2026年高考数学复习（全国）平面向量的线性运算及数量积（讲义）解析版

专题4.1平面向量的线性运算及数量积（举一反三复习讲义）

【全国通用】

考情分析

1、平面向量的线性运算及数量积

命题规律平面向量的运算是高考的热点内容。从近几年的高考情况来看，试题主

要以选择题、填空题的形式呈现，其中平面向量的线性运算、平面向量的数

分析量积、夹角、模与垂直条件等知识是高考的重点、热点内容，难度中等，有

时会与三角函数、平面儿何等相结合命题。学生在高考复习中应注意加强对

向量的数量积、数量积的坐标表示的掌握，学会灵活求解。

考点2023年2024年2025年

高考真题新高考n卷:第13题,新高考I卷：第3题,

5分5分全国一卷：第6题，5

平面向量的

全国乙卷（文数）：新高考H卷：第3题,分

统计线性运算及

第6题，5分5分全国二卷：第12题，

数量积

全国乙卷（理数）:全国甲卷（理数）：5分

第12题，5分第9题，5分

全国甲卷（理数）：

第4题，5分

预测在2026年全国卷高考数学中，平面向量的运算的考情将继续维持

2026年稳定态势。仍然以选择题、填空题为主，分值稳定在5分左右。核心考点聚

焦数量积、模长夹角、以及平行与垂直关系，难度不大；也可能结合实际情

命题预测境（如速度、位移等）或新定义情境，或延续与三角函数、平面几何等相结

合命题,难度中等0

向量的加法运算、向量的减法运算、向量的数

平面向量的线性乘运算

C运算

一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法

则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组

向量线性运算的

平面向量的即可求得相关参数的值

含参问题的解题

线性运算策略

W

向量共线的充要条件

I向量共线定理量共线定理的应用二二求参

向量数量积的性质

向量数量积的运算律：①交换律；②数乘结合

向量数量积的性律；③分配律

“质和常用结论

向量数量积的五大结论

平面向量数量积的两种运算方法：（1）基底法;

向量的数量（2）坐标法

积

夹角与垂直：根据平面向量的数量枳解决有关

角度、垂直问题

一平面向量数量积_向量的模的求解思路：（1）坐标法；（2）公式

问题的解题策略法；（3）几何法

向量数量积综合应用的三大解题方法：（1）坐标

法；（2）基向量法；（3）利用向量运算进行转化

知识梳理

知识点1平面向量线性运算问题及其解题策略

1.平面向量线性运算问题的求解思路：

(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相笠向量，并能熟练运用相反向量将加减法

相互转化；

(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线

定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向希转化为用已知向量线性表示.

2.向量线性运算的含参问题的解题策略：

与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,

然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.

3.利用共线向量定理解题的策略：

⑴；：=4。芋B)是判断两个向最共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.

(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即4氏C三点共线=行，就共线.

(3)若五与了不共线且丸。=fib,则2=〃=0.

(4)方=2为+"5?"'为实数)，若48C三点共线，则A+4=l.

知识点2向量数量积的慢质和常用结论

1.向量数量积的性质和运算律

(1)向量数量积的性质.

设瓦石是非零向量，它们的夹角是aN是与了方向相同的单位向量，则

①4-e=e-a=©cos。.

@aLba-b=0.

③当Z与方同向时,a-h=|d||z)|；当工与E反向时，a-h=—|r?||/)|.

特别地，\12一|司2或冏一々j

④日•司&同阿，当且仅当向量五,E共线,即五〃丽，等号成立.

->->

(2)向量数量积的运算建

由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：

对于向量乙石,七和实数2,有

①交换律:a-b=b'a\

②数乘结合律:OZ=2(a•=a•(〃)；

③分配律:(a+力)•c=a•c+1•c.

