立体几何与空间向量（选填题）-2026年高考数学二轮复习培优题型专练（全国适用）原卷版及解析

专题07立体几何与空间向量（选填题）

目录

第一部分题型解码微观解剖，精细教学

臼典例剖析£]方法提炼区变式

题型01平行垂直问题

题型02角和距离问题

题型03球内切外接问题

题型04轨迹问题

题型05截面问题

第二部分强化实训I整合应用，模拟实战

A第一部分题型解码

题型01平行垂直问题

典例剖析

【例（2025・广东•模拟预测）设尸是两个相交但不垂直的平面，直线加〃a,则机与产的关系不可

能是（）

A.m〃6B.mu[3

C.mA.flD.加与夕相交但不垂直

【例1・2】（2025・湖北•模拟预测）在棱长为2的正方体A8CQ-A瓦CQ中，点例是的中点，点N是

侧面与8CG上的一个动点，满足MN//平面4BZ）,则线段MN长度的最大值为（）

A.2&B.75C.也D.76

方法提煤

1.证明空间中直线、平面的平行关系

（1）证明线面平行的常用方法：

①利用定义，证明直线。与平面。没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理；③利

用面面平行的性质定理：

（2）证明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面立行的判定定理：③利用两个平面垂直于同

一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面.

（3）证明线线平行的常用方法：

①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理：

2.证明空间中直线、平面的垂直关系

（1）证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高：②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周先是直

角；⑤向量的数量积为零：⑥线面垂直的性质：⑦平行线垂直宜线的传递性.

（2）证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义；②线面垂直的判定；③面面垂直的性质；④平行线垂直平面的传递性；⑤面面垂直的

性质.

（3）证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.

【变式1」】（2025.上海静安•一模）在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（）

A.垂直于同一条直线的两条直线平行

B.垂直于同一个平面的两个平面平行

C.若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直

D.若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直

【变式1・2】（2025•上海普陀•一模）已知直线汕/和平面。、P，且/ua,a//p,则下列命题中正确的是

（）

A.若，〃//,则〃?〃/B.若〃?〃/,则

C.若用_1_/，则，〃_L/D.若〃?J_/,则m_La

【变式1・3】（2025•全国一卷•高考真题）（多选题）在正三棱柱ABC-A,8G中，。为的中点，则（）

A.AD1A.CB.4G_L平面人人。

C.ADUAED.CG〃平面

题型02角和距离问题

典例剖析

【例2・1】（2025•广东广州模拟预测）在三棱锥P—ABC中，若PAJ.PB,ZAPC=ZBPC=60\则直线PC

与平面所成角的正弦值是（）

A1R及C下1c瓜

A.~D.C•U•

2233

【例2・2】（2025・四川南充・一模）已知四面体A8CO中，84、BC、BD两两垂直，8。=2,8。=26，AB

与平面ACD所成的角为则点4到平面AC。的距离为（）

AGR275r273n2x/39

A.------D.-----------------U-----------

方法提嫌

1.异面直线所成的角

ab

设异面直线凡b所成的角为。，则cosO二其中分别为直线的方向向量.

ab

两条异面直线所成的角的范围是（。弓

2.线面角

设i为平面。的斜线，为/的方向向量，〃为平面a的法向量，。为/与a所成的角，则

sincos（ay/?）=-------.

'71an

3.二面角

平面。与夕相交于直线/,平面。的法向量为勺，平面夕的法向量为生，（4，%）二夕，则二面角的大小

%•n2

为。或%一夕设二面角的大小为夕,则|cos（p\=|cos0\=一厂.

hlh

4.点到直线的距离

如图，已知直线/的单位方向向量为“，A是直线/上的定点，P是直线/外一点，则向量AP在直线/上的

投影向最AQ=（AP〃）〃，在RiAAPQ中，由勾股定理，得PQ=JAP?-4Q?=JAP。一即@.

5.点P到平面。的距离:

PAn

设平面。的一个法向量为〃，A是平面。内任意一点，则平面外一点P到平面。的距离2=----------

在两直线上各取一点构成一个向量48，〃为两直线的公垂线的单位方向向量，则两异面直线间的距离为

【变式2・1】（2025•全国•一模）已知空间四边形A8C。，A8=BC=8,CD=1,AD=后,ZADC=90°.

则对角线AC与AO所成角的余弦俏的取信范围是.

