勾股定理63题（章节复习）原卷版-2024人教版八年级数学下册

专题20.3勾股定理（章节复习）

（知识荟萃+24个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共63题）

【原卷版】

。目录导航

知识荟萃.................................................................................3

知识点梳理01：勾股定理...............................................................3

知识点梳理02：勾股定理的验证.........................................................3

知识点梳理03：勾股定理的逆定理.......................................................4

知识点梳理04：勾股数.................................................................4

题型讲练................................................................................4

题型1:用勾股定理解三角形...........................................................4

题型2：已知两点坐标求两点距离.......................................................5

题型3：勾股树（数）问题...............................................................5

题型4:以直角三角形三边为边长的图形面积.............................................5

题型5：勾股定理与网格问题...........................................................6

题型6：勾股定理与折叠问题...........................................................7

题型7：利用勾股定理证明线段平方关系.................................................7

题型8：勾股定理的证明方法...........................................................8

题型9：以弦图为背景的计算题.........................................................9

题型10：用勾股定理构造图形解决问题..................................................9

题型11：勾股定理与无理数...........................................................10

题型12：求梯子滑落高度（勾股定理的应用）.............................................11

题型13：求旗杆高度（勾股定理的应用）.................................................11

题型14：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）.............................................12

题型15：求大树折断前的高度（勾股定理的应用）.........................................13

题型16：解决水杯。筷子问题（勾股定理的应用）.........................................13

题型17：解决航海问题（勾股定理的应用）...............................................14

题型18：求河宽（勾股定理的应用）.....................................................15

题型19：判断是否受台风影响（勾股定理的应用）.........................................15

题型20：求最短路径（勾股定理的应用）.................................................16

题型21：判断三边能否构成直角三角形.................................................17

题型22：在网格中判断直角三角形.....................................................18

题型23：利用勾股定理的逆定理求解...................................................19

题型24：勾股定理逆定理的实际应用...................................................20

中考真题..............................................................................21

分层训练...............................................................................22

基础夯实............................................................................22

培优拔高............................................................................24

♦知识莒萃

知识点梳理01:勾股定理

L勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形,如

果它的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么一定有土曲d，这种关系我们称为

勾股定理.

2.数学语言：如右图所示，/力4c是直角三角形，其中较短的直角边a叫作勾，较长的直

角边6叫做股，斜边c叫做弦.

A

bC

（股）（弦）

Ca（勾）B

知识点梳理02:勾股定理的验证

勾股定理的验证主要通过拼图法完成,这种方法是以数形转换为指导思想、图形拼补为

手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.利用面积相等证明勾股定理是最常见的

一种方法，常见的几种证明方法如下

（1）弦图证明

/.a2".•.a-2

（2）“总统”法（半弦图）

c

D

如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：222,

a2•c1

知识点梳理03:勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长，爪。满足必必s那么这个三角形是直角三角形，且边长c所

对的角为直角.

2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形

（1）先比较三角形三边长的大小，找到最长边：

（2）计算两条较短边的平方和与最长边的平方；

（3）比较二者是否相等；

（4）若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这

个三角形不是直角三角形.

知识点梳理04:勾股数

1.定义：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.

2.满足条件：①三个数都是正整数;②两个较小整数灼平方和等于最大整数的平方.

3.勾股数的整数倍仍为勾股数，如3,4,5的2倍6,8,10仍为勾股数.

4.常见形式：①31,2〃，〃2+1（〃为大于1的整数）；②4〃，4庐1,4/+1（〃为正整数）

等.

♦题型由练

题型1:用勾股定理解三角形

△4BC々=90°AB=17BC=8

【典例精讲】（24-25八年级下•四川沪州•期中）若中，/,,

AC

则)

A.12B.14C.15I).16

【变式训练】（24-25八年级下•黑龙江牡丹江•月考）在A''。中，若4=3°

BC=5△ABC

则的面积为

题型2：巳知两点坐标求两点距离

（）

【典例精讲】（2025•广东韶关•二模）在平面直角坐标系中，点p坐标为I-3'2以点0为

【变式训练】（23-24八年级下-吉林延边-期末）在平面直角坐标系中，点「（一"’2）到原

点的距离是.

题型3：勾股树（数）问题

【典例精讲】（24-25八年级下校徽马鞍山•期末）下列几组数据中，不是勾股数的是（）

A.3,4,5B.5,12,13C.7,24,25D.

【变式训练】（24-25八年级下•山西朔州•期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（）

V6

A.3,3,5B.4,5,GC.7,24,25D.2,3,

题型4:以直角三角形三边为边长的图形面积

△ABC

【典例精讲】（24-25八年级下-全国・月考）如图所示，以的三边分别向外作正方

Sr△ABC,

形，它们的面积分别是5iL53.如果S'i=100,Sr2=50,53=50,那么的形状是

三角形.

