2024人教版七年级数学下册期末复习：填空压轴题 专项练习题汇编（含答案解析）

人教版（2024）七年级下册数学期末复习：填空压轴题专项练习题汇编

【题型1平行线中的动点问题】

1.已知直线48||CD,E为两直线间一定点，ZDCE=23°,若点尸为平面内一动点，且满足

ZABF=51°,连接B/，EF,则NBFE的平分线与NCE尸的平分线所在直线所夹的锐角

2.如图，AC//BDfBC平分NABD,设为。，点方是射线外上的一个动点，若

ZCAE=5:2,则NC4E的度数为.（用含a的代数式表示）.

3.如图，AB〃3,点£,尸在直线48上（尸在£的左侧），点G在直线＜〃上，EH工HG,垂足

为H,P为线段EH上的一动点，连接GP,GF,/FGH与"BFG的角平分线交于点Q,且点Q在

直线AB,CO之间的区域，下列结论：

①/BEH+NDGH=90"；

②/CGH+2NFQG=270°；

③若/PGH=3/DGH,贝IJ34EH+ZEPG=360°；

④若NPGH=?1NPGH,则+」-=90。，其中九为正整数.

NBEHn+lNTG0

上述说法正确的是（写出所有正确结论的序号）.

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AFEB

4.如图，直线AB〃CO,点反尸分别在直线4B,C。上，点P为直线4B与CO间一动点，连接EP,

FP,且NEPF=120°,4EP的平分线与NPFC的平分线交于点0,则/EQF的度数

为•

A-----£---------B

C---------D

F

【题型2平行线中的旋转、平移问题】

1.如图，在中，/B心\5°,是锐角，将△力比'沿着射线AC方向平移得到△口%

（平移后点儿B,C的对应点分别是点〃，E,F）,连接G9,若在整个平移过程中：N/67?和

/3的度数之间存在2倍关系，则N/8.

2.如图，在AABC中，BC=6,将ABC以每秒2cm的速度沿BC所在直线向右平移，所得图形对

应为aDEF,设平移时间为t秒，若要使BE=2CE成立，则t的值为

3.两块不同的三角板按如图1所示摆放，4c边重合，ZBAC=45\ZDAC=303.接着如

图2保持三角板ABC不动，将三角板ACD绕着点。按顺时针以每秒10°的速度旋转90°后停

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止,在此旋转过程中，当旋转时间£=秒时，三角板A'CD'有一条边与三角板ABC的

一条边恰好平行.

4.如图，直线GH〃MN,一副三角板按如图1摆放，其中/EOF=ZACB=90",4=45°,

/B4c=30°.保持三角板4BC不动，现将三角板DEF绕点。以每秒2°的速度顺时针旋转,

如图2,设旋转时间为t秒，A0<f<180,则经过秒边BC与三角板的一条直角边(边

DE,DF）平行.

【题型3实数中的新定义问题】

1.学习完《三角形》章节，某数学小组小花同学给出如下定义：对任意的一个三位数n,如果

几满足各个数位上的数字均不为零，且该数任意两个数位上的数字之和大于余下数位上的数字,

那么我们就把该数称为“稳定数”.把“稳定数”九的十位数字作个位，百位数字作十位得到

的两位数，再加上九的个位数字的和记作F5),把“稳定数”n的十位数字作十位，百位数字

作个位得到的两位数，再加匕九的个位数字的和记作Q5).

例如：675,是一个“稳定数”，由定义得尸(675)=67+5=72,Q(675)=76+5=81.若

一个“稳定数"s=100。+101b+30(l工QW5,1<b<4,a,b为整数)，当5F(s)+2Q(s)

能被11整除时，则满足条件的“稳定数"s的值为.

2.对于实数x,外定义一种运算“X”如下，xXy=ax-byt已知2X3=10,4X(—3)=6,

那么(-2)X(V27)2=;

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3.定义新运算

若Q@b=71(〃是常数)，贝"(Q+l)@b=几+1,Q@(b+1)=71—2.若1@1=2则

1@2=,2@2=,2020@2020=.

4.《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征.在数的学习

过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、

偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特殊的自然数一一“纯数”.定义：对于自然数

n,在计算n+(n+l)+(n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”,例如：32

是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24

+25时，个位产生了进位.那么，小于100的自然数中，“纯数”的个数为个.

【题型4平面直角坐标系中的新定义问题】

1.在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点A,8,C的“矩面积”，给出如下定义：“水

平底”Q指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”力指任意两点纵坐标差的最大值，“矩面积”

5=敦.例如：4(1,2),8(—3,1),C(2,一2)则“水平底”a=5,“铅垂高”力=4,“矩

面积“S=Q/=20.若0(1,2),E(-2,l),F(0,£)三点的“矩面积”为18,则t的值为.

