山东省菏泽市2025-2026学年高三年级上册期末数学试题A（试卷+解析）

高三数学试题（A）

2026.02

注意事项：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2、答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.

3、考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5亳米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.已知复数z=（2+"i）（J）为纯虚数，则实数。的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.已知集合4={x|—2<X<3},8={X|〃7—1<X<〃Z+1},若AdB=B,则实数〃?的取值范围为（）

A.B.（―1,2）C.[-1,2]D.（-2,1）

r22

3.已知双曲线—vL=i,贝J下列结论正确的是（）

916

A,双曲线。的焦距为5

B.双曲线C的离心率为2

4

C.双曲线C的渐近线方程为歹二士』x

4

D,双曲线。的实轴长为6

4.已知。为锐角，且tana=2,则sina+cosa=（）

A.B.y/5C.好D.-

555

5.已知定义在R上的函数/(工)满足/(x+4)=/(x),且当x[0,4)时，/("=/-4X+3.则

/(2025)的值为()

A.-1B.OC.1D.3

6.实数a,/?满足e"+a=l,ln°+6=0,则。+b=()

e

A-LB.IC.3D.2

A2

7.己知圆。：一+3-2『=1,将直线1:、g-y=0绕原点按逆时针方向旋转30°后得到直线，2，则（）

A.直线4过圆心C

B.直线，2与圆c相交，但不过圆心

C.直线。与圆C相切

D.直线4与圆。无公共点

8.已知Q=C。b=7te,c=2c",d=7t2c»则卜列大小关系正确的是（）

A.a<b<c<dB.b<a<c<d

C.a<c<b<dD.b<c<a<d

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目耍求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

9.已知边长为1的正方体//CO-44G4,E,F,G分别为力A，DD『3C的中点，则（）

A.力G_1_平面£FGB.平面EFG_L平面

C.点G到平面EFG的距离为丑D.异面直线物与所成的角为60。

2

10.已知函数/'（x）=sin\-〃cosx+z?（4,R,XG［0,7T］）,则下列说法正确的有（）

A.若。=1,则/（X）在x=f处的切线斜率为:

B.若。=0,则/（x）在（0,兀）上有且仅有一个极值点

C.若q=2,b=l,则/（x）在［0,兀］上的最大值为3

D.若人=0,〃>4,则/'（X）在［0,可上有两个零点

11.设抛物线G/=8x的焦点为尸，过点尸的直线〃，交。于48两点，过点尸且垂直于机的直线交

/:x=—2于点E,过点力作/的垂线，垂足为。，过点8作/的垂线，垂足为尸，则下列结论正确的有（）

A.“峻=-1B.S力g的最小值为16

,111

C.\AD\］BP\=2\EF\D.府+研=同

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分,把答案填在题中的横线上）

12.已知｛〃“｝是正项数列，4=1,且满足《用二二〃则上是数列（填“等

%+2'

差”或“等比”），牝=

13.已知曲线G：>=与。2：卜=加色>0）在交点处的切线互相垂直，则ln（//）+21M=

X

14.在V/l8c中，己知sin8=2sinGJ=y,AB=T.点P,Q,R分别在边BC,CA±,且

△尸。R是等边三角形.则尸。的最小值为.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

15已知函数/（x）=『+x-]8.

*

⑴求曲线y=f（x）在点（1,一16）处的切线方程;

（2）求过点（0,-2）且与曲线y=/（x）相切的切线方程及切点坐标.

16.某电商平台销售一款智能手表，已知该手表分为“标准版”和“旗舰版”两个型号，平台销售数量中标

准版占比60%,旅舰版占比40%.根据历史数据：一是标准版手表的好评率为80%（好评定义为评分4

星及以上），且好评用户中后续申请售后维权的概率为10%；非好评用户中申请售后维权的概率为20%.二

是旗舰版手表的好评率为90%,且好评用户中后续申请售后维双的概率为5%；非好评用户口申请售后维

权的概率为10%.

（1）随机抽取一位购买该手表的用户，求其给出好评的概率；

（2）随机抽取一位购买该手表的用户，若其申请了售后维权，求该用户购买的是标准版手表的概率；（结

果用分数表示）

（3）平台计划对“无售后维权的好评用户”发放优惠券，求随机抽取一位用户，其符合优惠券发放条件

的概率.

