高考数学复习讲义：直线和圆（原卷版）

解密19直线和圆

【考点解密】

1.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式）LyO=&（LXO）不含直线x=xo

斜截式y=kx-\-b不含垂直于X釉的直线

y—y]x~x\

两点式y2-y\~X2—xi不含直线X=X1和直线

（川/★，y\-^yi）

截距式a+b=i不含垂直于坐标轴和过原点的直线

Av+By+C=0

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

（A2+BVO）

2.两条直线的位置关系

(I)两条直线平行与垂直

①两条直线平行；

(i)对于两条不重合的直线'C若其斜率分别为刖，质,则有/

(ii)当直线"(不重合且斜率都不存在时,h//h.

②两条直线垂直：

(i)如果两条直线，2的斜率存在，设为心，&2，则有6_L/2㈡1.

(ii)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，/11/2.

(2)两条直线的交点

Aix+Biy+G=0,

直线小人工+小)，+©=0,/：AK+B2y+。2=0,则八与/2的交点坐标就是方程组，।:।「八的解.

21A2x+&y+C2=0

3.几种距离

⑴两点尸1(为，3'1)，尸2(必》2)之间的距离岛尸2|=勺(X2—X1尸十⑴一)情.

⑵点尸危0,闻到直线/：Ax+8.v+C=。的距离d=A：兽芸°

⑶两条平行线Ar+取+G=0与Ax+By+Q=0(其中GHC?)间的施离d=

4圆的定义与方程

定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

圆心为3,b）

标准式(x-a)2-\-(y-b)2=r(r>0)

半径为r

方充要条件：^2+£2-4^>0

程圆心坐标：（一9，一专）

一般式f+)2+D¥+Ey+尸=0

半径r=N》+£2—4?

5.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

（I）几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.（最重要）

包㈡相交；d=一相切；QQ相离.

>0<=>相交

⑵代数法：产三=00相切

d=b--4ac

.<（）^离

6.圆与圆的位置关系

设圆O：(X—«i)24-(y—/>i)2=r?(n>0)»

On(x—02)2+(v—bi)2=r2>0)

\方法

位箝、几何法：圆心距d与「1，，2代数法：联立两圆方程组成方程组的

的关系解的情况

关系

外离ct>r\+「2无解

外切d=r\+ri一组实数解

相交\r\—r^<d<r\-Vri两组不同的实数解

内切1=卜1一闻（外工厂2）一组实数解

内含。或亦比一闻⑺工冷）无解

【方法技巧】

处理定点问题的思路：

（1）确定题目中的核心变量（此处设为人），

（2）利用条件找到攵与过定点的曲线产（x,y）=o的联系，得到有关我与x，y的等式，

（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点（%,%）,使得无论k的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于左与孤了的

等式进行变形，直至找到（天,九）,

①若等式的形式为整式，则考虑将含上的式子归为一组，变形为“•（）”的形式，让括号中式子等于0,求出定点;

②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于o,一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k变为常数.

【核心题型】

题型一：待定系数法求直线方程

1.（2022・北京•统考模拟预测）已知圆C：*-3）2+（），-2）2=l,直线/过点（】，3）且倾斜角为夕，则“直线/与圆C相

切”是“。=。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2023秋•北京石景山•高三统考期末）已知直线，：x+2y-3=0与圆C：/+）,2—4.r=o交于4，B两点,则线段A8