2.在平面直角坐标系中，对于任意三点A,B,C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：

任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积"S=ah.例

如，三点坐标分别为A(0,3),B(-3,4),C(1,-2),则“水平底”a=4,“铅昼高”h=6,

“矩面积"S=ah=24.若D(2,2),E(-2,-1),F(3,m)三点的“矩面积”为20,则m的

值为.

3.定义：平面内的直线A与，2相交于点。，对于该平面内任意一点加点也到直线。的距离

分别为a,b,则称有序非负实数对(a,b)是点步的“距离坐标”根据上述定义，“距离坐标”

为(2,1)的点的个数是.

4.在平面直角坐标系中，将任意两点横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值中较大的值定

义为这两点的“切比雪夫距鹿”.例如，点4(3,-2),8(—1,7),横坐标差的绝对值为|3—

(-1)|=4,纵坐标差的绝对值为|一2-7|=9,所以48的切比雪夫距离为9.若点M(t,3t+2),

N(2£"-2)的切比雪夫距离为3,则£=.

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【题型5平面直角坐标系中的面积问题】

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点力(-5,4),8(—1,2),将线段48平移，得到线段CO(点

A的对应点为点C,点8的对应点为点。)，线段AB上任一点8y)在平移后的对应点为Q+s,y-

(2)若s+t=6,且平移后三角形BCD的面积最大，见此时s=,t=.

2.如图，在平面直角坐标系中，点4,B的坐标分别为(一1,0),(3,0).现将线段4B向上平移2个

单位，再向右平移1个单位，得到线段4B的对应线段CD,连接4C,BD.若在y轴上存在一点P,

连接P4PB,且△P4B的面积是△A。。面积的2倍，则满足条件的所有点P的坐标.

3.在平面直角坐标系xOy中，已知点/(£,0),B(t+2,0),M(3,4).以点M为圆心，1为半径画

圆,点夕是圆上的动点，则△48〃的面积的最小值和最大值依次为,.

4.如图，长方形0aBe在平面直角坐标系中，其中4(4,0),C(0,3),点E是BC的中点，动点P从

。点出发，以每秒1cm的速度沿。一4一8—E运动，最终到达点E.若点P运动的时间为入秒,

那么当％=2秒时，△OPE的面积等于cm2；当△OPE的面积等于5cm2时，尸点坐标

为.

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【题型6平面直角坐标系中的规律探究】

1.如图，点力在x轴正半轴及y轴正半轴上运动，点力从原点出发，依次跳动至点&(0,1)、/2(1，。)、

&(2,0)、4(0,2)、4(0,3)、4⑶。)、%(4,0)、4(0,4),……,按此规律，则点4023的坐标

是.

2.如图，在平面直角坐标系中，点A从4(一4,0)依次跳动到』2(—4,l)M3(-3,l)M4(-3,0),

45（—2,0）4（-2,3）,%（-1，3）,&（-1,0）,4（一1,-3）,410（0,-3）,4式0,0）,…,

按比规律，则点&022的坐标是

Vt

44二

r~r凡-]।口।।♦

力]4445OOil）工

3.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“一”方向排列，如(1,0),

(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),(4,0)……,根据这个规律探索可得第2020

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个点的坐标是.

•(5.4)

•(43)*(53)

•(3.2)•(4,2)>(5,2)

>

O(1.0)(2.0)(3.0)(4.0)(5.0)

4.如图，在平面直角坐标系上有个点P(l,0),点P第1次向上跳动1个单位至点Pi(l,l),紧接着

第2次向右跳动2个单位至点「2(—1,1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5

次又向_L跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…依此规律跳动下去，”的坐标是

点P第8次跳动至Pg的坐标为；则点P第256次跳动至0256的坐标是.

【题型7二元一次方程组中的数字问题】

1.如果一个四位数M各个数位上的数字互不相等且均不为0,且千位与十位上的数字之差等于

百位与个位上的数字之差，则称M为“等差数”，将M千位上的数字与十位上的数字对调，百

位上的数字与个位上的数字次调，得到一个新的四位数M',记。(M)=R—,若谢为等差

数，且丽)=-27,则数函为;若D(M)为正数且能表示为两个连续偶数的平方

差，则满足条件的最小“等差数”M是.

2.一个四位正整数N,各个数位上的数字互不相等且均不为零，若干位与十位上的数字之和等

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于百位与个位上的数字之和，且和均为9,则称N为“凤鸣数”，此时，规定K(N)=号例如，2475

中，2+7=4+5=9,2475是“凤鸣数”，K(2475)=誓=25：又如，2375中，3+5H9,

2375不是“凤鸣数”，

(1)K(5841)=；

(2)对于一个“凤鸣数”N,且N为偶数，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位

的数字，得到一个新的“凤鸣数"N',若3K(/7)+24(可’)是9的倍数，且N的千位数字不小

于百位数字，则满足条件的配有“凤鸣数"N为.

