一元二次方程的实际应用（八大题型）解析版-2025-2026学年八年级数学下册（浙教版）

一元二次方程的实际应用(八大题型)

题型归纳

【题型1一元二次方程应用-变化率问题】

【题型2一元二次方程应用传染问题】

【题型3一元二次方程应用枝干问题】

【题型4一元二次方程应用双循环问题】

【题型5一元二次方程应用单循环问题】

【题型6一元二次方程应用-销售利润问题】

【题型7—元二次方程应用-几何面积问题】

【题型8—元二次方程应用•动点与几何问题】

I题型专练

【题型1一元二次方程应用-变化率问题】

1.在曲靖，你可以穿越时空隧道，唤醒红色记忆，阅读波澜壮阔的革命史诗，追溯激情燃烧的岁月，感怀

先辈的爱国主义和革命英雄主义精神，康续红色血脉，阔步新的长征.据了解，今年3月份我市某红色

教育基地接待参观人数1000人，5月份接待参观人数增加到1210人.设这两个月平均增长率为％,根据

题意，可列方程为()

A.1000(1-x)2=1210B.1000(1+%)2=1210

C.1210(1+x)2=1000D.1210(1-%)2=1000

【答案】B

【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用一一增长率问题：增长率问题中可以设基数为m平

均增长率为晨增长的次数为“，则增长后的结果为Q(l+x)。设这两个月平均增长率为北根据题意找

出等量关系，即可列出方程.

【详解】解：这两个月平均增长率为K，

则可列方程1000(1+%)2=1210.

故选：B.

2.在国家义务教育优质均衡发展政策的引领下，近几年，某校获得政府持续投入资金改善基础设施，其中

2023年投入50万元，2023到2025年累计共投入218万元，若投入资金的年平均增长率相同，求该校

投入资金的年平均增长率，设年平均增长率为X,所列方程正确的是()

A.50(1+x)2=218B.50+50(1+x]+50(1+x)2=218

C.50+50(1+x)+50(1+x2)=218D.50(1+%2)=218

【答案】B

【分析】本题考查一元二次方程的增长率问题，理解“累计投入〃是指2023年至2025年三年的总投入，

根据年平均增长率X,分别表示出各年的投入，再求和等于218万元，即可作答.

【详解】解：••・2023年投入为50万元，年平均增长率为X,

••.2024年投入为50(1+乃万元，2025年投入为50(1+工/万元，

又以OZB到2025年累计共投入218万元，

.•.50+50(1+%)+50(1+x)2=218,

故选：B.

3.凭借灵动的舞蹈、专业的指导团队与丰富的活动规划，我校舞蹈社团在初一年级招新工信中备受青睐,

成功吸纳了64名热爱舞蹈、怀揣艺术梦想的同学加入，为社团注入了青春力量.为了让更多同学感受

舞蹈魅力，社团计划再次开展两期招新活动，且每期成员人数的增长率相同.经过两期的招新，社团成

员规模扩大至100人.

(1)求该社团每期成员人数的增长率是多少？

(2)若按照该增长率持续推进第三期招新活动，第三期结束时，该社团的成员人数是否会超过120人？请

说明理由.

【答案】⑴25%

(2)超过；理由见解析

【分析】本题考查一元二次方程的应用.

(1)设该社团每期成员人数的增长率是x,根据增长后的量=增长前的量X(1+增长率)，结合经过

两期招新后社团成员规模扩大至100人，可列出方程求解；(2)根据(1)中求出的增长率计算出第三

期结束时社团的成员人数，再与120人比较大小，从而判断是否超过120人.

【详解】(1)解：设该社团每期成员人数的增长率是x.

根据题意得：64(1+x)2=100.

解得：占=也0=一'(不符题意，舍去)，

答：该社团每期成员人数的增长率是25%.

(2)解：超过，理由如下：100(1+25%)=125(人)，

因为125>120,

所以第三期成员人数超过120人.

4.某商店于一月底收购一批农产品，二月份销售120袋，三月份销售量比二月份增长20%,四、五月份该

商品十分畅销，销售量持续增长，五月份的销售量已经达到225袋.

(1)求该商店三月份的销量；

(2)求该商店四、五两个月销售量的月平均增长率.