2.向量数量积的常用结论

⑴伍土犷=1士年=印土注1+同2=7±2r1+以

⑵滔一尸=0+40_》=,「_,「；

(3)G+T+G—犷=2(印+网2)

(4)42+方"=0==>4=6=0；

(5)|同一同WR+.W同+网,当且仅当元与了同向共线时右边等号成立,五与石反向共线时左边等号成立.

以上结论可作为公式使用.

知识点3平面向量数量积问题的解题策略

1.平面向量数量积的两种运算方法

(1)基底法：当已知向量的模和夹角。时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问

题；

⑵坐标法:当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.

2.夹角与垂直

根据平面向量数量积的性质：若N,b为非零向量，则cos〃=J(夹角公式)，〃_!.力=〃♦〃=()等，可知

\a\\b\

平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.

3.向量的模的求解思路：

(1)坐标法:当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；

(2)公式法:利用.4及G±矿=卜「±2〃•Z+B「，把向量的模的运算转化为数量积运算；

(3)几何法:利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余

弦定理等方法求解.

4.向量数量积综合应用的三大解题方法

(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代

数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

⑵基向量法:适当选取•组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行

求解.

(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量

为载体考查三角形问题时.，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.

举一反三

【题型1向量的线性运算】

【例1】(2025・四川眉山•模拟预测)在中，。是线段的中点，E是线段40的中点，则证二()

A.-AB--ACB.-AB--AC

4444

C.--AB+-ACD.--AB+-AC

4444

【答案】D

［解题思路】根据平面向量的线性运算求解.

【解答过程】因为。是线段8C的中点，所以而=《而+g无.

因为E是线段AD的中点，所以荏=:前=；而+：正，

244

则屁=AE-AB=-^AB+加

故选：D.

【变式1-1］（2025•四川资阳•一模）如图，。是△48C的边4C的中点，点E在8。上，且M=2丽，则（）

A.AE=-AB+-ACB.AE=-AB+-AC

3633

C.AE=^AB+^ACD.AE=\AB+\AC

3333

【答案】D

【解题思路】根据平面向量的线性运算求解即可.

【解答过程】由题意，AE=AB+BE=AB+^BD=AB+^（BA+AD）

=AB+-（-AB+-AC}=-AB+-AC.

3\2/33

故选：D.

【变式1-2］（2025•河南安阳•一模）已知平行四边形48CZ）的对角线的交点为P,则瓦？+2方+2玩+丽=

（）

A.ADB.DAC.ABD.BA

【答案】C

【解题思路】根据给定条件，利用平面向量线性运算计算得解.

【解答过程】在CL4BC。中，~PA+2PB+2PC+~PD=~PA+2PB-2PA-~PB=~PB-~PA=~AB.

故选：C.

【变式1-3）（2025•贵州铜仁•模拟预测）在平行四边形48CD中，E是对角线AC上靠近点。的三等分点，则（）

A.~BE=--AB+-ADB.~BE=-AB--AD

3333

C.BE=-^ADD.~BE=-^AB+^AD

3333

【答案】A

【解题思路】由向量的加减法，和数乘运算法则直接求解即可.

【解答过程】因为E是对角线4c上靠近点C的三等分点，

所以荏=:而，

则而=BA+AE=BA+^AC=-AB+l（AB+AD）＞=-^AB+涧.

JOO

故选：A.

【题型2向量共线定理及其应用】

【例2】（2025•广东广州•三模）已知向量瓦石不共线，疝+石与玄+2石共线，则实数2的值为（）

32

A.5B.2C.6D.二

【答案】A

【解题思路】由向量共线得到1=%求解即可.

【解答过程】因为石+石与3五+2%共线，

所以沁，

解得：X=|，

故选：A.

【变式2-1】（2025•北京•二模）设平面向量五与石不共线，k,sWR,则4+口与W共线”是“sA=2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解题思路】根据共线定理可得W+无=a（sH+2W，由往与了不共线，得k一24=0且;Is—1=0,即可结

合充要条件的定义求解.

