北京市2025-2026学年高二年级上册统练三数学试卷

北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高二上学期统练

三数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.椭圆C：2f+俨=2的焦点坐标为()

A.(-UO),(1,0)B.(0,-1),(0,1)

C.(-73,0),(V3,0)D.(0,-x/3),(0,73)

2.在空间直角坐标系。-切中，点尸(-2,3,1)到x轴的距离为()

A.2B.3C.75D.x/lO

3.已知点产与力(0,2),4(7,0)共线，则点尸的坐标川以为()

A.(1,-1)B.(1,4)

C.卜;，-1)D.(-2,1)

4.设动直线/与OC:(x+l)2+/=5交于48两点.若弦长既存在最大值乂存在最小值,

则在下列所给的方程中，直线/的方程可以是()

A.-V4-2y=aB.ax+y=2a

C.ax+y=2D.x+ay=a

5.已知椭圆C:[+£=1(心6>0)的离心率为等.双曲线Y-V=]的渐近线与椭圆。有

四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆。的方程为

B.---1---1

82126

D.

6.对于抛物线产=41上任意一点。，点尸3。)都满足|尸0住同，则〃的取值范围是()

A.(F,0)B.(-8,2]C.[0,2]D.(0,2)

7.如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘

可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动.当竖屏上的孔隙形状是合适

的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具.若

试卷第1页，共4页

斜杆与圆盘所成角的大小为60。，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm,则合

适孔隙的曲线线方程可能是（）

A.一三=左（左＞o）B.x25=%（左＞0）

2

C./_?=可左＞0）D./-3=左（左＞0）

8.如图，设抛物线『二4工的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点4,B.C,

其中点A,8在抛物线上，点C在N轴上，则MC”与A4W的面积之比是

M为双曲线上的一点，则|讶|+瑞^的最小值为（）

A.2B.4C.8D.14

10.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的

四棱锥称为阳马.如图，在阳马P-月6。中，产力_L平面/6C£）,底面/13CO是正方形，£,

F分别为PD,。〃的中点，点G在线段力夕上，AC与BD交于点、O,PA=AB=2,若OG//

平面加C,贝l」XG=（）

试卷第2页，共4页

i3i

A.vB.-C.-D.1

243

二、填空题

il.曲线2/+3x-3=0与曲线/+/一网+7=()的公共点的个数是.

12.设圆锥曲线用两个焦点分别为B,若曲线〃上存在点尸满足尸臼：|B臼：\PF>\=

4：3：2,则曲线M璃心率等干.

13.若对VmcR,直线y=2x+阳与双曲线4/+司/=1最多有一个公共点，则该曲线的离

心率为.

14.双曲线C:♦-方=1(。>0,〃>())的左焦点为广，右顶点为“，点尸到渐近线的距离是

点8到渐近线距离的2倍：则双曲线。的渐近线方程为.

15.在平面直角坐标系中，A,B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与

直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为一.

16.已知曲线。闺乂-4y3=4.

①若尸际打)为曲线C上一点,则x((-2v0>0；

②曲线。在(0,-1)处的切线斜率为0；

③于〃eR,x-2y+/〃=0与曲线C有四个交点；

④直线x-2y+加=0与曲线。无公共点当且仅当me(-oo,-V2)u(0,+oo).

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题

17.如图，在四棱锥P-48C。中，4D工平面P4BMB//DC,E为棱P8他中点,平面。CE

与校产/相交于点尸，且fA=A8=AD=2CD=2,再从下列两个条件中选择一个作为已知.

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条件①：PB=BD；条件②：PALBC.

⑴求证：AB〃EF；

(2)求点P到平面DCEF的距离；

⑶已知点”在棱PC上，直线4M与平面OCE尸所成角的正弦值为目，求偿■的值.

3"I

18.已知椭圆C:三+>1(心Q0)的离心率为母，焦距为26

(I)求椭圆。的方程：

(2)过点尸(4,0)作斜率为〃的直线/与椭圆。交于力，“两点.是否存在常数/,使得直线x=f

与直线/的交点。在力，8之间，且总有圈=制？若存在，求出，的值；若不存在，说明

理由.

试卷第4页，共4页

《北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高二上学期统练三数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BDBDDBBABC

1.B

y2

【解析】先化为标准方程/+=1，求得/=2,/=1,°=/7=京=1，判断焦点位置，写

2

焦点坐标.

【详解】因为椭圆C：2『+尸=2,

所以标准方程为一+片=1,

2

解得a2=2,b2=\,c=\la2-b2=1，

因为焦点在歹轴上，

所以焦点坐标为(0,1).

故选：B

【点睛】本题主要考查椭园的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

2.D

【分析】结合空间宜角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点％-2,3,1)到x轴的距离.

