数列（易错专练）-2026年高考数学二轮复习解析版

专题09数列

；目录

；第一部分易错点剖析

i

\9易错典题9避错攻略9举一反三

；易错点1忽略数列与一般函数的区别致错

!易错点2由S〃求z忽略片1的讨论

i易错点3等比数列问题忽略公比4的讨论

；易错点4裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错

i易错点5错位相减求和错判项数、公比或符号出错

i

i第二部分易错题闯关

01易错点剖析

易错点1忽略数列与一般函数的区别致错

9易错典题

【例1】（25-26高三上•安徽部分重点中学期中）已知数列｛%｝满足4=1。，幺】&=2,则作的最小

值为（）

A.—B.-C.—D.2>/10-1

234

【答案】B

【解析】因为数列｛q卜满足4=1。，/;%二2,即〃e-〃“=2〃，

当〃22时，则有%-可_]=2（〃—1）,所以%-%=2,%-％=4,L,an-an_x=2（w-l）,

上述等式全部相力n得%—4=2+4+…+2（〃-1）=（2+2"；）（"-1）=〃2一〃,

所以q=/J一〃+仆=+1（）一〃，

4=1。也满足““二〃2+1（）-〃，故对任意的〃wN*，4=1+10-〃,

a/?2+10-n10.

所以二n■二--------=n+——1,

nnn

由对勾函数的单调性可知，函数y=x+W-l在（0,碗）上单调递减，在（屈，y）上单调递增，

乂因为3c<4,因为々=3+/-1=?,。4=4+1-1=，，故生（易错点）>

注意数列中的n为正整数

所以生的最小值为今弋.故选B.

n33

【错因分析】本题容易混淆数列｛%｝的定义域与函数/（“=工+此-1的定义域的差异而得出〃=J历时

an

〃取最小值这样的错误.

知识混淆：将数列直接等同于连续函数，照搬函数求最值方法，忽略数列定义域是正整数集，与连续函数

定义域全体实数不同，误把函数极值点当作数列最值点，导致结果错误.

概念模糊：对数列本质理解不清，没认清数列是离散型函数，模糊“项数n为正整数”的核心概念，不验

证极值点附近整数取值，直接套用连续函数结论，最值判断出错.

望文生义：只看“函数最值”字面，不结合数列离散特征，想当然认为函数最小值点就是数列最小值点，

忽略定义域限制，未对n取整检验，得出错误结论.

9避错攻略

【方法总结】在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的，故

不能对数列的通项公式求导.

【知识链接】1.数列的概念及一般形式

（1）数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依

次成为这个数列的第1项（或首项），第2项……，组成数列的数的个数称为数列的项数.

（2）数列的一般形式可以写成%,4，％，……，%，……，其中明表示数列的第〃项（也称〃为明的

序号，其中〃为正整数，即〃wN+）,称为数列的通项.此时一般将整个数列简记为｛q｝

【解读】与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：

①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；

②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现（即互异性）；

③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺

序（即无序性）；

④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.

2.数列的通项公式

一般地，如果数列的第〃项小与〃之间的关系可以用仇=/（〃）来表示，其中/〃）是关于〃的不含其他未知数

的表达式,则称此关系式为这个数列的通项公式.

【解读】①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N.或它的有限子集｛123,…，〃｝为定义域的函数解

析式.

②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.

③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的.

9举一反三

【变式1・1】（25-26高三上•山东荷泽•期末）已知数列MJ满足《，=”，：）〃二〃28,若对于任意

的〃eN”都有凡成立，则正整数。的取值范围是（）

A.{2,3,45,6,7,8,9}B.{2,3,4,5,6,78

C.(1,9)D.{2,3,45,6,7}

【变式1-2]（25-26高三上・天津南开・期末）设数列｛4｝的通项公式为若数列｛%｝是

单调递减数列，则实数。的取值范围为（）

A.(-<»,2)B.(-3,+<x>)C.S,2]D.(-20,3)

/1-V2025

【变式1-31（25-26高三上•广东汕头•开学考试）已知数列（neNj,则数列｛《,｝的前

n-x/2024

100项中的最小项和最大项分别是（）

A.4,"lOOB.，%4C.445，4D.

易错点2由S”求*忽略〃=1的讨论

9易错典题

【例2】（2024高三•全国•专题练习）己知数列｛〃”｝的前〃项和为%若4=l,2S“=q…则数列｛4｝

的通项公式.

1,/2=1

【答案】

2xy-2,n>2

【解析】由2s,=仆+|得，八22时,2s两式相减得方广3%,

所以当〃22时，｛q｝是公比为3的等比数列，而％=2,则为=2x3-22）,

由4=1不满足上式得（易错点）

2乂3，〃72

易错之处是：忽视n=l,而得到错解=2x3”".