【解答过程】若N+k1与4+25共线，

则存在非零实数人使得五+比=a（s五+2了），即（k-2/l）石=O-1）五，

由于平面向量五与石不共线，所以A-24=0且苑一1=0,故sk=2,

因此“五+kb^sa+2石共线”是“sk=2”的充要条件，

故选：C.

【变式2-2X2025•福建泉州•模拟预测）已知向量后£不共线，荏=Ae^e^AC-2及十，其中义＞0,ju＞

0,若三点共线，则22+”的最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【解题思路】由平面向量的共线定理可得加=2,再结合基本不等式即可求得答案.

【解答过程】因为4B,C三点共线，所以存在实数k,使丽=攵冠，即痴；+邑=妖23+〃尾），

又向量■，属不共线，所以日;即，整理，得加=2,

由入>0,〃>0,所以24+〃？2廊1=4,

当且仅当2%=〃=2时，取等号，即2入+〃的最小值为4.

故选：B.

【变式2-3]（2025•湖南•模拟预测）如图，在△A8C中，点。是线段8c上靠近点8的三等分点，过点。的直

线分别交直线/8、4c于点M、M设方=m而?，AC=nAN,则2m+九的值为（）

【答案】C

【解题思路】根据而=2方，结合平面向量的减法可得出而=:而+?冠，结合布=小而?，AC=nAN,

可得出痛=+前，利用M、N、。三点共线，可求出2m+九的值.

【解答过程】连接40,因为点。是线段8c上靠近点B的三等分点，则而=2万,

即万一前二2（而一万），所以，AO=-AS^-AC,

»5

又因为而=771祠，AC=nAN,则彳5=[771而？+；九前,

*3»5

因为M、N、0三点共线，设丽=忆而，则万一丽=k(丽一丽7),

所以，^3=(1-k)AM+kAN,且俞、丽不共线，

所以，|m=1—/c,1n=k,故gm+［九=1-A+k=1,因此，2m+九=3.

故选：C.

【题型3平面向量数量积的运算】

【例3】(2026•四川巴中一模)已知平面向量瓦石满足同=2,历|=3,五与石的夹角为％则方・m-E)=()

•5

A.7B.1C.4-3V3D.4+3A/3

【答案】B

【解题思路】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可.

【解答过程】因为N.(a-b)=a2-ab=\a\2-|a|•|b|-cos^=4-2x3x1=1.

故选：B.

【变式3/】(2026•河北•一模)已知向量其了,云均为单位向量，且五不=一会|3五+5|=-醐，则五々=

()

A，B.C.D.

【答案】D

【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律列式求解•.

【解答过程】由向量均为单位向量，且a7=-g|3M+刷=忻一2引，

得(3五+b)2=(a-2c)2,整理得9a2+P+6ab=a2+4c2-4a-c,

即9+1+6・(一/=1+4—4五E所以五］=一去

故选：D.

【变式3-2］(2025•浙江杭州•一模)设向量五二(2,%),5二(2+X,2%).若五•(2互一方)=U,则X=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解题思路】由向量的坐标表示出7(2%-；)=0,然后解方程即可.

【解答过程】2五一石=(2—%0),

/.a•(2a-6)=4—2x+0=0,

解得％=2.

故选：A.

【变式3-3]（2025•新疆辽宁•一模）等腰梯形48CQ中，平行于CD,AB=2,CD=1,Z.DAB=P

4

为腰力。所在线段上任意一点，则正•丽的最小值是（）

A.V3B.IC.1D.V2

【答案】C

【解题思路】作DD'垂直于力B于点D',作CC'垂直于AB于点C：建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利

用坐标计算出亚•丽的表达式，由二次函数的单调性即可求得答案.