17.数列｛/｝中的项句w｛xlx=2wN1,若存在奇数f,使得子均不为偶数，则称数列｛%｝为f阶

除序列.

（I）数列｛2,4,6｝为上阶除序列.当“£｛1,357,9｝,求出所有的〃：

（2）已知6=6,对仃意的〃b〃£N*,恒有〃求证：数列I""I是5阶除疗列.

n

18.如图，在平行六面体48co-4外物中，网=|囹=|可=1,（刀，"）=90",

（瓦可=60。,＜疝闻=45:,

（1）若E为力4的中点，求证：AB1ED,；

（2）设｛刀，而，刀J为空间的一个基底，用该基底写出平面力。。4的一个法向量；

（3）求力瓦与平面力。。4所成角的正弦值.

19.已知直线乙,4过原点且倾斜角分别为］和T，平面内动点”到乙，距离之积为W.

（1）求点M的轨迹。的方程；

（2）若曲线C与x轴的交点分别为43（4在8左侧），过点尸（-2,0）的直线/交曲线。于",忖两点

（点/位于第一象限，N位于第二象限），直线4M与BN相交于点T.

（i）求证：点T在定直线上：

（i：）求证：射线产T平分NMFB.

高三数学试题（A）

2026.02

注意事项：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2、答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.

3、考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5亳米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.已知复数z=（2+"i）（J）为纯虚数，则实数。的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】先将复数z=（2+〃i）（l-i）展开，再根据纯虚数的定义列方程求解。.

【详解】z=（2+ai）（l-i）=（2+a）+（4-2）i,

因为z是纯虚数，所以实部为0,虚部不为0,

[2+^=0

解得。=_2.

[a-2^0

故选：A

2.已知集合力={x|-2cx<3},8={X|〃2-1〈X<〃2+1},若4nB=B,则实数的取值范围为（）

A.[-2,1]B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】由力02=4,则Bq4,建立不等式组解出即可.

【详解】因为A={x\-2<x<3},B={x\m-\<x<m+[1,

且，〃一1V〃7+1,所以8H0,

由,404=4,则3=力，

m-\>-2m>-\

所以八2'解得飞〃"2,

w+1<3

所以实数〃?的取值范围为[-1,2],

故选：C.

X~v~

3.已知双曲线C：二-2=1,贝]下列结论正确的是()

916

A.双曲线。的焦距为5

B,双曲线。的离心率为』

4

C.双曲线。的渐近线方程为

4

D.双曲线C的实轴长为6

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.

【详解】双曲线方程为:一藉=1，则/=9，/=]6,所以c=Jq2+/=5.

焦距为2c=10,A错误,

c5

离心率e=—=二，B错误，

a3

b4

渐近线方程为y=±-x二±-x,C错误,

a3

实轴长为2。=6,D正确.

故选：D

4.已知a为锐角，且tana=2,则sina+cosa=()

3

B.y/sc.好D.-

A考55

【答案】A

【解析】

,2>/5

sina=---

5

【分析】由同角三角函数的关系，求得再代入计算即可.

加，

cosa=——

5

【详解】已知合为锐角，且tana-2,

/.sina>0,cosa>0,

.25/5

sina-sina=-----

tana=-------=2](负值已舍去),

cosa,解得，

加

sin2«+cos2a=1cosa=——

5

,375

sina+cosa=-----

5

故选:A.

5.已知定义在R上的函数/(工)满足/(x+4)=/(x),且当XE[0⑷时，/(x)=?-4x+3.则

/(2025)的值为()

A.-lB.OC.1D.3

【答案】B

【解析】

【分析】由/"+4)=/(力可知函数周期为4,先把2025对周期取余，转化到已知解析式的区间[0,4)

内，再代入计算.

【详解】因为/(x+4)=/(x),所以函数/(x)的周期T=4.

所以/(2025)=/(4x506+l)=/(l).

当了E[0,4)时，/(X)=X2-4JC+3,代入X=1：

/(1)=12-4X14-3=1-4+3=0

因此/(2025)=0.

故选：B

6.实数a,6满足e"+Q=l,\n-+b=0,则。+6=()

A.yB.1C.3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】通过构造函数/(x)=e'+x,利用其单调性，将两个己知方程转化为函数值相等的形式，从而找

到a与力的关系.

