三角函数、平面向量及解三角形新定义题（教师版）

专题08三角函数、平面对量及解三角形新定义题

1.(23-24高一下•江西•阶段练习)对于分别定义在。，2上的函数/(X),g")以及实数

k,若任取为£。_存在GW。-使得/(xJ+g(%)=A，则称函数“X)与g(x)具有关系

M(k).其中巧称为阳的像.

⑴若I/(x)=2sin(2x+1}xeR；g(x)=3cos("+*,汇wR,推断/(x)与g(x)是否

具有关系M(-6),并说明理由；

⑵若小)=2sin(2x+W),x€0,|；g(x)=3>/5cos卜x+e)，xe[0,7r],且/(x)与g(x)

具有关系求％=已的像；

⑶若/(x)=2sin(2x+m),xe；g(x)=-2sin2x+as\nx+2,xeR,且/(力与g(x)

V3)L46」

具有关系M(5),求实数。的取值范围.

【答案】(1)不具有，理由见解析:

⑵2L或4或包.

18/2518’

⑶。26或a<-6,

【分析】(1)依据具有关系例(-6)的定义及三角函数的值域推断即可;

(2)依据具有关系”及三角函数的性质计算即可;

(3)利用三角函数的性质先确定/'(5)e[-1,2],依据具有关系M(5)的定义得出

5-5(X2)O[-1,2],再依据二次函数的动轴定区间分类争辩计算即可.

【详解】⑴〃%)与g(%)不具有关系”(-6),

理由如下：xwR时，/(.<)=2sin^2x+^e[-2,2],^(.v)=3cos^3A-+^e[-3,3],所以

/Q)+g⑸目-5,5]>-6,

则与g(x)不具有关系M(-6);

(2)由题意可知/(xj+g(x,)=&^=2sin2x—+—+3\Z5cos(3x,+g

2k63Jk-6；

=A/J+3VJCOS(3X2+三，

nc7T।1c71,7T

所以COS3%>+—I=—3&H=±-+2fkli,

1~6J263

又电£[0,司，所以~2i~7~，

6L。6

解之得三嗑呜或容

即X4的像为白或白或野；

(3)对于xw-7,7，则2%+卜-7»V，所以/(工)=25却2]+曰6卜1,2],

46」3[_。3」I3y

即X/X]C-J]J(xJc[T,2],

由于“X)与g(x)具有关系M⑸，

所以要满足题意需叫wR.使得[T2仁5—4王)即可.

令5-g(x)=2sin2x_asinx+3(xcR),

☆f=sinx,贝1,1],设〃(z)=2厂一改+3a€(—1,1]),

①若3K—1,即时，M，)w|?(T)，Ml)]=[5+a,5-a],

5-a>2

则=>tz<-6

5+«<-1

②若?之1,即〃“时，/?(r)e[/z(l),//(-l)]=[5-a,5+a],

5+a>2

则=aA6,

5-«<-1

③若即-4v“？0时，h(t)e/?(^j,/2(l)=3-y,5-«

5-a>2

h<3a<3

则a2=>L或aS明显无解'

3--<-la>4x/2

8

④若0</1,即0vav4时，/?(/)€h,/?(-1)=3-—»5+6f,

o

5+a>2

a>-3a>-3

则3-土4-1=厂或…⑹明显无解'

a>4>j2

8

综上所述：a26或aK-6,

2.（23-24高一下•上海•阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用转变着人类的生活，所

谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终

判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相像度主要应用距离的测试，常用测量

距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点3（孙力），则曼哈顿

距离为：4（48）=卜|一天+|凹一刃，余弦相像度为：

3=启rE启余弦距离为ios（A8）

34

⑴若A（T2）,B求A,8之间的曼哈顿距离或A用和余弦距离;

5,5

⑵已知M(sina,cosa),N(sin夕,cos夕),Q(sin/7,-cos/?),若cos(M,N)=",cos(M,0=-|,

求tanatan6的值

(3)已知0<av/,M(5cosa,5sina)、N(13cos/?,13sin0,，(5cos(a+/),5sin(a+/?)),

若cos(",P)=Mcos(A1,N)=$,求M、尸之间的曼哈顿距离.