【变式2・2】（25-26高三上•四川成都•月考）（多选题）已知正方体ABC。-44CQ的校长为1,则以下说

A.直线AC与平面人BC。所成角的正切值为日

B.二面角所成角的大小为J

4

C.直线A4与直线BG所成的角为方

D.点A到平面BCQ的距离为立

3

【变式2・3】（2025・浙江•二模）（多选题）在四边形4BC。中，BD=2AB=26,BC=2,/A=NCBO=90,

将△加»沿3。折起，使点C到达点C1的位置，下而正确的是•：）

A.直线G。与平面A3。所成角的最大值为30。

B.异面直线8G与A。所成角的余弦值取值范围

c.若平面G皿平面—“到平面c皿勺距离为窣

D.三棱锥G-44。的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为164

题型（）3球内切外接问题

一典例剖析,

【例3・1】（2025・河北・二模）己知留台的母线长为4,下底面的半径是上底面半径的3倍，母线与底面所成

的角为60。，那么圆台的外接球的表面积为（）

28-56「2112

AA.-7iB.—TCC.28兀D.------71

333

【例3・2】（2025•山东日照一模）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4,高为3G.若该圆台内有

一个球，则该球的表面积的最大值为（）

A.9兀B.—C.27TID.27.

32

方法提煤

解决球的内切外接问题的核心思路：定球型一找球心一求半径一套公式.

1.外接球

核心策略：球心定位（外心连线中点/高线）+半径公式/勾股定理

⑴定义法：利川平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定

球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

⑵补形法：若球面上四点2ARC构成的三条线段PAP8,PC两两垂直，且P4=a,P8="PC=c,一般把

有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4火2=/+从+62求解

（3）截面法：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截

面，把空间问题转化为平面问题求解.

2.内切球

核心策略：等体积法（万能通法）+轴截面法

（1）体积分割是求内切球半径的通用方法.

（2）我准切点，通过作过球心的截面来解决.

【变式3・1】（2025•上海黄浦・一模）己知边长为3的正三角形A8C的三个顶点都在球。的球面上，球心O

到平面ABC的距离为1,则球。的体积为.

【变式3・2】（2025•江苏连云港•模拟预测）（多选题）在四面体,①8中，6C=3,其余各棱K均为2,

则该四面体的（）

A.表面积为20+3>/7B.体积为立

2

C.外接球的半径为变D.内切球的半径为3（后一可

35

【变式3・3】（2025・广东•模拟预测）一个轴截面为等边三角形、高为6cm的封闭圆锥形容器内有一个半径

为1cm的小球，小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥内壁的面积为cm2.

题型04轨迹问题

典例剖析

【例4・1】（2025・四川成都・二模）一封闭圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个半径为立的小

3

球在该容器底面运动，则小球与侧面接触部分的轨迹长为（）

A.5冗B.367rC.6nD.3兀

【例4・2］（2025・全国•模拟预测）已知正方体八8。。-48℃的棱长为&,点/£平面45。。，且黑=我，

则点M的轨迹的长度为（）

A.6TTB.3兀C.2忑%D.—

2

方法提煤

1、立体几何中的轨迹问题

立体几何轨迹问题是以空间图形为素材，去探究符合一定条件的点的运动轨迹，常见的轨迹类型有直线、圆雉

曲线、球面、椭球面.

2、常用的解决策略

（1）定义法：根据圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，进而求解轨迹问题.

（2）交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线（曲线方程中含有参数）的交点，此时，要首先分析两动曲线的

变化，依赖于哪一个变量?设出这人变量为t,求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去参数t,

化简整理即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.

（3）几何法：从几何视角人手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，找到动点的

轨迹，再进行求解.

（4）坐标法：坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的轨迹问题转化为坐标运算问题，进行求

解.

（5）向量法：不通过建系，而是利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究立体几何中的轨迹问题,

进行求解.

【变式4・1】（2025・甘肃・模拟预测）在所有棱长为4的正四棱锥尸-A8C。中，M是底面正方形A3CQ内一

点（含边界），若PMtMD,购点M的轨迹长度是（）

A.&兀B.2兀C.2&D.2瓜

【变式4・2】（2025•甘肃甘南•模拟预测）在棱长为2的正方体ABC。-A8CA中，M为棱AB的中点，P

为侧面A。2A内（包含边界）的动点，且CP，GM，则动点尸的轨迹长度为;当线段取最小值

时，三棱锥尸-的外接球的*径/?=.