【答案】⑴144袋

(2)25%

【分析】本题主要考杳了一元二次方程的实际应用一一增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问撅中

可以设基数为〃，平均增长率为x,增长的次数为〃，则增长后的结果为。(1+工厂：而增长率为负数时,

则降低后的结果为。(1一为”.

(1)根据“二月份销售120袋，三月份销售量比二月份增长20%”直接计算即可；

(2)设该商店四、五两个月销售量的月平均增长率为x,根据增长率公式列出方程求解即可.

【详解】(1)解：由题意得120x(1+20%)=120X120%=144(袋)

答：该商店三月份的销量144袋；

(2)解：设该商店四、五两个月销售量的月平均增长率为x,由题意得，

144(1+X)2=225,

解得勺=(舍去)，

0.25=25%,x2=-2.25

答：该商店四、五两个月销售量的月平均增长率25%.

5.为积极响应国家消费品以旧换新政策，助力家电消费升级，某商场推出家电惠民补贴活动.已知该商场

8月份投入补贴资金10万元，10月份投入的补贴资金增至12.1万元，且每月投入资金的增长率保持一

致.

(1)求该商场投入补贴资金的月增长率：

(2)按照(1)中所求的增长率，预计该商场11月份投入的补贴资金将达到多少万元？

【答案】⑴10%

(2)13.31万元

【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确

列出一元二次方程是解此题的关键.

(1)设该商场投入资金的月平均增长率为x，根据“8月份投入补贴资金10万元，10月份投入的补贴资

金增至12.1万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；

(2)根据(1)中求得的增长率，即可求得11月份投入资金.

【详解】(1)解：设月增长率为x.

根据题意，10x(l+x)2=12.1

即(l+x)2=1.21

l+x=1.1(舍去负值)

x=0.1=10%

答：该商场投入补贴资金的月增长率为10%.

(2)解：由(1)知月增长率为10%，10月投入12.1万元，

则11月投入为12.1x(1+0.1)=13.31(万元)

答：预计该商场11月份投入的补贴资金将达到13.31万元.

【题型2一元二次方程应用传染问题】

1.现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感,

（1）请问每轮传染中平均一个人传染多少人？

（2）第三轮共有多少人患流感？

【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染9人.

（2）1000人

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用.

（1）设每轮传染中平均一个人传染工人，经过一轮传染有Q+1）人患病，经过两轮传染有

［（1+x）x+1+幻人患病，根据题意列方程求解即可.

（2）根据（1）中答案进行解答即可.

【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染工人，

根据题意可得（1+x）x+l+x=100,

整理得必+2无+1=100,

.,.（X+1）2=100,

.•.%=9或%=—11（不合题意，舍去）

，每轮传染中平均一个人传染9人.

（2）由题意可得,100+100X9=1000（人），

即第三轮共有1000人患流感.

2.某地发生禽类疫情，当地政府和企业迅速进行了疫情排查和处置.在疫情排查过程中，某农场第一天发

现3只鸡发病，到第三天时共有192只鸡发病.

（1）每只发病的鸡平均每天传染多少只鸡？

（2）若疫情得不到控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只吗？

【答案】（1）每只发病的鸡平均每天传染7只鸡

（2）若疫情得不到控制，3天后鸡的发病数会超过1500只

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

（1）设每只发病鸡平均每天传染欠只鸡，根据“第•天发现3只鸡发病.到第三天共有192只鸡发病〃，

即可得出关于工的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）根据3天后鸡的发病数=2天后鸡的发病数x（l+7）,即可求出3天后鸡的发病数，再将其与1500

进行比较即可得出结论.

【详解】（1）解：设每只发病鸡平均每天传染％只鸡，

依题意,得:3（1+*）2=192,

解得：（不合题意，舍去）.

%i=7,x2=—9

答：每只发病的鸡平均每天传染7只鸡.

（2）解：192x（1+7）=1536（只），1536>1500.

答：若疫情得不到控制，3天后鸡的发病数会超过1500只.

3.春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某办公室最初有两人同时患上甲流，经过

两轮传播后，办公室现有8人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？

【答案】在两轮传染过程中，平均一人会传染给1个人.

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，工确列出一元二次方程是解题的关键.设在

两轮传染过程中，平均•人会传染给》个人，则第一轮传染中有2%人被传奥，第二轮传染中仃(2+2%)》

人被传染，根据题意列一元二次方程，求解即可得出结论.