【错因分析】直接使用公式a「SLSI,未单独验证n=l时a尸S”导致首项与通项不统一，出现分段关

系却写成统一表达式，结果错误。

知识混淆:混淆数列通项与前n项和的关系，把an二Sn-Sn-l当戌对所有n都成立，忘记公式仅对n22有

效，与a产&的定义混淆。

概念模糊:对“由和求项”的逻辑理解不清，不清楚n=l时无S。，必须单独计算，不理解分段讨论的必要

性，直接合并通项导致首项不符。

望文生义:看到“由S.求a“”就直接作差，想当然认为n=l也满足同一式子，不检验、不分类，忽略分段

数列的本质，造成答案不严谨。

g避错攻略

【方法总结】利用5“与。〃的关系求。“，作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递

推关系是否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式.

【知识链接】1.已知&=危?）求处

已知3=/（〃）求通项，步骤可分为三步：（1）当〃之2时a“=s“—s”T；（2）当〃=1时，。=S"（3）

检验能否合写，即，2=1和，亚2两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式.

2.已知S,,与a„的关系求a„

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

（1）利用斯=s“一（n>2）转化为只含S”,Si的关系式，再求解；

（2）利用《一5“-1=斯（«>2）转化为只含斯，斯-1的关系式,再求解.

）举一反三

【变式2・1】（2025高三上•江西南昌•专题练习）己知S.是数列｛4｝的前〃项和，q=l,

节L=则｛4｝的通项公式为（）

C.an=nD.an=2-n

【变式2・2】（25-26高二上•天津红桥•阶段练习）已知数列｛勺｝的前〃项和为S“，旦

S“=2，/+3，L1,则数列的通项公式为4=.

易错点3等比数列问题忽略对公比q的讨论

9易错典题

【例3】（2025高三•全国•专题练习）已知在等比数列｛%｝中，6=7,前三项之和$=21,则公比4

的值是（）

A.1B.--C.1或一,D.T或;

222

【答案】C

［解析］当夕=1时，%=7,邑=21,符合题意（易错点）；

本处容易忽视q=1这一种情形

27

当qwl时，"同一=2.J解得4=一］

ax+alq+alq~=212

综上，4的值是1或-；.

故选:C

【错因分析】解题时直接默认公匕qwl，未分q=l和4工］两种情况，直接套用gHi的求和公式，导致

漏解、定义域错误或结果不完整.

知识混淆：混淆等差、等比数列求和公式，认为等比数列和等差数列一样无需分类：忘记等比数列求和公

式在q=l时为常数列求和，强行套公式而出错.

概念模糊：对等比数列定义与求和公式的适用条件理解不清，不清楚公比q=l时数列是常数列，不理解为

何要分类讨论，直接忽略特殊情况.

望文生义：看到"等比数列求和”就机械套用等比数列前n项和公式，想当然认为9工1恒成立，不看题目

条件，不验证q=l是否成立.

9避错攻略

网,q=T

【方法总结】注意等比数列的求和公式是分段表示的：5.=｛%（1一,）"，所以在利用等比数列求和公

■、q工］

1-夕

式求和时要先判断公比是否可能为1,,若公比未知，则要注意分两种情况g=i和小1讨论.

【知识链接】1.等比数列的概念及公式

（1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这

个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母"表示.

数学语言表达式：~^=q（n>2,^为非零常数）.

%

（2）等比中项性质：如果三个数a,G,b成等比数列，那么G叫做。与力的等比中项，其中6=±而.

注意：同号的两个数才有等比中项.

（3）通项公式及前〃项和公式

①通项公式：若等比数列｛q,｝的首项为公比是〃，则其通项公式为a”二〃q”T；

通项公式的推广：.

②等比数列的前〃项和公式：当夕=1时，S“=〃q当夕。1时,

”一

q1q

2.等比数列的性质

已知｛叫是等比数列，S”是数列｛an｝的前n项和.

（1）等比数列的基本性质（了解即可）

①相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即%,ak+in,4+2也，…仍是等比数列，公比为

②若｛4｝,也｝（项数相同）是等比数列,则｛久｝（北0）,，，忖｝,入。｝,忸仍是等比数列.

nJn4

③若k+1=m+n（k,l,m,nsN*）,则有4•%=4•4,推广：crn=an_k-all+k（/?,keS.n-k>\）

（2）等比数列前〃项和的性质

（1）在公比-1或4=-1且"为奇数时，S,,S2n-Sn,SX1-S2n.....仍成等比数列，其公比为

q"；

9举一反三

【变式3・1】（24-25高三上•浙江绍兴•期中）已知等比数列｛凡｝,首项为4，公比为明前〃项和为

S"，若数列｛£+1｝是等比数列，则（）

A.a「q=lB.q-at=1

n

C.S「qi=\D.Sn-a.q=\

【变式3・2】（24-25高三上•广东深圳•阶段练习）S“是等比数列｛《,｝的前〃项和，已知

+S3=6,Sy=3%,则％=.

