高考数学复习讲义：平面向量 （解析版）

解密12讲：平面向量

【考点解密】

考的一.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.

(2)零向量:长度为2的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量，规定：o与任一向量平行.

。)相等向显：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

考点二.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

交换律：

力b

a以+》=》T-a；

加法求两个向量和的运算三角形法则

结合律：

a(a+b)+c=v+(b+c)

平行四边形法则

求〃与力的相反向量

减法。一b=〃+(—b)

-b的和的运算

几何意义

罔=口网,

求实数2与向量。的当z>0时，〃与。的方向相同;

数乘(A+/z)a=za+/za；

积的运算当z<0时，2。与。的方向相反;

4。+与=加+劝

当2=0时，〃=0

考点三向量共线定理

向量力与非零向量。共线的充要条件是：有且只有一个实数九使得〃=〃.

考点四.平面向量基本定理

如果6,&是同一平面内的两个丕共线向量，那么对于这一平面内的任意向量。，有且只有一对实数力,22,

使a=A\e\+he2.

其中，不共线的向量约，62叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

考点五.平面向量的坐标表示

(I)向量及向量的模的坐标表示

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设4内，V),8(X2，>'2)»

则赢=(%2—xi，>'2—yi),|AB|=yj(X2-x\)2+(.V2~y\)2.

(2)平面向量的坐标运算

设a=3,yi),b=(x2r>f2)»

则〃+力=(xi+x2，yi+”),

a-b={x\-X2yyL”)，

Aa=(Zxi,Ayi).

考点六.平面向量共线的坐标表示

设。=(曾，y),b=(m，”)，其中bWO.a,b共线=即/一X29=O.

考点七向量的夹角

已知两个非零向量。和b,作a=a,OB=b,则NAO8就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是［0,兀］.

考点八平面向量的数量积

设两个非零向量。,b的夹角为仇则数量同网・cose叫做。与巳的数量积,

定义

记作ab

|a|cos0叫做向后。在方方向上的投影

投影

l^lcos0叫做向量b在a方向上的投影

几何意义数量税ab等于a的长度⑷与b在。的方向上的投影步|cos0的乘积

考点九向量数量积的运算律

（1）ab=ba.

（2）（幺。＞8=2（。2）=0（/力）.

（3）（。+%＞。=0。+8c

考点十平面向量数量积的有关结论

已知非零向量。=（11，＞,1）»b=（X2,刃），。与力的夹角为。.

结论符号表示坐标表示

模\a\=y[a-a|Q|=5++*

八abA-1X2+.V1V2

夹角COS“一IH，I8s返+»返+负

1ali例

aLb的充要条件ab=()工直2+“\'2=0

创与同网的关系|eb|W|a||b|k的+），i”l+）彳）（的+货）

【方法技巧】

求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应

用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.

【核心题型】

题型一：平面向量的基础知识

1.（2023.江苏南京.南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正珑的是（）

A.单位向量都相等

B.平行向量不一定是共线向量

C.对于任意向量必有++|6|

D.若〉,方满足值|>|一且£与万同向,则方

【答案】C

【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类讨论向量

的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.

【详解】依题意，

对于A,单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；

对于B.平行向量就是共线向量，故错误；

对于C,若同向共线，|a+b|=|a|+|/>l,

若Z石反向共线，1。+方Ka|+|b|,

若ZB穴共线，根据向量加法的三角形法则及

两边之和大于一第三边知++

综上可知对于任意向量必有|白+。国"|+|〃|,故正确;

对于D,两个向量不能比较大小，故错误.

故选：C.

2.（2023・全国•高三专题练习）已知平面向量入各是单位向量，且1-彳=1,向量"满足2-/彳=弓，则。的最

大值为（）

A.巫B.2GC.6+1D.2&1

2

【答案】A

【分析】根据向量模的定义可得27B=1，进而求得4+4=6,利用向量的线性运算，结合向量模的定义即可求

解.

【详解】解：因为「一4=1,所以口-邛=1,即7一2£*+方=1，又I：卜W=l,所以2〉万=1.

