北师大版高中数学必修1全书综合测评

北师大版高中数学必修1全书综合测评

2

I.(2021・北京•期末)已知集合M={x\x>4),N={x\log2xN1},则MnN=()

A.[-2,2]B.(—00,—2)

C.(2,+00)D.(-2,4-co)

2.（2021.北京.期末）下列函数中，既是偶函数，又在（-8,0）上单调递增的函数是（）

A./(x)=x2B./(Xi=2M

C./(x)=log20D./(x)=x\x\

3.（2021.北京.期末）从杲企业生产的杲种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，

1江一一土八质量指标分组[10,30）130,50）[50,70）

其频率分布表如下：则可估计这批产品的质量指标的众

频率0.6

数（以中点值代替），中位数分别为（）

A.30,43-B.40,43C.40,43；D.30,43

4.（2021•北京•期末）下列命邈是真命题的是（）

A.若x>y>z,则Ixy|>|yzIB.若工V：<0,则ab>b2

ab

C.若a>b,c>d,则ac>bd.D.若azx>a2y，则x>y

5.（2021・北京.期末）已知函数fM=ax2-x,若对任意打,丫？<=僧,+8），且打工0，不等式

必匕3>0恒成立，则实数a的取值范围是（）

xi-x2

A,&+8）B.4+8）c,G，+8）D.卜+8）

6.（2021・北京・期末）理数g（x）=|loga（x+1）|（Q>0且Q羊1）的图象大致为（）

7.(2021.北京.期末)已知/(x)是定义在(-co,+QO)上的偶函数,且在(-8,0］上是增函数.若

06

a=/,(log47),b=/(嚏二3),c=/(0.2)，则a,b,c的大小关系是()

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c

8.（2021.北京・期末）定义一种新运算：=P；受，已知函数fa）=（l+9©og3,

若函数gM=fM-k恰有两个零点，则k的取值范围为（）

A.（1,2]B.（1,2）C.（0,2）D.（0,1）

9.（2021・北京•期末）设全集为U,下列选项中是BQA的充要条件的为（）

A.A\JB=BB.(QA)Afi=0

C.(C")G(Q8)D./Iu(C(yB)=U

10.（2021.北京.期末）下列命题为真命题的是（)

A.%0W(0,+8),(一。<@广

B.3xG(0,1),logix>logix

02030

C.vxe（0,十8）,G）>logix

D.VxW（0*），G）〈log,

11.（2021.北京.期末）对于诩x,符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[n]=3,[-1.08]=

-2,定义函数/（x）=x-[x],则下列命题是真命题的是（）

A./（-3.9）=/（4.1）B.函数/（x）的最大值为1

C.函数fW的最小值为0D.方程f（x）-1=0有无数个根

12.（2021・北京・期末）在某年的足球甲A联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.6,全年比赛失球个

数的标准差是1.2；二队每场比赛平均失球数是2.2,全年比赛失球个数的标准差是0.5.下列说

法正确的是（）

A.平均说来，一队比二队防守技术好

B.二队比一队防守技术水平更稳定

C.二队有时表现很差，有时表现又非常好

D.二队很少不失球

13.（2021.北京.期末）已知集合A={2,3},B={1,2.3）,从集合A,B中各任意取一个数，则这两

个数之和等于4的概率是—.

14.（2021・北京・期末）若关于x的不等式ax-b<0的解集是（1,+8）,则关于x的不等式

（ax4-b）（x-3）>0的解集是_.

15.（2021.北京.期末）若函数/（x）=、为奇函数，则实数a的值为且当x24时，

环境是否需要改进，并说明理由.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

19.(2021.北京.期末)已知定义域为R的奇函数fW，当％>0时，/(无)=x2+|.

(I)求当x<0时，/(x)的解析式；

(2)求证：/(%)在［1,+8)上为增函数；

(3)解关于x的不等式f(2x+6)>/(#+3x2"+3).

