中考数学一轮专项复习题汇编：概率（原卷版+解析版）

中考数学真题专题分类精选汇编（全国通用）

概率

一、选择题

1.（2024武汉市）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事

件是（）

A.随机事件B.不可能事件C.必然事件D.确定性事件

2.（2024湖北省）下列各事件是，是必然事件的是（）

A.掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3B.某同学投篮球，一定投不中

C.经过红绿灯路口时，一定是红灯D.画一个三角形，其内角和为180。

3.（2024四川内江）下列事件是必然事件的是（）

A.打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻

B从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级

*

C.小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票

D.从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》

4.（2024江苏连云港）下列说法正确的是（）

A.1（）张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大

B.从1,2,3,4,5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大

C.小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件

D.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为连续抛此硬币2次必有1次正面朝上

5.（2024贵州省）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4,下列说

法正确的是（）

A.小星定点投篮1次，不一定能投中B.小星定点投篮1次，一定可以投中

C.小星定点投篮10次，一定次中4次D.小星定点投篮4次，一定投中1次

6.（2024深圳）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自

然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立

夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立

冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概

率为（）

I111

A.vB.——C.-D.-

21264

7.（2024广西）不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中

随机取出1个球，取出白球的概率是（)

1〃12

A.IB.—C.-D."

323

8.（2024武汉市）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小

相同.若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（）

1145

A.—B.-C.—D.一

9399

9.（2024河南省）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面E[:有豫剧经

典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽

取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（）

豫剧•花木兰1

A1

9

开始

AB

/K/K

ABCABC

10.（2024黑龙江齐齐哈尔）六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、

羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学

生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（）

I111

A.B.-C.-D.-

72346

11.（2024北京市）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差

别.从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概

率为（）

3111

A.-B.-C.—D.一

4234

12.（2024福建省）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数

学家陈景润在哥德巴赫猜想的讲究中取得了世界领先的成果.在质数2,3,5中，随机选取两个不同

的数，其和是偶数的概率是（）

13.（2024山东威海）如图，在扇形NO"中，44。？=90。，点C是力。的中点.过点C作CE_LN。

交功于点E,过点E作EQ_LO8,垂足为点。.在扇形内随机选取一点尸，则点P落在阴影部

分的概率是（）

二、填空题

1.（2024湖北省）中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰

好是赵爽的概率是.

2.（2024天津市）不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜

色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为.

3.（2024重庆市B）甲、乙两人分别从力、B、C三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰

好选择同一景区的概率为.

4.（2024湖南省）有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子

“⑥”“四）”“领”“㉚”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到

棋子“（§）”的概率是.

5.（2024四川达州）“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化

的重要组成部分.某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两木（先随机抽取一本，不放回，再随机

抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率

是.

6.（2024四川泸州）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余

均相同.若从中随机摸出一个球是白球的概率是:，则黄球的个数为.

7.（2024上海市）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰

3

好摸到绿球的概率是一，则袋子中至少有___________个绿球.

5

8.（2024四川成都市）盒中有x枚黑棋和N枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别.从盒中随机取出

qx

一枚棋子，如果它是黑棋的概率是则一的值为

8y

9.（2024江苏苏州）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘•次,

当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是.

10.（2024江苏扬州）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表:

累计抛掷次数501002003005001000200030005000

盖面朝上次数2854106158264527105615872650

盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.530

随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于（精确到0.01）.

三、解答题

1.（2024吉林省）吉林省以"绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大

冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑

雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩

托”三个项目中随机抽取一个免费游玩.若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法,

求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率.

2.（2024河北省）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有。+6,2〃+6,。-力，除正面的代数式不同外，

其余均相同.

a+h2a+ba-b

1第二冷1

a+b2a+2b2a

2a+b

a-b2a

（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当。=11=-2时，求取出的卡片上代数式

的值为负数的概率；

（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放叵后重新洗匀，再随机抽取一张.请在表

格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.

3.（2024江苏苏州）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”

四个季节，书签除图案外都相司，并将4张书签充分搅匀.

（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为;

（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求

抽取的书签恰好1张为“春”，I张为“秋”的概率.（请用画树状图或列表等方法说明理由）

4.（2024甘肃威武）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有

数字1,2,3,4.甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上

的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜.