13

【答案】⑴d(AB)=£,余弦距离等于l-cos(A,B)=l-@

55

_sinasin£_

(2)tanatan0=-------------=-3

cosacosp

嘴

【分析】（1）依据公式直接计算即可.

I?

（2）依据公式得到$皿。5山夕+85。8$/=^,sin<7sin/?-cosorcos/7=—,计算得到答案.

（3）利用两角和与差的正弦、余弦公式可求出点M、P的坐标，结合题中定义可求得何、

Q之间的曼哈顿距离.

3414

【详解】(1)d(AI)=—1-：+2—m=m，

-132475故余弦距离等于1-cos（A8）=l-咚

cos(A,B)=—=x—+—=x—=——

755x/555

3sinasinpcosacos6

(2)cos(M,N)=:,'•/，+/,

Vsin2a+cos2a^/sin2^+cos2/?Vsin2(z+cos2a^sin2/?+cos2p

=sinasin/?+cosacos^=-；

八\sinasinBcosa-cos£

cos(M,。)=/,­/,,+/,,­/,,

Vsin2a+cos*a^sin2/?+cos2pVsin2cr+cos2aJsin)夕+cos2/?

2

=sinasin°-cosacos/?=—

故sinasin夕=a,cosacosfl=--—,则tanortan/?=sMasin,_一3

1010cosacosp

(3)由于J(5sinaJ+(5cosa)2=5,5sin(a+/?)]~+[5cos(«+/7)]"=5»

g、i/i,r,\5cosa5cos(cr+/?)5sina5sin(a+夕)5

所以cos(M,P)=--------x-----i——。+-------x-----i——=cosB=——.

V7555513

由「0</?〈二，所以sin/?=71-cos2/?=—.

213

由于J(13sina)2+(13cosa『=13,

5cosa13cos£5sina13sin£/463

所以cos(M,N)=--------x-------匕+-----x------±=cos(a—/7)=一.

51351365

由于Ova</<色，M--<«-/?<(),

22

所以sin(«-/?)=-J1-COS2(6Z-/7)=-£

v65

3

由于cosa=cos(a-/7+/?)=cos(2-/?)cos〃一sin(a=—,

sina=71-cos2a=-,所以M(3,4).

33

由于cos(cir+/?)=cosacos夕-sinasin/=——-,

65

sin(a+/?)=sinarcos/7+ccs<7sin/?=—,

65

所以巾总都

由于3-(嗡+TJ2—.+4—=——76

13131313

所以M、尸之间的曼哈顿距离是五.

3.(23-24高一下•上海杨浦•期中)定义函数/(x)=cos(sinx)为“正余弦〃函数.结合学过的

学问，可以得到该函数的一些性质：简洁证明2兀为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？

我们连续探究：/(x+〃)=cos[sin(x+7r)]=cos(-sinx)=cos(sinx)=/(x).可得：兀也为函

数〃x)=cos(sinx)的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间争辩

/(x)=cos(sinx)的单调性：函数/(x)=cos(sinx)在其是严格减函数，在g71上严格

增函数，再结合/(x+兀)=/(力，可以确定：f(x)=cos(sinx)的最小正周期为北.进一步我

们可以求出该函数的值域了.定义函数〃x)=sin(cQsx)为〃余正弦〃函数，依据阅读材料的内

容，解决下列问题：

⑴求“余正弦”函数的定义域；

⑵推断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；

⑶探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.

【答案】⑴R

⑵偶函数，理由见解析

⑶/(x)=sin(cosx)在［2依.2E+冗］(左eZ)是严格减函数,在［2AJC+it,2ht+2n］(keZ)卜严

格增函数：最小正周期为2兀；理由见解析.值域为ksinLsinl］.

【分析】(1)依据函数定义域的求法，求得〃x)=sin(cosx)的定义域.

(2)依据函数奇偶性的定义，求得〃H=sin(cosx)的奇偶性.

(3)结合题目所给的解题思路，求得/(x)=sin(cosx)的单调区间、最小正周期、值域.

【详解】⑴〃x)=sin(cosx)的定义域为R.