【解答过程】

如图，作。。'垂直于AB于点。'，作CC'垂直于WB于点C',

又AB=2,CD=1,Z.DAB=-,

4

贝必。'=5DD'=T，4c'=|,CCz=p

以点/为坐标原点，4R所在直线为X轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则4（0,0）,8（2,0）,CQ,1）,0C,），又P为腰力。所在直线上任意一点,

则设而=屈=（孤翔，AW[O,1],则点尸的坐标为（孤河,

所以元.而=住―/,»沙（2-_翔=#_22+3,AG[0,1]，

又关于4的二次函数y=1A2-2A+3的对称轴为A=2,

则），=-2；1+3在％E[0,1]上单调递减，

所以当;1=1,即点。和点。重合时，正•而取得最小值1.

故》•丽的最小值是去

故选：C.

【题型4平面向量的夹角问题】

【例4】(2025♦广东深圳•模拟预测)已知非零向量五万满足0+43)瓦0+3])1石，则6与E的夹角为()

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】D

【解题思路】根据向量垂直得到方程组，设同=1,则小石=-3,同=26，利用向量夹角余弦公式求出

答案.

【解答过程】(a+4b)-a=a2+4a-b=0,(a+3d)-6=a-^+3b2=0,

所以瓦•b=—9=-3〃，不妨设同=1,则3,a2=12b2=12,

所以同=2后故cos位，了)=湛面=急=一'

又@勿€[0,可，故益与E的夹角为之.

6

故选：D.

【变式41](2025•山东泰安・模拟预测)已知向量五=(1,2)范=(m,4),若近，石的夹角为锐角,则实数m的取

值范围是()

A.m>—8B.m8且771H2C.m<—8D.m,2

【答案】B

【解题思路】应用向量数量积的坐标运算及求参数范围，注意排除同向共线的情况即可.

【解答过程】由题意N■b=l-m+2-4=?n+8>0=>7n>-8,

若;=g=2=m=2,此时瓦石同向共线，非锐角，

所以m>-8且m工2.

故选：B.

【变式42](2025•四川绵阳,模拟预测)已知向量位|=2,t=(0,1)且方7=1,则向量方与E夹角的大小为

()

A.三B.；C.7D.

2346

【答案】B

【解题思路】根据已知，利用平面向量夹角公式求解.

【解答过程】•.•]=((),1),

•••\b\—1»

*•*Q•Z7=11

|a|•\b\cos<a,b>=1,

:.cos<~a,b>=I，则V瓦b>=*

故选：B.

【变式4-3］（2025・甘肃・模拟预测）若乙方是非零向量且满足0-3石）1元,@一3五）_1冗则五与3的夹角的余

弦值为（）

A.1B.|C.|D.：

9339

【答案】B

【解题思路】由向量垂直关系得到M♦石=9同2=《向2,再由向量夹角公式即可求解.

•JJ

【解答过程】i殳方与E的夹角是a,因为（五-3为1五，

所以但一3石）1=0,即同2一3本了=0①，

又因为@一3苍）1反

所以@一3苍）・了=0,即说2-3小方二（^2）,

由①②知同=\b\,a^=^\a\2/面，

r-r-1,1无力Q同1

所以0。=丽=而/

故选：B.

【题型5平面向量的模长问题】

【例5】（2025•江苏•模拟预测）已知平面向量五二（1,一2）,同=3,且@+司12,则艮一同=（）

A.2B.4C.2V6D.24

【答案】C

2

【解题思路】由0+司1五，得到口石=一5,通过怔一同=五2-2五4+京即可求解.

【解答过程】因为@+石）_1五，

所以0+司五=/+五7=。

又工=（1,-2）,则有2=5,

所以々•石=-5,

所以|五—b\=a2—2ad+/?2=5+10+9=24,

所以怔-同=2遍，

故选：C.

【变式5・1】(2025•甘肃平凉•模拟预测)已知平面向量五是满足同=|3=1,且向期在向量E二的投影向量

为尹,则因-3同的值为()

A.275B.2V3C.V7D.V6

【答案】C

【解题思路】由投影向量的定义求出,7=/再由向量的模长公式求解即可.