20.(2021.北京.期末)随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位：cm),并按照区间［160,165),

［165,170),［170,175),［175,180),［180,185］分组，得到样本身高的频率分布直方图(如图).

(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170cm及以上的学生人数；

(2)将身高在区间［170,175),［175,180),［180,185］内的学生依次记为A,B,C三个组,用分

层随机抽样的方法从三个组中抽取6人，求从这三个组中分别抽取的学生人数；

(3)在(2)的条件下，要从6名学生中抽取2人，用列举法计算B组中至少有1人被抽中

的概率.

21.(2021・北京•期末)已知函数/(%)=对任意实数t,gtM=-tx+l.

(1)若函数h(x)=-^--gtM在(0,2］上是单调递减的，求实数t的取值范围；

(2)若fW<mg2M对任意xG(0,i］恒成立，求正数m的取值范围.

22.(2021・北京•期末)已知理数f(x)=loga(a*-i)(a.

(1)当a=T时，求函数fM的定义域；

(2)当a>1时，求关于x的不等式/(X)</(I)的解集；

x

(3)当a=2时，若不等式/(x)-log2(l+2)>m对任意xG[1,3]恒成立，求实数m的

取值范围.

答案

1.【答案】C

2

【解析】因为M={x\x>4]=[x|x>2aEx<-2],N={x\log2x>1]={x\log2x>

log22]={x|x>2],

所以MAAZ={x|x>2].

【知识点】交、并、补集运算

2.【答案】C

【解析】对于A,y=/为二次函数，其图象的对称轴为y轴，在其定义域内是偶函数，但在

(-8,0)上单调递减，不符合题意；

对于B,y=2㈤=[念:竦在其定义域内是偶函数，但在(-8,0)上单调递减，不符合题意；

对于C,f(x)=log2高=-10g2IX|={[器;T),:在其定义域内是偶函数，又在(一8,0)

上单调递增，符合题意；

对于D,y=x|无|=[7,x亍0在其定义域内是奇函数，不符合题意.

【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性

3.【答案】C

【解析】根据题中频率分布表可知，我频率最大的分组为[30,50),

所以众数为40.

设中位数为%,

则0.1+三更X0.6=0.5,

50-30,

解得x=43］即中位数为431

【知识点】样本数据的数字特征、频率分布直方图

4.【答案】D

【解析】A中，不妨取％=1,y=-2,z=-3,此时|1x(-2)|<|(-2)x(-3)I,所以A是

假命题；

B中，若，:V0,则bVaV0,则〃>血，所以是假命题；

abB

C中，不妨取a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,则-lx(-3)<-2x(-4),所以C是假命

题；

22

D中，若Q2%>ay,则a(x一y)>0,则％—y>0,即x>y,所以D是真命题.

故选D.

【知识点】不等式的性质

5.【答案】D

(a>0,1

【解析】由题意可得，函数/(X)在［2,十8)上为增函数，故有1—二《2,解得。之；.

【知识点】函数的单调性

6.【答案】C

【解析】函数gM=|loga(x+1)1的定义域为从而排除D;由g(%)=

|loga(x+1)1N0,排除B；当％=0时,g(x)=0,排除A,故选C.

【知识点】对数函数及其性质

7.【答案】C

【解析】因为fW在(-8,+8)上是偶困数,

所以b=f(log：3)=/(-log23)=f(logz3),

6

因为log47>log44=1,log23=log49>log47,0<0.2°<1,

06

所以log23>Iog47>0.2>0,

因为/(%)是偶函数，且在(-co,0］上是增函数，

所以fM在(0,+8)上是减函数，

故/Qog23)Vf(log47)Vf(0.20・6),

即b<a<c.

【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性、抽象函数

8.【答案】B

fM=(1+;)01og^x

【解析】(11,x>2

=+X

Jog及x,0<x<2

作出函数/(x)的图象如图，

函数9(幻=/(幻-上恰有两个零点可转化为函数fM的图象与直线yk有两个不同的交点，

故1<k<2.