(2)对于函数/(x)=sin(cosx),

/(-v)=sin［cos(-x)］=sin(cosx)=/(x),所以/(x)是偶函数.

(3)/(x+2n)=sin［cos(x+2?t)］=sin(cosx)=f(x),

y=8sx在区间［0,可上递减，)，=$后工在区间［-1,1］上递增，所以/(x)=sin(cosx)在［0,可上

递减.

y=cosx在区间［九,2元］上递增，y=sinx在区间上递增,所以/(x)=sin(cosx)在［0,兀］

上递增.

所以“X)的最小正周期为2兀，

“X)在［2E,2E+7i］(kwZ)上是严格减函数，在［2E+12E+2可(丘Z)上是严格增函数.

结合“X)=sin(cosx)的单调性可知,/'(X)的值域为［-sinl,sin1］.

4.(23-24高一下•四川巴中•阶段练习)定义非零向量两=(。㈤的"相伴函数"为

f(x)=«sinx+Z?cosA(xeR),向量OM=(〃,〃)称为为函数/(工)=4$皿工+。(：08工的“相伴向

量”(其中。为坐标原点).

⑴求力(x)=cos卜+看)-2cos(x+a)(4eR)的"相伴向量。

⑵求(1)中函数〃(力的〃相伴向量〃模的取值范围；

⑶当向量两=(61)时，其“相伴函数”为了(X)，若xe［o,华］,方程

尸(耳十(2-十3=0存在4个不相等的实数根，求实数，的取值范围.

2sina-14

【答案】⑴(加二-2cosa

22

(2)[h3]

(3)(I,3JU(4,5)

【分析】(1)先利用两角和余弦公式开放化简函数，再依据相伴函数的概念求解即可；

(2)结合向量模的坐标运算公式，依据帮助角公式化简函数，利用正弦函数性质求解即可；

(3)由定义得/(x)并化简(化为一个角的一个三角函数形式)，解方程

/3+(2-。)/(幻+。-3=0得f(x)=l或f(x)=a-3,/(x)=l求得两根，然后作出函数/⑶,

xcp),?]的图象，由图象可得/*)=。-3且a—3工1有两根的。的范围.

O.

【详解】(1)

/?(%)=cosx+--2cos(x+67)=cosxcos--sinxsin--2cosxcos«+2sinxsin«

6J66

2sintz——sinx+-2cosacosx,

2

所以函数的“相伴向量"。"=2sina-；,孚-2cosa.

X

(2)•"0M］=J(2sina-g)?+(•^-2cos=^5-2sinf/-25/3cosa=^5-4sina+,

-WLv=>/5^4=3»I^ML„=V5^4=1,

叫的取值范围为［1,3］；

(3)/(x)=\/3sinx+cosx=2(^sinA+-icos.r)=2sinx+已>

当野］时，X+^G今,2兀，

由尸(x)+(2—a)/(x)+a—3=O,得：(/(x)-l)(/(x)-(«-3))=0,

・・•/(幻=1或/(x)=。—3,

由/(x)=l,即sinjx+B]=!，而0,?,解得x=0或x=§,

I2L6」3

即fix)=1在xw[o,平]上有两个根，

方程尸(©+(2_.)/(幻+“-3=0在xe[(),野]上存在4个不相等的实数根,

当且仅当fM=。-3且。-3工1在xw[°，笥]上有两个不等实根，

在同一坐标系内作出函数），=/（，）在xe。,手上的图象和直线y=0-3,如图,

上有两个不等实根,

当且仅当函数y=/（x）在xw上的图象和直线），=。-3（。=4）有两个公共点,

观看图象知：-2V4-3W0或1<々-3<2,

解得Iva?3或4<a<5,

所以实数a的取值范围是。,3]=（4,5）.

5.（23-24高二上•北京•期中）〃个有次序的实数即为,所组成的有序数组（4,&,•••,%）

称为一个万维向量，其中4（=1,2,、弁）称为该向量的第i个重量.特殊地，对一个吊维向量

。=（纵心…⑷,若同=l,i=l,2…万,称日为H维信号向量.设

△=（4,4,…，a），万=（邑瓦，…，瓦），则〃和/；的内积定义为口6=£44,且4J.606/=0.