所以a+b=J(a+b)=Ja+2ab+b=V3.

因为,=苗-々-占+4+4，

所以口十一£叫+忖+.=4+6=乎.

故选：A.

3.(2022・河南•校联考一模)下列关于平面向量的说法正确的是()

A.若入反。力共线，则点A,B,C,。必在同一直线上

B.若G//5且石〃则〃//c

C.若G为AA8C的外心，则GX+说+玄=0

D.若。为的垂心，贝iJ0/t0/j=0区废="。4.

【答案】D

【分析】A向量共线知向量所在直线平行或共线；B由零向量与任意向量都平行；C由向量相加不可能等于标量；

D利用向量减法的几何含义，结合垂心的性质，即可判断各选项的正误.

【详解】A：若人反C/5共线，贝IjA,B,C,D在同一直线上或AB〃8,错误；

B：若Z，为零向量，由任意向量都与零向量平行知，此时Z2不一定平行，错误；

C：若G为△AW的外心，有瓦2=五2=而，且就+而+交不可能等于标量0,错误；

D：O为“次？的垂心，由次一反=画，又08J.CA,所以。月(O/i-OC)=O月@=0,同理有

OC(OB-OA)=OCAB=0,OA(OB-OC)=OACB=0f即有方丽=历衣=反京，正确.

故选：D.

题型二：平面向量的线性运算

4.(2023・湖南永州•统考二模)设。为“8c所在平面内一点，而=3而，则()

A.CD=3CA-2CBB.CD=3CA+2CB

C.CD=-2CA-3CBD.CD=-2CA+3CB

【答案】D

【分析】运用平面向量加法规则计算.

A

【详解】D

依题意作上图，WOCD=CB+BD=CB+2AB=CS+2(4C+Cfi)=2AC+3CB=-2C4+3CB；

故选：D.

5.(2023秋•广西河池•高三统考期末)如图，在AABC中，M为线段8C的中点，G为线段AM上一点且而=2而，

过点G的宜线分别交直线相、AC于P、Q两点，^B=x4P(x>0),AC=yAQ(y>0),则卜击的最小值为()

43

【答案】B

【分析】由与7=J而+：而可得而=*衣+］也，根据三点共线向量性质可得《+曰=1,再结合均值不等式

即可求出结果.

【详解】由于“为线段8c的中点，则人群=；4月+

_3_______

又=所以AM=jAG,又八月二x人户(x>0),AC=yAQ(y>0)

所以2而=二而+^\AG=-AP+^AQ

22233

因为G,P,Q三点共线，则g+g=l，化得x+()'+l)=4

由上上」｝+(“叨上+_1_］」(上+山+2H42、p^H+2『

L

m*j+14'气1y+iJ4［y+lx)4(丫)，+1x)

当且仅当」7=小时，即X=2,)，=l时，等号成立，J的最小值为1

y+\xxy+1

故选：B

____.2

6.(2022・河南•校联考模拟预测)如图，在小BC中，BM=^BC，NC=PAC,直线AM交8N于点°,BQ=-BNf

则()

A

C.（2-l）（2//-3）=lD.（2^-3）（//-l）=l

【答案】C

【分析】把诙用丽，丽表示，然后由三点AQ，用共线可得.

【详解】由题意得，BC=-B^=-（BX+A7V）=-[BA+（I-//MC]=-[BA+（I-//）（BC-BX）]=-[//BA+（I-//）BC]

332

因为Q,M,A三点共线，故,〃+j?=l,化简整理得（％—1）（2〃-3）=1.

J3

故选：C.

题型三：平面向量的共线定理

uiH|七

7.（2023・全国•高三专题练习）△A8C的外心0满足次+丽+上反=6，四卜&,则“18。的面积为（）

A.江2B.2C.72D.2

22

【答案】B

【分析】从方+而这个条件可以考虑设AB的中点为。，从而得到a。,c三点共线可求.