3.对于千位数字是仄百位数字是从十位数字是以个位数字是d的四位正整数M若a+c=

b+d=ll,则称这个四位正整数必为“平衡数”，并记G(M)=10a+b-

b-a

(10c+d).例如：对于四位正整数2497,丁2+9=4+7=11,・・・2497是“平衡数”，且

/(2497)=—=；,(7(2497)=24-97=一73.若四位正整数称是一个“平衡数”，且满足Q<b,

4—73

/'(历)=-1,G(M)是7的整数倍，贝.

4.一个四位数时的千位为a,百位为A十位为1,个位为c(c#O),满足c=a+b,将"的个

位数字c放到千位数字日之前产生新四位数”,例如:M=2315,则N=5231.记/(M)=答，

则F(2517)=;若F(时)为6的倍数，则满足条件的所有."中，F(M)的最大值是.

【题型8二元一次方程中的方案设计】

1.某社区出资100元全部用于采购4B,。三种图书，力种每本6元，8种每本5元，。种每

本4元，其中1种图书只能买5或6本(三种图书都要买)，此次采购的方案有种.

2.为了让学生在课堂中深度学习，刘老师计划将学生分成若干小组进行小组互助，若七年级某

班汲共有60名学生，每小组只能是4人或6人，则分组方案有种.

3.小红买了80分、120分的两种邮票，共花掉16元钱(两种邮票都买)，则购买方案共有_

种,

4.某商场在11月中旬对甲、乙、丙三种型号的电视机进行促销.其中，甲型号电视机直接按成

本价1280元的基础上获利25%定价；乙型号电视机在原销售价2199元的基础上先让利199

元，再按八五折优惠；丙型号电视机直接在原销售价2399元上减499元；活动结束后，三种

型号电视机总销售额为20600元，若在此次促销活动中，甲、乙、丙三种型号的电视机至少卖

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出其中两种型号，则三种型号的电视机共有种销售方案.

【题型9一元一次不等式组中的最值问题】

1.三知非负数a,方，c满足条件Q+/)=5,c=a-3,设5=Q+2b+3c的最大值为/〃，最小

值为"，贝1127n+九的值是.

2.若a、b、c、d是正整数，且a+b=22,Q+C=26,a+d=28,则a+b+c+d的最小

值为.

3.已知实数a,仇满足14a+b44,04Q-b41且a-2b有最大值，则8a+20216的值

是•

4.己知非负实数X、y、z满足?=?=F，记M=x+2y+3z.则M的最大值臧去最小值

的差为.

【题型10方程与不等式的综合探究】

1.己知关于2的方程组二Q,下列四个结论:①当Q=1时，方程组的陋是

②无论宜为何值，方程组的解都是关于X,y的二元一次方程％+y=Q+2的解；③方程组的

解x与y可以同为负数；④若方程组的解x与y都为正数，且3x+2y+z=0,则z的取值范

围为一9Vz<—3.其中正确的是.(填写序号)

x—2(%—1)W3

2.关于％的方程k—2x=3(k-2)的解为非负数，且关于％的不等式组生空〉％有解，

3—

则符合条件的整数k的值的和为.

3.已知关于x,y的方程组的解％，y都为正数，满足不等式|Q|+|4-a|<6成立

的整数Q的值为(写一个即可).

4.已知工,y同时满足％+3y=4—m,%—5y=3m,若y>1—a,3%—5>a,且x只能取

两个整数，则a的取值范围是.

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参考答案

【题型1平行线中的动点问题】

1.14°或37°

【分析】本题考查了平行线的性质、角平线的定义，根据题意可分两种情况进行讨论，一种是

点尸在4B下方，一种是点尸在上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错

角相等以及角平分线的定义可得到结果，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质，理解角平

分线的定义是解决问题的关键.

【详解】解：当点b在48下方时，

过点尸作H/IIAB,过点£作JKII4&如图1所示:

设/GEK=a,

'：AB||CD,

：.AB||HI||JK||CD,

•:/DCE=23°,ZABF=51°,

•IZKEC=ZDCE=23°,/BFH=ZABF=51°,

.IZGEC=NGEK+NKEC=a+23°,

TEG平分/CEF,

，ZGEC=NGEF=a+23°,

?.ZFEK=/FEG+NGEK=23+2a,

J/BFE=/BFH+/HFE=23°+2a+51°=74°+2a,

•.•6尸平分/&尸后,

/.ZBFE=NEFT=|NRFE=1（74°+2a）=37。+a,

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，/GFE=180°-/EFT=180°-(37°+a)=143°-a,