易错点4裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错

9易错典题

【例4】（25-26高三上•湖南长沙期末）已知等差数列｛〃/满足：6=2,且4,2,生成等比数列.

（1）求数列｛〃”｝的通项公式；

b1

⑵若等差数列｛q｝的公差不为零，且数列低｝满足："6+81，求数列也｝的前99项和加,

【解析】（1）设等差数列｛&｝的公差为〃，依题意，2.2+d,2+34成等比数列，

所以（2+4『=2（2+3"）,解得：d=0或d=2

当4=0时，%=2；当"=2时，q=2+（〃-l）x2=2〃，

所以数列也｝的通项公式为4=2或4=2«.

（2）因为等差数列｛《,｝的公差不为零，由（1）知q=2〃（〃eN'），

,b„=।।।=—f="—1]---------=\jn+\-y/ii

则flfiyfn+-7/2+1,

—

所以q=4+&+H++感）

=（及i）+（G-⑹+（凤@+...+（阿/卜阿T=10]=9（易错点）

裂项相消时保留的项往往是与首末序号对称的场，如本题中保留了第2项和倒数第2项

【错因分析】利用裂项相消法求数列的和时要注意两点，一是裂项是否需要凑系数，二是相消后前后各剩

几项，这是在解题过程中最容易出错的地方.

知识混淆：把裂项公式与分式变形混为一谈，只关注形式拆分，忽略裂项前后系数是否等价，直接照搬简

单模型，未还原正确系数，导致求和时每一项都放大或缩小，整体结果出错.

概念模糊：对“相消”本质理解不清，只知道前后抵消，不清楚哪些项保留、哪些项消失，不写出前几

项与后几项对比，盲FI认为只剩首尾，出现漏项、多项，求和结果与正确值偏差.

望文生义：看到“裂项相消”就想当然认为中间全部抵消，不仔细展开验证，忽视分母结构、项数奇

偶、通项变形带来的保留项变化，直接凭印象写结果，造成漏项或添项错误.

9避错攻略

【方法总结】用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下

第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一股来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面

剩余的正数项，则后面剩余的是负数项.

【知识链接】裂项相消法就是把数列的每一项分解（常见分解为两式之差），使得相加后项与项之间能够

相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.

裂项常见形式：

⑴分母两项的差等于常数

2

11Z11、11z11、nIr.I

n（n+k）knn+k4/z--122n-\2〃+l4/r-14[_（2«+l）（2n-1）

⑵分母两项的差与分子存在一定关系

________T_11

（2〃一I）（2也-1）=2〃一厂2田一1：

2/?+1_11〃+111

〃2(〃+1)2-〃2(〃+])2〃2(〃+2)24n25+2)2

(3)分母是三项的积

]__i_ri1'

n(n+1)(/?+2)2〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)

n(n~-1)n(n-l)(w+1)2(n-])nn(n+1)

―汕一=W(〃+3)"J一L)_(J一_L)

(〃+1)(〃+2)(〃+3)(〃+1)(〃+2)(〃+3)n+2〃+3/?+1n+2

⑷分母含无理式

I-------!■-----7==7(\Jn+k-G)

\/n+k+\Jnk

g举一反三

【变式4・1】（2026•广东湛江•一模）在数列｛q｝中，6=1，4川=/如，令"=―—，则数列

%+1+ar.

｛〃｝的前15项的和为（）

A.2B.3C.VT5D.4

【变式4・2】（25-26高三上•河北衡水•期中）设等差数列｛/｝的前〃项和为5.，已知

q=6,鼠=20,设4=-----------------，则数列出的前〃项和为（）

cosancoson+1

A.cos2〃B.cos（2〃+2）C.Ian2〃D.tan（2〃+2）

【变式4・3】（25-26高三上•贵州铜仁・期末）已知等差数列｛6｝的前〃项和为S“，若

5?=49,/+%=18,则下列结论正确的是（）

A.%。=18B.&8,罪成等差数列

易错点5错位相减求和错判项数、公比或符号出错

9易错典题

cI

【例5】（25-26高三上•新疆喀什•月考）记S”为数列｛q｝的前〃项和，已知q=l,|广）是公差为:

的等差数列.

（1）求｛%｝的通项公式；

）"+1

⑵数列低｝满足bn=-—•4,求数列｛2｝的前〃项和7；.

/1+1

【解析】（1）由4=1得2=1,又显是公差为1的等差数列，故&=1+4（〃-1）=吟，即

4a,,3an33

S'二』

"3

Icc〃+2〃+1

当〃之2时，'7=审w+47,两式相减得5”-5,1=，“=丁%—亍

345〃+1.〃(〃+1)

累乘得：4q弓,------=1--------

n-\2

所以通项公式为：。”=灵宇.