【变式训练】（24-25八年级下-甘肃甘南・月考）如图，以直角三角形的三边为边向外作

正方形，正方形力的面积为4,另两个正方形的边长不可能是（）

V1C

VI3,VZ5~2r~

A.1,3B.1,C.

题型5：勾股定理与网格问题

4x6

【典例精讲】（24-25八年级下・安徽合肥・期末）在的正方形网格中，每个边长为1

的小正方形的顶点叫做格点，点'是格点，请仅用无刻度的直尺完成卜列作图（画图过程用

虚线表示，画图结果用实线表示.）

「一▼一▼—▼—▼一▼一、

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

卜一♦一♦一+-+一♦一彳卜一♦一+-+-♦-+-*卜一，一+一+—+—+—

IIIIIIIIIIIIIIIIIIII>

卜一♦一♦一♦・♦・♦一•♦卜一♦一+-+-♦-♦■•<>一♦-♦-♦-+-♦-<

I\A\IIIIIIAIIIIII\AIIlII

卜—♦又♦一♦一♦一.一4卜一♦"工,一+一+一—一.卜一♦三*4*一.-4•一—一4

IIII9IIIIIIIIIIIIIII।

»一1k一人—X—▲一工一」（.一▲.▲—X—▲一/..」L—▲—▲—A—▲—4一）

图1图2图3

（1）在图1中作出所有长为5的线段'七且点'是格点；

⑵在图2中先作一条线段"，使=再作一条线段°D=3&,且,"为格点；

（3）在图3中作一条线段使一〒.

【变式训练】（23-24八年级下-贵州遵义•月考）图1、图2是两张形状、大小完全相同的

方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都为1,每个小正方形的顶点叫做格点.请在图1、

图2中画出符合要求的图形.

图1图2

（1）在图1中画一条线段'上使侬.（要求:线段的端点必须与方格纸中的格点重合）;

ABABCSAADT=4

（2）在图2中，以为底边，画一个等腰三角形，右

题型6：勾股定理与折叠问题

,ABC

【典例精讲】（24-25八年级下-广东中山・期中）如图,三角形纸片中t，

^BAC=90°,AB=2,AC=3^ADEF^,BC

,沿和将纸/Afi片i折（r叠，使点8和点。都落在边上的点P

处，则"E的长是________.

A

B/KDxpF.C

,^ABC,4=90°.△4DE

【变式训练】（24-25八年级卜•四川成都•期中）如图，在中，，将

DEABDEAC=6,BC=3CD

沿翻折与重合，若.则的长为—

C

AEB

题型7：利用勾股定理证明线段平方关系

【典例精讲】（24-25九年级下-江西-期末）设0为等腰直角△ABCAB

斜边上或其延长线

,,S=AP2-^BP2、

上一点，，那么（Z）

S<2CP2S=2CP2S>2CP

A.13•Lz•I）.不确定

【变式训练】（24-25八年级上-全国•期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等

的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和4斜边长为c.

（1）如图1请你用它验证勾股定理.

ABCDACLBDAB=6BC=5CD=2AD

（2）如图2四边形中于点0,,请直接写出

题型8：勾股定理的证明方法

【典例精讲】（24-25八年级下-辽宁大连-期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算

经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法.下面四幅图中，不能用面

积证明勾股定理的是（）

【变式训练】（24-25八年级下-福建福州-期中）在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出

了下图所示的两种方案，则方案正确的是.（填“甲”或“乙”）

baba

b。ah

甲乙

题型9：以弦图为背景的计算题

【典例精讲】（2025•贵州遵义•模拟预测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,

观察图形，可以验证的式子为（）

a2—2ab+b2=(a—b)2a2+b2=c2

a2+2ab+Zr=(a+d)2a2—b2=(a+b)(a—b)

【变式训练】（24-25八年级下・广东深圳・期末）如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角

三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.若“弦图”中的大正方形的面积为81.小

正方形的面积为9.则一个直角三角形的面积为（）

题型10:用勾股定理构造图形解决问题

【典例精讲】（24-25八年级下-辽宁大连-期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的

DE=0.5m3mBC=3m

垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直

高度秋千的维索始终拉得很直，求绳索多勺长度.