的垂直平分线方程为（）

A.2x-y-4=0B.2x+y-4=0C.x-2y-2=OD.2x-y-2=0

3.（2022.广东中山・中山纪念中学校考模拟预测）已知直线/经过点庶（3,-1）,且被圆/+/一以一2），+12=0截得

的弦长为4,则宜线/的方程是（）

A.y=2B.x=3或*一4丁-13=（）

C.x=3D.y=2或x-y+l=0

题型二：己知两直线位置求参数或者范围

4.（2023・吉林・东北师大附中校考二模）直线/的方程为（/l+2）x+（/l-l）），-3/l=0（/lwR）,当原点。到直线/的距离

最大时，尤的值为（）

A.—1B.-5C.1D.5

5.（2023秋・浙江嘉兴•高三统考期末）已知圆C过点（1,0）,且圆心在x轴的正半轴上，直线被圆C所截

得的弦长为2及，则过圆心C且与直线/垂直的直线的方程为（）

A.x+y-3=0B.x-y+3=0

C.x+y+3=0D.x-y-3=0

6.（2023・吉林・统考二模）已知”（）,/＞＞（）,若直线4：〃x+"v-2=0与直线4：2x+（l-a）y+l=O垂直，则a+力的

最小值为（）

A.1B.3C.8D.9

题型三：直线的定点问题

7.（2023•浙江嘉兴・统考模拟预测）已知点A（-1,0）,3（2,0）与直线/:，”丫-），+/〃=0（〃?£1＜）,若在直线/上存在点尸,

使得|以|=2|阳，则实数加的取值范围是（）

A.-y，TB.-TJ

L」\JL/

C.-73,5/3]D.（-8,-G]=[V5,+X）

8.（2023•贵州毕节・统考一模）已知点〃在直线，：3x+4.y-33=0上，过点/，作圆C:*7）?+丁=4的两条切线，切

点分别为A,8,则圆心C到直线48的距离的最大值为（）

174

A.-B.-C.1D.—

333

题型四：直线有关的对称问题

9.（2023秋•贵州贵阳•高三统考期末）若例为圆。:丁+），2-6..43，-7=0上的动点，当M到直线

/:（/〃+2）4+（2〃?+1）），+/〃-1=0（〃76时的距离取得最大值时，直线！的斜率为（）

A.-3B.-2-C.24D.一3-

2332

10.（2023•北京平谷•统考模拟预测）点M、N在圆C:/+）/+2区+2〃少—4=0上，且M、N两点关于直线x-丁+1=。

对称，则圆C的半径（）

A.最大值为巫B.最小值为立C.最小值为拽D.最大值为述

2222

11.（2023•陕西西安•校考模拟预测）/1（-2,0）,4（2,0）,C（0,2）,£（-1,0）,尸（1,0）,一束光线从点尸出发射到3c

上的点。，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FO的斜率的取值范围是（）

A.（YO,2）B.（0,+e）

C.（!,+<»）D.（4,+oo）

12.（2023秋•江西吉安•高三统考期末）已知点A（-L-2）,4（0,a）,若直线AB关于），=a的对称直线/与圆C：

（x-31十）工二]8交于股，N两点，则的最小值为（）

A.2A/2B.3V2C.2MD.472

题型五：几何法求圆的方程

13.（2022秋・河南•高三信阳高中校联考期末）已知点尸是圆C:（x-5）2+（），+12『=1上的任意一点，点/，N分别

为圆O：Y+y2=4上的两个不同的动点，且|MN|=2G，点。为线段MN的中点，则I尸。的最小值为（）

A.11B.12C.13D.14

14.（2023•全国•高三专题练习）已知A8是圆。：（*_2）\（），-/〃）2=4（〃>0）上两点，且|A8|=2X/5.若存在aeR

使得直线4：纨-＞，二。与/2”+〃）'+2a-4=0的交点〃恰为748的中点，则实数用的取值范围为（）

A.(>/5-2,2]B.lx/5-2,5/51

C.[2,2+751D.f75,2+75]

15.(2022・全国•高三专题练习)在平西直角坐标系中，动圆。:(公1『+()，-1)、/与直线)，+1=火工-2)(〃?6犬)相

切，则面积最大的圆的标准方程为()

A.(x-l)2+(x-l)2=4B.(X-1)2+(X-1)2=5

C.(X-1)2+(X-1)2=6D.(X-1)2+(X-1)2=8

题型六：待定系数法求圆的方程

16.（2D23・山西・校联考模拟预测）已知圆G：/+（）,_。）2=。2（。＞0）的圆心到直线x-y-2=0的距离为20,则

圆C1与圆G：/+）,2一21一45，+4=0的公切线共有（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

17.（2023・全国•高三专题练习）与直线工一），-4=0和圆（x+l）2+（y_i）z=2都相切的半径最小的圆的方程是（）

A.(x4-l)2+(y+l)2=2B.(x+l)2+(y+l)2=4

C.(x-l)2+(y+l)2=2D.(x-l)24-(y+l)2=4

18.（2023・全国•高三专题练习）如图，点4,4,。在圆「上，点C在圆「内，A8=l1,BC=12,CO=5,若BCCO=0,

且A8与C。共线，则圆「的周长为（）

B.%C.21万D.24万

3

题型七：几何法求弦长

19.（2。23・全国•模拟预测）若直线2x-y-2=。与直线2x-y-l=。波圆。：/+），2一2%-6），一加=0（〃?>-10）截得的

弦长之比为1:夜，则圆C的面积为（）

A.2兀B.—uC.37rD.—冗

55

20.（2023秋•河南•高三校联考期末）在平面直角坐标系x。'，中，己知圆。：（%-。）2+（），-2）2=/匕>0）被工轴截得

的弦长为2,且与直线y=2x相切，则实数”的值为（）

2o

21.（2022秋.四川广安.高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习）已知双曲线工-二=1的渐近线被圆

m2

/+旷+4），=0截得的弦长为也，刻正实数用的值为（）

A.8B.4C.1D.-

2

题型八：圆或者直线上的点的距离问题

22.（2023.福建福州•统考二模）已知Ca：（x-2）2+（y-3）2=4,C4关于直线依+2y+l=0对称的圆记为£0?,点

E,尸分别为（[,<。2上的动点，EF长度的最小值为4,则。=（）

A.一3三或3二B.一3己或3士C.一3士或5—士D.3二或3士

26622662

23.（2023•陕西宝鸡•校联考模拟预测）在直角坐标系xO-v中，已知点P是圆O：/+丁=1上一.动点，若直线/：

依22+3=0上存在点Q,满足线段PQ的中点也始终在圆。上，则女的取值范围是（）

<12A（12、

A.B.-oo,-yU（0,+<x）

C.-y,0D.I-co,~yU[0,+oc）

24.（2022秋.江西萍乡.高三统考期末）点“为抛物线），2=8x上任意一点，点N为圆V+产—©+3=0上任意一

点，尸为直线内7-。-1=。的定点，则的最小值为（）

A.2B.72C.3D.2+V2

题型九：直线和圆的综合问题

25.（2023•重庆•统考二模）过抛物线物f=4y的焦点尸作斜率分别为6"的两条不同的直线4,乙，且4与E相

交于点A,8,6与七相交于点C，D.以A8,CO为直径的圆圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为

I.

