随机变量及其分布-高考二轮数学专项复习

微专题2随机变量及其分布

［考情分析］离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考

资超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.

考点一分布列性质及应用

离散型随机变量x的分布列为

X••••••

X}X2XiXn

••••••

pPiP2PiP，)

则(1加20,i=L2,•••,n.

(2)0+/+…*”=L

(3)£(A)=xip।+X2P2+,••+2，/+,•・+x”p”.

(4)Z)C¥)=(x1-E(X))2pi+3-E(X))2p2+・・・+(加-E(X))2p”.

⑸若则E(y)=aE(㈤+〃，D(Y)=a2D(X).

例1(1)(2024•廊坊模拟)已知x的分布列如表所示，且丫=办浦)，E(X)4，则O⑺的值为()

6

X-101

11

Pa

36

A.1B指

琮D

答案D

解析由可得,

DOZ

所以E(X)=-1x*0x*1xl=-l,

DW=(T+丁+步¥(1+J'智,

所以D(r)=/。(㈤若.

(2)(多选)已知。>0,/»0,c>0,且a,b,c成等差数列，随机变量X的分布列为

X123

Pabc

下列选项正确的是()

2

A./)=7BA+C=7

4

C.^E(JO4D.D(X)的最大值为:

答案BCD

解析对于AB,由优;蒙3,

伍=*

得32A错误，B正确；

[a+c=y

对于C,由a+c=|,。＞0,00,得0＜。苔，

则E(,V)=a+26+3c=2c^£信，号，C正确；

2

对于D,D(X)=a[l-(2c+§(用2-(2c+i)]+c[3-(2c+弁

=222

(t-，)(2c+1)+|(2c-1)+C(2C-1)

7/卷q

YD*，

当时，。(㈤取得最大值，且最大值为！D正确.

[规律方法]分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.

(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.

跟踪演练1(1)(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X=O)=|，氏¥),。(出分别为随机变量X的

均值与方差，则下列结论正确的是()

\.P(X=\)=E(X)B.E(3a2)=3

2

C.D(X)=^D.Z)(3X+2)=4

答案ABC

解析随机变量X服从两点分布，其中P(X=O)=|,所以P(X=1)=1,

所以E(㈤W，。(㈤=|

对于A,P(X=\)=E(X),故A正确；

对于B,E(3X+2户3风㈤+2=3,故B正确；

对于C,D(A)=1,故C正确；

对于D,。(3心2)=9。(司=9x鼠2,故D不正确.

(2)随机变量X的分布列如表所示，则。(6出的最大值为()

X123

Pa2ba

答案D

解析由题可知2a+26=l,04W1,OW2b<1,

所以OWbWg,

E(X)=a+4b+3a=4(a+b)=2,

。(㈤=(1-2必+(3-2)2。=2见

则D(bX)=b1D(X)=2ab1=-2by+b2,

令加)=-2"+%

则/S)=-6〃+2b=-2伙361),

则顺在(0,§上单调递增，在%；)上单调递减，所以/(外味尼)后,

所以。(此的最大值为摄

考点二随机变量的分布列

1.二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件4发生的概殂为〃(0<p<l),用X表示事件4发生的次数,

则X的分布列为尸(右女尸C，/(l・p)"《，A=0,1,2,…，n.

E(X)=np,D(X)=np[\-p).

2.超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取〃件(不放回)，用X表示抽取

rk「ri一〃

的〃件产品中的次品数，则X的分布列为PQU〃尸宰4k=m,加+1,加+2,…，匚其中%N,

LiV

M

MWA',〃WN,?n=max{0,n-N+M},尸min{〃，M}.E(X)=n

考向1相互独立事件

例2(多选)(2024•昆明模拟)在一个有限样本空间中，事件4B,。发生的概率满足

P(4)=P(B)=P(C)W,P(AU8)=|，力与C互斥，则下列说法正确的是()

A.P(4)€

B.J与8相互独立

C.PG48C)二

D.P(HU8UC)q

答案ABD

解析A选项，4与C互斥，故力nc=0,P(AC)=O,则心包含事件4故尸(4弓=尸(⑷乏，A正确；

B选项，P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AAB),

即冷p(/n6)q,故尸(-6)=1，

故P(ACB)=P(A)P(B),力与A相互独立，B正确；

C选项，4与C互斥，故力A与C互斥，故0(420=0[(/A)nC]=O,C错误；

D选项，P(/UBUO=P(4)+P(B)+P(C)-P(4B)-P(BC)-P(4C)+P(/lBC)

W4塌4尸仍。号?s.