【详解】解：设在两轮传染过程中，平均一人会传染给％个人，则第一轮传染中有2x人被传染，第二轮

传染中有(2+2%)工人被传染，

根据题意得：2+2X+(2+2K)X=8,

整理得：(1+乃2=4,

解得：xx=1,犯=-3(不符合题意，舍去).

答：在两轮传染过程中，平均一人会传染给1个人.

4.今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，多见于5岁及以上儿童，如果外出时能够戴上口罩、做好防护,

可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患

了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多).

(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？

⑵某药房最近售出了普通医用口罩和N95医用口罩共180盒，已知售出的普通医用口罩的盒数不少于

N95医用口罩的5倍，每盒N95医用口罩的价格为10元，每盒普通医用口罩的价格为4元，则售出N95

医用口罩和普通医用口罩各多少盒时，总销售额最多？请说明理由.

【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了6个人

⑵售出N95医用口罩和普通医用口罩各30盒和150盒时，息销售额最多

【分析】本题主要考查一元二次方程，一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是找到等量(或不等

量)关系，列方程或列不等式.

(1)设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，列方程求解;

(2)设售出的N95医用口罩的数量是〃盒，普通医用口罩的数量是(180—a)盒，根据题意得列不等式

得到aW30,设总销岱额为y元，根据题意得到y=10a+4(180—a)=6a+720,根据一次函数的性质

得到结论.

【详解】(1)解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.

由题意，得1+%+%(1+X)=49解得勺=6,x2=—8.经检验，x=6符合题意.

答：每轮传染中平均一个人传染了6个人.

(2)设售出N95医用口罩的盒数是。盒，则售出普通医用口罩的盒数是(180—a)盒.总销售额为y元.

由题意，得5a3180-a,解得aW30.

y=10a+4(180—a)=6a+720.

v6>0,

.•少随Q的增大而增大.

.••当Q=30时，y有最大值，此时180-30=150.

答：售出N95医用口罩和普通医用口罩各30盒和150盒时，总销售额最多.

【题型3一元二次方程应用枝干问题】

1.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同

样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31,则这种植物每个支干长出多少个小分支？

【答案】5个

【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意列出一元二

次方程，解方程，即可求解.

【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意得

1+x+X2=31,

解这个方程得占=5,外=-6（不合题意，舍去）

答：这种植物每个支干长出5个小分支.

2.在人群密集的场所,信息传播很快.某居委会有3人同时得知一则喜讯,经过两轮传播后,使得这则喜

讯在共有864人的居民小区中的知晓率达50%,那么每轮传播中平均一人传播了多少人？

【答案】每轮传播中平均一人传播了11人

【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键.设每轮传播中平均

•人传播了x人，根据经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达50%,

列出一元二次方程求解即可.

【详解】解：设每轮传播中平均一人传播了x人，

根据题总得：3+3%+（3+3x）x=864x50%,

整理得：X2+2X-143=0,

解得：X=11或%=—13（舍去）.

答：每轮传播中平均一人传播了11人.

3.化学课代表在老师的培训下，学会了高铳酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教

会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学乂手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好

都会做这个实验了.问一个人每节课手把手教会了多少名同学？

【答案】一个人每节课手把手教会了6名同学

【分析】本题考查了一元二次方程的应用.设一个人每节课手把手教会了％名同学，根据第二节课后全

班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于X的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结

论.

【详解】解：设一个人每节课手把手教会了、名同学，

根据题意得：（1+%）2=49,

解得：不=（不符合题意，舍去）.

6,X2=-8

答：一个人每节课手把手教会了6名同学.

4.小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发,

每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推.已知经过两轮转发后，共

有111人参与了小华创意作品的转发活动(含小华自己)，则小华邀请了多少名同学转发？

【答案】小华邀请了10名同学转发

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键.

根据传播规则，结合经过两轮转发后共有111个人参与了小华创意作品的转发活动，即可得出关于x

的一元二次方程求解.

【详解】解：设小华邀请了x名同学转发，

依题意得：1+%+/=1H.

整理得：X2+%-110=0,

解得：Xi=10,x2=-11(不符合题意，舍去).

答：小华邀请了10名同学转发.