【详解】设函数/'（x）=e'+x,该函数在R上单调递增.

d+4=1，即=

ln2+b=0,化简得lnb-l+6=0,即ln〃+b=l.

e

令z=ln人则e一人代入上式得f+e'=l，即/（。=1.

因为/（。）=/"）=1，且/（x）单调递增，所以a=f=lnb,因此八e“.

将方=e"代入e"+。=1，可得：a+b=a+ea=1.

故选：B

7.已知圆。：一+（尸一2『=1,将直线4:瓜一>=0绕原点按逆时针方向旋转30。后得到直线，2，则（）

A.直线4过圆心C

B,直线。与圆C相交，但不过圆心

C,直线4与圆C相切

D.直线。与圆。无公共点

【答案】A

【解析】

【分析［求出直线4的倾斜角，可得出直线，2的倾斜角，由此可得出直线4的方程，再利用直线与圆的位置

关系可得出结论.

【详解】直线4：瓜-y=o的斜率为G，其倾斜角为60°，

将直线4绕原点按逆时针方向旋转30。得到直线4,则直线，2的倾斜处为90。，

因为直线，2过原点，故直线4的方程为x=0，

圆C的圆心为。（0,2）,故圆心C在直线，2上，A正确，

与圆有2个交点，BCD错误，

故选:A.

8.己知Q=e",b=£c=2en,d=/，则下列大小关系正确的是（）

A.a<b<c<dB.b<a<c<d

C.a<c<b<dD.b<c<a<d

【答案】B

【解析】

[nY

【分析】构造函数/(X)=——，求得函数单调性由e<7i<2e,根据对数运算法则即可比较得出大小.

A

【详解】令函数/(X)=电工X«0,+8),则/=^F，

XX

由f'(x)=O可得x=e,当xs(O,e)时,/'(x)>0,当xc(e,+8)时,/\x)<0,

因此可得/(X)在(e,+8)上单调递减，

因为e<兀，所以/(e)>/(7i),即则>皿，

e7i

因此兀lne>cln兀，即Ine">ln/，可得e*〉/，即Q>b；

显然均大于0,又c=2eN=2<7>〃，可得。>。；

同理可知兀<2CE(C,+8),所以/(TI)>/(2C),g|J—>,

兀zc

因此2eln7T>7tln2e,即ln/>M(2e)”,可得兀2e>(2e)"=2=V>2e”，即d>c；

即可得〃<〃<c<d.

故选：B

二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得。分)

9.已知边长为1的正方体力“CO-44GR,E,F,G分别为,4D1,DDi，〃。的中点，则()

A.力G_1_平面£FGB.平面EFG_L平面3G。

C.点G到平面EFG的距离为立D.异面直线EF与BD所成的角为60°

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】我们可以通过建立空间直角坐标系，利用向量法来逐一判断各选项的正确性.

【详解】以。为原点，分别以。为轴建立空间直角坐标系.

已知正方体边长为1,则各点坐标为：

Q(O,O,O),^(i,o,o),5(1,i,o),c(o,i,o),A(O,O,I),4(i,o,i),4(1,1/)，q(0,1,1)

(1A(1(1

E为4A中点，故E-,0,l;F为DD,中点、,故F0,0,-；G为BC中点、,故G-,l,0

\J

选项A：向量为=(—1,1,1),向量丽=向量的=(O,l,—l).

IN乙)

布•丽=(f+l・0+l"11=0,故/CJEb.

2

^•£G=(-l)0+ll+l(-l)=1-1=0,故力G_LEG.

又EFREG=E,且EREGu平面瑁P,所以4平面MG,A正确.

选项B：平面£7诂的法向量为而二（—1,1』）.

____UI

平面8G。中，向量方方=（1,1,0）,困二（0』,1）,设其法向量4二（苍乂Z）,

〃2,DB=0一/、

则；一一，令x=l,可得小=（1,-1」.

In/.-DC.I=0

因为数•%=（—1）」+1-（-1）+1」=—1工0,故两平面不垂直，B错误.

选项C：向量属=（-g,l,o,平面£7（的法向量为拓=（-1,小）.

1(-1)+1-1+0.1

点G到平面EFG的距离2__2_也，C正确.

7(-i)2+i2+i2百一百一2

-----(11A____

选项D：向量E产=—5,0,一不，向量40=(—1,—1,0).

I/乙)

角为6,则

—，所以夕=60'，D正确.