力山人2向加入〃n(n+\)2w+,〃(〃+1)

⑵由吐瓦1%代入/=〒得：〃，=而k=〃.2用错位相减法求。：

7；,=1-2'+2-22+3-2?+……+〃・2”,

27；,=1-22+2-23+3-24+……+(/?-1)-2H+n-2n+1,

两式相减得:-7；=2+22+23+24+……+2”一〃・2向=2(2”-1)-小2向(易错点),

此处相减后容易漏项或者错判项数

整理后得：/=(〃-1)-2"'+2.

【错因分析】错位相减时，两式相减易错判项数、看错公比、弄错符号；未对齐项就相减，导致中间等比

数列项数算错，公比带负号时符号混乱，最终结果偏差.

知识混淆:将错位相减与裂项相消混用，照搬简单抵消思路；不清楚相减后中间是等比数列，误把项数、公

比当成普通数列处理，公式套用错误.

概念模糊:对“错位”本质理解不清，未对齐同类项就相减；不清楚相减后首项、末项及中间项数，对公

比、符号、项数三个关键量判断模糊.

望文生义:看到等差乘等比就想当然直接相减，不写展开式、不核对项数、不检验符号；凭印象写结果，忽

略错位、对齐、变号三步核心，导致计算错误.

9避错攻略

【方法总结】利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；

三是利用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用n=l代入检验结果是

否成立.

【知识链接】错位相减法

(1)如果一-个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前〃项和可

用错位相减法求解.

(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“SJ与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，

以便于下一步准确地写出“S,「qS,J的表达式.

②应用等比数列求和公式必须注意公比9是否等于1,如果4=1，应用公式S"二〃％.

9举一反三

【变式5-1]（25-26高三上•河南新乡•期末）过三棱柱ABC-A4G的棱AA,的中点M且与底面ABC平

行的平面内的一动点。满足：OA+善七OB-7%工。C+。4=0对任意〃wN*都成立，且4=]，则数

歹I」｛4｝的前n项和5„=.

【变式5・2】（2026・湖北•二模）记S”为数列｛〃“｝的前〃项和，已知5s“=44-4.

⑴求｛%｝的通项公式；

（2）设%=（〃+1）㈤,求数列｛ctl｝的前〃项和a,.

02易错题闯关

一、单选题

1.（24-25高二上•全国•课后作业）若数列｛%｝的通项公式为4=4〃-5,则关于此数列的图象叙述正

确的是（）

A.此数列不能用图象表示

B.此数列的图象仅在第一象限

C.此数列的图象为直线丁=4上-5

D.此数列的图象为直线），=4x-5上满足xeN.的一系列孤立的点

2.（23-24高二下•北京大兴•期中）已知数列｛%｝的前〃项和5“=+1,则数列｛6｝的通项公式为

（1)\

A.an=n+\B.an=2n-\

—1,

C.=2/z+lD.”

3.（25-26高三上•广西桂林•月考）数列｛4｝满足q+1，设命题〃：。42,命题。：数列｛《,｝

为递增数列，则〃是4的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.124-25高二•全国•课后作业）已知数列〃，“I-，）。…是等比数列，则实数。的取值范围

是（）.

A.awlB.a#0或4HlC.D."0且awl

5.（25-26高三上•河北衡水•月考）已知数列｛q,｝满足若｛4｝为递增数列，则实

数Z的取值范围为（）

A.（0,-KXJ）B.fo,—

Io7

C.仔+8）D.„

6.（25-26高三上•陕西安康•期末）已知数列｛q｝满足4+2的+3%++"=（〃+炉-1，设

"=叫,则数列，的前2026项和（）

〔/也+J

2024202520262027

,12165•12165*12165'12165

7.（2025高三•全国•专题练习）已知数列｛%｝满足对任意正整数〃国恒有可小=[]+;卜且

%-86+8=0,6”=（〃+]；〃+2），则｛"｝的前30项的和为（）

A.225B.225-1C.2%D.226-1

8.（25-26高三上•湖南长沙•期末）已知数列｛&｝的前〃项和为S“，且满足％=-10,

q

%=之.+3（〃-1）,若对任意〃£N'44S”恒成立，则实数2的取值范围是（）

n

A.（—oo,-14]B.（—co,—12]C.（—co,—10]D.（—℃,—8]

二、多选题

9.（25-26高二上•河北沧州•期末）若数列｛叫满足凡=（&）"-N，其前〃项和为%则（）

A.｛3｝是递增数列B.当且仅当〃=1时，S.取得最小值

C.当且仅当〃=8时，S”取得最大值D.V,^N\Szr>57

10.（25-26高二上•广东深圳•期末）已知数列｛q｝满足6=1,—=。：+凡,〃£1<,则（）

A.｛%｝是递增数列

B.哈〃

2025

C.^26<2

11