2025年人教版八年级数学上册 角的平分线的性质（题型讲练+习题巩固）解析版

第04讲角的平分线的性质

01段?后Rd

课程标准学习目标

1.掌握角平分线的吃规作图步骤，能够熟练作图以及根据作图痕

迹判断出角平分线并解决问题。

①角的平分线的定义与性质

②角平分线的尺规作图2.掌握角平分线的性质与判定，能够熟练的应用其解决相关题

③角平分线的判定目。

④证明几何文字命题的一般步骤

3.掌握命题证明题中题设和结论，并能够熟练的对结论给予证

明。

02

翔的平分线的定义母性质

03旺W1

知识点01角平分线的定义与性质

1.角平分线的定义:

角的内部把角分成两个」的角的射线这是个角的角平分线。

2.角平分线的性质：

（1）性质1：平分角。

如图：即若OC是NAOB的平分线，则NAOC=NBOC。且他们

都等于NA0/3的一半。

（2）性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等

即若OC是NAOB的平分线,P是OC上一点，且PD_LOB于点D,PE1OA于点E,则有PD=PE。

【即学即练1】

1.如图，在△ABC中，NC=90°,A。平分N84C,8c=30,BD：CD=3：2,则点。到AB的距离为（）

A.18B.12C.15D.不能确定

【分析】由已知条件开始思考，结合角平分线的性质，得点D到A8的距离即为CQ长.

【解答】解：•・】£＞：CD=3：2,8c=30,

：,CD=\2.

故选:B.

【即学即练2】

2.如图，己知△44C的周长是22,OB、OC分别平分NA3c和NAC4,ODLBC于D,且00=3,AABC

的面积是.

BD

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点。到48、AC、8c的距离都相等，从而可得

到aABC的面积等于周长的一半乘以0Q,然后列式进行计算即可求解.

【解答】解：如图，连接04,

,：0B、0C分别平分N48C和NACB,

・•・点0到48、AC.BC的距离都相等,

••.△ABC的周长是22,OOJ_8C于。，且。0=3,RDC

/.5^BC=—X22X3=33.

2

故答案为：33.

知识点02角平分线的尺规作图

1.作已知角的角平分线：

步骤一：以角的顶点为园心,一定长度为半径画恻弧,交角的两边与点M和点No

步骤二：以点M和点N为圆心,K_-MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。

2

步骤三：连接0P即为角平分线

Az工与

步骤一步骤二步骤三

2.证明上图中的0P是角平分线：

连接MP,NP

由作图过程可知，0M=ON,MP=NPo

在△OMP与AONP中

OM=ON

MP=NP

OP=OP

/.△OMP^AONP

AZMOP=ZNQP

.'OP是NAOB的角平分线。

【即学即练1】

3.如图，在R【Z\A8C中，ZC=90°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,于点M、N,

再分别以点M、N为圆心，大吗A/N的K为半径画弧，两弧交了点尸，作射线A尸交边6c「点/),若

CD=3,AB=\0,则aAB力的面积是.

【分析】作于E,根据角平分线的性质得到OE=OC=3,根据三角形的面积公式计算即可.

【解答】解：如图，作。从L4B于£

由基本尺规作图可知，/ID是△人8C的角平分线，

VZC=90°,DELAB,

：.DE=DC=3,

:的面积=2X/WXQE=2X10X3=15,

22

故答案为：15.

【即学即练2】

4.如图，铁路0A和铁路0B交于0处，河道AB与铁路分别交于A处和8处，试在河岸上建一座水厂M,

要求M到铁路04,03的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出用总的位置.

【分^5】由已知条件，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知建在N408的平分线与AB的

交点上.

【解答】解：作NA08的平分线交AB于M,即M为水厂的位置.

知识点03角平分线的判定

1.角平分线的判定的内容:

角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上。

2.数学语言：

点。在N4O8的内部，PE_LQ4于&PDL0B于D,且PE=PD,则点。

在NA08的平分线上.

即：E_LOATE,PD1OB丁D,且PE=PD

：.ZAOC=ZBOC

【即学即练1】

5.如图，在△ABC中，。是的中点，DELAB,DF1AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证：AO是

△ABC的角平分线.

BD

【分析】首先可证明为△BOE且RlZ\QCA(，L)再根据三角形角平分线的逆定理求得AO是角平分线即

可.

【解答】证明：'：DE±ABtDF±AC,

•••卬△BOE和Rtz^CO尸是直角三角形.

(BD二DC,

(BE=CF'

：.Rt/\RDF：^Rt/\CDF(HL),

:・DE=DF,

*：DE±AB,DF±AC,AD=AD,

：.Rl^ADE^Rt/^ADF(HL),

：.^DAE=ZDAF,

・・・AD是△A6C的角平分线.

知识点04证明几何文字命题的一般步骤

1.证明几何文字命题的一般步骤：

(1)根据命题明确命题中的已知与求证。

(2)根据题意画出图形，并用符号表示(1)中的已知与求证。

(3)经过分析，找出由已知推导求证结论的途径，并写出证明过程。

【即学即练1】

6.证明：命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于360°”是真命题.