【详解】设48的中点为。，则34+砺+应配=6可化为2亚+&反="

即为反=-&丽，「.。,。,。三点共线且8_14?,"C为等腰三角形，

由垂径定理得|）『=|西2+|西2,代入数据得丈二?2+［孝），

解之：/?=1,8=1+4,•,电府=今4训cq=gx>/^x1+与=~^2~,

故选：B.

21

8.（2023・全国•高三专题练习）如图，在“8。中，M,N分别是线段加，AC上的点，且AM=Q4B,AN=-AC

JJf

______I2

。，石是线段8C上的两个动点，且血+荏=x^+），RV（x,ywR）,则一+一的的最小值是（）

xy

A

D.2

3

【答案】B

【分析】根据平面向量共线定理可设=疆+〃浅，加+〃=1,通=%通+〃/，A+//=l,再结合

^4D+=xAM+yR7得2x+y=6,最后运用基本不等式可求解.

-UUtlUUUUUtl____________c.

【详解】设AO=〃?48+〃AC，m+n=\,AE=AAB+/JAC,4+〃=l,

______________3______

则A5+AE=mAB+nAC+ZAB+pAC=(m+A)AB+(n+JLI)AC=；("?+A)AM+3(〃+JLI)AN=xAM+yAN,

32121

一(〃?+1)=x,3(〃+〃)=y=>〃?+2=-x,〃+〃=-)，，〃?+%+〃+〃=2n—x+—y=2=2x+v=6.

23333

s,121/rJ121yv4xvAI4

所以一+-=：(2x+y)-+-=-2+2+2+—>-2+2+2匕把=

xy6By61xy)6xy)3'

3

当且仅当x=5，y=3时等号成立.

所以的的最小值是:

故选：B

9.(2023・全国•高三专题练习)已知直线/与圆0：/+),2=9相交于不同两点夕，。，点M为线段，。的中点，若

平面上一动点C满足守=%说(4>0),则反•丽的取值范围是()

A.[0,3)B.(0,3垃

C.[0,9)D.(0,6V2]

【答案】C

\OM\

【分析】由题意，判断得点C在线段P。外，从而得VCOM是直角三角形，进而表示出cos/COM，可得

OCOM=\OM'\,rti0<|OM|<3,可得反.丽的取值范围.

【详解】因为乔=%质(4>0),所以P,Q,C三点共线,

且点。在线段PQ外，因为点M为线段图的中点,

所以OM_LPQ,即VCOM是直角三角形,

所以8$/。。〃=耨，由数量积的定义可得:

双•两=|同M.cos/COM=|困.画］

因为04|。必＜3,所以0qOM『＜9,即OWOdOA/＜9,

故选:C

题型四：平面向量的基本定理

10.(2023•江苏徐州滁州市第七中学校考一模)在平行四边形A8CD中，E、尸分别在边4。、C。匕AE=3ED,

。/=FC,4/与质相交于点G,记力分=%人方=/；,则而=()

B.—a+—b

IIII

45-

C.—a+—bD.—a+—b

II111111

【答案】D

【分析】根据题意过点尸作研平行于BC,交BE于点、M,先利用三角形相似求出善■=2,然后利用向量的线性

rG5

运算即可求解.

［详解］过点F作FN平行于BC,交BE于点M,

1133

因为则尸为0c的中点，所以MN〃AE且的二彳人后二彳乂：从八二三人。,

224o

35

因为柳=AO,所以Mb=N/—MN=A。一二AD=­A。，

88

AD

AEAGri.H,AGAE46

由可得:

FMFGFGFM5—/A/J5

8

因为而=$■而=$■（而+而）=色（而+,而）=a丽+$~川万,

11111121111

—3.6-

所以AG=]〃+R〃，

故选：D.

11.(2022秋•甘肃武威•高三统考阶段陈习)如图，在“8C中，而=；配/是的中点，若而=，〃而+〃记,

则〃2+〃=()

A.；B.1C.-D.—

224

【答案】D

—1—1--

【分析】利用向量的线性运算求得4户=244+*人。，由此求得〃?，〃，进而求得〃?+〃.

【详解】因为。是8N的中点，所以而•丽.

