第七章《复数》单元练习-2025-2026学年高一数学下册人教A版必修第二册

第七章复数

一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知，为虚数单位,（l+i）2=（）

A.-2/B.2/C.2-2ZD.2+2z

2.复数6+5/与-3+4/对应的向量分别为而与而则表示向量瓦?的复数为（）

A.3+9/B.2+8/C.-9-/D.9+f

3.（2025湖北武汉高一期末）若复数z=i（l-4。,则|z+2i|=（）

A.3B.4C.5D.6

4.已知复数z=W，则5的虚部为（）

A；B.-zC.-D.-Z

5555

5.复数共尸+尸++j2025二（)

A.MB.zC.-1D.0

6.对于任意的两个数对（〃,份和（eg,定义运算（a,b）*（c⑷=若则复数z

为（）

A.2+ZB.2-/C.ZD.-z

7.已知z是复数，且p：W+与;％z+法R,则〃是夕的（）

NNZ

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.（2025河北邢台高一期中）设复数zi,z2满足|ZI|=3,|Z2|=4,且ZI-Z2=3-4Z,5!IJ|ZI+Z2|=（）

A.3B.4C.5D.6

二、选择题:在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.下列表示复数1+i的三角形式中，正确的是（）

A.V2^cos(-^)-zsin(-^)B,V2(cos^+zsin^-)

C.V2(sin^+zcos^)D，V2(cos等+isi吟)

10.已知复数z满足2(H+。=2，,则()

A.|z|=IB.z的虚部为今

C.?+l=0D.Z2=Z

11.已知复数zk/-(I为虚数单位)，下列说法正确的是［)

A.zi在复平面上对应的点在第三象限

B.zi的虚部为-1

C.z?=4

D.满足|z|=|zi|的复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上

三、填空题

12.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(・2,1),则沁=.

13.已知复数z满足|z+2-4i|=2,则|z・l|的取值范围是.

14.(2025上海松江高一期中)已知关于x的方程f-px+l=0(〃为实数)的两虚根为工1内,若

|男词=1,则实数p的值为.

四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在①z+04,②z为纯虚数，③z为实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题也并

解决该问题.

已知复数z=(m2_3m+2)+(〃{5，〃+6)i(〃?eR,i为虚数单位)/为z的共加复数，若.

求实数m的值.

16.设复数zi=2+c”(其中"£R),z2=4-3i,i为虚数单位.

(1)若Z1+Z2是实数，求a的值,并计算zrz2的值；

(2)若红是纯虚数，求。的值.

z2

17.已知复数zi满足(l+/)zi=・l+5i,Z2=a・3+i,a£R.

(1)求方的共规复数应；

(2)若|zi・Z2|<|zh,求4的取值范围.

18.已知复数z=l+疝，詈是实数，其中，是虚数单位,〃zER.

1-1

(1)求相的值；

(2)若复数zo=-3-/+z是关于/的方程f+法+。=0的根,求实数Z?和c的值.

19.已知z为虚数，若3二z+｝金凡且-1<3<2.

⑴求z的实部的取值范围；

⑵设产些，求372的最小值.

参考答案

l.B(l+i)2=12+2xlxi+i2=2i.故选B.

2.D因为瓦5=04-赤，所以表示向量瓦5的复数为(6+5i)-(-3+4i)=9+i.故选D.

3.C由题意，复数z=i(l-4i)=4+i,

所以|7+2i|=|4+3i|=M42+32=5古攵选c.

3-i(3-i)(3-i)_8-6i

4.CZ=­：=--'故5=-+?i,故，6与虚部为2.

3+i(3+i)(3-i)-1055555

5.BVi4=l,i2025=(i4)506-i=i,

・・・i+i2+i3+…+i2°25=506x0+i2°25=i.故选B.

6.D因为(〃力)*((?,")=〃4拉:,(1,-1)*22。=14,所以zi+z=l-i.所以z=^=呼-=-i.

7.A显然，当z=：+乎时,z+；=；+小+^^二；+^i+辽=1WR,但当z+^£R时，若令

21z

22

z=a+bi£R)*[a+/，i+'r=(a+2"八2)+“"z"0》，所以有人二。或。2+房=1,不一定有

a+n\Q'+b，Q'+b，

z=1+学.故〃是夕的充分不必要条件，选A.