【解答过程】因为向量方在向量了上的投影向量为,木

所以需工=尹，所以需=%又同=同=1，

所以五•石=g所以|22-3b\=J(2a-3b)2=V4a2-12a-b+9b2=V7.

故选：C.

【变式5-2】(2025・云南•一•模)已知五，石是单位向量，且方•石=一,若平面向量万满足万•五=万二=5则I万I

的值为()

A.—B.—C.1D.y/2

【答案】C

【解题思路】以。为原点，以N方向为“轴正方向建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求

历的坐标，由此可得模长.

【解答过程】由题意得，|a|=\b\=1,设付刀=仇。£[0河,

Va-b=-.*.cos0=-故6=g.

如图，以。为原点，以N方向为无轴上方向建立平面直角坐标系，使了的起点与0重合，终点在第二象限，则方=

(1,0)5=(-1,y)，

'pa=x=-

设万=a,y），贝U一11I，故

\p.b=--x+^y=-

P=&当，故同=J©+©=i-

故选：c.

【变式5-3]（2025•河北保定•二模）如图，圆。1和圆。2外切于点尸，A,8分别为圆。1和圆。2上的动点，已

知圆。1和圆。2的半径都为1，且丽•丽=-1,则|可+而广的最大值为（）

【答案】D

【解题思路】由西•丽=（西+即5）•（两+限）=1,化简得至“帝•取|二|西•（取一厢可工

|取一式5|,两边平方化简可得：-1一b三匹？取4-1+国，由|瓦？+丽广=|西+币+理+

2

型I化简即可得到答案.

[解答过程]PA-PB=（西+W）•（河+阴）=西.则+西.取+帝.西+帝.型

——1+PO[•（。28-0]/）+O^A•——1»

所以|帝•臣|=|西•（加—帝）|<|加一品

2222

所以|对.西|<\O^S\+|取|-20^4•O^B,即|对.型|+20[A^0^B-2<0,

解得—1—A/3<。[4♦。2^<—1+y/3.

Z

\PA+PB\=E+帝+两+西2=|取+硒2=丽（+|砌2+2——

=2+20M-^B<2+2x（-l+V3）=2亚

故选：D.

【题型6向量数量积与其他知识交汇】

【例6】（2025•辽宁•模拟预测）设锐角△4BC的外心为0,满足30A0B=0B0C,sinC=ysin4,则sinB=

（）

A2隹+百n2店+1c7百„7V2

A，—^―B-U而口.”

【答案】A

【解题思路】结合图形，利用向量数量积的定义和二倍角公式将题设等式化成①式，再利用同角的三角函数

关系将另一式化成②式，联立求出三角函数值，借助于和角公式即可求得答案.

【解答过程】

如图，圆。是锐角△力8C的外接圆，设其半径为R,

贝“0川=\0B\=\0C\=R,乙A0B=2乙ACB,乙BOC=2^BAC,

由3布•丽=丽•沅可得3R2cos2c=R2cos24即3(2cos2C-1)=2cos2A-1,

也即3cos2c—cos2A=1.①.

又由sinf=TsirM两边平方可得4sin2C=3sin2A,即4—4cos2C=3—3cos2/1,

也即4cos2c—3cos2A=1.②

cos2。=—fc

:,因△4BC为锐角三角形，故有cosC=F，cos4=F，

cos2/1=155

从而sinC=V1—c1os2C=W，sinH=V1-cos2?1=雪，

于是，sinB=sin(4+C)=cosCsinA+cos力sinC=2'?广

故选：A.

【变式6-1](2025•安徽芜湖•三模)已知OC:无2+必一10%+9=0与直线,交于48两点，且。C被，截得两

段圆弧的长度之比为1:3,若。为。C上一点，则方•丽的最大值为()

A.18V2+12B.16企+16C.1272+20D.1072+24

【答案】B

【解题思路】根据题意，得到=5所以福•丽=0,设M为4B边的中点，根据向量的运算法则，求

22

得石5•方=1反I+2CMDC<\DC\+2|CM|•|DC|,结合圆的性质，即可求解.