因为P(8C)20,故尸(4U8UC)*P(8C)W，D正确.

考向2超几何分布

例3(2024・聊城模拟)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，

新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，

提高客户满意度，在其4，6两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分

100分)，评分结果如下：

分公司466,80,72,79,80,78,87,86,91,91.

分公司B：62,77,82,70,73,86,85,94,92,89.

(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；

(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改

进建议，设被抽到的3人中分公司8的客户人数为X,求X的分布列和数学期望.

解⑴将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为:62,66,70,72,73,77,78,79,80,80,82,

85,86,86,87,89,91,91,92,94.

因为20X25%=5,所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为卫尹75.

⑵由已知得分公司力中75分以下的有66分，72分；

分公司8中75分以下的有62分，70分,73分,

所以上述不满意的客户共5人，其中分公司4中2人，分公司3中3人.

所以X的所有可能取值为1,2,3,

p(Y—IC】C；_3.

Pg爷、；

嗷L;

P（六3）=cf10

所以X的分布列为

X123

331

p

105To

数学期望£-(A)=1X^+2X|4-3X±=2.

考向3二项分布

例4(2024・无锡模拟)我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一•张靓丽

的新名片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用

无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机

每次投弹时击中目标的概率都为千每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑

灭的概率为白击中目标两次起火点被扑灭的概率为|,击中目标三次起火点必定被扑灭.

(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；

(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.

解(1)起火点被无人机击中次数万的所有可能取值为0,1,2,3,

但=(9T,

侬=1)=0令()噎,

P(.¥=2)=Ch(i)2xl=^,

Pg窃喂

・・・X的分布列为

X0123

1124864

p

125125125125

,皿(3,)

・・・石(为=3乂片

(2)击中一次火被扑灭的概率

P7啕“沪鹏，

2

击中两次火被扑灭的概率户2=6x(9X：X薄,

击中三次火被扑灭的概率尸3=(§3喂,

・・・所求概率居6十32十64102

125125125125

［规律方法］求随机变量¥的均值与方差的方法及步骤

(1)理解随机变量X的意义，写出矛可能的全部取值;

⑵求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；

(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X),方差。(X);

(4)若随机变量*的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均

值和方差的公式求解.

跟踪演练2某市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层

筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司

从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而

乙公司能正确回答每道题目的概率均为|,甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.

(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；

(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标

成功的可能性更大？

解(1)由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题，

所求概率尸吟露.

⑵设甲公司答对的题数为X,则X的可能取值为1,2,3,

2喈4，

「31

尸g告，

则X的分布列为

X123

131

P

555

所以EC¥)=1X》2X93X1=2,

。(冲(1-2)2xl+(2-2)2x14-(3-2)2xl=1.

设乙公司答对的题数为匕则丫的可能取值为o,i,2,3,

尸片。尸合图°唔)4,

尸网尸⑶针嗯丫脸

p(r=2)=cix(1)2x(l)1=i,

P(『尸合6)3嗯)。吟,

则y的分布列为

Y0123

1248

P

279927

所以E(F)=3x1=2,

即3净(1-消，

由于E(A>E(y),D(X)<D(Y),所以甲公司竞标成功的可能性更大.

考点三正态分布

解决正态分布问题的三个关键点

⑴对称轴尸".

⑵样本标准差u

⑶分布区间：利用3。原则求概率时，要注意利用小〃分布区间的特征把所求的范围转化为3。的特殊区间.

例5(1)(多选)(2024•新课标全国I)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶

叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入

的样本均值土=2.1,样本方差./RO],已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0/2),假设

推动出口后的亩收入丫服从正态分布N(七$2),贝U()

(若随机变量Z服从正态分布NJ,标)，P(Z</z+0-O.8413)

A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5

C.P(K>2)>0.5D.P(r>2)<0.8

答案BC

解析依题可知，石2.1,s2=ooi,

所以hN(2.1,SR),

故/>(>2)=0(》2.1-0.1尸尸(卜2.1+0.1户0.8413,所以C正确，D错误；

因为,bML8,0.12),

所以P(右1.8+0.1)=0.8413,

所以P(A».8+0.1户1-0.8413=0.1587,

而P(X>2)=P(X>1.8+2x0,1)<P(A>1.8+0.1)~0.1587,

所以B正确，A错误.

