2026年高考数学复习（全国）空间向量的概念与运算（解析版）

专题7.6空间向量的概念与运算（举一反三专项训练）

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1空间向量的线性运算】...................................................................1

【题型2空间共线向量定理及其应用】............................................................4

【题型3空间共面向量定理及其应用】............................................................5

【题型4空间向量数量积及其应用】...............................................................7

【题型5空间向量基本定理】.....................................................................9

【题型6空间向量平行、垂直的坐标表示】.......................................................11

【题型7空间向量夹角、模长的坐标表示】.......................................................13

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

题型专练

【题型1空间向量的线性运算】

1.（25-26高二上•云南昆明•期末）平行六面体ABCZ）-48£小中，屁=3两，设向量五=AB,b=AD,c=

44],则（）

A.荏=京+笆+戈B.AE=^a+~b-^-^c

C.荏=2■苍+泞+D.AE=^a-^b-^c

44444

【答案】c

【解题思路】根据空间向量的线性运算可得.

【解答过程】

3C\

荏=而+：和=前+*雨+而+=近+*-近+而+诉）,

乂2=AB,b=AD,'c=AAX,

故荏=N+：（一方+石+Z）=+\石+1c,

故选：C.

2.（25-26高三上•内蒙古赤峰・期末）如图所示，已知斜三棱柱A8C-481C1中，荏=瓦公=反而=大

点M,N分别为线段4cl和8c的中点，则而=（）

A.-a--'cB.-a--b

2222

C.^a+^b-^-cD.\a-^b+

222222

【答案】A

【解题思路】由图与题设结合空间向量线性运算可判断选项正误.

【解答过程】由图可得：

标=而一丽=g（而+而）一;（前+而一^标=

故选：A.

3.（25-26高二上•江苏•期末）在空间四边形48CD中，已知丽=^而，丽=2湿，则丽=（）

A.；松+泳+；荷B.^AB-^AC+-AD

33233/

C.-AB+-AC--ADD.-AB+-AC--AD

332332

【答案】C

【解题思路】应用空间向量加减法及数乘运算计算求解.

【解答过程】在空间四边形48CD中，

AM=^AD,BN=2NC,

2

所以而一而号而号（元一碉，

则而=AN-AM=1（AC-AB）+AB-^AD=g而+翔-1A5.

故迄C.

4.（25-26高二上•安徽六安期末）如图，在四面体力8。。中，AB=a,AC=b,AD=2点E在A8匕且AE=

2EB,点下是CD中点,则弄=（）

【答案】C

【解题思路】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解.

【解答过程】由题意成=EA+AF,

T7"*2T

由＜E=2E8可得：EA=-^AB=-^a,

点F是CD中点，故扉=!(/：+而)=；(]+2),

即£尸二一：a+；匕+；c.

322

故选：C.

【题型2空间共线向量定理及其应用】

5.(25・26高二上•广东梅州期末)已知空间三点4(1,一2,2),8(3,0,-6),n)在同一直线上，则实数

m十n二()

A.0B.2C.4D.6

【答案】D

【解题思路】先求出而与近的坐标，再根据向量共线的性质列出等式，进向求出m,n的值，最后计算m+九

即可.

【解答过程】设向量丽=(2,2,—8),近=(-2,加+2,〃-2),

由于4B,C共线，存在k使AC=kAB,

由一2=2Z,解得k=-1,

代入得m+2=2k=-2,解得m=-4,

所以九—2=—8k=8,解得n=10,

因此，m+n=-44-10=6.

故选：D.

6.(24-25高二上•北京•期中)已知0,b,下不共面，e=3a-tb-c,d=-2ta+6b+2c,若Z与％共线，

则实数t的值为()

A.-3B.1C.3D.-3或3

【答案】C

【解题思路】利用空间向量平行充要条件即可求得实数t的值.

【解答过程】Z=3五一tb—七，d=—2ta+6b+Zc,

若^与Z共线，则有淳=Ad,

(3=-2tAft=3

BP-t=6A,解之得a==，则t的值为3.