【题型4一元二次方程应用双循环问题】

L阿图什市全疆足球邀请赛共进行比赛110场，参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，则参加比赛

的队伍共有()

A.8支B.9支C.10支D.11支

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键.

根据每两队之间进行两场比赛，总比赛场数与队伍数的关系建立方程求解.

【详解】设参加比赛的队伍有几支，

•••每两队之间进行两场比赛，

二总比赛场数为n(n-l).

•••已知总比赛场数为110,

•••n(n—1)=110,

即n2_n_no=0,

解得n=11(舍去负值)，

•••参加比赛的队伍共有11支.

故选：D.

2.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组互赠标本共210件，若全组

有x名同学，则根据题意列出方程是()

A.x(x+1)=210B.x(x-l)=210C.2x(%-1)=210D.1x(x-l)=210

【答案】R

【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键.每个学生向组内其他学生

各赠送一件标本，因此每个学生赠送的标本数为(％—1)件，全组X名学生共赠送工(%—1)件标本。

【详解】解：设全组有x名同学，则每个同学赠送标本数为(％—1)件，

根据题意,十—1)=210.

故答案为：B.

3.某数学兴趣小组的同学在元旦互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90

张贺卡，那么数学兴趣小组的人数是()

A.9B.10C.18D.12

【答案】B

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键.

设数学兴趣小组人数为〃，每两人互赠一张贺卡，总贺卡数为n(n-1)=90,然后再解•元二次方程即

可.

【详解】解：设数学兴趣小组人数为〃，

根据题意可得；〃(九一1)=90,B[Jn2-n_90=0,

解得：n=10或n=-9(舍去负数解).

所以数学兴趣小组的人数有10人.

故选B.

4.初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物.小组里每两名成员之间互相赠

送一张卡片(即力送给“一张，〃也送给彳一张).已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组

的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是()

A.)(x—1)=306B.x(x-1)=306

C.1x(x+1)=306D.x(x+1)=306

【答案】B

【分析】本题考查一元二次方程的应用.每两名成员之间互相赠送一张卡片，即每对成员之间交换两

张卡片.总卡片数等于成员数乘以每人赠送的卡片数，再考虑互赠关系即可建立方程.

【详解】解：设兴趣小组有工人，每名成员需要给其他工—1人各赠送一张卡片，因此每人赠送张

卡片.全组共有丫人，总赠送卡片数为、。一1).

根据题意，总卡片数为306张，故方程为—1)=306,

故选：B.

5.今年“国庆节”期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己

不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有()

A.10人B.9人C.8人D.11人

【答案】A

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

设该群有X人则每人收到(％—1)个红包，根据题意可列出关于》的一7匕二次方程，解之取其正值即可得

出答案.

【详解】解：设该群有工人，则每人收到(％—1)个红包，

根据题意列方程得，x(x-1)=90,

解得：X1=10,x2=一9(舍去)，

故选:A.

6.学校要组织篮球邀请赛，赛制采用双循环制(每两队之间要进行两场比赛).计划安排56场比赛，应邀

请多少个球队参加比赛？设邀％个球队参赛，根据题意列方程正确的是()

A.—1)=56B.+1)=56

C.x(x-1)=56D.x(x+1)=56

【答案】C

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等

量关系.赛制为双循环形式(每两队之间都赛两场)，T个球队比赛总场数为工。一1)，即可列方程.

【详解】解：设有％个队，每个队都要赛(％—1)场，

由题意得：%(x—1)=56,

故选：C.

【题型5一元二次方程应用单循环问题】

1.在一次九年级数学交流会上，每两名学生握手一次，共计握手171次，若设参加此会的学生有3名，则可

列方程为()

A.+1)=171B.1x(x—1)=171C.x(x—1)=171D.x(x+1)=171

【答案】B

【分析】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键.

设参加此会的学生为X名，根据题意列出一元二次方程即可.

【详解】设参加此会的学生为％名，

根据题意得，*。-1)=171.

故选：B.

2.某职业学校，“礼仪小姐"培训班结业时，每个同学都要和培训班的其他同学照一张合影，摄影师共照了

132次，如果设培训班共有x名同学，依题意，可列出的方程是()

A.x(x+1)=132B.x(x-1)=132C.2x(%+1)=132D.1

x(x-1)=132

【答案】D

【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出•元二次方程，正确理解题意是解题的关键.