(1)若勺•&=2,求FM-FN;

⑵若K+&=2,求点M到直线/的距离的最小值.

26.(2023・湖北武汉・统考模拟预测)过坐标原点。作圆C:(x+2y+y2=3的两条切线，设切点为P，Q,直线也恰

为抛物E：V=2Px,(〃>0)的准线.

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)设点7是圆。上的动点，抛物线E上四点满足：TA=2TM.TR=2TN,设A3中点为D.

(i)求直线775的斜率；

(ii)设△L43面积为S,求S的最大值.

27.(2023・全国•高三专题练习)已知肺圆C：夕+$1(〃>〃>0)上点小|)与圆工2+}__|)=1上点M的距离

的最大值为右+1.

(1)求椭圆C的方程；

⑵动直线/与椭圆。交于A,B两点,且以A8为直径的圆过点。(0,6)(。与A,8不重合)，证明：动直线/过定

点，并求出该定点坐标.

【高考必刷】

一、单选题

28.(2023・重庆・统考二模)已知点A(-2,-3)，B(-2,9),圆C：x2+y2-4x+/n=0,若在圆C上存在唯一的点Q使

得乙4。8=90,则〃?可以为()

A.-3B.-21C.-93D.-117

29.(2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考一模)已知A(-LO),4(10),若直线y=k(x-2)上存在点p,使得

ZAra=90°,则实数k的取值范围为（）

30.（2023•陕西安康•统考二模）己知直线（：（。-2"+@+1=0,/,：（a-2）x+y+2=0,则“a=l”是肉〃夕的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

31.（2023・贵州贵阳・统考一模）已知直线《：x-2y-l=0,直线&：&'+2y+2〃=0,其中实数〃c[T5],则直线人与

%的交点位于第一象限的概率为（）

A.-B.—C.-D.一

6543

32.（2023・山东•烟台二中校考模拟预测）已知双曲线营=1（"0⑦>0）的离心率为3,斜率为-2的直线4分

别交尸的左右两支于4,8两点，直线分别交尸的左、右两支于&D两点，BL，4c交8。于点E,点E恒在

直线/上，若直线/的斜率存在，则直线的方程为（）

A.4x+y=0B.4x+3y=OC.x+4y=0D.x+2y=0

33.（2023•河北邢台・校联考模拟预测）已知点P（0,4）"员|M:（x-4）\y2=16,过点N（2,0）的直线/与圆M交于A,

B两点.则|PA+PB|的最大值为（）

A.8卷B.12C.6亚D.96

34.（2023・全国•本溪高中校联考模拟预测）已知。为平面点角坐标系的原点，点A（0,l）,8为圆（12『+（尸2>=1

上动点，记经过4、B的直线为/,以。为圆心与/相切的圆的面积为，，经过O、A、8三点的圆的面积为邑,则§

的最大值为（）

A.（9-4右）兀2B.（13+4X/3）TC2

二、多选题

22

35.（2023•湖南•模拟预测）已知圆G：（4-1『+（），-3）2=12与圆6：（x+1）+（y-W）=4,则下列说法正确的是

)

A.若圆G与x轴相切，则〃2=±4

B.直线丘-），-2八1=0与圆C1始终有两个交点

C.若〃?=-3,则圆G与圆3相离

D.若圆&与圆C?存在公共弦，则公共弦所在的直线方程为4工+（6-2〃?））、+＞+2=0

36.（2023•湖北•统考模拟预测）已知直线/：y=〃（x+2）交》轴于点P,圆M:+丁=],过点尸作圆M的两

条切线,切点分别为A，R，直线AA与河户交于点C,则（）

A.若直线/与圆M相切，则2=±巫

15

B.当£=2时，四边形P4例4的面积为2M

C,直线人8经过一定点

D.已知点。（，。）则|区为定值

37.（2023•山西・校联考模拟预测）已知圆C:/+（y-点。为直线/：公+y-2"3=O上的药J点，则下列说法

正确的是（）

A.圆心C到直线/的最大距离为8

B.若直线/平分圆C的周长，则&=-1

C.若圆C上至少有三个点到直线/的距离为:，则T6-收＜、＜-16+而

21515

D.若2=1,过点。作圆C的两条切线，切点为A,8,当点。坐标为（2,3）时，/AQA有最大值

38.（2023・湖南・湖南师大附中校联考模拟预测）已知AA为圆0:/+），2=]上的两点，尸为直线/切+），-2=。上一

动点，则（