(-1=2A(-2

故选:C.

7.(25-26高二上•吉林•期末)已知空间向量2=(1,-l,y)与％=(-2,无,4)共线，则y+x=()

A.0B.6C.-4D.4

【答案】A

【解题思路】根据空间向量共线坐标表示列方程求解x,y的值，即可得y+x的值.

【解答过程】因为空间向量五二(l,—l,y)与5=(-2,X,4)共线，显然XHO,

所以±=FU，解得％=2,y=-2,所以y+x=O.

故选:A.

8.(24-25高二上•上海•课后作业)设药,是空间两个不共线的非零向量，已知而=2百+上要，

前二宙+3五，反=2耳一与，且力、8、。三点共线，则实数A的值为()

A.-2B.-4C.-8D.8

【答案】C

【解题思路】利用向量的线性运算表示同，根据A、B、。三点共线可得而=2而，建立等量关系可得k的值.

【解答过程】•・,而=2京+k直，正=百+3蔽，反=2耳一筱，

・,•而=四+近一觉=(2区+A瓦)+(可+3瓦)一(2匹-夙)=耳+(k+4)/，

•・Y、B、D三点共线，

A=Ae/?,使得方=4而，

即2部+上祓=入同+(k+4)砌=际+入也+4)瓯

：.A=2,A(/c+4)=k,解得攵二一8.

故选：C.

【题型3空间共面向量定理及其应用】

9.(25-26高二上・安徽•期末)已知空间向量N=(3,1,-5),石=(一1,0,2)1=(0,1,7九)，若方,左3共面，则实

数执的值为()

A.0B.-1C.1D.±1

【答案】C

【解题思路】根据空间向量共面的性质进行求解即可.

【解答过程】••♦瓦石7共面，

:.c=xa+yb,(0,1,m)=x(3,l,-5)+y(—1,U,Z),

3x-y=0_

二x=1,解得匕;nzn=1.

-5x+2y=m~5

故选:C.

10.(25-26高三上•河北衡水期末)已知空间向量可=(2,5,0),丽=(0,2,1),PC=(2,k,3),若点C在平面PAB

内，则k=()

A.11B.8C.6D.12

【答案】A

【解题思路】根据空间向最共面定理可得存在实数羽y使得玩=x^+y而,根据坐标运算得到方程组，解

得即可.

【解答过程】因为m=(2,5,0),丽=(0,2,1),PC=(2,k,3),

所以西与而不共线，

又因为点C在平面P48内，

所以存在实数，y使得定=后%+y而，

即(2,k,3)=M2,5,0)+y(0,2,l),

2=2x(x=1

所以k=5x+2y,解得y=3.

3=y\k=11

故选：A.

11.(25-26高二上•河北沧州•期末)已知五=(一1,一3,2)是=(2,0,l)7=(m,6,—3)三个向量共面，则血=

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解题思路】因为三个向量共面，由空间向量基本定理及向量线性运算的坐标运算可得.

【解答过程】因为三个向量共面，由空间向量基本定理，

设7=xa+yb=(-x,-3%,2%)+(2y,0,y)=(-x+2y,-3x,2x+y),

—x+2y=m(x=—2

所以-3x=6,解得y=1.

2x+y=-3Im=4

故选：D.

12.(25-26高二上•安徽•期末)已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点尸,都有而=-

2PA+SPB+mPC,则实数〃7的值为()

A.0B.-2C.-1D.2

【答案】B

(解题思路】利用空间中四点共面的推论可求m的值.

【解答过程】由条件可知，Q,48,C四点共面，

又因为而=-2PA+5而+mPC,

所以—2+5+m=l,解得7?i=—2,

故选：B.

【题型4空间向量数量积及其应用】

13.(25・26高二上•湖南•月考)在棱长为2的正方体A8CZ)-4BK1D1中，丽・西=()

A.4V2B.4C.2\[2D.2

【答案】B

【解题思路】根据止方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可.

【解答过程】在棱长为2的正方体4BC。-中，

易知|同|=2,|沆=V22+22=2V2,

因为而=反，反与比]的夹角为5

所以探与市的夹角为%AB-DC^=\AB\^|DC7|COS^=2x2V2xy=4.

