3CD=6,

:.CD=2,

•••ACJ.BD,

:.AD2+Z?C2=(AO2+DO1)+(BO2+CO2)

=(AO2+BO2)+(DO2+co2)

=AB2+CD2

答案第4页，共36页

=62+22

=40.

故答案为：40.

13.100

【分析】根据角平分线的定义推知NECF=9()。，然后在直角一角形ECF中利用勾股定理求

CE2+CF2的值即可.

【详解】解：•••8、C、。三点在一条直线上，CE平分Z/IC4,CF平分Z/TCQ,

:.乙ECF=乙ECA+乙FCA=-Z-ACB~\-£ACD=\x180°=90°.

222

•••。星+CF2=EF2.

,：EF=\0,

•••"2+。产=102=]0()

【点睛】本题考查勾股定理，角平分线线的性质.

14.C

【分析】本题主要考杳正方形的面积与勾股定理的性质，将勾股定理与正方形的面积结合是

解题的关键.

首先将直角三角形的直角边与正方形的边长联系起来，再根据勾股定理将正方形的面积表示,

再结合已知斜边的长度，即可得到儿8两个正方形的面积之和.

【详解】解：如图，令直角三角形的三边分别为小b,c,

在直角三角形中，/十Z/=C'，C=7

-'-a2+b2=49,

・•・以直角三角形的三条边为边长向外作正方形4B,C,

S正方形八=a一,S正方形§=6一，

1,8两个正方形的面积之和为49,

故选：C.

答案第5页，共36页

15.B

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，

先根据勾股定理求出长方形的长，再根据面积公式计算即可

【详解】解：长方形的长为^/?行=5(cm)，

长方形的面积是lx5=5(cnf)

故选：B

16.8

【分析】由勾股定理求得44的长度，即可求得正方形面积S.本题考查了与勾股定理相关

的图形面积问题，掌握勾股定理是解题的关键.

【详解】由题意得4A2=,4C2+«C2=5+3=8，

S=AB2=8，

故答案为:8.

17.6

【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟记相关性质定理是解题的关键.由勾股定

理结合正方形的面积可知，，-S.4=SE=SC+S。，再结合4B、C三个正方形的面积分别

为7、16、3,即可推出结果.

由勾股定理结合正方形的面积可知，SB-SA=SE=SC+SD，

又・.・4B、C三个正方形的面积分别为7、16、3,

SD=SB—SA-Sc=16—7—3=6,

故答案为：6.

18.A

【分析】本题考查求根据勾股定理网格中的线段长，由图形可知4C=3,8C=2利用勾股

定理求解即可.

答案第6页，共36页

【详解】解：由图形可知力C=3,BC=2,且△4?。是直角三角形，

贝IJ斜边AB=y/AC2+BC2=律百=V9+4=JTJ，

故选A.

19.D

【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

利用勾股定理即可直接得出答案.

【详解】解：根据题意可得：

该阴影正方形的边长为：二屈二回,

故选：D.

20.D

【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，注意计算的准确性即可.

【详解】解：观察题图，得c=4,

由勾股定理，得。=炉工=历,6=厅T币=5，

:.c<a<b,

故选：D.

21.75

【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.根据勾股定理即可得到结

论.

【详解】解：根据勾股定理，走1步后的落点与出发点间的距离为后下=石.

故答案为：石.

22.D

【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小

的正方形面积和等丁最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等丁斜

边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案.

【详解】解：A、1+3=4,能用面积验证勾股定理，不符合题意；

B、2+4=6,能用面积验证勾股定理，不符合题意；

C、5+5=10,能用面积验证勾股定理，不符合题意；

D、3+4=7工5,不能用面积验证勾股定理，符合题意：

故选：D.

答案第7页，共36页

23.C

【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，根据面积相等验证，可得答案.

【详解】S梯形=；(“+〃)(□+力)=：。力+ga力+

:,cT2+,2b~=、cT•

所以图1,3符合题意：

,•,图形的面积表示为：c"+2xLib=/+ab,优+〃+2x，R>=优+//+R>,

22

J./=C2»

所以图2符合题意.