（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.

（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由.

5.（2024甘肃临夏）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成.某学习小组在延时课上

制作了A,B,C,。四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀.

r

（

A.铁钉生锈B.滴水成冰C.矿石粉碎D.牛奶变质

（1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是

（2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变

化的概率.

6.（2024贵州省）根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过

7.7秒、8.3秒为优秀等次.某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到

10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下：

男生成绩：7.61,7.38,7.65,7.38,7.38

女生成绩:8.23,8.27,8.16,8.26,8.32

根据以上信息，解答下列问题：

（1）男生成绩的众数为,女士成绩的中位数为

（2）判断下列两位同学的说法是否正确.

小星:5名男生中成小红:5名女生的成

绩最好的是7.38秒.绩均为优秀等次.

（3）教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请

用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率.

7.（2024黑龙江绥化）为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、

诵读、书法四项社团活动.为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随

机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只

能选择一项）.根据调查结果，绘制成如下两幅统计图.

请根据统计图中的信息，解答下列问题:

（1）参加本次问卷调查的学生共有人.

（2）在扇形统计图中，力组所占的百分比是,并补全条形统计图.

（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展

示.请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是4和C的概率.

8.（2024江苏盐城）在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活动中，学校建议间学们利用周末时

间自主到以下三个基地开展研学活动.

A.新四军纪念馆（主馆区）；

B.新四军重建军部旧址（泰山庙）：

C.新四军重建军部纪念塔（大铜马），

小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站.

（1）小明选择基地A的概率为：

（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率.

9.（2024内蒙古赤峰）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行

奖励.为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：

收集数据77787672847591857879

82787679919176747585

75918077757587857677

整理、描述数据

成绩/分72747576777879808284858791

人数/人11a433b111314

分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表:

平均数众数中位数

80C78

解决问题

(1)表格中的。=；b=；c=；

(2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为

成绩目标应定为分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为分；

(3)学校要从91分的4B,C,。四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训.请利用画

树状图法或列表法，求43两名队员恰好同时被选中的概率.

10.(2024山东烟台)”山海同行，舰回烟台2024年4月23口，烟台舰与家乡人民共庆人民海

军成立75周年.值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了

解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长(用/表示，单位：h)进行调查.经过整理，

将数据分成四组3组：0WZ<2；〃组：2Vz<4；C组：4Vz<6；。组：6<Z<8),并绘制

了如下不完整的条形统计图和扇形统计图.

(2)扇形统计图中，〃的值为,。组对应的扇形圆心角的度数为；

(3)。组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所

抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率.

11.（2024四川达州）2024年4月21日,达州马拉松暨“跑遍四川”达州站马拉松赛鸣枪开跑.本

次赛事以“相约巴人故里，乐跑红色达州”为主题.旨在增强全市民众科学健身意识.推动全民健身

活动，本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目赛后随机抽样了部分参赛选手对本次赛

事组织进行满意度评分调查，悠理后得到下列不完整的图表：

等

ABCD

级

分

数90〜10080〜8970〜7960〜69

段

频

440280m40

数

请根据表中提供的信息.解答下列问题：

（1）此次调查共抽取了名选手，加=，〃二;

（2）扇形统计图中，8等级所对应的扇形圆心角度数是度；

（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到马

拉松和欢乐跑冠军的概率.

12.（2024四川眉山）为响应国家政策，保障耕地面积，提高粮食产量，确保粮食安全，我市开展高

标准农田改造建设，调查统计了其中四台不同型号的挖掘机（分别为A型，8型，C型，D型）一

个月内改造建设高标准农田的面积（市），并绘制成如图不完整的统计图表：

改造农田面积统计表

改造农田面积扇形统计图

利用图中的信息，解决下列问题：

(1)①〃2=____:

②扇形统计图中a的度数为.

(2)若这四台不同型号的挖掘机共改造建设了96()亩高标准农田，估计其中8型挖掘机改造建设了

多少亩？

(3)若从这四台不同型号的挖掘机中随机抽调两台挖掘机参加其它任务，请用画树状图或列表的方

法求出恰好同时抽到A,8两种型号挖掘机的概率.