14.(25-26高二上•河北衡水・期中)己知向量五=(2,1,-2),b=(|a|,-1,0),则五•)=()

A.-5B.-1C.1D.5

【答案】D

【解题思路】通过空间向量坐标运算计算|司，再代入空间向量数量积求解即可.

【解答过程】・・・同=上2十M+(_2)2=3,a-S=2|a|-l+0,

：.a6=2x3-14-0=5

故选:D.

15.(2025•四川巴中•二模)已知三棱柱力BC-ABiG的各条棱长相等，且乙=乙44。=45°,乙B4C=

60。，则异面直线力〃与当。所成角的余弦值为()

A.仔B.4瓷D.竽

3334

【答案】D

【解题思路】设向量及相关量并表示出瓦乙计算数量积与模长，最后求异面直线所成角余弦值.

【解答过程】设三棱柱棱长为1,而=五,而=5京=芭同=问==1,

所以W-/?=!，a-c=b-c=^»=AC—AB—BBY=b—a—c,

AB-81d=a-(b-a—~c)y=a-b-a2—a-c=^-1—=—

|^C|2=(d-a-c)2=a2+b2+c2-2a-b+2a-c-2b-c=2,贝可睨|=五,

设界面直线力8与B】C所成角为仇cos®=2+V2

I研I丽41

故选：D.

16.(2025・河北•模拟预测)正四棱锥P-4BG)底面边长与侧棱长均为2,。为空间任一点，且满足

OA-OB=0,则线段OP长度的取值范围为()

A.[V2,V2+1]B.[V3,V3+1]

C.[V3-1,V3+1]D.[V2-1,V2+1]

【答案】C

【解题思路】建立空间直角坐标系，根据函•丽=0,可得点。在以M(l,0,0)为球心，以1为半径的球面上,

且PM=g,从而可得线段OP长度的取值范围.

【解答过程】取底面正方形中心S,48,8。中点“、N,连结SM、SN、SP,

以S为原点，SM、SN、SP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则力(1,一1,0),8(1,1,0),P(0,0,企),

设0(%,y,z),则=(1-xt-1-yt-z),OB=(1-x,l-y,-z),

因为万•丽=0,得(％-I)?+y2+z2=i,

所以点。在以M(l,0,0)为球心，以1为半径的球面上,

且PM=J12+。2+&=y/3,

贝hG-1<OP<V3+1,即线段OP长度的取值范围为[8-1,73+1].

故选：c.

【题型5空间向量基本定理】

17.（25-26高二上•浙江•期末）已知空间向量。市?为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（）

A.a+4-c,c4-aB.a-—c,c-a

C.a,b,a+b+'cD.a,b+c,c4-a

【答案】B

【解题思路】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解.

【解答过程】对于A,设存在实数x,y,使得益+E=x@+r）+>e+。，可得近+E=m+A+（x+y）K

x=1

所以y=i,方程组无解，所以益+瓦石+京？+往不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意：

X+y=0

对于B,设存在实数％y,使得3-%=—•+y（?—五），可得五一5二一'五+工石+（y—无）3

x=-1

所以旷=-1，解得x=-l,y=-l,所以益一石1一心？一五共面，不能作为空间基底，所以B符合题意;

y-%=0

对于C,向量N,b,五+石+7,不存在实数x,y使得五+b+七=%+yb,

所以京石，五十石+/不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意；

对于D,设存在实数％y,使得方=x（5+五），可得3=y五+xb+（%+y）3

x=0

所以y=l,方程组无解，所以瓦1+EZ+五不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意.

%+y=0

故选:B.

18.（25-26高二上•湖南张家界・期末）如图，在四面体中，西二瓦布二方,沅=七.点M在。1上,

且0M=2MA,N为8。中点，则标=（）

o

A.1a-|b+|cB.-铝+»+吴

C.-a+-b--cD.-a+-b--c

222332

【答案】B

【解题思路】利用空间向量基本定理，结合空间向量线性运算的性质进行求解即可.