【详解】

在空间直角坐标系。-平中，

过P作尸“1平面xOy,垂足为“，则P〃_Lx轴，

在坐标平面xOp内，过〃作轴，与X轴交于4,

由P(-2,3,1),则片(-2,0,0),“(一2,3,0),

由PHCHA=H,PHu平面PHP】,HRu平面PH/],

则x轴，平面尸町，尸[u平面以明，

答案第1页，共13页

则x轴!PP]f故5即点P(-2,3,1)到X轴的距离,

则仍用=庐下=

故选：D.

3.B

【分析】三点共线转化为句量共线，利用共线条件逐个判断即可.

【详解】设尸(x,y),则而=(x,y-2),万=(-1,-2),

由P,48三点共线，则酢〃方，所以一2x+。，—2)=0,

则2x-y+2=0.

选项A,2x1-(-1)+2=5工0,不满足2x—y+2=0,故A错误；

选项B,2x1-44-2=0,满足2x-y+2=(),故B正确；

选项C,2x((1)12=2*0,不涉足2x12=0,故C错误;

选项D,2x(—2)-1+2=-3。0,不满足2x—y+2=(),故D错误.

故选：B.

4.D

【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.

【详解】OC:(X+1)2+/=5,圆心C(—l,()),半径〃=石,

选项A,由直线x+2y=a斜率为-；，可得动直线为为平行直线系,

圆心。(―1,0)到直线x+2y—。=0的距离d卜

F'

当。W-6或〃之4时，dN后,直线与圆不相交，不满足题意，故A错误;

选项B,由直线办+y=2]可化为a(x-2)+y=0,

则直线恒过(2.0),因为(2恒了>5•点(2,0)在圆外.

故直线不一定与圆相交，故B错误：

选项C,由直线ax+y=2恒过(0,2),点(0,2)在圆上，

当。=；时，直线方程可化为x+2y—4=0,

此时圆心C(-l,0)到直线x+2y—4=0的距离d=匕N=V5=r,

圆与直线相切，不满足题意，故C错误：

答案第2页，共13页

选项D,由直线方程x+期=4可化为x+aU-l)=O,

则直线恒过"(0,1),且点.W在圆C内，故直线恒与圆C相交，

当直线过圆心。时，弦长最长,由(TO)在直线x+g-1)=0上,

可得”=-1,|力切取到最大值；

如图，取初中点T,则CT_L”，圆心到直线的距离d=|b|w|CM

|幽=24-/=2代工,当d取最大值|。必时，弦长最短，

0-1

即当直线与CM垂直时，弦长最短，由CM的斜率为於“二一F=1

此时直线斜率为k=l=L即当a=1时，|4回取到最小直故D正确.

【详解】由题意，双曲线『-必=［的渐近线方程为y=±工，

•・•以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16,故边长为4,

22

/.(2,2)在椭圆C：A+%=l(a>b>0)上,

石.a2-b-_3

--,••----:--=-a2=4b%

2a~4

Aa1=20,b2=5

・•・椭圆方程为：—+^-=1.

205

故选D.

考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.

6.B

答案第3页，共13页

【解析】设尸(XJ),把|尸。|表示为X的函数/(X),问题转化为/⑴之同对20恒成立，结

合函数性质可求解.

【详解】\PQ\=yj(x-a)2-¥y2=yj(x-a)2+4x=y/x2+(4-2a)x+a22|。|，

平方可得：x2+(4-2a)x>0,因为xNO,即x+4—2。20,只需4・2420,BPa<2,

故选：B.

【点睛】本题考查抛物线上点到定点距离最值问题，解题方法是把这个距离用动点的横(或

纵)坐标表示，然后问题转化为不等式恒成立，利用不等式恒成立的方法求解.

7.B

【分析】先通过斜杆与圆盘所成角以及斜杆与特定边的距.离，求出渐近线与某•坐标轴的夹

角，从而得到渐近线斜率，再根据双曲线标准方程中渐近线斜率与参数的关系，确定合适的

双曲线方程.

【详解】已知斜杆与圆盘所成角为60。，那么斜杆与竖屏(即与竖屏所在平面)所成角为30。.

则渐近线与x轴正方向夹角为60。，所以渐近线斜率k=tan60”=@，

双曲线的标准方程为：4-4=l(^>0,Z>>0),可知。=百，所以y=3/.

a~b-a

所以双曲线的方程为匚=1,

a23a2

观察选项，只有--9二攵(左>0)满足.

故选：B.

8.A

S如FBCXnBF-1

【详解】•^工二丁二工二丁丁，故选A.