JZEGF=180°-(NGFE+NFEG)=180°-(a+23°+143°-a)=14"；

②当点6在A8上方时，过点F作MN||AB,如图2所示：

图2

设4EN=0,

/DCE=23°,ZABF=51°,

'：AB||CD,

：.AB||MN||CD,

•?/CEN=NDCE=23。，

，/PEC=/PEN+NCEN=夕+23°,

*/GE平分NCEF,

ZFEP=NPEC=/7+23°,

NGEF=1800-ZFEP=180°一(夕+23°)=157°-0,

ZFKA=NFEN=NFEP+/PEN=/7+230+/?=230+2/7,

*；ZFKA=ZABF+/BFE,

：./BFE=/FKA-NABF=230+2”51°=20-28°,

GF平分NBFE,

J/GFE=1/BFE=*26-28。)="14。，

ZFGE=180'-{ZGEF+NGFE)=180°-(157°-0+/?-14。)=37。，

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综上所示：N6FE的平分线与NCEF的平分线所在直线所夹的锐角为14°或37°,

故答案为：14°或37°.

。-4a

2Q.120——4a或IX-36-0--0---

37

【分析】根据题意可分两种情况,①若点E运动到人上方，垠据平行线的性质由a可计算出4BO

的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出4MC的度数，再由4M。：/乙42?=|,

ZBAE=ZBAC+ZCAE,列出等量关系求解即可得出结论；②若点E运动到匕下方，根据平

行爱的性质由a可计算出NCBO的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出N54c

的度数，再由N54E:ZCAE=|,ZBAE=ZBAC-NC4E列出等量关系求解即可得出结论.

【详解】解：如图，若点£运动到乙上方,

图2

-AC//BDt

・・・/CBD=ZACB=a,

vBC平分Z4BD,

・•・/ABD=2NCBD=2a,

ZBAC=1800-ZABD=180°-2a,

又•，•一例IE:/CAE=

2

：・(NBAC+ZCAE)\ZCAE=|,

(180°-2a+4AE):ZCAE=|,

解得/CAE=兼?-2。二120。一金a；

2-13

如图，若点£运动到乙下方，

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VAC//BD,

/CBD=ZACB=a,

•・,BC平分280,

・•・ZABD=2NCBD=2a,

・•・ZBAC=180°-/ABD=180°-2a,

又•••ZBAE\ZCAE=

2

{ZBAC-ZCAEy.ZCAE=

(180°-2a-ZCAEy.NCAE=|,

综上/^^的度数为修。。-蓊或36。；~.

故答案为：120°或受竺.

•5•

3.①③④

【分析】过点H作HL〃/1B,利用平行线的性质可得NBE77+N0GH==

ZEHG=90°,即可判断①；根据角平分的定义可得NQFGNQGF=3/FGH,

再根据三角形内角和定理4QG=180。-NQFG-NQGF,根据NCGH=1800-NDGH,

利用平行线的性质即可判断②；设N0GH=x°,则4G，=3/DGH=3x°,利用①的结

论即可判断③，同上可判断④.

【详解】解：如图，过点H作HL〃AB,

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AEB

VAB//CD,AB//HLy

CD//HLt

/EHL=NHEB,NGHL=NHGD,

•••EH1HG,

・•・/EHG=90°,

・•・/BEH+NDGH=NEHL+NGHL=ZEHG=900,故①正确；

•••与/BFG的角平分线交于点Q,

/QFG=1/BFG,/QGF=|NFGH,

/FQG=180°-NQFG-NQGF,

根据①中的结论，可得NFQG=Z8FQ+NQGD,

・・・,•・NCGH+2NFQG=1800-NHGD+2(180°一/QFG-NQGF),

=1800-ZHGD+3600-2QFG-2QGFt

=540°-(NHGD+NBFG+ZFGD)

vAB//CD,

"BFG-ZFGC,

・•・/HGD+ZBFG+ZFGD=ZHGD+ZFGC+NFGD=180°,

・•・/CGH+2NFQG=540°-180°=360°,故②错误；

设ZDGH=x0,则/GH=3CGH=3x°,

・•・/PGD=4x0,

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0

根据①中结论可得NBEH=90°-NDGH=90°-x,A/EPG=/BEH+/PGD=

90°-x°+4x°=900+3%

・•・3NBEH+/EPG=270°-3x°4-900+3x°=360°,故③正确；

设/DGH=x0,则/PGH=n/DGH=nx°,

••・ZPGD=(n+l)x0,

：.x°=工NPGD=NDGH,

n+l

根据①中结论可得N5EH+=ZBEH+—ZPGD=90°,故④正确.

n+l

故答案为：①③④.