8.C设zi㈤在复平面内对应的向量分别为西,西.

由题意可知|西|二3,|西|二4,|西-西|=|3-4i|=5,由于32+42=52,则以OZi,OZ2为邻边

的平行四边形为矩形，由于矩形的对角线相等，故®+z2|=|西+理|=5.故选C.

9.BD对于A,V5[cos(2)-isin(2)]=l+i,但是不满足复数的三角形式，故A不正确:对于

44

B,e(cos?+isin2)=l+i,故B正确;对于C,V5(sin2+icos二)=1+i,不满足复数的三角舫式，故

4444

C不正确;对于D,四(cos型+isin型)=l+i,故D正确.

44

10.AD由z(V5+i)=-2i,得z=-1—字,|z|二J(-J2+(_争2=],A正确；

z的虚部为-与,B错误;

Z3+l=(-1-yi)3=l+1=2,C错误；

z2=(-1—学)2='+正确.故选AD.

11.AB复数z产三二-二用=-券二-l-iz在复平面上对应的点(-1,-1)在第三象限，故

-1+1(i-i)(i+i)i2+i2

A正确;zi的虚部为-1,故B正确;(zi)4=(・l-i)4=(2i)2=-4,故C不正确;|zi|二&,满足|z|二|zi|的

复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心，半径为夜的圆上，故D不正确.故选AB.

12,-l-2i因为复数z对应的点的坐标是(-2,1),

所以z=・2+i,所以i-z=(-2+i)-i=-l-2i.

2

13.［3,7］设z=(x,y)(x,yeR),V复数2满足|z+2・4i|=2,；・.+2)+(六4产=2,即

0+2)2+(>4)2=4..・.Z在复平面内对应的点Z的集合是以(-2,4)为圆心,『2为半径的圆.

|z-l|表示的是点Z与(1,0)之间的距离.

圆心与点(1,0)之间的距离d=J(-2・l)2+42=5,

则|z-11的取值范围是［d・r,d+“，即［3,7］.

14.±V3因为方程f-px+lW)的两虚根为xi4则△=/A*。,所以-2<〃<2,若|_ri-刈=1,则

\X［-X2\=^h-呼|=|师“=行=1,

解得〃=±百，迂合题意.

15.解若选择①，

因为2=(序-3加+2)+(m2-5m+6人所以「=(/w2-3/n+2)-(/n2_5m+6)i,又z+3=4,所以2(nr-

3巾+2)=4,即加2_3m=o,解得加=0或m=3;

若选择②，

因为z为纯虚数，所以［机：］机+：=?'解得〃『1;

(mz-3?n+6H0,

若选择③，

因为z为实数，所以5〃2+6=0,解得m=2或m=3.

16.解⑴12|=2+出(其中a£R),Z2=4-3"・zi+z2=6+(a-3)i.由zl+z2是实数，所以。-3=0,解

得a=3.

.*.zi=2+3i,z2=4-3i,

则zi♦z2=(2+3i)(4-3i)=17+6i.

(2)因为包=*=(2+ai)(443i)=—+—i是纯虚数，所以2n解得a=-Ma=-.

7

'z24-3i(4-3i)(4+3i)2525(6+4。H0,3’3

17.解⑴,・•(1+i)zi=-l+5i,(l-i)(l+i)zi=(l-i)(-l+5i),A2zi=-l+5+6i,

.*.zi=2+3i,.\zi的共4复数。=2・3i.

(2)zi-Z2=2+3i-(〃-3+i)=5-〃+2i,a£R.

9

若|ZLZ2|<|ZI|,则J(5-a)2+22<扬彳?，化为(a-2)(a-8)<0,解得2<a<8f..a的取值范围

为(2,8).

18.解⑴因为Z=1+疝,所以经=—=(3+研(川)=四+三勺.因为.是实数，

1-11-1(1-1)(1+1)221-1

所以笠^二0,解得/〃=-3,故m的值为-3.

(2)由(1)可知z=l-3i,所以zo=-3-i+z=-2-4i.

因为zo是关于x的方程1+/w+。=0的根,

-2b+c-12=0,

解得b=^c=20.

-4b4-16=0,

1.,,1,,.a-bi(a2+b2+l)a(a2+b2-l)b.

19.解（I）设z=o+Oi力邦，则co=z+-=a+b\+-i=a+bi+.,