设培训班共有X名同学，则每个人和Q—1）人进行了合影，共不。-1）次，因为甲与乙合影和乙与甲合

影是同一张照片，所以每张照片被重复计算了一次，故总的合影次数为》。一1），据此列出方程即可.

【详解】解：设培训班共有x名同学，

依题意，可列出的方程-1）=132,

故选：D.

3.某次酒会上，与会嘉宾每两人碰杯一次，若共碰杯66次，则酒会上嘉宾人数为（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】C

【分析】设参加酒会的人数为无人，根据每两人都只碰一次环且一共碰杯66次，即可得出关于式的一元

二次方程，解之取其正值即可得出结论.本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系,

正确列出一元二次方程是解题的关键.

【详解】解：设参加酒会的人数为》人，每个人都要和除自己之外的。一1）人碰杯，所以初步计算碰杯

次数为次.但这样每两人的碰杯都被重复计算了两次（例如甲和乙碰杯与乙和甲碰杯是同一

次），因此实际碰杯次数应为总次数的一半，即次.

•—1）=66,

整理得：x2-x-132=0.

解得％i=12,七=-11（不合题意，舍去）.

故选：C.

4.在某个商品交易会上，参加商品交易会的每两家公司之间只签订一份合同，所有公司共签订了55份合

同.设参加交易会的公司有x家，则可列方程为（）

A.x（x-l）=55B.x（x+1）=55C.^^=55D.^^=55

【答案】c

【分析】本题考查一元二次方程解应用题，掌握握手问题的解法是解决问题的关键.

设参加交易会的公司有工家，从中选取•家、记为4则剩余Q-1）家，A与剩余Q-1）家签订•份合

同，从而签订（％—1）份合同，由于有工家公司，每一个公司均与其余（％—1）份家公司签订。一1）份合同，

田油合A公司与B公司签订的合同与8公司与4公司签订的合同是重复，即可得到签订合同总数为专工,

从而列出方程.

【详解】解：设参加交易会的公司畲力家，则可列方程为咛55,

4

故选：c.

【题型6一元二次方程应用-销售利润问题】

1.某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本.文具店11月4日定制出200本，5日、

6日定制量持续增加，到11月6日当天的定制量达到338本.

（1）求5日、6日这两日定制量的平均增长率.

（2）在日常销售期间，为吸引更多同学购买，文具店降价促销笔记本.已知每本笔记本成本为30元，当

售价为每本50元时，日销量为320本；每降价1元，日销量可增加5本.问每本笔记本降价多少元时，

当日销售总利润可达到5940元？

【答案】⑴30%

⑵2元

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

（1）设5日、6日这两日定制量的平均增长率为心根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的

值即可：

（2）设每本笔记本降价y元，根据当日总利润可达到5940元，列出一元二次方程，解之取符合题意

的值即可.

【详解】（1）解：设5日、6日这两日定制量的平均增长率为心

由题意得：200（1+x）2=338,

解得：/=（舍），

0.3=30%,x2=-2.3

答：5日、6日这两日定制量的平均增长率为30%；

（2）解：设每本笔记本降价y元，

由题意得：（50-y-30）（320+5y）=5940,

解得：yi=2,y2=-46（舍），

答：每本笔记本降价2元.

2.某体育用品商店购进一批足球队球衣，每件的进价为80元，出于营销考虑，要求每件球衣的售价不低于

80元且不高于150元，在销售过程中发现，球衣每周的销售量y（单位：件）与每件球衣的售价%（单

位：元）之间满足的函数关系如图所示.

⑴求y关于X的函数表达式及K的取值范围：

（2）当球衣的销售单价定为多少元时,每周销售球衣所获利涧为2700元？

【答案】（l）y=-x+200（80WxW150）

⑵当球衣的销售单价定为110元时，每周销售球衣所获利润为2700元

【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用.

（1）利用待定系数法解答即可；

（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解.

【详解】（1）设y关于％的函数表达式为y=kx+b（k*0）.

将点（90,110）,（100,100）代入，得｛瑞温

解得｛，：就.

•••y关于X的函数表达式为y=-X+200（80<x<150）.

（2）解：根据题意,得一—80）（—％+200）=2700.