(2)已知随机变量诩艮从正态分布，有下列四个命题：

甲：尸(4>a+l)>Pt>a+2)；

乙：P(d这a)=0.5；

丙：P^>a+\)=P(^<a-\)；

T：P［a-1<^<3+a)<P(a<^<4+a).

若这四个命题中有旦只有一个是假命题，则该假命题为()

A.甲B.乙

C.丙D.T

答案D

解析对于甲，。取任何值，都有P(“a+l)>P0a+2),所以甲为真命题；

对于乙，若尸(<Wa)=0.5,

则该正态分布的均值/『〃；

对于丙，若P(>〃+D=PC<a-l),

则该正态分布的均值,

乙和丙至少有一个真命题，又因为乙和丙等价，所以乙和丙都是真命题；

对于丁,P(〃y<4+a)=P(4<<f<3+a)+P(3+ayv4+a)

=P(a<^<3+a)+P(a-4<(<a-3)

<P(a茗<3+a)+P(a-1茗4)

=P(67-l<^<3+67),所以丁为假命题.

［规律方法］利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线厂"对称，

及曲线与x轴之间的面积为1,注意下面三个结论的灵活运用：

(1)对任意的即有P(X〈A-G=P(X邛+a).

(2)尸(六出尸1-尸(X2xo).

⑶P(a<A<>)=P(ab)-P(XWa).

跟踪演练3(2024・洛阳模拟)某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取

了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图.

⑴根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均

数为10.据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差s；

（2）根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布M"，/），其中参数

〃和。可以分别用⑴中的土和s来估计.记考生本次考试的各科总成绩为匕若r=5%-10,试估计这20000

名优秀考生中总成绩丫£[600,660]的人数.

注：石意2.4；

若X〜N",『)，则为”在'0什。户0.6827,户0.9545.

解⑴抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为$2=(80/10)2x0.02+(90-110户0.09+(100-110户0.22

+(110-110)2x0.33+(120-110)2x0.24-K130-110)2x0.08+(140-110)2x0.02=150.

故估计这20000名考生数学成绩的方差为150,标准差S=VT^=5V5=5X2.4=12.

⑵由⑴知/，可用±=110来估计，。可用s来估计故X〜Ml10,⑵).

又W+E4+2。)-山口-29加,)

^■9545-0.682701359>

故尸(122WXW134户0.1359.

又Y=5X-\^,

所以P(600WYW660)=P(600W5¥-10或660尸尸(122WXW134)^0.1359.

故这20000名考生中成绩在［600,660］的人数约为20000x0.1359=2718.

专题强化练

（分值：90分）

ID素养提升

一、单项选择题（每小题5分，共3（）分）

1.在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得

分。的所有可能取值的和是（）

A.8B.10

C.12D.14

答案c

解析选手甲在三次中距离投篮中可能都不中，得0分，中一次，得2分，中两次，得4分；中三次，得

6分，故总得分盘所有可能取值为0,2,4,6,所以总得分用所有可能取值的和为12.

2.(2024•三明模拟)下列说法正确的是()

A.随机变量六8(3,0,2),则尸(X=2)=O.O32

B.若随机变量长可⑶〃)，?(42)=0.62,则尸(3＜於4)=0.24

C.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对

立的事件

D.从除颜色外完全相同的10个红球和20个白球中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布

答案D

解析对于选项A,P(^=2)=C|xo.22x(1-0.2)=0.096,故A错误；

对于选项B,P(Y、4)=P(AX2)=l-P(Q2)=0.38,

所以P(3尸0.5-P(X24)=0.12,故B错误；

对于选项C,至少有一个黑球包含的样本点有“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的样本点有“一

黑一红，两红”，所以两事件不互斥，故C错误；

对于选项D,设摸出红球的个数为队则P(X=A)芈逑(A=0,1,2,3,4,5),符合超几何分布，故D正

L30

确.

3.甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为；，比赛采取三局

•J

两胜制(当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束)，则甲获胜的概率为()

57

AA万Bn.苏

C-D-

答案B

解析分三种情况：

①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为3g；

②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为(1-Jxgx与；

③甲嬴第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为9(1-9卜者.