【解答过程】=~MA+AB+~BN=-OA+AO+OB+-BC=-OA-OA+0B+-（B0+0C~）

3232

1_____,__、1__,1__,1__,__,__,1___1__,

=-OA-OA+OB+-BO+-OC=-OA-OA^OB--OB+-OC

•J乙乙。乙乙

=一+\0B+\0C=-；五+；石+1c.

322322

故选：B.

19.（2025•上海黄浦二模）如图，在平行六面体—中，设苍=丽，石二两，若五、石、c

组成空间向量的一个基底，则之可以是（）

A.BB]B.BC^C.BDD.BO]

【答案】B

【解题思路】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理与空间向量基本定理逐项判断.

【解答过程】由五=标，石=两，五、b,Z组成空间向量的一个基，得向量益、石、Z不共面，

对于A,在平行六面体力中，西=京，则西与方、石共面，A不是；

对于C,前=西+瓦力=标-西=五一石，丽与W、石共而，C不是：

对于D,BDx=BD+=a—b+a=2a—b,BD；与不、b共面，D不是；

对于B,由西=赤+反+西，得了二万5+反+五，万彳，灰，五不共面，

假设8C］与N、b共面，则存在无,yER,使得8。=%+y/?,

而西=南一通=五一万5,Ma-DA=xa+y(DA+DC+a),

x+y-1=0

整理得(％+y-1)五+(y+1)5？+y沆=6,从而y+1=0,此方程组无解，

y=0

假设不成立，因此两与五、石不共面，下可以是西.

故选：B.

20.(25-26高二上•山东临沂•期末)在四面体。一48C中，M为线段。4靠近。的三等分点，N为BC的中点,

若MN=xOA+yOB+zOC,则％+y+z=()

211

A.-B.1C.-D.-

343

【答案】A

【解题思路】利用空间向量的基本定理可求出x、y、z的值，即可得出x+y+z的值.

【解答过程】如下图所示：

因为N为8C的中点，所以而=g而+g沆，由题意可知丽=g瓦5,

所以而=而一两=一3砺+：砺+；诟，

〉乙乙

在三棱锥。一/1BC中，OA.而、丽不共面，且而=x瓦？+y而+z沆,

所以％=一最y=z=p故％+y+z=_g+g+；*

故选：A.

【题型6空间向量平行、垂直的坐标表示】

21.(25-26高二上,广东汕头期中)已知五=(1,2,0)范=(-2,0,1),若2五+五与照+3刃平行，则二=()

A.2B.1C.6D.3

【答案】C

【解题思路】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及共线向量的电标表示求解.

【解答过程】由五=(1,2,0)1二(-2,0,1),得2五+下=(0,4,1),总+3石=(%—6,2k,3),

而2方+b与kN+3b平行，则12^_3,

所以k=6.

故选：C.

22.(25-26高二上,湖北荆州•期末)已知向量员=(1,2,2)范=(2,—l,x),若近_L反则％=()

A.-2B.-1C.。D.I

【答案】C

【解题思路】由空间向量垂直的坐标表示，得i1=lx2+2x(-l)+2%=0,再解方程即可.

【解答过程】由题意得展•1=1x2+2x(-1)+2%=0,解得％=0.

故选：C.

23.(25-26高二上•海南饴州•月考)已知向量五=(1,42)石=(-2,1,1)且五1.五则实数入的值为()

A.-4B.0C.4D.8

【答案】B

【解题思路】由出石=0即可求解.

【解答过程】因为向量万=(1,1,2)5=(-2,1,1)且41h,

所以五•方=1X(-2)4-Ax14-2x1=0,

即-2+入+2=0,解得入=0.

故选：B.

24.(25.26高二上•陕西渭南•月考)已知向量五=(0,1,1),石=(1,一2,1),7=(m,2,几).若向量0+石)II3

则实数几的值是()

A.-4B.-6C.4D.6

【答案】A

【解题思路】根据向量加法的坐标运算求出W+及利用向量平行的性质建立等式求解.