1=1

⑴直接写出4个两两垂直的4维信号向量.

⑵证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量.

⑶已知Z个两两垂直的2025维信号向量不入,…,用满足它们的前刑个重量都是相同的,求

证：\[hn<45.

【答案】⑴（1,1,1，D，（T,T,L1）,（-1,1,T1）,（T,1,1,-1）

⑵证明见解析•

⑶证明见解析

【分析】（1）依据题意，结合两两垂直的定义，即可求解；

（2）依据题意，不妨设工=（1，1，…，1），%=（1，1』，1』，1JT，TTT，T，T，T），得到％有7

个重量为-1，设％的前7个重量中有，,个T,得到7个重量中有7-广个-1,进而求得一的

值，即可求解；

（3）任取仃41,2，…,左｝,得到S=#+考+…+片=202必，设不用，…，凡的第女个重量之

和为q,结合S=c；+c；+…+4242c：+c"…+c：=B*列出不等式，即可求解.

【详解】（1）解：依据题意，结合维向量的定义,

则两两垂直的4维信号向量可以为：

（2）解：假设存在14个两两垂直的14维信号向量工,需…，式，

由于将这14个向量的某个重量同时变号或将某两个位置的重量同时互换位置，任意两个向

量的内积不变，

所以，不妨设％=（11,…,1）,%=（11,11,1,1」,一1,一1,一1,一1、一1,一1,—1）,

由于无•%=0,所以％有7个重量为-1,

设外的前7个重量中有厂个T,则后7个重量中有7--个-1,

所以了2』=八（-1）+（7-。+（7-「）+广（-1）=0,可得〃=5，冲突，

所以不存在14个两两垂直的14维信号向量.

（3）解：任取i,Je{L2,…汰},计算内枳豆•吊，将全部这些内积求和得到S,

则5=看+号+…+石=2024人，

设尺.月.….兄的第无个重量之和为7,

则从每个重量的角度考虑，每个重量为S的贡献为c；

所以S=c：+…+4）24+C；+…+C）=k2m,

令20242>公机所以bn<2024<2025,所以历<45.

6.（23-24高一下•山东•阶段练习）克罗狄斯•托勒密（约90-168年）是希腊有名的数学家、

天文学家和地理学家.他一生有很多创造和贡献，其中托勒密定理和托勒密不等式是欧几里

得几何中的重要定理.托勒密不等式内容如下：在凸四边形A3CO中，两组对边乘积的和大

于等于两对角线的乘枳，ADBC+ABCD>ACBD.当A8CZ）四点共同时等号成立.已

（1）当为等边二角形时，求线段AC’长度的最大值及取得最大值时的边长；

⑵当l^ZDBC+3sin2ZBDC=Zsin/QBCsin/BCDsin/COB+siM/BC。时，求线段AC

长度的最大值.