【变式训练】（24-25八年级下-天津西青・期末）如图，要在门上方的增上点"处装一个由

4-4.5m5m5m,

传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发

光.已知小军身高若他走到°。处灯刚好发光，贝！他离墙的水平距离是（

)

5m4m3ni

A.B.C.D.2m

题型11：勾股定理与无理数

【典例精讲】（24-25八年级下•广西百色•期末）如图，数轴上的点力表示的数是1,点8

CBLABBBC=3AC

表示的数是5,于点，且，以点力为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴

DD

于点，则点表示的数是（）

V34

A.6.5B.6D.5.8

【变式训练】（2025•江苏扬州•三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点力表

2.6

【典例精讲】（24-25八年级下-云南红河・期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家

此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（）

1.62.4

A.米B.米C.2米D.米

AB

【变式训练】（24-25八年级下-黑龙江哈尔滨・月考）如图，梯子靠在墙上，梯子的底

2m7m

端力到墙根。的距离为，梯子的顶端6到地面的距离为，现将梯子的底端力向外移到

3mBD=

C,使梯子的底端。到墙根。距离为，同时梯子顶端8下降至〃，那么

题型13：求旗杆高度（勾股定理的应用）

【典例精讲】（24-25八年级下•河南郑州•期末）强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处

折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12nl处，旗杆折断之前的高度是（）m.

A.12B.13C.17I）.18

【变式训练】（24-25八年级下・浙江台州•期末）数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，同

III）

学发现有一根系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出（如图1）,将绳子拉紧，使绳子

AB5mAB

下端点。恰好接触到地面（如图2）.现测得点C到旗杆的距离为，求旗杆的高度.

图1图2

题型14：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）

【典例精讲】（24-25八年级下-吉林松原-期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵

高的树顶飞到一棵高5m的树顶上，两棵树相距"m,则喜鹊至少要飞

【变式训练】（24-25八年级下•新疆乌鲁木齐•期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另

一棵高2米，两树相距1E米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要

飞行（）米.

D.8

题型15：求大树折断前的高度（勾股定理的应用）

【典例精讲】（24-25八年级下•湖北十堰•期末）如图，一根竹子在离地面4尺处折断,

折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，竹子折断之前的高度是（）

B.5尺C.8尺I).9尺

【变式训练】（23-24八年级下-吉林延边•期中）某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为

AC2m

8m的电线杆，被大风从离地面的夕处吹断裂，倒卜.的电线杆顶部C是否会落在与它的

5m

底部A的距离为的快车道I-.?说明理由.

题型16：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）

24cm

【典例精讲】（24-25八年级下-内蒙古巴彦淖尔・月考）如图，将一根长为的吸管置

于底面直径为'm,高为12cm的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为'而，贝/的取

值范围是（）

12<4<1311<^<1211<13

10<12

【变式训练】（23-24八年级下•河北邯郸・月考）如图，一个圆柱体笔简的内部底面直径

是“山，一支铅笔长为18c血，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长

度为6cm.若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）

题型17：解决航海问题（勾股定理的应用）

A

【典例精讲】（2023•河北保定•二模）如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海

B600CCA300AC=

里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，则（）

A.5海里B.三海里C.56海里［）.啸里

60°30km

【变式训练】（24-25八年级下•甘肃庆阳•期末）一•艘船由力港沿北偏东方向航行

B30°40kmCC

至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则儿两港之间的距离为（）

50kHi40km30km10V7km

A.B.C.I）.

题型18：求河宽（勾股定理的应用）

【典例精讲】（24-25八年级下-广西南宁-期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水

CB50130

的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点米.他在水中游了米，则这条河的宽度

为（两岸可近似看作平行）.

BC

A

【变式训练】（24-25八年级下•广西来宾•期末）（1）等边三角形的边长为2,求它的中线

长，并求出其面积；

（2）数学兴趣小组为测量学校力与河对岸的体育馆月之间的距离，在力的同岸选取点C,

句酬AC=20,4=45°,ZC=90°,„.3，门、、-打,「仁士

侧得，如图所小，求力，3之间的距离.

题型19:判断是否受台风影响（勾股定理的应用）

【典例精讲】（24-25八年级下-云南红河•期末）台风使很多地区受到严重影响，某台风

130km130km

的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响.如图，线

BCCBAABLACAB150km

段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且.若，之间相距，

AC200kmA

,之间相距.判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由.

【变式训练】（24-25八年级下•湖北孝感•期中）如图，某沿海开放城市'接到台风警报,

100kmBBC20km/hD

在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城

BD

（1）台风中心经过多长时间从点移到点？

30kmD

（2）如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客

在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

题型20：求最短路径（勾股定理的应用）

【典例精讲】（24-25八年级下-陕西西安・月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽

12cm10cm3cmB

略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，

3cm

此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短

路径是（）

12cm13cm14cm

B.C.D.