【解答过程】a+b=Cl,-l,2).

因为(五+司||己所以存在实数不使得G+石=R，即(1,-1,2)=2(771,2,71).

(1=Am(m=一2

所以一1=2x2,解得(

(2=An(n=—4

故选：A.

【题型7空间向量夹角、模长的坐标表示】

25.(25-26高二上•重庆・期末)已知向量”=(0,-1,1),b=(2,1,0),c=(2,4,x),若向量五,b,。共面,

则区一石+石=()

A.2V2B.3C.3V2D.4

【答案】A

【解题思路】根据题意：存在实数m,n使得下=6五十九万，再根据坐标运算解方程求解即可.

【解答过程】•.,向量5,T),下共面，二存在实数m,n使得下=mN+商，即(2,4,x)=m(0,—1,1)+n(2,1,0),

2=2nn=1

•••4=—m+几，解得m=-3,c=(2,4,—3),

x=mx=-3

a-S+c=(0,-1,1)-(2,1,0)4-(2,4,-3)=(0,2,-2),

\a—b+'c\=Jo2+22+(—2)2=2V2.

故选：A.

26.(25-26高二上•天津•月考)已知空间向量,二(0,1,⑸，了=(8,1,0),则向量Z与了夹角的余弦值为()

A.-B.-C.—D.—

4632

【答案】A

【解题思路】由空间向量的夹角公式计算可得.

【解答过程】由题意可得COSV瓦石＞=黑=工=；.

|a||/)|2x24

故选：A.

27.(25-26高二上•四川成都•月考)设％y,zGR,a=(1,1,1),b=(l,y,z),c=(x,-4,2),且N_LZ,b//c,

则|2苍+川二()

A.2V2B.3\/2C.3D.2汽

【答案】B

【解题思路】根据向量的垂直和平行关系得到方程，求出％y,z,求得2五+石=(3,0,3),利用坐标求其模即

可.

【解答过程】由方_LK可得五々=(1,1,1)•(爸-4,2)=%-4+2=0,解得X=2,

b//c,故可设了二玄，即(l,y,z)=t(2,—4,2),

[1=2t\y=-2»即%=(1，-2,1),

则=-4t,解得

\z-21IZ=1

贝I」2Q+b=(2,2,2)+(1,-2,1)=(3,0,3),

故信益+司=V9+0+9=3V2.

故选：B.

28.(25-26高二上•四川绵阳•月考)设空间两个单位向量5?=(m,n,0),丽=(0,n,p)与向量沅=(1,1,1)

的夹角都等于9则COSN4O8的值为()

4

厂

AV7±loV5±l2±V3nV3±l

A,-TB--C•丁D.—

【答案】c

【解题思路】根据向量夹角的坐标表示代入化简可得7九+八=p+72=},结合单位向量模长，代入化简可得

n,进而可得cos乙408.

【解答过程】由已知万?，0S均为单位向量,可知血2+标=九2+22=1,

又cos<O4,0C)=~~=V*则m+九=冬

Vm2+n2Vl2+l2+l222

同理九+p=手，则m=p=孚一n,

代入病+〃2=1,

即4"-2V6n+1=0,解得n=还也,

n22土南

则cos乙4。B=

V»»2+n2'V,l2+Z,24

故选：C.

分层突破

2

卜归|画出跟踪

一、单选题

1.(2025•全国•模拟预测)已知正方体力BCO-A/iGOi，设向量五=函，石=前,Z=河，则而=()

A.1(a+b+c)B.^(a+b-c)C.j(b+c-a)D.^(a+c-b)

【答案】B

AA^+AD=AD1=c

AD+AB=AC=b，即可求解而=；2+|七一；5

C44

TTTT

AA+AB=AB=a

(XX

AAY+AD=ADy=c

AD+AB=AC=b，

AA+AB==a

I]

所以g五一+；已AB=4-AD=b4-c—a.

1222222222

2.(2025・云南•模拟预测)在空间直角坐标系中，4(220),8(102)((1,3,2),则△4BC的面积为()

3V5B.3V5

A.JC-2D.3

【答案】A

【解题思路】根据坐标求三角形的边长和夹角的余弦值和正弦值：最后代入三角形的面积公式，即可求解.