2

10.已知函数/'(X)=5也与一。84+/?(〃，/)GR,xe［0,7r］),则下列说法正确的有()

A.若〃=1,则/(x)在x处的切线斜率为g

B.若。=0,则/(x)在(0,兀)上有且仅有一个极值点

C.若〃=2,b=\,则f(x)在［0,句上的最大值为3

D.若6=0,L>4,则/(x)在［0,可上有两个零点

【答案】BC

【解析】

【分析】将。，b的值分别代入，对函数求导，通过导数的性质，零点存在定理分别求解即可.

【详解】对于A选项，/(x)=sin2x-cosx+6,则/'(x)=2sinxcosx+sinx,所以

f\^l=2sin^cos-^+sin-^=V3,故A错误；

)333

对于B选项，/(x)=siifx+b,贝ij/'(x)=2sinxcosx,/'(x)=0时，x=5，当。,日时,

/\

当％w,,f(x)<0,故/(无)在(0,兀)上有且仅有一个极值点，故B正确；

127

对于C选项，若。=2,b=\,则/(1)=5由2%一28。+1,则

/'(X)=2sinxcosx+2sinx=2sinx(cosx+l),

则r(x)=0,则有sinx=0或cosx+1=(),即x=0或x=i,当x=0时，/(0)=-1,/(兀)=3,

因为在［0,可卜./'(x)=2sinMcosx+1)Z0.所以/(x)在［0,兀］卜单调递增.故最大值为

/(兀)=3,故C正确：

对于D选项，若b=0,a>4,则/(x)=sin%-acosx,则

/,(x)=2sinxcosx+6/sinx=(2cosx+^)sinx,

因为a>4,则在［0,可上/'(工)=(2cosx+Q)sinx〉0,则/")在［0,可上单调递增，/(O)=-Q,

/(兀)=%

由零点存在定理可得，在［0,可上，存在一点与，使得/(%)=0,故有且仅有一个零点.

故选:BC.

11.设抛物线C：的焦点为歹，过点少的直线，〃交。于44两点，过点尸且垂直于，〃的直线交

/:1=-2于点E,过点力作/的垂线，垂足为。，过点8作/的垂线，垂足为P,则下列结论正确的有()

A.以•%.=TB.S-跖的最小值为16

11

C.|明.阳=2|时

|第2+忸同2―忸日

【答案】ABD

【解析】

【分析】首先设直线〃7：X="+2,联立抛物线方程得到/一8即-16=0,根据韦达定理可得

乂+为=8々,乂)，2=T6,对于A,依题意得直线/的方程为y=-〃(x-2),求出E点的坐标后，结合韦

达定理计算3厂％监并化简即可；对于R，利用弦长公式求出再将s”即求出，最后根据S“8£

表达式求其最小值;对于C,可知•忸月=&+2)(々+2),转化为必,必后再结合韦达定理化简,最

后与但周相比较：对于D,求出|力£「，忸叶，同样结合韦达定理化简国？+际『并与际『比较即

可.

【详解】如图所示,

D

可知抛物线C的焦点尸（2,0）,由题意知w的斜率不可能为0,

所以设直线川：x=什+2,代入抛物线方程化简得y2-Say-16=0,

设，4（%,必），B（x2,y2）t则乂+必=8区必必=T6,

对于A,依题意得过点尸且垂直于小的直线方程为丁二-。（工-2）,与准线/:工二-2交于E,

=（凹-4a）（必-4〃）=必％-4心+72）+16/

可得七（-2,4。）,

（内+2）伍+2）（的+4）（仍+4）

为必-4。（必+8）+16。2_-16-4〃・8。+16。2_-16-\6a2

故A正确;

a?必为+4。（必+乃）+16。2（-16）+4入8。+1616+16/

2

对于B,|/却="+/.|必一为|=J1+".J（必+为'-4y]y2="+/.J64a?+64=8（l+a），

|EF\=J（2+2），（0-44『=4川+〃2,

S“跖=1|4叩印=/8（1+『）.45/177=16（1+/卜

乙乙

当4=0时，s△，觇=16,此时〃，为x=2,是最小值，故B正确；

对于C,由抛物线定义，|力。|=占+2,忸P|=々+2,

所以|力。•忸P|=（内+2）（/+2）,由A选项可知（』+2）（々+2）=160+/）,

由B选项可知|"f=卜41+向j=]6（1+〃21

所以•忸P|=|麻f,故c错误;