【知识点】因数的零点分布

9.【答案】B；C；D

【解析】如图，由Venn图可知，B,C,D都是BQA的充要条件.

【知识点】交、并、补集运算

10.【答案】B；D

【解析】对于A选项，构造幕函数y=/。(&>0),

因为勺>0，

所以幕函数在(0,+8)上单调递增.

又因为

所以©">C广恒成立，故A是假命题；

对于B选项，如图所示，

函数y=log.%的图象为虚线部分，

2

函数y=logix的图象为实线部分，

3

显然3xG(0,1),使得logix>logix,故B是真命题；

02030

对于c选项，对任意X6(0,+00),0<Q)<1恒成立,

而当X=；时，logi^=2,

q2a

所以G)'>logIX不恒成立，故C是假命题；

对于D选项，当XG(O,1)时，

出指数函数y=的图象(图略)知，函数值恒小于1,

由对数函数y=log”的图象(图略)知，函数值恒大于1,

2

【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质

11.【答案】A；C；D

【解析】由题意得/(-3.9)=(-3.9)-[-3刈=-3.9-(-4)=0.1，/'(4.1)=4.1-[4.1]=4.1

4=0.1,A是真命题；

由题意可画出/(X)的部分图象，如图：

由图可得，/(x)的最小值为0,无最大值,图象与直线x=：有无数个交点，即方程/«-1

0有无数个根,故B错误，C正确，D正确.故选ACD.

fr

【知识点】函数的最大(小)值、函数的零点分布

12.【答案】A；B；D

【解析】一队每场比赛平均失球数是L6,二队每场比赛平均失球数是2.2,所以从平均数的角度

来说一队比二队防守技术好，A正确；

一队全年比赛失球个数的标准差为L2,二队全年比赛失球个数的标准差是0.5,所以二队比一队

防守技术水平更稳定，B正确；

二队每场比赛平均失球数是2.2,全年比赛失球个数的标准差是0.5,所以二队很少不失球，C错

误，D正确.

【知识点】样本数据的数字特征

13.【答案】：

【解析】因为集合A={2,3},B={1,2,3},从4,8中各任意取一个数有2x3=6种情况，其

中两数之和为4的情况有两种：2+2,3+1,

所以这两个数之和等于4的概率P=[=卜

o3

【知识点】古典概型

14.【答案】(一1,3)

【解析】因为不等式ax-b<0的解集是(1,+8),

所以a<0且g=l,故Q=b<0,

所求不等式可化为(t-l)(x-3)>0,即(%+1)(%-3)<0,

解得—1<%<3.

【知识点】二次不等式的解法

15.【答案】2；：

【解析】因为函数/(X)为奇函数，

所以/(-X)+fM=°，即(…2；供—a)+(x+2；…)=°'

gnda).二.

W(x+2)(-x+2)(x+a)(x-a)'

故4-2a=0,BPa=2,

所以fM=舟.

当工工4时，f(%)=A,注意到y=%-:在［4,4-co)上单调递增，

X-Xx

故_l＞-i=3,

xX44

所以0＜义工2

x―x3

故当xN4时，/(幻的最大值为1.

【知识点】函数的最大(小)值、函数的奇偶性

16.【答案】3

【解析】在(a*b)*c=c*(ah')+(a*c)+(Z?♦c)—5c中，

令c=0,得(a*b)*O=O*(ab)+(a*0)+(b*0),

由(l)a*b=b*Q可彳导(Q*b)*0=(ab)♦0+(6Z♦0)+(/)*0),

由1(2)a*0=a,可得(a*匕)*0=a*b=ab+a+b,

所以fW=x*：=l+x+：.

因为无＞0,

所以fM=1+x,

当且仅当无=：,即x=1时，等号成立，

所以fW的最小值为3.

【知识点】函数的最大(小)值

17.【答案】

(1)由题意知p：lW%W5,当m=S时，q:4W%W6,

因为“p且q”为真,

所以p,q都为真命题，

所以4<x<5.