【解答过程】由题可知瓦5=(1,2,-2),近=(0,3,0),且|而|=|就|=3,cos〃18C=鲁焉=j

IO/>II(4IS

sin乙48。="一cos2乙4BC=—,故^ABC的面积为S&4BC=1-3•3•—=—.

故选：A.

3.(2025・湖北襄阳•二模)已知空间向量往=(2,2,-1),平面a的一个法向量为五=(4,0,3),则向量五在平

面a上的投影向量是()

A.(冶,琛)B.G，0()C.(y,2,-|)D.你2,-。

【答案】D

【解题思路】求得向量H在法向量上的投影，再由向量的加法法贝J即可求解.

【解答过程】向量N在平面。法向量五二(4,0,3)上的投影向量：

胃情=/(4,0,3)=60口,

设工=(2,2,-1)在平面a上的投影向量是西

贝服+6,0,|)=(2,2,—1),

所犯=G，2，T

故选：D.

4.（2025・河北廊坊•模拟预测）如图，E,尸分别是正八面体（8个面均为正三角形）棱BC,CD的中点，则异

)

D

Jc23•当

【答案】C

【解题思路】根据正八面体的结构特征有而=丽+称反、QE=QC+^CB,若正八面体的棱长为2,应用

空间向量数量积的运算律及夹角公式求异面直线的夹角余弦值.

【解答过程】由正八面体结构特征知方=而+赤=丽+^尻，QE=QC+CE=QC+^CBf

若正八面体的极长为2,且各侧面都是正三角形，A8CD为正方形，

所以而QE=（BQ+1DC）•（QC+-CB）=BQQC+\BQ•CB+-DC•QC+-DC-CB

22224

=-QB-QC-^BQ-JC+^CD-CQ-^CD^CB

乙乙**

=-2x2xg—：x2x2x：+：x2x2x：—0=-2,

22222

|PF|=J（而+1DC）2=晒2一前•而+/2=V4-2+1=V3,

同理得|正|=J玩2而+癖2=73,

所以|cos（丽诞）1=I霹缁I"，异面直线QE与P小所成角的余弦值为今

r广IIQEIJJ

故选：C.

5.（2025•北京朝阳•模拟预测）在正四棱锥P-力BCD中，师=丽，丽=2丽，设平面力EF与直线户C交于

点6屈=质,则入=（）

A晨B.gC.：D.!

【答案】D

【解题思路】由无=可+而+而，结合已知可得丽=方鲁而+=方-二同，利用共面求;L

Z(4+I)X+1A+1

【解答过程】因为定=可+尼=且？+而+而，

所以元=PA+PB-PA+PD-PA=PB+PD-PA,

因为麻二丽，丽=2而，所以丽=2万，刀=］丽，

«3

所以无=称万+2而一词，

又而=流,所以正=3元，

人十1

所以丽=品匠+券而—高瓯

因为4瓦居G共面，所以a+之—W=i,解得2=*

，(4+1)A»1Ai1«5

故选：D.

6.(2025•浙江嘉兴•模拟预测)设%,y,zWR,a=(1,1,1),b=(l,y,z),c=(X，-4,2),Ka1Gb//c,则|2五十

~b\=()

A.2V2B.0C.3D.3V2

【答案】D

【解题思路】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可求得向量石兄的坐标，从而可得2W+万的坐

标，根据向量模的计算公式，即可得答案.

【解答过程】因为，lc=^>a-c=0=>x—4+2=0=>x=2,所以？=(2,—4,2)；

由E//?=J=+=gny=-2,z=1.所以石=(1,-2,1)；

所以固+同=12(1,1,1)+(1,-2,1)1=|(3,0,3)|=V9T9=3A/2.

故选：D.

7.(24-25高二下•江苏南京•月考)设居yWR,向量苍=(%1,1)石二(l,y,1),2=(2,-4,2),且苍_LZ,力/?,

则向+向=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解题思路】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去

求模即可.