故甲获胜的概率为丹容.

4.（2024・金华模拟）某市高中数学统考（总分150分），假设考试成绩服从正态分布M95,122）.如果按照16%,

34%,34%,16%的比例将考试成绩从高到低分为4,B,C,。四个等级.若某同学考试成绩为99分，则该

同学的等级为（参考数据：户0.68,〃（&-2^7<六："+2。户0.95）（）

A.JB.B

C.CD.Z）

答案B

解析数学测试成绩服从正态分布M95,12）

则4=95,0=12,

由于儿。等级的概率之和为16%+16%=32%=l-PQ-o<X<"+力

所以尸一0"^"闵”）句.16=>P（X<83尸P（X>107）=0.16,

而PQ/-KXV"尸PQ/v右"+o户0.34,即P（83v必95尸P（95v皆107户0.34,

故A>107为4等级，95/107为B等级，83<督95为C等级，六83为。等级，故99分为B等级.

5.已知随机变量。的分布列如表所示，若。（。+1）=1,则EQ+1）等于（）

g-101

1

pac

3

C割D.弼

答案C

解析由题意可得a+^-c=1,即c=|-%

12

贝！］£(<)=-1xq+Oxy1xc=c-a-2a,

则。铲监一2。+I?*(1-2a-0丫+仔-a)g-2a-l)2=D(<f+l)=1,

化简得-4〃24j+衿,

即12a2-8a+1=(2a-1)(6a-1)=0,

解得口三或

乙O

则E©。或£©3.

则£(J+1)=E©+1=4H=^E£U+1)=£©+1小14

6.［柯西分布］柯西分布（Cauchydistribution）是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X服从柯西

分布为xo）,其中当尸1,xo=O时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为/㈤:点］.已知

¥<（1,0）,P（|X|<y）=i,P（y<X<l）=^,则尸（国W1）等于（）

.12

A%D

C-D-

答案D

解析函数/的图象关于y轴对称，

由《因工9后可知，

4。“若片，

且喈<XV1）W，

则尸©i）4得4，

所以P（|A］WD=l-2x台.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.小明的计算器坏了，每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=.例如,若

田=6=。5=1，。2=出=0，则4=10101.其中二进制数力的各位数中，已知m=l,。必=2,3,4,5）出现。的概

率用，出现1的概率为|，记六0+。2+〃3+。4+。5,现在计算器启动一次，则下列说法正确的是（）

A.P（e4）*B.P（六3）吟

o1Z/

C.欧qD.O（A）q

JX

答案BD

解析由题意，计算器启动一次，随机变量X的可能取值为1,2,3,4,5,

则尸（x=i尸

P（X=3）V$x（丁制，

叱出啕飞）t，

「（六5）=。04噌,

.,.E（X）=1x打2帚3染4嗡■Sx署,

综上，A,C错误；B,D正确.

8.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛

结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为p(OWp<l)，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X,

则()

A.乙3：0赢甲的概率是

B.PQ三4)=4夕(31-p)+4〃(1

C.P(A=5)=6p2(lj7)2

D.P(>=5)的最大值是卷

答案ACD

解析对于选项A,因为每局比赛甲胜乙的概率都为MOWp<l),且每局比赛的胜负互不影响，

所以乙3：0赢甲的概率是(l-p)3,故选项A正确；

对于选项B,因为X=4,当乙3：1赢甲时，概率为C』p(l-p)3=3p(l-p)3,

当甲3：1赢乙时,概率为C&p3(i_p)=3p3(i・〃)，

所以P(X=4)=3p3(1-0)+3夕(1-p)3,故选项B错误；

对于选项C,因为六5,所以前4局比赛，甲、乙各赢2局，

得至!JP(x=5尸鬣〃2(1-〃)2=6p2(1,所以选项C正确；

对于选项D,由选项C知P(X=5)=6〃2(1-〃)2,

令尸6P2(]02,

则)/=12P(1-p)2-\2P2(1-p)=12P(1-/?)(!-2p),又01,

当OWpq时，户0；

当时，产0,

即产6炉(l-p)2在区间[0,上单调递增，在区间&1)上单调递减，

所以/max=6x(g)(1-；)I，故选项D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分〕

9.(2024・南通模拟)已知随机变量齐N(4,42).若P(刈3)=0.3,则P(3WXW5)=,若左2¥H,贝I」丫的

方差为.