5"仃ACx2-IF-1

考点：抛物线的标准方程及其性质

9.B

【分析】由双曲线定义及渐近线方程得a=3,c=5,帆6日必周|=6,结合均值不等式、对

勾函数单调性及|巾|、|"段的取值范围求最小值即可.

【详解】由一条渐近线方程为N=｝得£=g=>4=3,由双曲线定义可知，M用-也修=6,

答案第4页，共13页

要使|M&|+的的值最小,

则|M£|应尽可能大,|“工|应尽可能小，故点M应为双曲线右

支上一点，故|阿一陶|=6,即此|=|阿-6.

故防』+品=眼凰+而一6之2.阿・瑞^-6=2,当且仅当照|=而即|5|=4

时等号成立，此时四玛=|孙|-6=-2<。，故取不到等号.

对勾函数》="+3-6在(0,4)单调递减，在(4,+oo)单调递增，

X

V\MF2\>c-a=2f：.|^|=|M^|+6>8,故当|M&|==8时，1年1+儡取得最

小值为4

故诜：B.

10.C

【分析】以力为坐标原点，荏，亚，万的方向分别为x，J'，z轴的正方向建立空间直角坐标系

如图所示，根据条件求得点G的坐标，即可得到结果.

以力为坐标原点，而，力,行的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,

由题意可得2(0,0,2),8(2,0,0),40,2,0),a2,2,。，41.1,Q,

则尸(1,0,1),E(OJl),

*♦**,、*♦*

所以“=(1,2,-1),FE=(-1,1,0),

设平面EFC的法向量为〃=(x,y,z),

答案第5页，共13页

万•元=0=,x+2y—z=0y=x

则解得令x=l,则y=l,z=3

nFE=O[-x+y=Qz=3x

所以平面反C的一个法向量为［=（1,1,3）

因为OG〃平面£H7,则〃.OG=0

****

设G（0,0,a）,则=所以一1一1+34=0

解得a=2,所以6（0,0与，即4G二

31〃3

故选:C.

11.1

【分析】联立两曲线方程，消去V，得到关于x的一元二次方程，解方程并验证即可求解•.

【详解】曲线2/+3%一3=0与曲线/+/—8工+7=0联立得：

I7

2X2-19X+17=0,BP(2.r-17)(x-l)=O,解得：Z或x=(

当x=l时，2/+3-3=0,解得：y=0,

点（1,0）也在曲线f+y2一取+7=0上，满足条件；

当x=?时，2/+3Xy-3=2/+y=0,此方程无解；

综上曲线2/+3X-3=0与曲线/+_/—舐+7=0的公共点为（1,0）,即公共点的个数是1；

故答案为：1

12.加

【详解】设|Q&|=2c（c>0）,由已知|「尸i|：|为&|：|?&|=4：3：2,

84

得|尸尸i|=&c,|PF2|=-C,且|尸尸旧尸尸2|,

若圆锥曲线一为椭圆，则2“=|PA|+|PF2|=4C,离心率e=£若圆锥曲线〃为双由线,

则2。=|尸产||一/6|=£-离心率6=耳，故曲线电离心率等于不或不

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于。力，。的方程

或不等式，再根据出"C的关系消掉6得到出。的关系式，而建立关于凡"C的方程或不等式,

要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

答案第6页，共13页

13.M或与

【分析】由已知得到48关系，代入双曲线方程表示出口,*得到离心率.

y=2x+m/.--

【详解】由《22_得(4+48)X2+48〃C+8〃/一1二0,

Ax+By=1

因为对V,"€R，直线y=2x+m与双曲线Ax2+By2=1最多有一个公共点,

所以/+4B=0,UPJ=-4Z?,

尸/_1

所以双曲线方程为一r+7)

—4BB

x

匕=11I5

若双曲线焦点在x轴，则标准方程为「4'所以八一花八一万

4B

4BB

5

此时离心率为/=出；

V45

若双曲线焦点在y轴，则标准方程为了一丁-I所以/=：,从=士,5

——B4648

B4B

石

此时离心率

故答案为：白吟

14.y=±y/5x

【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，得到8=2x',计算即可求解.

【详解】由双曲线C：可得左焦点尸(-c,0),右顶点0),

其中一条渐近线的方程为丁=2-即瓜-"=0,

a

则顶点0)到区一砂=0的距离为4=

)2C，

\-cb\

焦点/(3)到小纱=。的距离为八E了

答案第7页，共13页

由题可得b=2x—,即c=2a,

c

因为/=C?-片=3/,即力=百。，

所以双曲线C的渐近线方程为y=土百x.

故答案为：y=±V3x.