【解答过程】由OC:x2+y2-i0x+9=0,可得圆心C(5,0),半径r=4,

因为直线［交圆C于48两点，且圆C被［截得两段弧的长度比为1:3,

所以=］可得85•而=0,

设M为力B边的中点，可得石？+而=2而，

2

则用5-DB=(DC+CA>)-(DC+CB>)=\DC\+(CA+CByDC-^CA-CB

=|DC|2+2CM-DC<\DC\Z+2\CM\•\DC\,

当且仅当由与反方向相同时，等号成立，

因为|比|=r=4,\CM\=yr=2四，所以市.'DB<|DC|2+2\CM\•\DC\=16+16丘.

所以瓦5•丽的最大值为16V2+16.

【变式6-2］(2025•河北保定•三模)如图，在四边形力BCD中，|而|=2,|而|=V5,^ACD=30°,E为线

段的中点，瓦=2而，则万？•丽=()

【答案】D

【解题思路】在△4CD中，由余弦定理可得府|=1,在Rt△力CD中易得|函/函|=1,/-BDA=60°,

即可利用数量税的定义求解.

【解答过程】在44CD中，由余弦定理可得|而『=|^C|2+|而「-2|^C||CD|cosz/ICD=22+(V3)2-2x

2xV3xcos30°=1,

则|珂=1,

222

由I而I+|而I=\AC\,可得DC1D4

又E为线段AC中点，则|函=及隔=1,

又屁=2而，则|函=也|函/且4804=60。,

所以福.DB=\DA\[DB\cos^BDA=1x|cos60°=*

故选：D.

【变式6-3](2025•浙江・二模)已知函数/'(X)=击也(5+9)卜>0,a)>0,|@|V》的部分图象如图所示,

y=/(%)的图象与y轴交于点C，。(5,0),8(2,4),且近•丽=0,则/(4)=()

【答案】C

【解题思路】根据函数图象得出®仍再求出点的坐标及数量积公式计算4最后求出函数值.

【解答过程】由题干图象可知:=5-2=3,则7=12,所以3==g所以/a)=4sin①+”

4/o\6/

由/(5)=Asin("+租)=0,得曰+w=2/cn+n,kEZ,即W='+2/GT,/CGZ,

因为所以则为%)=*

co\o0/

又/(0)=Asin,=%则C(0,9,又丽=(-2,-0,CD=(5,-0,

BCCD=-10+4解得/=2«U(负根舍去)，

所以/(%)=2VTSsin("+?),所以f(4)=M①.

故选：c.

高考真题练

考点一平面向量的线性运算及数量积

一、单选题

1.(2024•新课标I卷•高考真题)已知向量五=(0,1),石=(2,%),若51@-甸，则％=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解题思路】根据向量垂直的坐标运算可求高勺值.

【解答过程】因为了巧一4益)，所以隹@一赦)二0,

所以了2一4苍7=0即4+，-4工=0,故％=2,

故选：D.

2.(2024•全国甲卷•高考真题)设向量d=(%+1,%),石=(%,2)：则()

A.七二-3"是2_L石”的必要条件B.“％=1+Q”是“力/次的必要条件

C.“x=0”是，G1E”的充分条件D.七=一1+b”是“力/S”的充分条件

【答案】C

【解题思路】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【解答过程】对A,当时，则五i=0,

所以“(%+1)+2%=0,解得x=0或一3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当％=0时，a=(1,0)5=(0,2),故五•石=0,

所以N1.反即充分性成立，故C正确；

对B,当不〃钿寸，则2(无+1)=«,解得工二1±百，即必要性不成立，故B错误；

对D,当％=-1+百时，不满足2(%+1)=/,所以可不不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

3.(2024,北京・高考真题)设a,E是向量，则“0+石)・(益一司=0”是窥=一方或W=5”的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解题思路】根据向量数最积分析可知@+石),(五-石)=0等价广同=同，结合充分、必要条件分析判断.