【变式4-3］（2025•浙江丽水一模）已知三棱锥S-A8C,满足S4=S3=SC,且SA,SB,5r两两垂直.在

底面VA8C内有一动点尸到三个侧面的距离依次成等差数列，则点尸的轨迹是（）

A.一个点B.一条线段C.一段圆弧D.一段抛物线

题型05截面问题

典例剖析

【例5・1】（2025•陕西西安二模）在三棱锥P—A8C中，4B=BC=2及，且A8J.3c.记直线%,PC与

平面ABC所成角分别为。，P，已知夕="=好，当三棱锥尸-ABC的体积最小时，平面必。截三棱锥

P-人的外接球的截面面积为.

【例5-2］（2025.云南昭通.模拟预测）在校长为3的正方体人正力-中，E是棱AA的中点，F为

棱BC的三等分点（靠近8点），过AE,“三点作正方体的截面，则以3为顶点，以该截面为底面的棱锥的

体积为.

方法提嫌

1.作截面的具体步骤

（1）找截点：

方式I：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面（或其延长部分）相交，交点即截点；

方式2：过•截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点；

（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线；

（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面.

2.作截面的几种方法

（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交

线的过程.

（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其池平面相交找到交点.

（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线

的平行线找到几何体的截面的交线.

【变式5・1】（2025•河北邯郸一模）已知三棱锥夕—A3C中，PA=PC=PB=BA=BC=2,AC=26,。为

PB的中点,过点。作三棱锥P-A8C外接球的截面，则截面面积的最小值为.

【变式5・2】（2025・河南•模拟预测）已知球。是正三棱锥P-ABC的外接球，AB=C,PA=6AE=轲,

13

过点上作球。的截面，若截面面积为土兀，则直线OE与该截面所成的角为（）

【变式5・3】（2025•辽宁・二模）（多选题）在棱长为4的正方体4BC。-A8CQ中，M,N,P分别是

棱A%,CG，CR的中点，。是棱AR上的动点（包含端点），贝ij（）

A.当点。是棱AA的中点时，过点。且与平面4G力平行的平面截该正方体所得截面图形的面积为2g

Q

B.若过点8,M,P的平面截该正方体所得截面与A"交于点Q，则AQ=]

C.过点Q且与8V垂直的平面截该正方体所得截面图形的面积的最大值为8不

D.存在点。，使得过点Q,M,N的平面截该正方体所得截面图形为五边形

＞第二部分强化实训

1.12025•山东济南•二模）（多选题）如图，矩形A8c。中，AB=2G,4O=2#,M,N分别为4）,■的中

点.现将沿8。翻折，得到三棱锥则在翻折的过程中，下列说法正确的是（）

A.三楂锥A'-8c。体积的最大值为8

B.存在某个位置使CM_LON

C.三棱锥4-AC。外接球半径为3

D.直线MN被三棱锥A―88外接球截得的线段长的取值范围为仅近,6）

2.（2025•河北•模拟预测）（多选题）如图，在正八面体N中，所有棱长均为1,P为正八面体

内切球球面上的任意一点，则（）

A.正八面体内切球的表面积为TB.正八面体的体枳为工

33

C.PM/A的取值范围是与色，上兽D.tan/PAC的最大值为g

oo2

3.12025•湖北武汉•三模）（多选题）如图，半圆锥的底面直径为AD=2,母线%=2,P为圆弧A。上任

意一点（不包括人，。两点），直线八5垂直于平面八且M=2.连结8。交母线VA于点E.下列结

论正确的是（）

A.三棱锥P-A3。的4个面均为直角三角形

B.VE=4-2>/3

C.沿此半圆锥的曲侧面从点。到达点E的最短距离为2

D.当直线/方与平面%。所成角最大时，平面RS截三棱锥尸-AB。外接球所得截面的面枳为夜兀

4.12025•云南玉溪•模拟预测）（多选题）正方体A3cO-A由棱长为1,。是4。上的一个动点，下

列结论中正确的是（）

A.当。在A/。上运动时，不一定有GPLBR

B.当。在直线4。上运动时，三棱锥8/一人CP的体积不变

C.以+PC的最小值为J2—近

D.以点8为球心，”为半径的球面与平面44。的交线长为远几

23

5.（24-25高三上•黑龙江哈尔滨•期中）（多选题）如图，棱长为4的正方体4BCQ-A5G。中，E为梭DD、

的中点，户为正方形CDRG内一个动点（包括边界），且8尸〃平面A8E,则下列说法正确的有（）

A.动点尸轨迹的长度为2及

B.平面A8E截正方体所得的截面图形的面积为9

C.存在尸点，使得37工43

D.若"为C。的中点，以点〃为球心，逐为半径的球面与四边形ACGA的交线长为g兀

6.12025・湖南•一模）（多选题）皿图，三楂台ABC-ABC中，8W=g8C，CG_L平面

ABC,AB±BC.A13=BC=CC,=2/A,^,=2,则（）

A.三棱台ABC-ABC的体积为:

B.CML平面人G8

C.ABJBC

D.若点/＞在侧面A网A上运动，且"与平面A网A所成角的正切值为4,则P点在侧面A网4上的

轨迹长度为亚7t

5

7.（2025•湖南郴州一模）（多选题）在棱长为I的正方体ABCO-AAGA中，点M在侧面8RG所在平面

内运动，N为4G的中点，则下列说法正确的是（）

A.当M在线段G。上运动时，恒有，4例

B.当“为正方形CQRG的中心时，8M与AN所成角的正弦值为速

C.若点M满足GM=：GC，则平面A3M截正方体所得的截面面积为3詈

D.直线和与平面CDDC；所成的角相等时，动点M的轨迹为圆

8.12025•湖北武汉•模拟预测）（多选题）在棱长为3的正方体A8CQ-A与GA中，点2是平面ABC；内一

个动点，且满足QD+QA=3（&+#），则下列结论正确的是［）

12

B.点P的轨迹是一个半径为血的圆

C.直线餐尸与平面AQG所成角为定值D.三棱锥尸-66«体积的最大值为3

9.（2025・贵州六盘水•模拟预测）（多选题）在直四棱柱48C。-中，4C=&，A4=l,点8,D

在以线段AC为直径的圆。上运动，且8,O,。三点共线，点M,N分别是线段BC,GR的中点，则

下列说法中正确的是（）

A.平面ABC。，平面。CG4

B.当四棱柱八BCD-4用GR的体积最大时，D.BLAB.

C.当/W=l时，过MN的平面截该四棱柱的外接球所得截面面积的最小值为当

O

D.当钻=1时，过点A，B,N的平面截该四棱柱所得的截面周长为石+|血

10.（2025•山东济宁•二模）（多选题）已知正方体44。。-A5GA的校长为1,点，在正方体的内切球表

面上运动，且满足8P//平面AC。，则下列结论正确的是（）

A.BPA.B.DB.点P的轨迹长度为几

C.线段BP长度的最小值为亚D.8尸IC；的最小值为1-正

613

专题07立体几何与空间向量（选填题）

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>第一部分题型解码

题型01平行垂直问题

【例1・1】（2025・广东•模拟预测）设尸是两个相交但不垂直的平面，直线加〃a,则机与产的关系不可

能是（）

加//PB.mu[3

mLpD.与夕相交但不垂直

【答案】C

【详解】在平面夕外取，"平行于〃和夕的交线即可，故A可能；

在平面P内取用平行于。和夕的交线即可，故B可能：

若ml.。且m/2,则a_L〃，与条件矛盾，故C不可能;

除去以//P和5<=/的情况D都成立,故D可能.故选C.

【例1・2】（2025・湖北•模拟预测）在棱长为2的正方体ABCO-AgCQ中，点M是的中点，点N是

侧面与8C£上的一个动点，满足〃平面4B。，则线段长度的最大值为（）

A.2拒B.V2C.75D.

【答案】A

【详解】取A片的中点P,8田的中点E8C的中点居连接MRPEM和桥,

rhRE分别为的中点，知PE//48,同理可知：EF//BlCtBlC//A]D,有EF/1AQ、

又由PE/M,3,PEu面月也。且ABu平面人田。，所以庄//平面4a。，

同理可知，所〃平面AB。.

因为PEc七尸=E,2£u平面MPEF,EFu平面MPEF,所以平面A8。//平面MPEF,

而MNu平面MPEF,故动点N在平面与By内的轨迹为EF,

由/$=2可知，EF=应,MF=2尬,ME=《1+（非）2=«，

所以E尸+M6=M尸，即ME_L£F,所以线段MN的最大值为M/=2&-故选：A.

方法提煤

1.证明空间中直线、平面的平行关系

（1）证明线面平行的常用方法：

①利用定义，证明直线。与平面0没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理；③利

用面面平行的性质定理；

（2）证明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面工行的判定定理；③利用两个平面垂直于同

一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面.