解得％1=110,孙=170.

••-80<%<150,

:.x=110.

答：当球衣的销售单价定为110元时，每周销售球衣所获利润为2700元.

3.12月10日，中央广播电视总台发布2026年春晚的主题为一一“骐骤驰骋势不可挡〃.《楚辞•离骚》中写

道：“乘骐骥以驰骋兮，来吾道夫先路“骐骥〃是古人对骏马、千里马的雅称，凝聚着中华民族开拓进

取、驰而不息的精神品格；又音同"奇迹”，传递出创造奇迹的决心和一往无前的信心，饱含对新时代新

征程满怀期冀的美好愿景.春节来临之际，商场以80元/件的进价购进一款印有“骐牌驰骋纹”的卫衣.试

销发现：当售价为120元/件时，平均每天能卖出60件；若这种卫衣的售价每下降5元，则平均每天能多

售出20件.商场要使销售此款卫衣平均每天的利润为300。元，且尽可能让利于消费名，每件卫衣应降

价多少元？

骐骥驰骋势不可挡

岛H眼晚合

【答案】每件卫衣应降价15元

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每件卫衣应降价》元，则每天的销量为（60+卜20）

件，根据销售利润=销售量x单件利润，列方程求解.

【详解】解：设每件卫衣应降价%元，则每天的销量为（60-ax20）件，

由题意得:（120-80-x）（60+1x20）=3000,

整理得:x2-25x+150=0,

解得：无1=15.X2=10.

•••要求尽可能让利于消费者，15>10,

•••x=15,

答：每件卫衣应降价15元.

4.某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住

满.客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出

20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了％元.

(1)填表(不需化简)：

入住的房间数量房间价格总维护费用

提价前6020060x20

提价后①200+x②

(2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元(纯

收入=总收入一总维护费用)？

【答案】(1)①(60—0.1乃；②(一2X+1200)

(2)每间客房的定价应为300元

【分析】本题主要考查了列代数式和一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程和代数式是解题的

关键.

(1)根据题意求出提价后入住的房间数量，进而根据每个房间支出20元/天的维护费用求出总维护费

用即可；

(2)根据纯收入=总收入一总维护费用建立方程求解即可.

【详解】(1)解：由题意得，提价后入住的房间数量为60—盘♦1=(60—0.1%),

则提价后的总维护费用为20(60-0.1%)=(-2x4-1200)7E：

(2)解：由题意得,(60-0.1x)(200+x)-(-2%+1200)=14000,

整理得%2-420x+32000=0,

解得％=100或%=320,

•••要能吸引更多的游客，

••.%=100,

-,.200+x=300,

答：每间客房的定价应为300元.

5.根据以下素材，探索完成任务.

素深圳某新能源汽车零部件企业借助智能制造技术，对某款电动汽车的电池管理系统零部件进行一体

材1化加工，生产效率显著提升.该零部件8月份生产100个，10月份生产144个.

素该企业生产的零部件成本为30元/个.销售一段时间后发现，当零部件售价为40元/个时，月销售量

材2为600个.若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个.

问题解决

任该企业8月份到10月份生产数量的平均月增长率是多少？

务1

任为使月销售利润达到10000元，并且尽可能让新能源汽车企业得到实惠，该零部件的实际售价应定

务2为多少元？

【答案】任务1：该企业8月份到10月份生产数量的平均月增长率是20%；任务2：该零部件的实际

售价应定为50元/个

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找到等量关系，列出方程是解题的关键.

任务1：设平均月增长率是x，根据题意，列出方程100(1+%)2=144,解方程即可求解；

任务2：设售价上涨/〃元，根据题意，列出方程(40+小一30)(600—10E)=10000,解方程即可求

解.

【详解】解：任务1:设该企业8月份到10月份生产数量的平均月增长率是x,

根据题意得：100(1+%)2=144.

解得修=(不符合题意，舍去)，

0.2,x2=-2.2

则该企业8月份到10月份生产数品的平均月增长率是20%：

任务2：设售价上涨小元，则实际售价为(40+m)元，

根据题意得:(40+m-30)(600-10m)=10000,

解得mi=10,m2=40.

••尽可能让新能源汽车企业得到实惠，

二应选择售价较低的方案，

:.选择m=10,则40+m=50,

则该零部件的实际售价应定为50元/个.