【答案】⑴2,△8CO的边长为白

（2严+价

【分析】（1）设BC=CD=DB=x,由托勒密不等式得到AC<2,当AB,C。四点太圆

时等号成立，从而得到ND4B=12(y,由余弦定理得到8。=&；

(2)在△3C。中，利用正弦定理得到sin/8CQ=2"+3小T-,由余弦定理得到

2hd

cos/BC/J+d，两式相减结合基本不等式得到sin/8CO-cos/4CQN&，由三

2bd

角恒等变换和有界性得到sin/8CD-cos/8COW也，得至1］衣皿(/8。。-；)=血，求出

NBCD==、b=Rl,由余弦定理求出c=&，利用托勒密不等式得到

45

【详解】(1)设8c=CO=OB=R,由于AC4OWA3DC+AO8C,所以ACXWX-X,

所以ACK2,当ARC.。四点共圆时等号成正，由于/4。。=6(),ZDAB=\20,

在^DAB中，BD2=AB2+AD2-2AB-ADcos^DAB=1+1-2cosl20=3，

所以8。=6,所以△8C。的边长为石：

(2)设BC=d,CD=b,BD=c,在△BCD中，

由于2sin2/Z)8C+3sin2/8OC=2sin^DBCs\n^BCDsin^CDB+sin2zfBCD，

9A2+3//2-r2

所以勖2+3d2=2bds\n/BCD+c2，所以sin/BCD=------------,

2bd

由于cos/BCD=.所以sinNBCD-cos/BCD=b~+2d~>26bd=五,

2bd2bd2bd

当且仅当〃=&4时等号成立，

由于sin/BCO-cos/8co=&sinf/BCD-K&,所以无sin(/BCD-=及，

所以NBCD=里,b=y/id,

4

由c?=力+出—2bdcosNBCD=5虐,故c=75d，

由于ACBOKABDC+A。8C,AB=AD=\,

所以ACYds6d+d,所以AC(与=

■\j55

【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题,

与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：

①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②接受正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，假如三角形为锐角三角形，

或其他的限制，通常接受这种方法；

③奇妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

7.(23-24高一下•福建厦门•阶段练习)在小48C中，4,N&NC对应的边分别为

rt,/?,c,2sin4sin/?sinC=>/3|sin:/^+sin?C-sin?/4）

⑴求A；

（2）奥古斯丁.路易斯.柯西（AugustinLouisCauchy,1789年-1857年）,法国有名数学家.柯

西在数学领域有格外高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式

、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.

①用向量证明二维柯西不等式：（XR+y乃丫<（<+K）（X；+£）

②已知三维分式型柯西不等式：肉为,CR+,K+K+KN（*+"2+.）,当且仅当

X为）’3弘+）’2+）’3

土=土=工时等号成立.若。=21是内一点，过〃作A氏8cAe垂线，垂足分别为

y%丫3

\AB\418cl\AC\

D、E,F,求7=^―+-71—-^的最小值.

行\PD\\PE\\PF\*J1tL

【答案】⑴]

⑵①证明见解析，②至以

【分析】（1）依据条件，边转角得到siM=G史上土土，再利用余弦定理，即可求出结

2bc

果；

（2）①利用数量积的定义，得到瘴出国别・出|,再利用数量积和模的坐标表示，即可证

明结果；②依据条件及三角形面积公式，利用4町+。|庄|+目比|=2s『的,得到

2(/?+C+4)-2G

T>，结合余弦定理，令f+c+4,得到再求出，的范围，即

可求出结果.

/2，

【详解】（1）由正弦定理得如4114=6仅2+02一*即3必=麻二寡三

由余弦定理有siM=JHcosA，若cos4=0,等式不成立，则cos4d0,所以ianA=>75,

由于Ae(Om),所以A=%

(2)①设日=(5,)[),〃=(%2，为)，由力〃=|力||人|cos〈江,〃)，得|小力国万

从而归々+yy21K收+y：•宿+,即(再当+无%)2&¥+4)(君+£)

二网+幽+眄=-+9+上=-+山+工

D\PD\\PE\\PF\\PD\\PE\|PF|c|PD|a\PE\b\PF\'

又SP\B=-c|PO|,S=—a\PE\yS=­b\PF\,Sn.n+S+S=S

A2।£»rPtB5\C-2।7PAC2।7△<P«B><C-PAC7

.•"|町+4尸耳+。归尸|=2%蛇.

上+把+工2(b+c+4)22S+C+4》

由三维分式型柯西不等式有丁=

\/3bc

c|叫a\PE\b\PF\-2S^BC

I2I

当且仅当两二网=何即附=2|叫=2\PF\时等号成立.

由余弦定理/=6+c2-4eosA得4=/『+M一权.，所以（〃+。产一4=3反即bc=（空…

2后二26

1叫1>2S+C+4)2=2Gs+C+4-

令f=/?+c+4,则-(/-4)2-4-128.

4ibc-S+C)2-4—Z-——+1

.(b+c)2-4(b+c\

he=---------<----

由于,312J,得2vZ?+cW4,当且汉当〃二c时等号成立,

b+c>a=2

所以6W8,则!/＜，，

8t6

令产**=120-9-1;则y=12（；-；）-科弓孱）上递减,

当即〃=c=2时，y有最大值之，此时丁有最小值迹.