中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）

概率

一、选择题

1.（2024武汉市）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事

件是（）

A.随机事件B.不可能事件C.必然事件D.确定性事件

【答案】A

【解析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.根据事件发生的可能性大小判断即

可.

两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件，

故选：A.

2.（2024湖北省）下列各事件是，是必然事件的是（）

A.掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3B.某同学投篮球，一定投不中

C.经过红绿灯路口时，一定是红灯D.画一个三角形，其内角和为180。

【答案】D

【解析】本题考查了随机事件和必然事件，解题的关键是掌握一定会发生的是必然事件，有可能发生,

也有可能不发生的是随机事件，据此逐个判断即可.

【详解】A、掷一枚正方体骰子,正面朝上恰好是3.是随机事件,不符合题意：

B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意；

C、经过红绿灯路口时，一定是红灯，是随机事件，不符合题意；

D、画一个三角形，其内角和为180。，是必然事件，符合题意；

故选：D.

3.（2024四川内江）下列事件是必然事件的是（）

A.打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻

B从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级

•

C.小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票

D.从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》

【答案】B

【解析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键.必然事

件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事

件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.根据定义，对每个选项逐一判断.

【详解】A、是随机事件，不符合题意，选项错误;

B、是必然事件，符合题意，选项正确；

C、是随机事件，不符合题意，选项错误；

D、是随机事件，不符合题意，选项错误；

故选：B.

4.（2024江苏连云港）下列说法正确的是（）

A.10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较人

B.从1,2,3,4,5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大

C.小强一次掷出3颗质地均匀的骰了，3颗全是6点朝上是随机事件

D.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为方，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上

【答案】C

【解析】本题考查事件发生的可能性与概率.由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项

进行依次判断即可.

A、”10张票中有I张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一样”，故该选项错误，不符合

题意；

B、从1,2,3,4,5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该

选项错误，不符合题意；

C、“小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题

丸・

思；

D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该

选项错误，不符合题意；

故选：C.

5.（2024贵州省）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为（）.4,下列说

法正确的是（）

A.小星定点投篮1次，不一定能投中B.小星定点投篮1次，一定可以投中

C.小星定点投篮10、次,一定投中4次D.小星定点投篮4次,一定投中1次

【答案】A

【解析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会

的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可.

小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4,则由概率的意义可知，小

星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误；

小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误；

小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误

故选：A.

6.（2024深圳）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自

然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立

夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立

冬、小雪、入雪、冬至、小寒、人寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概

率为（）

I111

A.—B.—C.-D.一

21264

【答案】D

【解析】本题考查了概率公式.根据概率公式直接得出答案.

二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个，

则抽到的节气在夏季的概率为9=1,

244

故选：D.

7.（2024广西）不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中

随机取出1个球，取出白球的概率是（）

112

A.1B.-C.-D.-

323

【答案】D

【解析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行计算即可.

【详解】从袋子中随机取出1个球，有2+1=3种等可能的结果，其中取出白球的情况有2种，

故选D.

8.（2024武汉市）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小

相同.若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（）

1145

A.—B.—C.-D.—

9399

【答案】D

【解析】本题考查的是运用树状图求概率，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本

题的关键.

运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可.

【详解】列树状图如图所示,

开始

1车左右直行

2车左右直行左右直行左右直行

共有9种情况，至少一辆车向右转有5种,

・••至少一辆车向右转的概率是2，

9

故选：D.

9.（2024河南省）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面国有豫剧经

典剧FI人物的二张卡片如图所示,它们除正面外完全相同.把这二张卡片背面朝卜洗匀.从中随机抽

取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（）

#电

豫剧・花木兰豫剧•七品芝麻官豫剧•朝阳沟

A111

B.—C.—D.-

9653

【答案】D

【解析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结

果数.根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可.

【详解】把3张卡片分别记为A、B、C,

画树状图如下:

开始

C

4\/K/K

ABCABCABC

共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种,

31

・•・两次抽取的卡片图案相同的概率为一二一.

93

故选：D.

10.（2024黑龙江齐齐哈尔）六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、

羽毛球”四种球类运动项目，每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学

生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（）

I111

A.刀B.-C.—D.—

2346

【答案】C

【解析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，分别用力、仄C、。表示篮球、足球、排球、羽毛

球，根据题意画树状图求解即可.