6.某玩具店老板欲购进一批进价为20元/个的益智玩具，调查5个门店发现销售此玩具的日销售量(个)

仅与销售单价(元)有关，具体记录如下表：

玩具店ABCDE

销售单价6059585756

日销售量2022242628

任务一：模型建立

(1)从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售品与销售单价之间的函数

关系式；

任务二：问题解决

(2)如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为200元，该玩具店老板想要每天获得600

元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？

【答案】(1)日销售量)，个与销售单价x元之间的函数关系式为

y=-2x+140(2)该益智玩具的俏售单价应定为30元

【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的应用、解二元一次方程组，因式分解

法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出

一元二次方程是解题的关键.

(1)通过分析表中数据可以看出，日销售量y与销售单价x之间成一次函数关系，故可设口销售量y

与销售单价X之间的函数关系式为y=H+力，将(60,20),(59,22)代入，得｛牒"抬同解方程组

即可求出“与人的值，进而得出该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；

(2)根据“每日利润=(销售单价一进价)x日销售量一房租、水电费、人工费等运营成本”可得

(-2%+140)(%-20)-200=600,解得文〔=30,刈=60,进而可得当销售单价为60元时日销售量

为20个，销售单价为30元时日销售量为80个，由于20V80,再结合“为了尽快减少库存”即可解答.

【详解】解：(1)通过分析表中数据可以看出，日销售量y与销售单价x之间成一次函数关系，

设该益智玩具的的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=k%+b,

将(60,20),(59,22)代入，得：

(60k+b=20(k=-2

[59k+匕=22'用半倚：lb=140,

答：该益智玩具的日销竹量)，与销售单价x之间的函数关系式为y=-2x+140：

(2)根据题意，得：

解得：勺=

(-2x+140)(%-20)-200=600,30,x2=60,

当销售单价为60元时，口销售量为20个，

当销售单价为30元时，日销售量为80个，

•・•20V80,且为了尽快减少库存，

:.x=30.

答：该益智玩具的销售单价应定为30元.

【题型7一元二次方程应用-几何面积问题】

1.我国古代数学在万程领域有着辉煌的成就.《九章算术》中记载：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去

适一丈.问户高、广各几何？翻译后为：有一扇门，高比宽多6尺8寸，对角线距离恰好1丈.问门

的高和宽各是多少？设宽为工尺，则依题意列方程正确的是().

A.x2+(x+6.8)2=102B.%24-(%—6.8)2=102

C.X2-(X-6.8)2=102D.102+%2=(X+6.8)2

【答案】A

【分析】本题考查勾股定理的实际应用，一元二次方程的应用，设门宽为%尺，则高为(％+6.8)尺，对

角线为10尺，根据勾股定理，宽与高的平方和等于对角线平方即可列出方程.

【详解】解：设宽为之尺，则高为(x+6.8)尺，对角线为10尺，

••・根据勾股定理得好+Q+6.8)2=102,

故选：A.

2.某停车场为了解决新能源汽车充电难的问题，将长为100m,宽为80m的长方形停车场进行改造.如图,

将长方形停车场的长和宽分别划分出相等的宽度xm,划分出的这部分区域(阴影部分)月于修建充电

桩，若剩余停车场(空白部分)的面积为3500m2,则根据题意，下面所列方程正确的是()

充

80Ill电

桩

xm

A.100(80-%)=3500B.(100-x)(80-x)=3500

C.80(100-x)=3500D.(100-2x)(80-x)=3500

【答案】B

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，空白部分的面积相当于一个长为(100—%)m,宽为

(80—;t)m的长方形面积,据此根据长方形面积公式列出方程即可.

【详解】解：由题意得,(100-x)(80-x)=3500,

故选：B.

3.某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜.如图，试验田

一面靠墙，墙长35m,另外三面用48m长的篱笆围成，8c边开有一扇1m宽的门(不包括篱笆).设试

验田垂直于墙的一边小8的长为xm,则下列所列方程正确的是()

B

A.x(48+1-x)=200B.x(48-2x)=200

C.x(48+1-2x)=200D.x(48-1-2xi=200

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的应用.

先求出8c的长，再根据面积公式列方程即可.