对于D,14石『=（苞+2『+（必一4。）2=（如+4/+（必—4Q]

=a2yf+8〃乂+16+y；-8〃乂+16/=（1+〃2）y；+16（1+〃?）=（1++⑹,

同理忸同2=（1+/）屏十16）,

111111片+货+32

所以Md+忸坪-I+Q“：+16y2+I6J1+/（必2_]6）（£+16）

yf+义=（必+为＞一2%为=64/+32,

（k+16）（贡+16）=），：£+16（/+£）+256=256+16（64/+32）+256=1024（1+*,

I111

所以|第2+阿厂16(1+叫，而由B选项可知怪尸「-160+叫，

111

则|呵+忸同2一1印2，故D正确.

故迄ABD.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上)

2(7

12.已知｛q｝是正项数列，q=1,且满足%M=/%(〃£N+),则数列(填“等

%J

差”或“等比”)，a6=

2

【答案】①.等差②.=j

【解析】

【分析】已知正项数列%的递推关系。用二用二，通过对递推式两边取倒数，可将其转化为易于判断的

Cl-iZ

数列形式，进而求解

2a

【详解】对递推式《用二一、两边同时取倒数，得:

氏+2

1a+211

----=-a.-----=—+—

。向242%

。用42

1,

又％=1,故一=L

q

因此，是以1为首项，g为公差的等差数列.

1I/1〃+l

根据等差数列通项公式：——

所以：an=—^—

〃+1

22

当〃=6时：a6=---=-

0+1/

故答案为：等差；I

13.已知曲线G：y=-（a＞0）^jC2：y="2色＞0）在交点处的切线互相垂直，则hi（//）+21n〃=

【答案】—M2

【解析】

【分析】设两曲线交点为（％,%）,曲线G：＞=@（。＞0）的斜率为勺，曲线。2：、=以2仅＞0）的斜率

.X

为h，求出两曲线交点，分别对曲线方程求导，由切线垂直，解得与二2",联立求解与。，力相关的值,

代人In（JIc,+2\nb求解即可.

【详解】设两曲线交点为（4,%）,曲线G），=q（。＞0）的斜率为勺，曲线。2：y=Ad（b＞0）的斜率

X

为八，则乌二6x：,解得t=f-Y，对G：y=@（a＞0）求导可得，■/二一二一＞4="对

/'°（/J%xxc

C2：y=儿/（6＞0）求导可得，y'=2bx=＞Zr2=2bx0,

因为两切线垂直，所以Kx0=・l,所以一彳-2色0=-1,解得X0=2",

x0=2ab

I,解得所以111(04)+21汕=111(乙7)+122=111(0461,

由《a

x。

由〃?，="可得次?2=-^=,所以ln(JLz)+21n/?=In

(6。/)=In=-ln2.

故答案为：-ln2.

14.在V48C中，已知sin8=2sinC,J=y,AB=T.点、P,。，R分别在边BC,C4上，且

△PQA是等边三角形.则尸。的最小值为.

【答案】@

7

【解析】

【分析】先由正弦定理和余弦定理确定V44C的形状与边长，再设等边三角形边长为x,通过角度关系在

两个三角形中用正弦定理表示线段长度，最后建立x关于角度的函数求最小值.

【详解】在△/AC中，由5出〃=25拓。及正弦定理得6=25

已知4=2，AB=c=1,故/。=6=2.

3

由余弦定理：BC2=AB~-¥AC1-2ABACCQSA=\1\2-=3

2

所以5c=石，且+4炉=/。2,故8=],C=^.

设等边△P。/?的边长为x,在RtABPQ中，ZZ?=-f设.4BPQ=0,则/。。/?二二+0,

26

/CRQ=,—e，

在RtZiBPQ中：BQ=xsin0,

CQQR—毕~-=^—=2x

在△C0R中，由正弦定理：•/工二=4，代入得：.f27t1j万.所以

sm/CRQsinCsin^-sin—

<2冗\

又BQ+CQ=BC=邪,故：xsin^+2xsin皆-8二百，化简可得：x(2sin8+JJcosO)=G.

IJ/

所以X二------2——.

2sin^+V3cos^

令2sin°+百cos6=42。+(6):sin(6+0)=V7sin(6+0)，其中tan^9=—.

2

因为J，sin(e+0)«J7,所以：%之宗=与，当且仅当sin(e+o)=i时，等号成立.