（3）证明线线平行的常用方法：

①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；

2.证明空间中直线、平面的垂直关系

（1）证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直

角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质；⑦平行线垂直直线的传递性.

（2）证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义；②线面垂直的判定；③面面垂直的性质：④平行线垂直平面的传递性；⑤面面垂直的

性质.

（3）证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.

【变式1・1】（2025・上海静安•一模）在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（）

A.垂宜于同一条直线的两条直线平行

B.垂直于同一个平面的两个平面平行

C.若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直

D.若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直

【答案】C

M_LAO,A3_LA。，但故A错误；

平面平面48co,平面48片A_L平面A8CO,

但平面A。。A平面ABB.A.,故B错误；

ACS30,与平面A3CO平行的所有平面均与4C"。平行，故D错误;

inLa.nlla,由线面平行的性质定理可知，平面a内一定存在直线/与〃平行，

由线面垂直的性质定理“J知，〃则有〃z_L〃，故C正确.故选：C

【变式1・2】（2025・上海普陀•一模）已知直线汕/和平面a、/，且/ua,a〃夕，则下列命题中正确的是

（）

A.若机/力，则〃?〃/B.若〃//,则6//a

C.若机则m_L/D.若/则

【答案】C

【详解】由/ua,a//p,可得/p.

对干A,机〃/，/B,则直线〃?、/可能相交、平行或异面，故错误;

对于B,若〃?〃/,则〃?//a或/〃ua,故错误：

对于C,因为m_L〃，a//pt所以〃又/ua,所以m_U,正确；

对于D,要证明机_1_。，需阳垂宜平面。内两条相交直线，现在只有〃z_L/,条件不够，故错误；故选：C

【变式1・3】（2025•全国一卷•高考真题）（多选题）在正三棱柱中，。为8C的中点，则（）

A.ADl^CB.8G，平面44。

C.AD//\B,D.CG〃平面从4。

【答案】BD

【详解】法一：对于A,在正三棱柱ABC-A用0中，A4J■平面48C,

乂AOu平面A8C,则叫1AD,则入44）=0,

因为VAKC是正三角形，D为BC中点,则AO/8C,则。。》力=（）

又AC=AA+AO+DC,

所以ACA0=（AA+A0+0Cj.AD=AAA0+A02+QCA0=A。，。,

则4。_LAC不成立，故A错误；

对于B,因为在正三棱柱A4C-AMG中，A4,平面A4G，

又8Cu平面A4G，则AA_L8C，

因为VABC是正三角形，。为8C中点，则4O1BC,AO1BC，

乂AA,rAD=A,AAl,ADu平面4AD,

所以4G_L平面A4。，故BIE确；

对于D,因为在正三棱柱A8C-AMG中，CC./MA

又AAu平面A4,O，CG仁平面M。，所以CG〃平面A4,。，故D正确；

对干C,因为在正三棱柱ABC-ABC中，A再//AB,

假设八Q//A四，则A力〃A8,这与AOcA8=A矛盾，

所以AO//A4不成立，故C错误；故选：BD.

法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为2,高为力，

则D（0,0,0）,A（G,0,0），A（6（U）,C（0,T0），C（0,T*）,5（（H0），4（（U/I）,

对于A,AD=（->^,0,0）,AC=（-73,-1,-A）,

则皿4。=（_6卜（_@+0=3/0,

则ADJ.AC不成立，故A错误；

对于BD,BC=（0,-2,0）,CC,=（0。。）,想=（0,0J?）,AO=（-6,0,0）,

设平面AA。的法向量为n=（x,y,z）,

AAn=hz=0,

贝IJ广厂，得x=z=0,令y=l,贝IJAi=（（）」,（）），

AD-n=-V3x=0

,/、UUU1

所以8c=（0,-2,0）=-2〃，CG•八=0,

则BC_L平面AA。，CCJ/平面八A。，故BD正确；

对于C,AD=（-75,0,0）,=（-73,1,0）,

则二显然A。/3再不成立，故C错误；故选：BD.