————1——1——I-1—I—1—113

所以AP=AB+5P=48+—8N=4B+—(4N-A5)=-48+—AN=—A3+—AC,所以山=2,〃=一，所以机+相=2.

222224244

故选：D

12.(2023秋•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)如图，在平行四边形A8CO中，七是8c的中点，C户=2F。，

。后与M相交于。.若AO=2,Ad(3AD-2AB)=-l,则A8的长为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】先以洛、花为基底表示Z），再利用向量的数量积把A〃・13而-2A8）=-7转化为关于|八4的方程，即可

求得A8的长

【详解】在平行四边形A8CD中，E是8c的中点，汴=2而，OE与M相交于。.

设=2DE(0<2<1),B0=;/BF(O<//<!)

贝（J而+西=而［4反=而］；1（而_3而）=（1_3/1）而+力而

/0、9__

48+80=48+〃^=AB+〃yO-；ABj=（l-》）A8+/MO

由而=而+9=而+的，可得（1-，）初+以标而+2而

则；?，解之得2^A_O__=A_D__+D_(_)_=^3A_D__+-AI_I3__

1--//=A//=-42

3AI4

-----(3IA0—J2I—J2

则AO.(3AO-2AB)弋AO+/A8卜340-248)=彳码-网=-7

又4)=2,则9-网2=_7,解之得怫=4,即"的长为4

故选：C

题型五：平面向量的坐标运算

13.（2023•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）已知点A，4,A，…，4,…和数列｛4｝,也｝满足

uuuuur（2〃n2〃冗、/\uuuuuriiiiiiuuuir

x

AA,+i=|^cos—,sin—j（/?€N）,«;,AfA„+1+«„+,4+1A,+2=（0，^„）,若4=LS"，（分别为数列｛《,｝,｛〃｝的前〃项和,

则%+2%=（）

A.-20B.24石C.4873-20D.0

【答案】D

【分析】根据题意分析可得数列应｝,低｝均是周期为6的数列，运算求解即可得结果.

【详解】由题意可得：无区=（-；，*），豆原=（-；，-当'，为二=。，0），

•・・q=l,贝lj%=—l，a=g,

由2~+%（1，°）=~\a2+Cl^一"梳生=（。也），则％=_：也=W，

同理%=T，4=一与;%=1，A=-C；4=；也=_曰必=14=曰=T,b产百;CI9=一；

“考L

即数列{q},{2}均是周期为6的数列，而4+/+%+4+%+。6=0，々+4+&+a+〃5+〃6=。，

•**S6G+2Q=0

故选：D.

14.（2023・全国•高三专题练习）如图，在平行四边形ABCO中，点E在线段8。上，且丽=，〃亚（〃昨R）,若

AC=A.AE+juAD（2,；/eR）且义+2〃=0,则〃?=（）

34

【答案】B

【分析】方法1：由丽=加屁可得荏="-而+=而，由而=反=/-而代入可反解得

I+mI+m

AC=（\+m）AE+（\-m）AD,最后根据八C=/M£；+〃人力且义+2〃=0即可求得小的值.

方法2：建立平面直角坐标系，表示出点的坐标转化为坐标运算可求得结果.

【详解】方法1：在平行四边形A8O中，因为丽=加诙，所以而-荏=m（亚-而），

所以而=」一A8+/一A£i,

\+m1+m

.AB=DC=AC-ADf

・・.AE=J-（AC-AD）+^-ADf

1+〃八f\+m

JAC=（\+m）AE+（\-m）ADf

又,:AC=AAE+/iAD,

A2=l+/n,//=1-/«,（平面向量基本定理的应用）

又•・・4+2〃=0,

，1+机+2（1-"?）=0,解得〃?=3,

故选：B.