【解答过程】因为@+司•(五一］)=五2一京=0,可得卒2=京,即同=|同，

可知。+司值一司=0等价于同=同,

若H=E或五=一石，可得同=|同，EP(a+b)•(a-b)=0,可知必要性成立：

若(五十石)•@-5)=0,即|同=同,无法得出Z=1或^=一了,

例如W=(1,0)花=(0,1),满足同=|同，但苍H石且五及可知充分性不成立;

综上所述，”(五+石)•@一司二0”是“五=-石或五="的必要不充分条件.

故选：B.

4.(2024,新课标H卷•高考真题)已知向量而E满足同=1,|五+2同=2,旦@一2五)1石，则同=()

A.1B.学C.yD.1

【答案】B

［解题思路】由。一2a)1至得京=2五.石，结合同=1,|五+2同=2,得1+4方•方+4bz=14-6b2=4,由

此即可得解.

【解答过程】因为@一2五)JL］，所以@一207=0,即京=2五•瓦

又因为|五|=1Ja4-2b\=2,

所以1+4工•豆+4b2=14-6b2=4,

从而同=¥.

故选：B.

5.(2023・全国乙卷・高考真题)正方形/8C0的边长是2,E是4B的中点，则比•丽=()

A.V5B.3C.2V5D.5

【答案】B

【解题思路】方法一：以｛荏，而｝为基底向量表示或前，再结合数量积的运算律运算求解：方法二：建系,

利用平面向量的坐标运算求解：方法三：利用余弦定理求cos/DEC,进而根据数量积的定义运算求解.

【解答过程】方法一：以｛而，而｝为基底向量，可知|而|=|而|=2,而•同=0,

则正=~EB+BC=\AB+AD,ED=EA+AD=-^AB+AD,

所以瓦•ED=6说+而)♦g万+而)=-(万2+而2=_1+4=3：

方法二：如图，以/!为坐标原点建立平面直角坐标系，

则£(1,0),。(2,2),。(0,2),可得前=(1,2),丽=(-1,2),

所以瓦♦丽=-1+4=3：

方法三：由题意可得：ED=EC=y/5,CD=2,

在ACDE中，由余弦定理可得cos〃EC="黑y=禺=也

所以阮•ED=\EC\\ED\cos/.DEC=V5XV5X1=3.

J

故选：B.

6.（2023•全国乙卷•高考真题）已知。0的半径为I,直线以与。。相切于点儿直线尸B与。。交于历

C两点，。为4c的中点，若|PO|=JL则可•丽的最大值为（）

A1+V2n1+2近

A.——B.---

22

C.1+V2D.2+V2

【答案】A

【解题思路】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得丽•丽=l-^sin（2a-

*或可•丽=抖苧sin侬+?然后结合三角函数的性质即可确定丽•丽的最大值.

【解答过程】如图所示，|0川=1,|OP|二VL则由题意可知N4P0=%

当点40位于直线P。异侧时或P〃为直径时，设匕OPC=a,0<a<\

4

则：P4-PD=\PA\­|PD|cos(«+^)

=1xV2cosacos(a+3

V2.

=\Qcosa

=cos2a—sinacosa

14-cos2a1

=--------------=sin2a

22

1\/2/7T\

=--Tsin(2a-?)

0<a<p则一

4444

当点A,D位于直线PO同侧时，设NOPC=a,0<a<\

4

则：PAPD=PA-PDcos^-a}

=1xV2costzcos0—a)

=\Qcosacosa+券sina)

=cos2a+sinacosa

1+cos2a1

=-----------+-sin2a

22

=：+苧sin(2a+》

0<a<P则:工2a+：<¥

4444

.••当2a+9=3时，西•而有