4.60°或120°

【分析】

分两种情况讨论，当点P,Q在E尸同侧或异侧时，利用角平分线的定义和平行线的性质，分别

求解即可.

【详解】

解：分两种情况讨论：

①如图1,过点P.Q分别作PH〃48,QG//AB.

•・•AB〃CD,

QG//PH//AB//CD.

ZAEP=NEPH,NPFC=NHPF.

・•・ZAEP+NCFP=NEPH+NFPH=NEPF=120°.

・•・4EP的平分线与NPFC的平分线交于点Q,

ZAEQ=^ZAEPyNCFQ=^/PFC.

••・ZAEQ+NQFC=g(4EP+ZPFC)=60°,

vQG//AB//CD,

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同理可得/EQ尸=ZAEQ+/QFC=60°；

②如图2,过点P,Q分别作P”〃4B,QG//AB9

vAB//CD,

QG//PH//AB//CD.

/.ZAEP+/EPH=180°,NHPF+NCFP=180°.

•••/EPH+/HPF=/EPF=120°,

•・•ZAEP+/CFP=180°+180°-120°=240°.

•・・Z4EP的平分线与NPFC的平分线交于点Q,

---ZAEQ=^AEP,^CFQ=1^PFC.

・•・ZAEQ+NQFC=](4EP+/PFC)=120°.

•••QG//AB//CD,同①可得N'EQF=ZAEQ+NQFC=120°.

综上所述，4QF的度数为60。或120。.

故答案为：60。或120。

【题型2平行线中的旋转、平移问题】

1.15°或30°或90°

【分析】根据△月回的平移过程，分为了点£‘在回上和点后在a'外两种情况，根据平移的性

质得到AB〃DE,根据平行线的性质得到//切和和/胡。之间的等量关系，列出方程求

解即可.

【详解】第一种情况：如图，当点与在画上时，过点。作CG〃/

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ADG

BECF

由△/厉。平移得到，

：4B〃DE,

•:CG〃AB,AB〃DE,

，CG〃DE,

①当N4C+2NC定时，

:•强/CD衣x,则

丁・/力gN班会45°,4DCG-4CD序x,

:/ACF/ACG^/DCG,

・・・2x+产45°,解得：产15°,

：.ZACD=2x=30°,

②当N以后2N47?时，

:,设/CD拄X、则N4叱%

，/4妗/为小45°,/DC仔/CD打X、

'：4ACA/ACG-/DCG、

・・・2户:下45°,解得：产30°,

丁・/力◎工厂15°,

2

第二种情况：当点£在△力8。外时，过点。作CG〃/B

AA/GD

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VADEI'由△月8。平移得到,

：.AB//DEt

VCG//AB,AB〃DE,

:・CG〃DE,

①当时，

谀乙CD库x,则N/92x,

：.ZACG=ZBA(=45°,ZDCG=ZCDE=xf

*：/ACD-AACG^ADCG,

「・2厂产45°,解得：^=45°.

.\ZJ6Z>2A=90O,

②当⑦时，由图可知，/CDEYACD,故不存在这种情况，

综上：N力力15°或30°或90°.

2.2

【分析】根据平移的性质，结合图形，可得AD二BE,再根据AD=BE=2CE,可得方程，解方程即

可求解.

【详解】解：根据图形可得：线段BE和AD的长度即是平移的距离，

则AD=BE,

设AD=2tcm,则CE=tcm,依题意有

2t-t=6,

解得t=2.

3.4.5或3或7.5

【分析】分三种情况，根据平行线的性质求解即可.

【详解】解：分三种情况：

①当4'C〃AB时，如图：

第18页共43页

A

ZACA=ZBAC=45°,

lOt=45,

:.t=4.5.

②当D'〃4c时，

ZACA=ZA'=30°,

•••lOt=30,

•••t=3.

③当4'0'〃A8时，过C作C0〃A8,

则CD〃4B〃AD',

=ZACD,NA=/A'CD,

ZA'CA=ZACD+4'CO=4+4'=75。，

lOt=75,

:•t=7.5.

第19页共43页

综上所述，当旋转时间t=4.5或3或7.5秒时，三角板4'CD'有一条边与三角板ABC的一条边

恰好平行.

故答案为：4.5或3或7.5.

4.15或60或105或150

【分析】延长风:交MN于P点，可求NBPN=60°,进行分类讨论，画图可得在各个不同位置

或时，。所旋转的度数，即可求解.