15色

1X5

【详解】由题意，圆心C到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点

到直线的垂线中点上，

则d嗫，则『二1,6专

点睛：本题考查直线和圆的位置关系.本题中，由43分别是x轴和，轴上的动点，若以/1B

为直径的圆，则半径就是•圆心。到原点的距离，所以圆心。到原点的距离与到直线的距离相

等，得到解答情况.

16.®@

【分析】分x、y的符号情况化简曲线c的方程，从而可画出曲线。的图象，结合图象逐一

分析即可.

【详解】当工之0,时，曲线。的方程为X2-4/=4,即1-），2=1,曲线C是双曲

线的一部分；

当xNO,"0时，曲线C的方程为?+4/=4,即工+/=1,曲线。是椭圆的一部分;

4

当x<0,yNO时，曲线C的方程为-X2-4/=4,曲线。不存在；

当x<0,”0时，曲线C的方程为*+”2=4,即/一三二i,曲线。是双曲线的一

4

部分；

双曲线《一力二［和上一/印有一条共同的渐近线..2>=0,

4-4

综上，可作出曲线C的图象，如图：

由图象可知曲线C的图象上的点都在直线％-2y=0的卜.方,

答案第8页，共13页

所以当尸(・%,%)在曲线C上时，有X。-2为＞0,故①正确:

设过点(。，-1)的直线/的方程是》=米-1，若直线/与椭圆《+/=1相切,

4

y=Ax-1

则由，得（1+4犬）./_8履=0,

hX-+厂2

A=64k1-0»得R=0；

若直线/与双曲线/-?=］相切，

y=kx-\

则由，,x2W(4^2-1)X2-8AX=0,贝114-一1。0且AuedFuO，得〃=0,

y~---=1

1,4

此时直线/的方程是y=-i,与曲线C相切，故②正确；

直线x-2y+m=0是表示与直线x-2)，=0平行或重合的直线，

由曲线。的图象可知，直线x-2y+〃?=0与曲线C不可能有四个交点，故③错误:

设直线—。与椭圆小/印相切，则

x-2y+n=0

由，x2,得8j/一4/八，+〃2-4=0

+

所以△=16〃2-32(〃2-4)=0,解得”=±2啦，结合曲线C的图象，取〃=-2上，

即直线x-2y-2啦=0与曲线C相切，

所以若直线x-2y+〃?=0与曲线。无公共点，结合曲线C的图象，

机之0或＜-2\/2，故④错误.

故答案为：①②.

【点睛】方法点睛：1.曲线方程中带有绝对值，一般是分绝对值里的式子的符号讨论去绝对

值；

2.直线与曲线的交点问题常采用数形结合的方法.

17.(1)证明见解析

Q聋

【分析】(1)根据线面平行的性质定理可得AB//EF-,

(2)以月为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得点。到平面。尸的距离为

答案第9页，共13页

2石

5

（3）设缁■=2,/le[0,1],利用线面向的向量求法解方程即可求得偌=；.

【详解】（1）选择条件①：

（1）因为48〃DC,ABu平面DCEF,OCu平面DCEF,

所以〃平面QCE/J

又因为/出u平面0平面P力8c平面。CEFnE/7,

所以49//EF.

选择条件②：解法同上

（2）选择条件①：

因为401平面48,P/IMBu平面P4B,

所以4OJ,尸4/。_148.

又因为PB=BD、PA=AB=AD=2CD=2,

所以△产4804。力4.

因此ZP/〃=N7M〃=9（y,即力民力。,力夕两两垂直.

如图，以力为原点，彳瓦而，刀的方向分别为％轴，V轴，z轴正方向，建立空间直角坐标

所以。（0,2,0）,C。,2,0）,P（0,0,2）,8（2,0,0）.

由（1）,得力B//EF,且E为棱P6的中点,

所以点F为棱PN的中点上（1,0,1）,尸（0,0,1）,

故而=（0,0,1）,而=（0,-2,1）,证=（-1,0,0.

设平面DCEF的一个法向量为，，-（x,y,?）,

答案第10页，共13页

DFii=-2y+z=0

则

CDn=-x=O

取y=l,则x=0,z=2,即方=(0』,2).

FPn

所以点夕到平面。CE尸的羽离d=一—=至.

问5

选择条件②：

因为4QJ.平面产力8,P44Bu平面尸

所以力。124力。，力8,

又因为P4BC,BC与AD相交，BC,ADu平面ABCD,

所以PX_L平面/"CO,/Au平面/I4C'。，

所以

即力。，力产两两垂直.

以A为原点建立空间直角坐标系及以下步骤同上；

(3)选择条件①：

设段=42«°，1］，

则由=4元=4(1,2,-2)=(4,2A,-22).

所以由7=丽+万7=(2一2,22,2-2A).

设直线BM与平面DCEF所成角为0,

所以sin蚱