(2)因为q是p的充分条件，

所以｛xlm-l<x<m4-l)是｛xl1<x<5)的子集，

所以制二般

所以2<7H<4.

【知识点】复合命题的概念与真假判断、充分条件与必要条件

18.【答案】

(1)设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的三天分别记为人,%，&，PM2.5的24

小时平均浓度在(75,100)内的两天分别记为BX,B2,

所以从5天中随机抽取2天的情况有A,A2,—A，4出,,A2A3,一瓦,A2B2,A3Bt,

A3B21B1&•共10种，

其中符合条件的有—4祖,A2BX,A2B2,A3Br,A3B2，共6种，

所以所求的概率P=白=]

AVJ

⑵随机抽取的该居民区去年20天PM2.5的平均浓度为12.5x0.15+37.5x0.6+62.5x

0.15+87.5X0.1=42.5(微克/立方米).

该居民区的环境需要改进.

理由：利用样本估计总体的思想，估计该居民区去年PM2.5的年平均浓度为42.5微克，立方米.

因为42.5>35,

所以去年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合《环境空气质量标准》的规定，所以该居民区的环

境需要改进.

【知识点】样本数据的数字特征、古典概型

19.【答案】

(1)由fix')昂定义域为R的奇函数，知/(0)=0.

当x<0时，一%>0,则/(-%)=/-£/(幻=-/(-X)=-x2+1.

f0,x=0

综上所述，当3W0时，/W=\2,1XV0•

IX

(2)任取xltx2e[1,4-co)，且/<小，则

“无2)-fO1)=^2+7-^1-7

…4)+d)2

=3—注)(3+与一丘)•

因为1W与V必，

所以不一>°，工2+工1>2,—<2,

必为2

所以MM-TV>。，

所以(x2-Xi)(x2+%1-

所以f(0)-f(与)>0,即/(X2)>/(X1)，

所以fM在[L+8)上为增函数.

（3）2x+6>6,4x+3X2x+3>3,

设2X=t（t>0）,根据（2）及f（2x+6）>f（#+3x2%+3）,

可得t+6>/+3£+3,即ETo?"3<0,

所以0<t<1,

即0<2X<1,

解得x<0.

因此不等式的解集为{划》V0}.

【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性

20.【答案】

（1）由频率分布直方图可知,5x=1-5X（0.07+0.04+0.02+0.01）,

所以x=0.06.

因此身高在170cm及以上的学生人数为100x（0.06x5+0.04x5+0.02x5）=60.

（2）A,B,C三组的人数分别为0.06x5x100=30,0.04x5x100=20,0.02x5x100=

10,

因此应该从A,B,C三组中分别抽取6'2=3（人），6'号=2（人），6'9=1（人）.

oUoUOU

（3）在（2）的条件下,设A组的3名学生分别为4,4，4,B组的2名学生分别为当，

B2,C组的1名学生为Co,则从6名学生中抽取2人的样本点共15个，分别为〔4,力2），

（力1，力3），,（4],%），（4，。0），（42,43），（力2.81）,（"z'B?）,（%,G），（力3,B1）,（怎当）•

（图,Co），（BQB?）,，（Bz，Co）.

其中B组的2名学生至少有1人被抽中包含的样本点有9个，分别为（&,&）,[4,B2）,

(42,当)!(^2*^2)，(〃3，B1)，(J,％),(BI，B2),(8I，C°),(B2,C0),

所以B组中至少有1人被抽中的概率为白=I

AOO

【知识点】频率分布直方图、分层抽样、古典概型

21.【答案】

(1)由已知得/i(x)=念-9M=；+tx-1,

/1XJx

任取,x2E(0,2],且勺VM，

则

九区)一九3)=6+"1T)-层+-1)

X/2

要使h(x)在(0,2］上单调递减，只需/!(%!)-/i(x2)>0恒成立.

因为x2—Xj>0,0<x1x2<4,