••・/ABC=60°,

•••GH〃MN,

.・./BPN=60°,

①如图，

当一ZBPN—60。时，DE」/BC,

・•・此时0旋转的度数为N£OEi=30°,

②如图

第20页共43页

当"OP=/BPN=60°时，DF\〃BC,

ZEDF1=30°,

••・此时。旋转的度数为NEO%=120°,

当«DP=CPN=60°时.DE\〃BC、

・•・/EDQ=30°,

・•・此时。旋转的度数为180°+30°=210°,

210

105(s)；

2

④如图

当/QDP=4PN=60。时，DF\〃BC,

第21页共43页

・♦・/EDQ=30°,

・•・此时。旋转的度数为270。+30°=300°,

300

150(s)；

2

综上所述：15或60或105或150.

【题型3实数中的新定义问题】

1.432或534

【分析】由s=100a+1012?+30,可找出F(s)及Q(s),进而可得出5F(s)+2Q(s)=52a+

59b+75,结合5F(s)+2Q(s)能被11整除，可得出8a+4b-2能被11整除，分别代入b=1,

2,3,4,找出满足题意的a值，再将其代入s=100a+1018+30中，即可求出结论.

【详解】解：・.飞=100a+101b+30=100(a+b)+3x10+依

F(S)=10(Q+b)+3+b=10a+11b+3,Q(s)=3x10+(a+b)+b=Q+2b+30,

・・・5F(s)+2Q(s)=5(10Q+lib+3)+2(a+2b+30)=52a+59b+75.

••,5F(s)+2Q(s)能被11整除，

・・・52Q+59b+75能被11整除，

即52a+59b+75=(44a+55b+77)+(8a+4b-2)能被11整除，44a+55s+77能被11

整除,

・・・8Q+4b-2能被11整除.

Vl<a<5,1</?<4,Q,b为整数，

・•・当b=l时，不存在符合题意的Q值；

当b=2时，a=2,此时s=100a+101b4-30=100x2+101x2+30=432；

当b=3时，不存在符合题意的a值：

当。=4时，a=1,此时s=100a+101b4-30=100x1+101x4+30=534.

・•・满足条件的“稳定数”s的值为432或534.

故答案为:432或534.

2.130

【详解】【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出a与b的值，即可确定出原式的值.

【详解】根据题中的新定义得：

第22页共43页

(2a-9b=10

I4Q-9b=6

ra=-2

解潺b=.上，

9

2

所以，(-2)x(V27)2=(-2)a-b[(V27)2]

=(-2)x(-2)-(-^)x[(V27)2]2

=130

故答案为130

3.01-2017

【分析】首先要理解新定义运算符号的含义，然后严格按着新的运算规则操作，将新定义运算

转化为常见的数学运算，求解即可.

【详解】1@2=1@1-2=2-2=0;2@2=1@2=0+1=1;

2020@1=2019@1+1=2018@1+2=...

=1@1+2019=2021

2020@2020=2020@2019-2=2020@2018-4=

...=2020@1-4038=-2017

4.12

【分析】根据题意，连续的三个自然数各位数字是0,1,2,其他位的数字为0,1,2,3时

不会产生进位，然后根据这个数是几位数进行分类讨论，找到所有合适的数.

【详解】解：当这个数是一位自然数时，只能是0,1,2,一共3个，

当这个数是两位自然数时，十位数字是1,2,3,个位数是0,1,2,一共9个，

・•・小于100的自然数中，“纯数”共有12个.

故答案是：12.

【题型4平面直角坐标系中的新定义问题】

1.一4或7

【分析】先求出“水平底”为3,再根据“矩面积”的定义求出“铅垂直”为6,再讨论当点F在

点D下方时，当点F在点。上方时，建立方程求解即可.

【详解】解：由题意知，〃、E、F三点的“矩面积”的“水平底”。=1一(-2)=3,

E、尸三点的“矩面积"S==18,

第23页共43页

：.D、E、尸三点的“铅垂直”力=18+3=6,

当点F在点。下方时，2—£=6,

解得t=-4.

当点F在点。上方时，t-1=6

解得：t=7,

故答案为：-4或7.

2.-2或3

【分析】根据矩面积的定义表示出水平底”a和铅垂高“h,利用分类讨论对其铅垂高“h进行

讨论，从而列出关于m的方程，解出方程即可求解.

【详解】VD(2,2),E(-2,-1),F(3,in)

，“水平底”a=3-(-2)=5

“铅垂高"h=3或|l+m|或|2F|

①当h二3时，三点的“矩面积"S=5X3=15W20,不合题意；

②当h=|l+m|时，三点的“矩面积"S=5X|l+m|=20,

解得：m=3或m=-5(舍去)；

③当h=|2-m|时,三点的“矩面积"S=5X|2-m|二20,

解得：m=-2或m=6(舍去);

综上：m=3或-2

故答案为：3或-2

3.4

【分析】首先根据题中定义，可得，“距离坐标”为(2,1)的点是到L的距离为2,到分的距离

为1的点：然后根据到L的距离为2的点是两条平行直线，到L的距离为1的点乜是两条平

行直线，发现所求的点是以上两组直线的交点，一共有4个.