方法2：如图，以A为坐标原点，A月所在直线为x轴建立平面直角坐标系,

则A（O,O）,设3（砌,。传,c）,

VAB=DC则C(a+b,c),

mb+a

x=-----

a-x=m(x-b)w+1

又：而=用诙，设E（x,y）,则，=>

-y=m(y-c)me

Jmb+ame>

H即n：

・・・金心一，gic)

AD=(b,c),

V777+1in+\J

又•・•AC=/IAE+〃AQ\4+2〃=0

AC=-2/./AE+f.iAD

：,(a+b,c)=-2p+"+〃("c)

ni+1itt+\)

a+b=-2^a+bln)+^

,/?/+1

c=Z?^!£+〃忠

m+1

由②得〃=”，将其代入①得加=3,

I-m

故选：B.

15.（2022・全国•高三专题练习）已知平面向量。4，O*满足。4=。方=2,0田.0公=_2，点。满足D4=2O/5，E

为AAQB的外心，则丽•访的值为（）

16

C.3D.

3J

【答案】A

【分析】利用向量的数量积求得NAO4=T，以。为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算可得解.

UITuimuiruiuuirmu

【详解】QOA=OB=2,:.OAOB=OAOBcosZAOB=4cosNAOB=-2,

cosAAOB=ZAOB=—,

23

以。为原点，OA,垂直于0A所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系，如图所示,

则。（0,0）,A（2,0）,设仇乂0）

,、,、2f9A

又次=2丽，知（2r,0）=2（x,0）,解得工=（彳,0

又七为△AOB的外心，.•.NA0E=L/A08=M，OE=EA

23

ZAOE=ZEAO=ZOEA=y,.hAOE为等边三角形，E（1,G）,

・・・加=（一；,一6}AOBED=­.

题型六：平面向量的数量积问题

16.（2023•四川成都•统考一•模）已知平面向量入%、"满足7万=0，同第=1,e叫•仅词=g,则『-4的

最大值为（）

A.垃B.1+与C.1D.2

【答案】B

【分析】在平面内一点。，作况=2OB=b^OC=c，取48的中点E,计算出|码、怛口的值，利用向量三角

不等式可求得卜-4的最大值.

【详解】在平面内一点。，作O/i=a，OB=b^OC=c^则H=E•砺=0，则。4_LO8,

因为同=M=1,则网=画=1,故“408为等腰直角三角形，则圈二及，

取A8的中点E,贝1」海=次+通=函+5通=两+3（0豆—两）=3（期+网=3（%+可,

--\2

a+b1

所以，（2+五）=7+"+2＞另=2,所以,=—，

22

因为0-4伍-q=3-2(£+〃)=，

一—、2

a+h=(OC-OE^=EC=b则用=1,

所以，c-c\a+b)+c------

~4~2

所以,俘四=|邓限邺国十同=冬1.

当且仅当通、前同向时，等号成立,故的最大值为4

故选：B.

17.（2023•辽宁•辽宁实验中学校考模拟预测）已知ZkABC中，ZBAC=120°,AC=3他=3,就=2而，在线段8。

上取点E,使得瓶=3丽，则cos4反二（）

A•浮B.半「V21。・亨

7

【答案】D

【分析】分析得到4所是荏与前的夹角，利用向量基本定理得到丽I叫底丽=；血区口利用

向量数量积公式得至IJ8）.屈=（一八月+；前）（；A月+；{?}二|叫卜6，|荏卜从而利用夹角余弦公式

求出答案.

【详解】由题意知：NAE8是Q与丽的夹角，

BD=BA+AD=-AB+-ACAE=AB+BE=AB+-W=-AB+-AC,

3f444

BDAE=-AB-AC\-1AB^--

+-AB--ABAC+-

3433

-Ixf-l--x3cosl200+3=-x|-l+-x3xi1+3|=3

43)4I32)

22

AS--ASAC+-AC=Jl+^x3xl+lx9=x/3,

39V329

-AB+-ABAC+—

4816

c^ZAEB=BD.AE

则MM

故选：D.

18.（2023•四川绵阳•统考二模）如图，在边长为2的等边“3。中，点七为中线4。的三等分点（靠近点B）,点尸

为8C的中点，则在•反（）

【答案】B

【分析】由已知可推得，FB=BE-丽=!胡-"乙K=BC-BE=-；BA+*,进而根据平面向量数量积

o366

的运算求解即可得出结果.