图4不能验证勾股定理.

所以符合题意的有3个.

故选：C.

24.a2+b2=c2

【分析】本题考查了整式的混合运算与图形面积的计算，掌握整式的混合运算是关键.

根据题意，分别算出大正方形的面积为02,4个直角三角形的面积为4x；M=2",小正方

形的面积为伍=b2-2ab+b2,由4个直角三角形的面积与小正方形的面积的和为大正

方形的面积，列式求解即可.

【详解】解：根据题意及图示可得，大正方形的边长为。，即直角三角形斜边长，

•••大正方形的面积为°2,

三角形的直角边长分别为。力仅>。)，

•••4个直角三角形的面积为=2ab,

小正方形的边长为

•••小正方形的面积为(b—a)，=〃-2ab+b2,

••・4个直角三角形的面枳与小正方形的面积的和为大正方形的面枳，

•*-b2-2ab+a2+2ab=c2>即“^+/二。二

故答案为:a2+b2=c2.

25.见解析

【分析】本题主:要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的

答案第8页，共36页

性质证明线段和角相等的重要工具.

证明△4C8gZ\8OE(SSS),得MNBAC=NEBD,根据R34C4,RtABDE,RtAABE

的面积分别为:"，卜力和:才，梯形力CQE的面积为:("份(a+b),得出

-(a+b)(a+b)=-ab+-ab+-c2再化简即可.

22221

【详解】证明：•••/C=80=a,BC=ED=b,AB=BE=c,

.-.△JC5^A5Z)£(SSS),

:"BAC=Z.EBD.

•••//8C+/84C=90°,

；"ABC+/EBD=9M,

.-.ZJ5E=90°.

•••Rl△/C8,RSBDE,RtZ\/4HqJ面积分别为L力，!必和?。。梯形4C。上的面积为

222

—(a+b)(a+b),

2

i(a+b)(a+b)=-ab+—ab+-c2,

2222

.,.(a+b)2=2ab+c2,

化简，得/+/=/.

26.C

【分析】本题考查知识点是翻折变换的性质和勾股定理，解决这类题目的关键会利用勾股定

理列出方程.设4E=x,在中，由勾股定理建立方程求解即可

【详解】解：设但X,

则BE=AB-AE=4-x,

由折叠的性质可得：EF=AE=x,

••・四边形45C。是长方形

.-.Z5=90°

在RtZ\8E/中，由勾股定理得，BE2+BF2=EF2，

即(4-x)2+22=/,

解得x=g，

答案第9页，共36页

即4E的长为

2

故选：C

27.C

【分析】本题考查折叠变换的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

根据折叠的性质折叠AEZM0从而得到力。=8。=5,AE=BE,根据勾股定理求得

AC,假设CE=X,贝lj6E=/l£=8—x,在RS6CE中，由勾股定理列式求解即可.

【详解】解：根据折登的性质得：AEDA当AEDB

:.AD=BD=5,AE=BE

：/B=4D+BD=10

2222

:.AC=>jAB-BC=5/10-6=8

在R3BCE中，i^CE=x,则8E=4E=8-x

BE2=BC2+CE2

即(8-x)2=6?+./

解得x=1

故选：C.

c。7

28.—

4

【分析】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是

解题的关键.根据折叠的性质可得=设CE=x,则Bf=8-x,然后根据勾股定理

即可求解.

【详解】解：如图所示，连接8E,

根据题意得，AE=BE,

vJC=8,

,'.AE=CE=^E+CE=H,

答案第1()页，共36页

设CE=x,则4E=8-x,

在RtA^CE中，B^+CE1=BE2,

.-.（8-x）2=x2+62,

解得：x=：

4

〜

Cn=­7.

4

故答案为：—.

4

29.（1）28

⑵跖、

【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键；

（1）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积-2个直角三角形的面积

=c2-2x^ab,即可求解：

（2）根据勾股定理求得BF=\lAF2-AB2=4，进而设EF=x,则DE=EF=x,

CE=CD-DE=3-xf在RtZkC"'中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解.