14cm

【变式训练】（24-25八年级下•湖北黄石・月考）如图•圆柱形玻璃杯高为，底面周

32cm_3cmB

长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯

上沿Scm与蜂蜜相对的点4处，则蚂蚁从外壁'处到内壁8处的最短距离为。血（杯壁厚

度不计）

蚂蚁力

8蜂蜜

题型21：判断三边能否构成直角三角形

【典例精讲】（24-25八年级下•云南临沧•期末）五根木棒（单位：E）的长度分别为1,

2,3,4,5,从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.1,3,5

【变式训练】（23-24八年级下•贵州黔东南•期末）在图1、图2所示的方格中，每个小方

格的边长都为1.

图1图2

（1）在图1中分别画出长度为V与V的线段、，要求线段的端点在格点上.

（2）在图2中画出一个三条边长分别为5、北、的三角形，使它们的顶点都在格点上.

（3）试判断图2中这个三角形的形状.（直接判断，不需要说明理由）

题型22：在网格中判断直角三角形

【典例精讲】（24-25八年级下-江西赣州・月考）如图，直角坐标系中的网格由单位正方

,△RBJA,,,(2,3)B,,(-2,0)C,.,,(0,-1)

形构成中，点坐标L为‘，点坐为‘，点坐标为‘

,、4AC1BC

(2)求证:

6x5

【变式训练】（2025•吉林松原•模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每

个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点，点力、8、C、〃均在格点上，只

用无刻度的直尺，分别按下列要求作图.

C

/JDF=4R

⑴在图①中，画-格点区使得

CD_ACO

（2）在图②中的上找一点"使得

题型23：利用勾股定理的逆定理求解

ABCD

【典例精讲】(2023八年级下-全国・专题练习)如图，四边形中,

AB=4,BC=3,CD=13,AD=12,々=90。

ACAC

(1)连接，求的长.

ABCD

(2)求四边形的面积.

【变式训练】(24-25八年级下•河南商丘•月考)2025年是“全运年”，第十五届全运会将

于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开

始运动健身.小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已

_,、一ATB—OATC—DAB=160mAC=200m

知从4点到〃点有两条路线,分别是和.已知t，

点C在点〃的正东方120m处，点〃在点。的正北方50m处.

北

D

西-------东

南

/涓1/

A

ABBC

(1)试判断与的位置关系，并说明理由；

A—C—DA-B—D

(2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁

跑的路线更短.

题型24：勾股定理逆定理的实际应用

【典例精讲】(24-25八年汲下•辽宁大连•月考)已知某开发区有一块四边形的空地

一…一..=90°AB=3mFC=12mCD=13m

如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，

DA=4m

C

(1)若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？

(2)若从点夕修一条小路到C0边，求小路的最短长度.

【变式训练】(24-25八年级下•湖北黄冈•期末)在春天来临之际，八(1)班的学生计划

在学校劳动实践基地种植蔬菜.他们班的劳动实践基地正好是一块四边形的土地"""如

AB=20mBC=25rcCD=12mAD=9mND=90°ABCD

图，求该四边形土地的

面积.

D

♦中育真霆

1.（2024•江西九江•中考真题）如图所示，已知

AB=CB=10,AE=CD,DE=8,=6Q°,=4=90。“十xw^BCDE小如曰

,那么五边形的面积是

28a28V3..25月25V2

A.I>・Vz•I）.

ABCD45=13BC=12CD=4

2.（2024•湖北荆州•中考真题）如图，在四边形中，已知

AD=34=90°,ABCD.

,,则四边形的面积为（）

A.16巡B.367232V5

C.D.

e,,­_g-，e_48CD_AB1ADCD1AD—BCD=120°

3.（2024•四川南充•中考真题）如图，四边形中，，，

AC「/CDBC=2山8'”“

平分，，则的长为

A

4.（2024・广东揭阳・中考真题）如图，在中，”=45/8的垂直平分线交48于

EBCDACACGBCFADAFAC=3y/2

点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，.若,

5.（2024•河南洛阳•中考真题）（1）在如图中画出边长为北、2遥、5的三角形;

（2）该三角形最长边上的高为—

♦分足训练

基础夯实

ABCAD

1.（24-25八年级下•云南临沧•期末）如图，等边三角形的边长为4,则它的高的

长为（）

B

D

B.2我

A.2C.I).4

2.（24-25八年级下・云南红河・期中）如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形月，6的面

积分别是16,10,则正方形C的面积是()

B.必164

C.[).

3.（24-25八年级下-贵州・月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.图

①是由四个全等的宜角三角形和一个小正方形排成的一个大正方形，设直角三角形较长直角

k=6Q=5

边长为，较短直角边长为，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长

一倍，得到图②所示的“数学风车”，这个风车的外围（实线）周长是.

图①图②

4.⑵25•湖北省直辖县级单位•模拟预测）如图，在中，4CB=900,以《为圆

DU

心，以B的C长为半径作