,8163

8.（23-24高一下•上海•期中）将全部平面对量组成的集合记作R2.假如对于向量

2

X=（X„X2）GR,存在唯一的向量了二（y,），2）wR?与之对应，其中坐标加为由司，占确定，则

把这种对应关系记为9=/（可或者（如必）=/（与，工2），筒记为一.例如

（加》）=”5，8）=（2玉+0X2）就是一种对应关系.若在同=1的条件下|了|有最大值，则称

此最大值为对应关系/的模，并把/的模记作||/||；若存在非零向量l€R2及实数4使得

/⑺=忒，则称％为了的一个特征值.

⑴假如/（内,4）=（2百,2七），求||/||；

⑵假如〃%，/）=（3内+七,-内+电），计算/的特征值，并求相应的工；

⑶若/（X，%2）=（4N+a2x2,bixi+b2x2）,要使/有唯一的特征值，实数4,也应满足什么

条件？试找出一个对应关系/,同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值义，(2)||/II=|A|,

并验证/满足这两个条件.

【答案】⑴11/11=2

(2)2,1=加(1,-1),其中机wR且〃?w0

⑶(4-打)2+4%〃=0,答案见解析

【分析】(1)利用向量的坐标运算可得9=2"可求得区=2,可求得11/11=2.

(2)利用向量相等的条件可得,进而可求得4=2,进而可得了=〃?(1,-1)其

-X1+x2=AX2

中〃】eR旦〃？工0.

(3)利用内+。*=予，可得42―(4+A)4+48TW=O,进而可得

4内+b2x2=XA,

△=(%也＞+4她=。，进而可证明当/(可=双时，/有唯一的特征值，且131=1%.

【详解】(1)由题意9=(2.32%)=2(/w)=2£,所以|y|=2园,当国=1时，恸=2,最

大值也为2,所以11/11=2.

(2)由/(内,赴)=(3内+马,一内+/)=4(5，/)，可得：，3$+'2_：耳，

—内+%2=

解此方程组可得：(2-1)(2-3)=-1,解得4=2.

3x+x,=2x

当4=2时，解方程组1-，此时这两个方程是同一个方程入+占二()，

-A(+x2=2X2

所以此时方程有无穷多个解，为无=〃?(1,-1)(写出一个即可)，其中5eR且加工0.

⑶可得x(q-44)+毛3也-4=0.

由于小修都不为0,从而向量(4一%々)与(《也一口平行，

所以存在实数2满足(q-4)(3-％)=/伪，即无一(％+4)%+4也一的々=0.

要使义存在且唯一，则qq、4也应满足：△一(%-4)2+4/伪一0.

当/(町二如时，/有唯一的特征值，且11川=|2|.具体证明为：

由/的定义可知：/(A,,X,)=2(XPA-2),所以X为特征值.

此时q=4/=。，4=0，4=4满足：(4—4)2+4%4=0,所以有唯一的特征值.

在X；+石=1的条件下(Ax『+(袄『=无，从而有II川=121.

【点睛】关键点点睛：新定义题型，考查数乘向量的坐标运算，相等向量的坐标的关系，考

查运算求解力量与转化力量，同学的阅读理解力量是解本题的关键.

",称［〃出］=44+生仇+—+

9.（2025•全国•模拟猜测）设有〃维向量。=,b=

为向量M和B的内积，当区町=0,称向量,和5正交.设，为全体由一］和1构成的〃元数

组对应的向量的集合.

1、

2

⑴若武，写出一个向量B，使得［及同=0.

3

⑵令人{艮到艮yeS”}.若mwB,证明：为偶数.

⑶若〃=4,〃4）是从其中选出向量的个数的最大值，旦选出的向量均满足［7习=。，猜

想/（4）的值,并给出一个实例.

1

【答案】⑴％,（答案不唯一）

一1

（2）证明见解析

⑶"4）=4,答案见解析.

【分析】（1）依据定义写出满足条件的即可；

（2）依据结合定义，求出卜，刃，即可得证：

（3）利用反证法求证.

（］、

-1

【详解】（1）由定义，只需满足4+24+34+44=。，不妨取入।（答案不唯一）.

-1

（2）对于/=1,2,,,,〃，存在元=