【详解】分别用/、B、C、。表示篮球、足球、排球、羽毛球，

列树状图如下：

乙ABCDABCDABCDABCD

由树状图可知，共有16种等可能情况，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的

情况有4和I

41

即甲、乙两名学生在•个大课间参加同种球类运动项目的概率是丁二一，

164

故选：C.

11.（2024北京市）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差

别.从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概

率为（）

3111

A.-B.C.-D.-

47234

【答案】D

【解析】本题考查了画树状图或列表法求概率，依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的

出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可.

【详解】画树状图如下：

△/\

红白红白

共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种,

•••两次都取到白色小球的概率为！.

4

故选：D.

12.（2024福建省）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数

学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2,3,5中，随机选取两个不同

的数，其和是偶数的概率是（）

1112

A.-B.-C.7D.-

4323

【答案】B

【解析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可.

画树状图如下：

开始

由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是

2_1

一=一,

63

故选：B

13.（2024山东威海）如图，在扇形408中，N4O4=90。，点。是力O的中点.过点C作CE_L4。

交介于点E,过点上作EQ_LO8,垂足为点。.在扇形内随机选取一点尸，则点尸落在阴影部

分的概率是（）

【答案】B

【解析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形08E的面积,

即口J求解.

VAAOB=90°,CE上AO、EDA.OB

・•・四边形OC0E是矩形,

,•J&OCE_3ODE

S阴影部分=SAODE+SBDE=S扇形

•・•点c是力。的中点

・•・OC=-OE=DE

2

ED1

/.sinZ.EOD=-------=—

OE2

••・NEOD=30。

兀。2。？兀。？

.c_cc_c_30x/l_71x4_90x4_jcx/iO）

•，3阴影部分=>aODE+、BDE=3的形OBE=~》旗物。8==

nxAO2

s—~~

点p落在阴影部分的概率是呼逊”=，八,=-

s加形MR-40"3

4

故选：B.

二、填空题

1.（2024湖北省）中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰

好是赵爽的概率是.

【答案】-

5

【解析】本题主要考查运用概率公式求概率，根据概率公式即可得出答案.

共有5位数学家，赵爽是其中一位，

所以，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是（，

故答案为：一

5

2.（2024天津市）不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜

色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为.

【答案】4-##0.3

10

【解析】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关犍.用绿球的个数除以球的总数

即可.

【详解】解：•・•不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外

无其他差别，

3

•••从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率为历，

3

故答案为：——.

10

3.（2024重庆市B）甲、乙两人分别从力、B、C三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰

好选择同一景区的概率为.

【答案】|

【解析】本题考查了列表法与树状图法：画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出甲、乙恰好游

玩同一景点的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】解：画树状图如下：

开始

甲ABC

/N/1\/K

乙ABCABCABC

由图可知，共有9种等可能的情况，他们选择同一个景点有3种，

31

故他们选择同一个景点的概率是：-=

93

故答案为：

4.（2024湖南省）有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子

“建）”“四）”“⑱”“㉚”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到

棋子“㉚”的概率是.

【答案】-

4

【解析】本题考查了概率，熟冻掌握概率公式是解本题的关键.概率=所求情况数与总情况数之比.

根据概率公式计算即可.

【详解】•・•共有4枚棋子，

・•・从中任意摸出•张，恰好翻到棋子“㉚”的概率是:.

故答案为：一

4

5.（2024四川达州）“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化

的重要组成部分.某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机

抽取另一木）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率

是

【答案】7

6

【解析】本题考查画树状图法求等可能事件的概率；画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取

的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的结果有2种，再由概率公式求解即可.

【详解】把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》匹本书分别记为4B,C,D,根据题意,

画出如下的树状图：

开始

第一次ABCD

AAAA

第二次BCDACDABDABC

由树状图可知看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等.

两本是《三国演义》和《西游记》的结果有2种，

21

所以。（两本是《三国演义》用《西游记》）

126

故答案为：—.

6

6.（2024四川泸州）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余

均相同.若从中随机摸出一个球是门球的概率是。，则黄球的个数为.

【答案】3

【解析】此题考查了分式方程的应用，以及概率公式的应用.设黄球的个数为x个，然后根据概率公

式列方程，解此分式方程即可求得答案.