答案0.464

解析由题意可勘尸4,a=4f即Z)(A>16,所以。(r)=4Z)(A>64；

因为P(六3)=0.3,

所以P（3WXW5尸1-2P（/3）=04

10.（2024•衡阳模拟）已知有4,5两个盒子,其中。盒装有3个黑球和3个白球,3盒装有3个黑球和2个

白球，这些球除颜色外完全相同.甲从4盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取

出的2个球全部放入4盒中，若2个球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入8盒中孩上述方法重

复操作两次后，8盒中恰有7个球的概率是.

林宗—

口木300

解析若两次取球后，8盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜.

若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为3|4，

第一次取球后力盒中有2个黑球和3个白球，8盒中有4个黑球和2个白球，

第二次取到不同色球为取到一个白球一个黑球，其概率为月，

565615

此时5盒中恰有7个球的概率为白白4；

若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为32，

第一次取球后A盒中有3个黑球和2个白球，B盒中有3个黑球和3个白球，

第二;欠取到不同色球为取到一个白球一个黑球，其概率为永洸K/，

此时5盒中恰有7个球的概率为专导.

所以5盒中恰有7个球的概率为白碎-4

/O乙UOUUr

四、解答题（共27分）

11.（12分）（2024•萍乡模拟）定义两组数据的，%（/=1,2,…，〃）的“斯皮尔曼系数”为变星如在该组数据中

n

的排名属和变量必在该组数据中的排名H的样本相关系数，记为p，其中P=1•^息.£SWF

某校15名学生的数学成绩的排名力与知识竞赛成绩的排名%如表：

学生编号/,123456789101112131415

Xi123456789101112131415

yi153498761021214131115

（1）试求这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”；（5分）

（2）已知在这15名学生中有10人数学成绩优秀，现从这15人中随机抽取3人，抽到数学成绩优秀的学生

有X人，试求X的分布列和数学期望.（7分）

解⑴依题意，p=1-77T7T7X（9+16+4+4+1+64+1+4+9）=0.8,

所以这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”是08

(2)依题意,X的值可能为0,1,2,3,

尸仔。)=黯，

尸(4)等嗡

C15

C彳oQ45

P(X=2)=

"cIT91

P(X=3)=J嗡，

则X的分布列为

X0123

2204524

p

91919191

所以X的数学期望为

以研翁202*453/2髀4.

12.(15分)(2024•深圳模拟)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产,

质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率

为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%.

(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X,求

X的分布列和数学期望；(7分)

(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的

条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲二厂不提高质量指标的条件下，该大型企业

把零件交给甲工厂生产的概率.设事件4="甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件8="该大型企业

把零件交给甲工厂生产”，已知0<P(8)vl,证明：尸(力|8)>P(/1面.(8分)

(1)解设甲工厂试生产的这批零件有〃?件，乙工厂试生产的这批零件有“件，

事件"混合放在一起的零件来自甲工厂"，事件N="混合放在一起的零件来自乙工厂”，事件

C="混合放在一起的某一零件是合格品”，

则?P(N)=/一,

P(O=P(C\M)P(M)^P(C\N)P(N)

=94%X-^98%X-^J-=97%,

m+nm+n

解得3gl.

m_1

所以P(M)

m+n4'

X的可能取值为0,1,2,3,晶用3,9,

尸的。Y(3°G)W，

华尸啕宜磊，

尸g)=C貂箔)=,

小=3尸观)3停)°脸

所以X的分布列为

X0123

272791

P

64646464

瓯3转

⑵证明由题意得P(B\A)>P(B\A\

nPG48JP(吵

即■丽■P0.

因为PC4)>0,P(A)>0,

所以P(AB)P(A)>P(AB)P(A).

因为P(A)=\-P(A),P(AB)=P(B)-P(AB),

所以P(43)[1-PQ)]>『(8)-PQ5)]P(4),

即得P(”)>P(/)P(8),

所以P(4B>P(4B)P(B)>P(mP(B)-P(4B)P(B).

即P(AB)[\-P{B}\>P(B)[P(A)-P(ABy\.

又因为1-P(B)=P®,P(A)-P(AB)=P(AB),

所以P(AB)P(B)>P(B)P(AB).

因为0〈P(8)vl,0<P(B)<\,

FE|[P(A8)P(而)

即P(N|3)>P(4|面