【详解】解：如图，到4的距离为2的点在两条平行直线压〃上，

第24页共43页

到12的距离为1的点在两条平行直线总〃上.

因为两组直线的交点一共有4个，

即力，B,C,D,所以“距离坐标”为(2,1)的点有4个.

4.-3或一［

【分析】由题意知，M、N的横坐标差的绝对值为|t—2t|=旧，纵坐标差的绝对值为

|3t+2-(t-2)|=|2t+4|,由两点的“切比雪夫距离”可得①当田>|2t+4|时，|t|=3,

②当旧<|2t+4|时，|2t+4|=3,分别求解即可.

【详解】解：由题意知，M、N的横坐标差的绝对值为|£一2t|=|£|,纵坐标差的绝对值为

|3t+2-(t-2)|=|2t+4|,

①当|£|>|2t+4|时，|t|=3,解得"3或£=一3,

当1=3时，|2t+4|=10,此时|£|<|2l十4|,故£=3不符合题意；

当1=一3时，|2£+引=2,此时|£|V|2£+4|,故匕=一3符合题意；

②当<|2£+4|时，|2t+4|=3,解得£=—：或£=—：,

当1=一：时，IH=g此时田V|2t+4|,故亡=一：符合题意；

当t=-(时，IH=(此时|t|>|2t+4|,故1=一(不符合题意；

综上所述，"一3或£=一号

故答案为：一3或一点

【题型5平面直角坐标系中的面积问题】

1.4206

【分析】(1)根据点C与点及怪好重合，得到线段48向右平移4个单位，向下平移2个单位到

线段CO,从而得出s=4,t=2；

(2)根据线段48上任一点(%,y)在平移后的对应点为(％+s,y—t),s>0,t>0,得出48只

能句右平移或向下平移，根据无论如何平移，线段CO的长度不变，得出当CD上的高最大时,

△BCO面积最大，根据点3距离CD最远时，△BCO面积最大，根据s+£=6,结合图形，得

出当48向下平移6个单位时，水平位置不动时，点6距离CD最远，△BCD面积最大，即可得

第25页共43页

出答案.

【详解】解：⑴•・•点C与点B恰好重合，

・•・线段88向右平移4个单位，向下平移2个单位得到线段CD,

，线,段AB上任一点(％y)在平移后的对应点为(x+s,y-t),

As=4,t=2；

故答案为：4；2；

(2).・•线段4B上任一点(%,y)在平移后的对应点为(％+s,y—t),s>0,t>0,

••・4B只能向右平移或向下平移，

•・•无论如何平移，线段CO的长度不变，

・••当CO上的高最大时，△BCD面积最大，

即点8距离CD最远时，△8CD面积最大，

:s十I=6,

・•.当向下平移6个单位时，水平位置不动时，点8距离CD最远，△BCD面积最大，如图所

此时s=0,t=6,

故答案为：0；6.

2.(0,1)或(0,-1)

【分析】设点P到48的距离为4,则,根据5旷48=2,列方程求力的值，

确定P点坐标.

【详解】•・•点力，6的坐标分别为(-1,0),(3,0).现将线段力8向上平移2个单位，走向右平移1

第26页共43页

个单位，

・•・C(0,2),

则S-oc=2x°，x0C=-x1x2=1

VAP4B的面积是△40C面积的2倍，

**•^£^PAB=2,

设点P到4B的距离为力，则；xABx4=2/，

•J^h.PAB=2,

2/=2,

解得：h=1,

・・・P(0,1)或(0,-1).

故答案为：(0,1)或(0,-1).

3.35

【分析】首先求出点力和点月在x轴上，且4B=t+2-£=2,然后得到当点P到x轴的距

离最小时，△ABP的面积取得最小值，此时点刀在点"的正下方，当点月到x轴的距离最大时，

△ABP的面积取得最大值，此时点户在点."的正上方，然后利用三角形面积公式求解即可.

【详解】VA(t,0),B(t+2,0)

・••点力和点夕在x轴上，且4B=t+2-t=2

•・•以点M为圆心，1为半径画圆,点P是圆上的动点，

，当点尸到x轴的距离最小时，AABP的面积取得最小值，

此时点〃在点"的正下方，

VM(3,4),半径为1,

「・比时△人??的面积=5x2x3=3；

2

当点。到X轴的距离最大时，AABP的面积取得最大值，

此时点〃在点时的正上方，

•・・M(3,4),半径为1,

，比时△4BP的面积=gx2x5=5；

综上所述，4ABP的面积的最小值和最大值依次为3,5.

第27页共43页

故答案为：3,5.