因此，p。的最小值为立1

7

6

故答案为:

7

四、解答题(本大题共5小题，共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤)

15.已知函数/(力=工3+%_]8,

(1)求曲线y=/(x)在点(1,一16)处的切线方程；

(2)求过点(0,-2)且与曲线y=/(x)相切的切线方程及切点坐标.

【答案】(1)歹=4x-20

(2)方程为y=13x-2,切点坐标为(-2,-28).

【解析】

【分析】(1)求出函数/(x)的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.

(2)设出过(0,-2)的切线与函数图象相切的切点坐标，表示出切线方程，进而求出切点坐标即可得解.

【小问1详解】

因为/'(x)=3/+l,所以在点(1,一16)处的切线的斜率为％=/'(1)=3X12+I=4.

所以切线方程为J=4(x-1)+(T6),即y=4x—20.

【小问2详解】

设切点为(%，%),则直线/的斜率为/'(%)=3%?+1，

所以直线/的方程为y=(3x：+l)(x—.%)+片+/一18,又因为直线/过点(0,-2),

所以一2=(3x：+1)(—/)+x；+A0—18,整理得xj=-8,

所以％=-2,y0=(-2)"+(-2)-18=-28,

所以左=3X(-2)2+I=13,

所以直线/的方程为y=13x-2,切点坐标为（-2,-28）.

16.某电商平台销售一款智能手表，已知该手表分为“标准版”和“旗舰版”两个型号，平台销售数量中标

准版占比60%,旅舰版占比40%.根据历史数据：一是标准版手表的好评率为80%（好评定义为评分4

星及以上），且好评用户中后续申请售后维权的概率为10%；非好评用户中申请售后维权的概率为20%.二

是旗舰版手表的好评率为90%,且好评用户中后续申请售后维权的概率为5%；非好评用户口申请售后维

权的概率为10%.

（1）随机抽取一位购买该手表的用户，求其给出好评的概率；

（2）随机抽取一位购买该手表的用户，若其申请了售后维权，求该用户购买的是标准版手表的概率；（结

果用分数表示）

（3）平台计划对“无售后维权的好评用户”发放优惠券，求随机抽取一位用户，其符合优惠券发放条件

的概率.

【答案】⑴0.84

⑵至

47

（3）0.774

【解析】

【分析】（1）定义事件4：用户购买的是标准版手表，8：用户给出好评，C：用户申请售后维权，再根

据全概率计算概率即可；

（2）先由全概率公式计算P（C）,再由条件概率公式求概率即可：

（3）根据乘法公式计算概率即可.

【小问1详解】

解定义事件力：用户购买的是标准版手表，。（/）=0.6,

2用户购买的是旗舰版手表，P（彳）=0.4,

B：用户给出好评，万：用户给巴非好评，尸（引/）=0.8,尸（冏彳）=0.9,

C：用户申请售后维权，C：用户未申请售后维权，

随机用户给出好评的概率尸（8）二夕（对4），（力）+尸（例A\P[A}

=0.8x0.6+0.9x0.4=0.48+0.36=0.84；

【小问2详解】

售后维权分“好评后维权”和“非好评后维权”，需结合型号拆分：

P（C|J）=P（C|J）+P（C|匈尸（闻4）=0.1x08+0.2x0.2=0.12；

P（C|j）=P（C|jB）P（B|j）+P（Cl4）P（闻j）=0.05x0.9+0.1x0.1=0.055；

所以p（C）=p（C|A）P[A}+P\C\N）尸⑷=0.12x0.6+0.055x0.4=0.094：

/.、P(A\P(C\A\o6x01236

所以该用户购买的是标准版手表的概率尸(川C)='।)=0094二万

【小问3详解】

尸（3cClJ）=P（B|J）xP（ClBn/i）=0.8x（l-0.1）=0.72,

P（5nClA）=P[B\j）xP（C|5c彳）=0.9x（1-0.05）=0.855,

得P(8c弓二0.72x0.6+0.855x0.4=0.774.

所以符合优惠券发放条件的概率是0.774.

17.数列｛%｝中的项。“E｛X|x=2攵McN*｝,若存在奇数乙使得半均不为偶数，则称数列｛/｝为，阶

除序列.