【详解】由己知，|研=2,|比卜2,ZABC=6（）,

所以原反=,/„4cosZA8C=2x2xg=2.

由已知。是AC的中点，所以而、网+"），

8户万=；（8/+8C）,BF^BC.

所以庵=而_/=洒+品）-萍3丽-那

EC=HC-BE=BC-y（BA+BC）=-yBA+yBC,

6'966

所以，FEEC={-BA,--Bc\\--BA^-Bc\=--BA+—BABC-—BC=-—^^—x2-—x4=--

（63八66J3636183636186

故选：B.

题型七：平面向量的几何应用

19.（2022・福建厦门・厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知A,B是圆C：/+V=l上的动点，AB=6,0是圆

C”（x-3）2+（y-4）2=l上的动点，则|西+方|的取值范围为（）

-713-

A.B.[3,61C.[7,13]D.[6,12]

【答案】C

【分析】由题意得M在圆。：/+）尸=1上，则|雨+P阳=|2PM.|=2PM,数形结合即可求出PM的取值范围，即可

得解.

【详解】由题意可得C1是圆心为（0,0）半径为1的圆，G是圆心为4）半径为1的圆，

设A8口点为AB=G，

由垂径定理得OM=>JOA2-AM2=J]=；,

A"在|员|。：/+），2=」上，

4

又\PA+PB\=\2PM\=2PM,

由图可知（PM）min=℃2-1-3=配不-2=（,

]13

（™）mw=OC2+l+-=y,

「•I可+而I的范围为[7,13].

20.（2022,辽宁鞍山・鞍山一中校考二模）在平面内，定点4用。,。满足|而|=|而同方|,DADB=DBDC=DCDA=-2,

动点P，M满足|A「|=1,PM=MC，贝Ui两T的最大值是（）

A4349r47+6也门37+2月

A.—RD.—C.-------------D・---------------

4444

【答案】B

【分析】根据题意得到aABC为正三角形，且。为“IBC的中心，结合题设条件求得|明=2,得到初8。为边长为

2G的正三角形，以A为原点建立直角坐标系，设P（8s0,sin。），根据府=沅，得至1]“（3二吃〃6+sin〃）,进

22

而求得|丽『_37+12sinS（）,即可求解，

【详解】由题意知I次1=1a1=1玩I,即点。到由艮。三点的距离相等，可得。为"WC的外心,

又由诙•丽=丽•反=觉•丽=-2,

DAD13-DI3DC=DB(DA-DC)=DI3CA=O,所以08_LAC,

同理可得DA_L8coe_LAA,所以。为AABC的垂心，

所以△ABC的外心与垂心重合，所以N5C为正三角形，且。为△ABC的中心,

因为3•=|明|瓦卜osZADB=[网,x(-1)=-2,解得卜舛=2,

所以&ABC为边长为2G的正三角形，

如图所示，以A为原点建立直角坐标系，则4(3,-G),C(3,G),O(2,0),

因为网=1,可得设Reos-sin矶,其中。£[0,2川，

又因为两二旗，即M为PC的中点，可得M(三箸，书吗,

所以网2=(卡-3)2+(虫+：%后产+⑵,一62手

即,M|的最大值为手.

21.(2022•全国•高三专题练习)々ABC中,28=3,BC=4,AC=5,〃。为AA8C内切圆的一•条直径，M为JBC

边上的动点，则丽•诙的取值范围为()

A.[0,4]B.[1,4]C.[0,9]D.[1,9]

【答案】C

【分析】易知是直角三角形，利用等面积法可得内切圆半径,=1,设内切圆圆心为0,根据P。为直径，可

知冏=1,00=-OP,整理桥.诙二破?-而\进而根据M的运动情况来求解.