【解答过程】设％、yER,向量N=(%,1,1)范=(l,y,1),Z=(2,-4,2),且all,

•••a-c=2x-4+2=0,解得X=1,

又因为力/?,所以；=；=；,解得y=-2,

L-4L

所以怔+同=1(1,1,1)+(1,-2,1)1=|(2,-1,2)|=,4+1+4=3,

故选：C.

8.12025•山西•三模)已知空间向量=(1,0,0),OB=(0,1,0),OC=(0,0,1),向量而=xOA+yOB+zOC,

且％+2y+4z=4,则|而|的最小值为()

A2百4an由

A--DB--c--D-T

【答案】B

【解题思路】设丽=4耐=(4,0,0),丽=2而=(0,2,0),由(+]+z=l及已知得D,E,C,P四点共面,

当OPL平面DEC时，|0耳有最小值，求出平面DEC的一个法向量，应用点面距的向量求法求|而|的最小值.

【解答过程】设诟=4a=(4,0,0),OE=205=(0,2,0),

因为x+2y+4z=4,则：+^+z=l,则而=%耐+y而+2近=:9+微灰+z沆，

所以。，E,C,P四点共面,当OPL平面。EC时，|而|有最小值.

由而二(4,0,—1),CE=(0,2,-l),若平面DEC的一个法向量沆=(a,瓦c),

则眄-CD=4a—c=0

CE=2b—c=0

取a=1,则b=2,c=4,

所以沅=(1,2,4)为平面DEC的一个法向量，

所以。到平面OEC的距离d=曾=察.

间21

故选：B.

二、填空题

9.（2025・上海嘉定一模）已知空间向量五1瓦五1乙石1己且同=p|=|c|=9则忖+」+引=.

【答案】V3

【解题思路】首先利用向量的垂直得出心了=0,a-c=0,石1=0,再将|五+石+石平方即可求解.

【解答过程】•.♦五1石，ale,b1c,Aa-b=0,a-c=0,b-7=0,

v|a|=向=|c|=1,/.|a+b+c|2=|a|2+|b|2+|c|2+2a•b+2a•c+2^-c=3,

|d+d+c|=V3.

故答案为：V3.

10.（2025•上海•模拟预测）如图，在四面体。18c中，府=2,丽=反而=己点M在OA上，且OM=2M4

N为4。中点，则而等于.

【答案】一|五++

【解题思路】利用给定的基底，结合空间向软线性运算求出而.

【解答过程】依题意，MN=MO-^-08+^N=-^OA+OF+-OS）=-|a++^c.

故答案为：-5五+；力+；三

D44

11.（2025•黑龙江牡丹江•模拟预测）在平行六面体力BCD-4BCDi中，各棱长均为2,Z.AXAB=/.BAD=

【答案】0

【解题思路】根据题意，设荏=瓦而=瓦标=已求得蝠=R+1+W,BA[=~c-a,结合向量的数量

积的定义与运算公式，即可求解.

【解答过程】设向量而=a,AD=b,AA^='c,则|a|=\b\=|c|=2,值㈤=(a,c)=(b,c)=p

所以方-b=ac=b=2x2cosm=2,

又由福=方+近+何=苍+石+3BA^=AA[-AB=c-at

所以4C；•BA；=(a+b+c)-(c-a)=ac-a2+d-c-ab+c2-a-c=2-22+2-2+22-2=0.

故答案为：0.

12.(2025•上海•模拟预测)。不与4,8,&。共面，并且48C0四点在一个平面上，2OD=xOA+yOB+OC

(x,y>0),则2+2的最小值为___________.

xy

【答案】16

【解题思路】由向量共面定理有x+y=1,再应用基本不等式“「'的代换求最小值.

【解答过程】由题设2彷一人6?-》话=玩?，。不与4,6,C,。共面，且A6CC四点共面，

所以2-x-y=l,可得x+y=1,且x,y>0,

所以1+2=(2+2)(x+y)=io+^+->10+21^-=16,

xyxyxyylxy

当且仅当％=；/=衬取等号，则最小值为16.