-x/31

题型02角和距离问题

典例剖析

【例2・1】（2025•广东广州•模拟预测）在三极锥尸—A6C中，若/AFC=NBPC=丁，则直线尸C

与平面P43所成角的正弦值是（）

A.mB.巫C.BD.旦

2233

【答案】B

【详解】设|%|=|冏=1,以尸为原点,以为X轴，用为y轴,建立如下图所示空间直角坐标系,

c

则P((),O,()),A(1,(),O),8(O,1,O),设点c(x,yz),.•.PA=(l,0,0),P4=(0,L0),PC=(x,y,z),

：NAPC=NBPC=60°，：.PA-PC=\P^\PC\•cos60",即x=^叫,

同理尸8•PC=|PB\-\PC\-COS60”，［ipy=l|pc|

设=则x=(,y=(,v|pc|=7^2+y2+z2»

直线PC与平面P44夹角的正弦值等于点C到平面丛5的距离Z与W4的比值，即

乌

B

sin6>=r^=^—=—•故选：-

\PC\t2

【例2・2】（2025・四川南充•一模）已知四面体/WCO中，BA、BC、5。两两垂直，BC=2、BD=zC,AB

与平面AC。所成的角为（则点"到平面ACD的距离为（）

Ay/3R2石r2>/3k2a

25313

【答案】A

【详解】如图，以3为原点，BC、3D、胡所在直线分别为4,V,z轴建立空间直角坐标系,

设BA=f,t>0,

则B(0,0,0),C(2,0,0),O(0,26,0),A(0,0j),

所以AB=(0.0,T),AC=(2,0,T),CD=(-2,2X/3,0).

设平面ACD的法向最为〃=(a，z),

n-AC=O2x-rz=0

则..，得：

n-CD=O-2.1+2岛=0'

不妨令％=G，解得：〃二G」,

因为AB与平面ACD所成的角为:,

|加|口"=当,又经0,解得：/=]

所以sing=gs(AB,〃/闽

所以平面AC。的一个法向量为〃=

故3到平面AC。的距离为4=一^="=上.故选：A

J3+1+122

方法提煤

1.异面直线所成的角

ab

设异面直线。力所成的角为。，则cos6=——,其中分别为直线出〃的方向向量.

ab

两条异面直线所成的角的范围是卜）,5.

2.线面角

设/为平面。的斜线，=为/的方向向量，〃为平面。的法向量，。为/与。所成的角，则

3.二面角

平面a与夕相交于直线/,平面a的法向量为",平面夕的法向量为〃2，=则二面角的大小

•小

为。或;r-4设二面角的大小为0,则|cosw|=|cos，|=-----

%〃2

4.点到直线的距离

如图，已知直线/的单位方向向量为〃，A是直线/上的定点，户是直线/外一点，则向量AP在直线/上的

投影向量AQ=（AP〃）〃，在用AAPQ中，由勾股定理，得PQ==J4p2-（AP“，2.

u

p

5.点P到平面a的距离:

PAn

设平面Q的一个法向量为〃，A是平面。内任意一点，则平面外一点P到平面。的距离4=------

n

6.两异面直线间的距离

在两直线上各取一点构成一个向量4B,u为两直线的公垂线的单位方向向量，则两异面直线间的距离为

ABu.

【变式2・1】（2025•全国•一模）已知空间四边形48CO,AB=BC=8,CD=\,4。=厉，ZADC=90°.

则对角线AC与3。所成角的余弦值的取值范围是.

【答案】

【洋解】在，A8中，因为NADC=90°,所以ACMJAD2+DC」=4,

过点D在平面ACO中作DE±AC「点E,则.CQE和.CAD相似,

CDCEDE1所以CEj

所rci以l一=——=——=-

CACDAD4DE当

取AC中点0,连接08,在三角形A8C中，因为=所以AC_L05,

如图，以0为坐标原点，0A为了轴，05为＞轴，过。作直线垂直于平面A3C,这条直线为z轴，建立空

间直角坐标系,

什D

因为。A=(AC=2,A3=8,所以08=2厉，所以8(0,2厉,0；|,

设",且炉二1"5

k4J1616

所以。8=((,2后一凡―"，AC=(4,0,0),

设直线40与直线AC的夹角为6,

..ACBD7

,cos。=|cosAC,BD\=-------------=-------f_7

则叫列4xJ|/标］石二而试，

因为—巫<〃<巫，所以当〃=巫时，COS^-1,所以当”=一巫时，COS®=宣亘，

44444316

所以对角线4c与A。所成角的余弦值的取值范围是(坐」.