【详解】由题可知，AB2+8C2=AC\所以AABC是直角三角形，?B90?,

设内切圆半径为/■，则SMC=；X3X4=；X(3+4+5)/，解得r=l,

设内切圆圆心为。，因为PQ是内切圆的一条直径,

所以|研=1,OQ=-OP,

则=M()+OP,MQ=MO+OQ=MO-OP,

所以游加=(而+赤)(汨—而卜汨2—丽2=汨:1,

因为M为边上的动点，所以忸a=r=l；当M与C重合时，|国=710,

IInunIImax

所以丽顺的取值范围是[0,9],

故选：C

题型八：平面向量的综合问题

22.(2022•河北石家庄•高三校联考阶段练习)已知向量值=(2siiu・,cosx-sinx),5=(cosx,6(cosx+sinx))，函数

f(x)=ab-\.

⑴求函数y=/(x)的值域:

⑵函数y=/(x)在xe[o,间上有10个零点，求〃1的取值范围.

【答案】(1)[—3,1]

一空2E、

⑵.石'丁

【分析】(1)根据向量数量积的坐标表示，结合三角恒等变换得/(i)=2si42x+?)-l,再根据三角函数性质求解

即可；

(2)由题知si/2x+?]=:，再根据三角函数性质得^+10万《2m+1＜学+10%，解不等式即可得答案.

V5)Lo3o

【详解】(1)解：/(x)=ib-l=2sinxcosx+x/3(cosx-sinx)(cosx+sinx)-l

=sin2J+y/5coslx-1=2sin(2x+g)-l,

所以，y=/(x)的值域为[-3』.

(2)解：令/(x)=0,即sin(2x+g)=；,

因为xw[0,/H，所以2x+qey,2w+y,

因为函数y=/(x)在xe[0,向上有10个零点，

所以方程sinx=g在《⑵〃十《上有10个实数根，

冗…入冗5乃.八59亢__214

所以一+10万42机+—v——+10乃，解得---<m<----.

636124

所以，小的取值范围59为4£―.

L124；

23.(2023・高三课时练习)已知点G为△A8C的重心.

⑴求Gi+G8+GCS

uuuuuuuumuuu]1

(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N,设AM=xA8，AN=yAC，求一+二的值.

xy

【答案】⑴0

(2)3

【分析】(1)根据已知得出阪比与三边所在向量的关系，即可根据向量的运算得出答案；

_1/___uuuHimurnUL*J

(2)根据已知得出4G=Q(A8+AC),结合AM=XAB，AN=yAC^根据“、MG三点共线，结合向量运算与

向量相等的定义列式整理，即可得出答案.

【详解】(1)•.•点G为.ABC的重心，

.•&=；(丽+函，GS=1(AB+C5),GC=1(AC+BC),

:.GA+GB+GC=-[BA+CA+AR+CB+AC+BCj>=-xO=6,

33

(2)••点G为"SC的重心,

而=；(而+砌，

：.MG=AG-AM\

=；(而+砌-x〃，

=(川通+广，

GN=AN-AGf

=+

•.•破与两共线，

•・・存在实数4,使得砒=4而，

T利卜一夕可,

则/=4

33

根据向量相等的定义可得、，

-=/ly--

〔3I3j

消去/l可得x+）」3叶=0,

两边同除孙'，整理得'+'=3.

x>'

24.（2022・江苏盐城•模拟预测）如图，已知正方形ABCO的边长为2,过中心。的直线/与两边AB,C。分别交于

（1）若。是BC的中点，求.的取值范围；

⑵若P是平面上一点，且满足29=4历+（1-团元，求两•两的最小值.

【答案】（l）iOl：

【分析】（1）由向量的加法和数量积运算将QA/.QN.转化为函2一丽2,再由|Q0|的值和的范围可求得结果.

（2）令。7=2。户=衣加+（l—/l）OC；可得点了在8C上，再将丽•丽转化为所2_a/，由|o用、|。府|的范围

可求得结果.

【详解】（1）因为直线/过中心。且与两边A3、CO分别交于点M、N.

所以。为A/N的中点，所以OA/=_°V,

所以的0=（囚+两）（前+两）=诙=丽°

因为。是8c的中点，所以|Q0|=1,10南区近，

所以-1式西-丽,K0，

即的西•丽取值范围为［T，3;

（2）令西=2而，则OT=2OP=；.bB+（\-A）OC,

^OT