【详解】解：•••试验田垂直于墙的一边48的长为xm,

=CD=xm,

则BC边使用篱笆(48-2x)m,

•••BC边开有一扇1m宽的门，

••BC—(48+1—2x)m,

•••面积为200m2,

•"•X(48+1—2%)=200.

故选：C.

4.某园区内原有一块宽为20米，长为30米的长方形空地，后计划在此区域栽种面积为486平方米的鲜花

(阴影部分)并铺设如图所示的宽度相同的小路(空白部分)供游客观光.如果设这个宽度为x米，

那么所列出的方程是()

A.(20-2x)(30-3x)=20x30-468

B.(20-2x)(30-3%)=468

C.(20-2x)(30-3x)=486

D.2(20-2x)(30-3x)=486

【答案】C

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题

的关键.

由小路的宽度，可得出栽种区域长为(30—3%)米，宽为(20—2%)米，结合在此区域栽种面积为486平

方米的鲜花，可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【详解】解:根据题意得：(20—2x)(30—3%)=486.

故选：C.

5.李大爷准备修建一个养殖园，饲养鸡、鸭、鹅三种家禽.如图，李大爷用隔离网围成一个一边靠院墙的

矩形养殖园，并且在中间增设了两道隔离网.已知矩形的边A。、BC和两道隔离网均与院墙垂直，若隔

离网总长为40m,则养殖园的面积能否达到120m2?若能，求出48的长：若不能，请说明理由.

D

【答案】养殖园的面积不能达到120m2；理由见解析

【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练地确定等量关系，再建立方程是解本题的关键.由

AB=xxn,表示竽m,再利用矩形的面枳公式列方程，再解方程即可；

【详解】解:养殖园的面积不能达到120m2；

理由如下：设力B=xm,

•・・隔离网的总长为40m,

AD=4°-xm.

4

根据题意得：%•殍=120,

整理得：X2-40x4-480=0.

•••△=(-40)2-4X1x480=-320<0,

二该方程无实数根，

养殖园的面积不能达到120m2.

【题型8—元二次方程应用-动点与几何问题】

1.如图，在△力8c中，LB=90°,AB=6cm,8C=8cm.点。从点力出发沿48边向点8以lcm/s的速

度移动，点。从点8出发沿边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P,。分别从点48同时出发，当

一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为t(s).

⑴当t为何值时，△PBQ的面积是△力BC面积的最？

⑵当/为何值时，PQ的长为4夜cm?

【答案】⑴1

⑵，或2

【分析】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程的意义，由题意得一元二

次方程是关键.

(1)由题意可求得BQ、BP的长，从而可得关于f的一元二次方程，解方程即可；

(2)根据勾股定理即可得到关于/的一元二次方程，解方程即可.

【详解】⑴解：根据题意知BQ=2£cm,AP=tcm,

:.BP=AB—AP=(6—C)cm,

・2B=90°,

:SNBQ=^BQ-BP=y2t(6—t)=-t2+6t,

••,在△ABC中，Z-B=90°,AB=6cm,BC=8cm,

•••SAABC=^AB-BC=24cm2,

•••△PBQ的面积是△4BC面积的卷，

:SNBQ-5cm2,

—t2+6t=5,

解得ti=1,t2=5>|=4C舍去).

.•.当t为1时，△28(2的面积是448。面积的割

(2)解:设t秒后，PQ的长度等于4&cm,

根据勾股定理，得PQ2=8P2+8Q2,即(4鱼)=(6—£)2+(2£)2,

整理得，5t2-12t+4=0,

解得ti=2,4=5

.•.当£为我2时，PQ的长度等J4V2cm.

2.在长方形48CD中，AB=5cm,8。=6cm,点F从点力开始沿边48向终点8以lcm/s的速度移动，与

此同时，点。从点8开始沿边8c向终点。以2cm/s的速度移动.如果尸、。分别从力、〃同时出发，

当点。运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为，秒.

⑴填空：BQ=,PB=用f的代数式表示）：

（2）当/为何值时，PQ的长度等于5cm?

⑶是否存在，的值，使得五边形4PQC。的面积等于26cm2?若存在，请求出此时，的值；若不存在，请

说明理由.

【答案】⑴2f,5-t

（2）t=2

⑶存在，t=1

【分析】本题考杳了一元二次方程的应用，