【详解】（1）解：空白部分的面积=边长为c的正方形的面积-2个直角三角形的面积

=c~2-2.x1—a,b,

2

。=4,b=6,

空白部分的面积=4?+62-2xgx4x6=28；

故答案为：28.

（2）解：•.•折叠，

AF=AD=5,在RtA/1877中，vAF=5,AB=3,

-BF=ylAF2-AB2=4

.-.CF=BC-BF=AD-BF=5-4=\,

设所=x,则==CE=CD-DE=3-x

在RtZ\C£产中，EF2=CE2+CF2

AX2=（3-X）2+12

答案第11页，共36页

解得：X=§

即£尸=；

30.D

【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理的应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面

积为7得出〃/=7①，结合〃/+/J+2〃〃?=31②，①+②得出刑2+〃2=徵,即可

得出结果.

【详解】解：•••小正方形面积为7,

-“J=7,

:."尸+n2-2mn=7®

又,•,(〃?+“)2=31,

•••m2+n2+2mn=31②

••・①+②得，2〃/+2//=38

•••m2+”2=19，

•••大正方形的面积为“？+/=]9，

•••大正方形的边长为M.

故选：D.

31.C

【分析】本题考查了与弦图有关的计算，解题的关键是对三角形的面积设而不求，借用三角

形的面积寻找三个正方形面积的关系.

结合图形，借助直角三角形的面积，设八个全等的直角三角形每个面积为S,寻找三个正方

形面积之间的关系为工+$2+53=38，即可求解.

【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为S,

由图形可得知，S[=8S+S3，S2=4S+S3

贝IJS+SZ+S=8S4-S34-4^+53+S3=3(4S+53)=352

•.•正方形的边长为3

S2=9

答案第12页，共36页

:.S[+S2+Sy=3s2=27

故选C.

32.(4773+16)

【分析】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题.通过

勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长.

【详解】解：设将。延长到点。，连接40,如图所示：

•:/BCD=90°,

'-BC2+CD2=BD2,即3?+82=73,

:.JD+i?Z）=（4+V73）cm,

.•.这个风车的外围周长是4（4+6）=（16+4&i）cm.

故答案为：（45历+16）.

33.（1）6

（2）①证明见解析；@37

【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质,

灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

（1）由黄实的面积为1,所拼得的大正方形的面积为25,可得（。-8『=1,/+〃=25,可

求成=12,即可求解;

（2）①由SAS可证且△口）£<,可得EF=GH；

②由面枳的和差关系可求解•.

【详解】（1）解：••・黄实的面积为1,所拼得的大正方形的面积为25,

.•.（a〃）2=1,々2|62=25,

答案第13页，共36页

ab=\2,

每个朱实的面积=(帅=6,

故答案为：6；

(2)①证明：•••四边形/8C7)是长方形，

AD=BC,CD=AB,/ADC=ZBCF=ZABC=zDAB=90。,

:./EDF=/GBH=9Q0,

vDE=DC=BG=AB,CF=BC=AH=AD,

•••DF=BH,

.••△HBG0FDE(SAS),

:.EF=GH；

②解：•.•/14=4,8C=3,

...DE=DC=BG=AB=4,CF=BC=AH=AD=3f

二阴影部分图形的面积=3X4+2X1X3X3+2X2X4X4=37,

22

故答案为：37.

34.(l)c2,a2+h2=c2

(2)见详解

【分析】本题考查了旋转性质，勾股定理以及完全平方公式的应用，正确掌握相关性质内容

是解题的关键.

(1)理解上下文，旋转不会改变面积大小，因此以。为边长的大正方形的面积等于把边长

为。、力的两个正方形连在一起的面积是/+/,即可作答.

(2)根据正方形/。五”的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积以及止

方形4CF"的面积等于边长乘边长，列式化简，即可作答.

【详解】(1)解：依题意，把△48C和△f'GC.分别旋转到〃和△在〃得到图3位置,

答案第14页，共36页

就会形成一•个以C为边长的大正方形如图4,其面积为

由于它们的面积相等，即