【变式2・2】(25-26高三上•四川成都•月考)(多选题)已知正方体A6cO-44CQ的校长为1,则以下说

A.直线A。与平面人BCO所成角的正切值为日

B.二面角所成角的大小为今

C.直线A4与直线BG所成的角为3

D.点A到平面BG。的距离为巫

3

【答案】ABC

【详解】以。为原点建“.如图所示空间直角坐标系，

则有0(0,0,0)、A(l,0,0)、8(1,1,0)、C(0,l,0).A(0,0,1)、

40,0,1)、勺(1,1,1)、G(0,1,1)；

对A：由Z轴，平面ABC。，则平面ABCO的法向量可为m=(0,0,1),

,、AyC-m—16

又AC=(T，1)，则8SAC"即="一

3，

设直线A。与平面A8CO所成角为0,则sin0=|cosAC加卜与，

则lan6=

,故A正确;

对B：。4=(1,0,1)、DC=(0,1,0),

设平面ADC的法向曷为ci=(x,)，,z),

a•DA.=x+z=0.、

则有《，取x=l,则d=1,01),

a-DC=y=0

设二面角A-OC-8所成角的大小为a,由图可知。为锐角

乂平面0cA的法向量为〃2=(0。1),

a-miV2

则cosa-|cos(a,==

l«|-H72T

故二面角A-OC-8所成角的大小为故B正确;

4

对C：AB,=(0,1,1).BQ=(-1,0,1),

设直线4局与直线BC】所成的角为0

A/BC】1

则cos。=cosAB「BC,=

|词.忸。「万企一2，

故直线4瓦与直线8G所成的角为上，故C正确；

对D：阳=(-1。1)、DC,=(OJ,l),A8=(0，l，T)，

设平面5G。的法向量为/)=(4〃,c),

b•BC=-a+c=0

则有{取〃=1,则人=(1,一1,1),

b-DC,=b+c=0

ABb22x/3

则点A到平面BG。的距离d=73~故D错误.

故选：ABC.

【变式2-3］（2025・浙江・二模）（多选题）在四边形A4CD中，BD=2AB=2^,BC=2,=NCBD=9(),

将△8CO沿8。折起，使点C到达点G的位置，下而正确的是•）

A.直线G。与平面A3。所成角的最大值为30。

B.异面直线8a与A。所成角的余弦值取值范围［。《

C.若平面CBOJL平面则8到平面C4。的距离为逑L

7

D.三棱锥G-48Z）的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为16不

【答案】ACD

【详解】

对于A,BD=2AB=243»BC=2,NA=/C8O=90,,A0=3,8=4,

且ABDC=30°=NBDC、=NADB.

所以直线G。与平面A8D所成角的最大值为30°;

对干B,;NC3O=9（）,:又/JCc60=8,6C,60u平面ACQ，

所以8。/平面3CG，又NA3O=30。，所以直线4。与平面BCG的夹角为60。，

则宜线BG与A。所成角最小角为60°,此时G在国线上，

直线BG与4。所成角最大角为90。，当平面C8OL平面A3。垂直时，

•/BC］±BD,平面G3OC平面45。=应），..8G_L平面A8O,

•.•人/）（=平面48，..g_1八。，

1

所以异面直线Bq与AO所成角的余弦值取值范围。，5,故B错误；

对于C,由B知当平面C8DJ.平面A/比）垂直时，8。_1_平面A8O,

%”=（S3|GM=3；X』X3X2=Q,

•・・48匚平面八9。，..86_143,CiA=jAB、BC；=5,

又A/）2+C1A2=9+7=l6=G/>2,所以八D_LAG，5=1x3x77=—»

•w•**Vr-1

设8到平面CH。的距离为〃，则%的=%ADC'S、伏/=也力=6，

V|/lf>fzJ>~/lrxV|-3.CL]2

解得力=豆可，故C正确；

7

对卜D,因为NA=/CBO=90，所以“8£>,为宜角三角豚

外接圆半径分别为6,2,故三棱唯C.-ABD外接球半径最小为2,

此时球心在G。中点处，表面积为16几，故D正确；故选：ACD.

题型03球内切外接问题

典例剖析

【例3・1】（2025・河北・二模）已知圆台的母线长为4,下底面的半径是上底面半径的3倍，母线与底面所成

的角为60。，那么圆台的外接球的表面积为（）

A.—兀B.—TtC.287tD.-----兀

333

【答案】D

【详解】因为母线与底面所成的隹为60。，则圆台的高。尸=26，上底面半径耳0=1,卜底面半径AC=3,