(1)数列｛2,4,6｝为左阶除序列，当左$｛1,3,5,7,9｝,求出所有的人

(2)已知q=6,对任意的机恒有〃7〃%+”=(〃7+〃)%4,求证：数列•2｝是5阶除序列.

【答案】(1)5,7,9

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据〃阶除序列的定义判断即可；

(2)令〃7=1,得到〃。用=(〃+1”⑸，基于此求出的通项公式，再结合二项式定理判断是

nn

否能被5整除即可.

【小问1详解】

由/阶除序列的概念可得，攵为奇数，

当太=1时，：=2为偶数，不符合题意，

当£=3时，5=2为偶数，不符合题意，

3

246

检验A取5,7,9时，均不为偶数，符合题意，故人可以取5,7,9.

KKK

【小问2详解】

在加〃4+“=（加+〃）/《中，令加=1，得到〃%+1=（，z+l）w”,

即&=4%=也，所以数列为首项五=6,公比为6的等比数列,

〃+1〃nn1

所以乎二6",因为6"=（5+1）"=C：5"+C：5~+C；5”-2+…+C；；-15+1,

f

即每一项被5除余数为1,则6"=5%+1，故2=左+L左$Z，

〔〃J55

因此必不是整数，可得岂不是偶数，

55

且土二6"每一项必为偶数，故数列*是5阶除序列.

nn

is.如图，在平行六面体45coi中，|在卜|而卜|麴卜1,（前，丽）=90,

（而河=6（y,（赤河=45,,

（1）若E为48的中点，求证：AB1ED,；

（2）设｛刀，而，五彳｝为空间的一个基底，用该基底写出平面的一个法向量;

（3）求力用与平面力。"4所成角的正弦值.

【答案】（I）证明见解析

（2）n=y[2'AB+^4b-yl2'AAl

⑶迈

6

【解析】

【分析】(1)连接4瓦48,利用已知条件以及线面垂直的判定定理先证明力B_L平面上4〃，然后由线面

垂直的性质定理即可证明；

一一.————万力。二0

(2)设〃=x/8+y/O+z44为平面的一个法向量，根据〈_,求出x/,z,即可得出法

n-AA.=0

向量：

(3)结合(2)中;;为平面力。。4的一个法向量，分别求出刀4,R瓦M|,然后利用向量法求出

与平面力。"4所成角的正弦值即可.

【小问1详解】

证明：如图，连接4瓦43,

在平行六面体ABCD-44G2中,AD//4°,

因为前，而=90、所以所以4R1/18,

又,4%=AB,AB,AA[=60<=>Z.A[AB=60",

所以为等边三角形，

因为E为48的中点，所以4七，48.

又4瓦4。u平面EA^D],A[Ec4A=4,

所以力8_L平面E4",又E"u平面"Q,

所以48，瓦九

【小问2详解】

因为画二|两二同卜1,而布=90。，而麴=60、而，麴=45。,

所以刀•而二|刀H五哥cos90=0,

ABAAX=口邳44|cos60=1x1xg=g,

而•麴=|而H五4cos45°=1X1X¥=#，

设G=x布+yAD+zAA,为平面力。。/1的一个法向量,

(xAB+yADzAA^AD=0

n'AD-0^

则<一即《

、万*4=0(xAByADzAA^AAy=0

y+

2

所以，令z=—>/2,得y=1,x=A/2,.

L+也

y+z=0

122

则h=42AB+9-0五《为平面ADD.A,的一个法向量.

【小问3详解】

因为方4=（方+怒）（遮标+m_VI麴）

二亚标2+荔•而一彳瓦麴+血菊.荔+麴•赤一应麴2

=五+0一小'小+"一行="

2222

又向2=\J1AB+AD-y/2AA^={JlAB+AD-y/2AA^,

=2AB2+JI彳瓦而-2万•五彳+而•彳方+~AD

—&瓦•麴-2环方—0石.而+2AA,2

=2+0-2xl+0+l-V2x--2xl->/2X—+2=1，所以同二1,

2222

设,4名与力避交于点。，如图所示:

由题意.四边形44AB为菱形./4加=60.

所以△448为边长为1的等边三角形,

所以|/。|=n|力图=2|4。|==也,即卜4卜石＞

设直线ABX与平面ADDXA}所成的角为8,

-—立r

所以sin，=cosd瓦，万=।=r—■=—=—^-*

'\AB{\\n\V3xl6

所以直线ABX与平面ADD《所成角的正弦值为巫