【详解】设黄球的个数为x个，

根据题意得：——=一，

x+63

解得：x=3,

经检验，x=3是原分式方程的解，

・•・黄球的个数为3个.

故答案为：3.

7.（2024上海市）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰

3

好摸到绿球的概率是一，则袋子中至少有个绿球.

5-------------------

【答案】3

【解析】本题主要考杳了已知概率求数量，一元一次不等式的应用，设袋子中绿球有3x个，则根据

概率计算公式得到球的总数为5x个，则白球的数量为2x个，再由每种球的个数为正整数，列出不等

式求解即可.

【详解】设袋子中绿球有3x个，

3

•・•摸到绿球的概率是一，

3

，球的总数为3x+—=5x个，

5

・•・自球的数量为5x-3x=2x个，

•・•每种球的个数为正整数，

/.2x>0,且x为正整数，

Ax>0,且x为正整数，

/.X的最小值为1,

・••绿球的个数的最小值为3,

・•・袋子中至少有3个绿球，

故答案为：3.

8.（2024四川成都市）盒中有x枚黑棋和歹枚白棋,这此棋除颜色外无其他差别.从盒中随机取出

一枚棋子，如果它是黑棋的概率是:，则一的值为

8y

3

【答案】一

5

【解析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是J,可得

O

—x+y8进而利用比例性质求解即可.

•・•随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是。，

O

x3x3

----=~»则一=1，

x+y8y5

3

故答案为：一.

5

9.（2024江苏苏州）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次,

当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是.

3

【答案】7

X

【解析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例叩可求出指针指向阴

影区域的概率.

本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，•般用阴影区域表示所求事件

（A）,然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（力）发生的概率.

【详解】•・•转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份，

，指针落在阴影区域的概率为9，

X

3

故答案为：

X

10.（2024江苏扬州）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，婺理的实验数据如表：

累计抛掷次数501002003005001000200030005000

盖面朝上次数2854106158264527105615872650

盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.530

随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于（精确到0.01）.

【答案】0.53

【解析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验

次数的增多，频率逐渐稳定到其个常数附近，可用这个常数表示概率.根据图表中数据解答本题即可.

【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53,

故答案为：0.53

三、解答题

1.（2024吉林省）吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大

冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑

雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩

托”三个项目中随机抽取一个免费游玩.若三个项FI被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法,

求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率.

【答案】

3

【解析［本题考查了用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两

步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.画出树状图，可知

共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，再由概率公式求解即可.

【详解】将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件小8、C,可画树状图为：

开始

由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，

31

•••幸运游客小明与小亮恰好抽中同•个项n的概率P=-=-.

93

2.（2024河北省）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有。+伍2。+力,。-6,除正面的代数式不同外,

其余均相同.

a+b2a+ba-b

1第二分差1

a+h2a+2b2a

2a+b

a-b2a

（I）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当。=1/=-2时，求取出的卡片上代数式

的值为负数的概率；

（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放叵后重新洗匀，再随机抽取一张.请在表

格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.

14

【答案】（1）二（2）填表见解析，-

39

【解析】【分析】（1）先分别求解三个代数式当。=1/=-2时的值，再利用概率公式计算即可；

（2）先把表格补充完整，结合所有可能的结果数与符合条件的结果数，利用概率公式计算即可.

【小问1详解】

解：当。=1,6=-2时，

a+b=-\,2。+b=0,a-b=1-(-2)=3,

・••取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：

【小问2详解】

解：补全表格如下：

■次

a+b2a-\-ba-b

a\-b2a卜2b3al2b2a

2a+b3a+2h4〃+2b3a

a-b2a3ala-2b

•••所有等可能的结果数有9种，和为单项式的结果数有4种，

4

・•・和为单项式的概率为

【点睛】本题考查的是代数式的值，正负数的含义，多项式与单项式的概念，利用列表法求解简单随

机事件的概率，掌握基础知识是解本题的关键.

3.（2024江苏苏州）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”

（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求

抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率.（请用画树状图或列表等方法说明理由）

【答案】（1）-（2）-

46

【解析】本题考杳了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是：

（1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果；

（2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用

概率公式计算即可.

【小问1详解】

解：•・•有4张书签，分