4.3（三，0）或（4,1）

【分析】当x=2秒时，利用三角形面积公式即可求解；第2问分三种情况，分别画出图形,

利用三角形的面积公式进行计算解答即可.

【详解】解：由题意得O4=BC=4,OC=AB=3,BE=CE=^BC=2,

当工=2秒时，OP=2,△OPE的面积等于工OPxOC=3；

2

当△OPE的面积等于5cm2时，分三种情况讨论，

①如图，

当户在OA上时，0V%44,

TAOPE的面积等于5,

：

.-2x-3=5,

解得％=学.

・・.P点坐标为（三，0）；

②当。在4B上时，4<%<7,如图,

第28页共43页

•・•AOPE的面积等于5,

•矩形。48c—SMOP—S&OCE~S&EBP=5,

.,.4x3-1(4+3-x)x2-1x3x2-ix4x(x-4)=5,

解得x=5.

：.AP=5-4=1,

点坐标为(4,1)；

③当户在BE上时，7<x<9,如图,

・=(4+3+2-X)x3=5,

2

解得X=£,不合题意，舍去.

综上可知，当△OPE的面积等于5cm2,P点坐标为(T，0)或(4,1)

故答案为：3；(y,0)或(4,1).

【题型6平面直角坐标系中的规律探究】

1.(1012,0)

【分析】每2个坐标为一组可得，第九组：当"为奇数时，4加1(0m)、力式几。)，当九为偶数时,

4271.15，°)、i42n(0,n),即可求解.

【详解】解：由4式0,1)、4(1,0)、4(2,0)、4式0,2)、4(0,3)、4(3,0)、&。。)、4(0,4),…，

按此规律，可得

每2个坐标为一组：

第侬：4(0,1)、42(1，0),

第29页共43页

第2组：4(2,0)、4(0,2),

第3组：生(。，3)、4(3,0)，

第4组：4(4,0)、4(0,4),

第71组：当几为奇数时，&吁1(0,九)、A2n(n,0),

当兀为偶数时，42nT(九,0)、A2n(。,n):

4023在第1012组的第1个坐标，

,,42023(1°12,0)，

故答案：42023(1012,0).

2.(804,1)

【分析】根据图形可以发现规律，从4到Au是一个循环，一个循环周期是10,一个循环后又

回到*轴上，且一个循环后横坐标增加4个单位，先求出点<2021的坐标(804,0),再求点^2022

的坐标即可.

【详解】解：观察图形可知，〃为正整数时，4的纵坐标为0,1，3,-3

纵坐标为0的点：AltA4A5fA3AlltA14……

纵坐标为1的点：①，43，12,413422,，23...

纵坐标为3的点：i46,A7Ai6,A17A26>^27...

纵坐标为-3的点:A(),410Al9,A20“29,430...

可以看出纵坐标为1,3,-3时，力取连续的两个数为一组，则10个10个的增加，

72021=10X202+1,纵坐标为1的规律(A2+105T)，^2+io(n-i)+i)

•,"2022的纵坐标为1，

由2+1。(几一1)=2。22,解得〃=203,

\F2022正好是4往右循环203次，

，42022横坐标为-4+(203-1)X4=804,

・••点42022的坐标是(804,1),

故答案为：(804,1)

3.(64,3)

第30页共43页

【分析】横坐标为1的点有1个，横坐标为2的点有2个，横坐标为3的点有3个，纵坐标分

别是0,1,2…横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横坐标为偶数，则从0开始数.

【详解】解：把第一个点(1,0)作为第一列，(2,1)和(2,0)作为第二列，

依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，

第n列有n个数.则n列共有的#个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺

序由下到上.

因为1+2+3+…+63=2016,则第2020个数一定在第64列，由下到上是第4个数.

因而第2020个点的坐标是(64,3).

故答案为：(64,3).

4.(2,2)(3,4)(65,128)

【详解】由题中规律可得出如下结论：设点L的横坐标的绝对值是n,则在y轴右侧的点的下

标分别是4(n-l)和4n-3,在y轴左侧的点的下标是：4n-2和4nT；

结合图像可知：P()(l,0)t与(2,2)tP8(3,4)t…，

由比可知每经4次变化后点的横坐标增加1,纵坐标增加2,

；256+4=64,64+1=65,64X2=128,

二•P256的坐标是(65,128).

故答案为(2,2)；(3,4)；(65,128).

【题型7二元一次方程组中的数字问题】

1.26595612

【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，根据题意得到工一5=6-%贝卜+y=

11,根据D(M)=T)=—27,推出10x—y=ll,联立，，解得R二1则数

人人IJLyj人*jrJLJLIjrJ

运药为2659；设"的千位数字，百位数字，十位数字，个位数字分别为ab、c、d,