44

故答案为：16.

B组培优提升练

一、单选题

1.(25-26高二上•山东临沂•期中)在空间直角坐标系中，向量2=(2,—l,m),石=(一2,1,-2),则下列选

项中正确的是()

A.若同=3,则m=0B.向量(一1,1,1)是行的一个单位向量

C.若0,力为钝角，则m>—gD.若2在B上的投影向量为的，则m=-3

【答案】D

【解题思路】利用空间向显的模的坐标运算来判断A,空间单位向最的坐标运算来判断B,利月空间向最夹

角为钝角的充要条件来判断C,利用投影向量计算来判断D.

【解答过程】由|五|=3,方=(2,-l,m),可得同=V4+1+TH2=3=>7n2=4=>7n=±2,故A错误；

由石的单位向量是1=暖舒=号超=(9*,旬，故B错误；

\b\V4+1+43\333/

由@石〉为钝角，则苍•石二(2,-l,m)•(—2,1,-2)=-4-1-2m<0=>m>-1,

又当五//石=(2,-1,⑺〃(一2,l,-2)=K=F=3=m=2,

―/1-L

所以何，无为钝角，则血>一|且相。2,故C错误：

由亩窃上的投影向量为点.11r=①】，片f-2).］二答与=/0一5-2m=1nm=-3,故D正确；

\b\|b|V4+1+4399

故选：D.

2.(2026•湖北宜昌•模拟预测)如图，在三棱锥。-48。中，。为BC的中点，E为4)的中点，过点£作平面a,

与射线。力、OB、。。的交点分别为P,Q,M.若赤=%万?，OQ=yOB,OM=zOC,则2%+y+z的最小

值为()

A.2B.4C.6D.9

【答案】B

【解题思路】利用空间向量共面的充要条件及基本不等式即可求解.

【解答过程】OF=1(^4+OD)+1(O5+O?))=^OA+^(OB+OC),

又而=!而，OB=-OQ,OC=-OM,则丽=；而+；丽+；丽，

xyz2x4y4z

因为点P,Q,M共面，所以;+；+；=l,且乃>0,y>0,z>0.

则2%+y+z=(2x+y+z)仁+；+；)=：+F+F+J+F+f+g

J'J7\2x4y4z/22y2z2x4?2x4y

又卷+卷之2舟京=1,当且仅当x=y时取等号；

+2U-y-=1,当且仅当x=z时取等号；

2z2xyj2z2x

^+^>2=p当且仅当y=z时取等号.

所以2x+y+z>1+；+：+1=4,当且仅当％=y=z时取等号.

故2xIyIz的最小值为4.

故选：B.

3.（2025•湖南永州•模拟预测）定义一个集合4集合中的元素是空间中的点集，任取P1,P2，P3E4且存

在不全为0的实数〃1，〃2，〃3有〃1西+〃2西+〃3西=6，已知。1（1,0,1）、22（1，0,0），则不符合题意的23

是（）

A.(2,0,0)B.(1,1,1)C.(3,0,1)D.(4,0,4)

【答案】B

【解题思路】根据题意列出方程组，由〃1，〃2，〃3不全为0可求出答案.

【解答过程】因为尸1(1,0,1),。2(1,0,0),则西=(1,0,1),西=(1,0,0).

设P3(Ky,z),则西=(x,y,z).

因为〃1西＞+ii2OP2+内。。；=6,所以+〃2(1，。，0)+43(%y，z)=(0,0,0),

即Qi+〃2+43K43%41+%z)=(0,0,0).

(Mi+〃z+%*=0

由此可得方程组43y=0，

出+〃3Z=o

(Mi+〃2+2%二0

对于A,若「3(2,0,0)，则［“3X0=0，取〃2=2,则〃1=0,〃3=-1，满足〃1，〃2，〃3不全为。；

(+0=0

41+〃2+43=0

对于B,若P3(1,1,1)，则〃3=0，则〃1=〃2=〃3=0，不满足〃1，〃2，〃3不全为0；

%+的=0