【分析】根据三角形外角性质得到N1=NABC+NAC5,Z2=ZBAC+ZACIi,Z3=ZBAC+ZABC,则

Zl+Z2+Z3=2CZBAC+ZABC+ZACB),然后根据三角形内角和定理即可得到结论.

【解答】已知：如图，Nl、N2、N3是△ABC的三个外角；

求证：Zl+Z2+Z3=360°；

证明：Z\=ZABC+ZAC13,Z2=ZBAC+ZACB,Z3=ZBAC+ZAI3C,

AZ1+Z2+Z3=2(NB4C+/A8C+N4CB),

•••N8AC+N48C+N4cB=180°,

AZl+Z2+Z3=360".

却命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于360°”是真命题.

04梅233

题型01利用角平分线的性质求线段长度

【典例1］如图所示，04是/34c的平分线，OM_LAC于M,ON_L/W于M若ON=8cm,则OM长为

R

A.ScmB.4cmC.5cmD.不能定

【分析】由于。人是N8AC的平分线，OM_LAC于M,ON1AB于N,根据角平分线的性质可以得到OM

=ON,而ON=8cm,延长即可求出OM长.

【解答】解：如图，•••。人是/曲C的平分线，0"_1_人。于M,OML/1B于M

：・OM=ON,

而ON=8cm,

：.OM=^cm.

故选：A.

【变式1】如图，在△ABC中，ZXCfi=90°,8E平分/ABC,OE_L48于点D,如果4c=3cm,那么AE+OE

等于（）

A.2crnB.3cmC.4cmD.5cm

【分析】根据角平分线的性质得到ED=EC,计算即可.

【解答】解：:8日平分NABC,DE±AB,NACB=90”，

：.ED=EC,

：,AE+DE=AE+EC=AC=3cm.

故选:B.

【变式2】如图，在RlZ\ACB中，N4CB=90°,BC=12,BD=2CD,A。平分N84C,则点。到4B的

距离等丁（）

A.3B.4C.5D.9

【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点。到A8的距离=点

D到4c的距离=CQ.

【解答】解：・・・8C=12,BD=2CD,

••・CQ=12X」^=4,

2+1

由角平分线的性质，得点。到A8的距离等于C'O=4.

故选:B.

【变式3】如图，在RtZ^ABC中，N8AC=90°,NA8C的角平分线交4c于点。，DELBC于点、E,若4

A8。与△CDE的周长分别为13和3,则A8的长为（）

A.10B.16C.8D.5

【分析】先根据角平分线的性质定理证得AO=OE，根据△A8C与4006的周长分别为13和3证得48

=BE=5.

【解答】解：•・・NBAC=90°,8。平分N4BC,DELBC,

:.AD=DE,

在RtAABD和RtAEBD中，

/BD=BD

'AD=ED'

RtAABD^RtAEBD（HL）,

:△ABC与△COE的周长分别为13和3,

：,AB+BC+AC=AB+AC+BE+EC=\3,DE+EC+DC=AD+EC+DC=AC+EC=3,

：.AB+BE=\O,

**•AB=BE=5.

故选：D.

【变式4】如图，△ABC的N8的外角的平分线8。与NC的外角的平分线CE相交于点P,若点P到AC

的距离为3,则点P到/IB的距离为（）

R

A.1B.2C.3D.4

【分析】过P作PQ_L人。于。，PW_LBC于W,PRA.AB于F,根据角平分线性质得出PQ=PR,即可得

出答案.

过。作PQLAC于Q,PWLBC于W,PRLAB于R,

•••△ABC的N8的外角的平分线8/）与/C的外角的平分线CE相交于点P,

?.PQ=PW,PW=PR,

:.PR=PQ,

•・•点P到AC的距离为3,

:,PQ=PR=3,

则点。到46的距离为3,

故选：C.

【变式5】如图，在四边形4BC。中，乙4=90°,AD=4,连接BQ,BDA,CD,ZADB=ZC.若尸是BC

边上一动点，则。尸长的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根据垂线段最短得出当。P_LBC时，QP的长度最小，求出N/W/）=NC8O,根据角平分线的性

质得出AD=DP=4即可得出结论.

【解答】解：:BD工CD,

：.ZBDC=90°，

AZC+ZCB£>=90°,

,:NA=90°

・・・NA8D+N4Q8=90",

•・,ZADB=ZC,

・•・NABD=NCBD,

当DP_LBC时，OP的长度最小,

'：ADA.AB,

：.DP=ADt

VAD=4,

・・・。尸的最小值是4,

故选:B.

题型02利用角平分线的性质求面积

【典例1］如图所示，点。是△力8C内一点，BO平分NARC,0O_LBC于点。，连接04,若。0=5,AB

=20,则AAOB的面积是（）

A.20B.30C.50D.100

【分析】根据角平分线的性质求出。E，最后用三角形的面积公式即可解答.

【解答】解：过。作OE_LA4于点£,

•••BO平分NA3C,ODLBC于点、D,

：,OE=OD=5,

ii

•••△AOB的面积=~^AB-0E=qx20X5=50，

乙乙

故选：c.

【变式1］如图，已知△48C的底长是21,OB,OC分别平分NA8C和N4C3,OD_L8C于£>,且OD=4,

△ABC的面积是.

【分析】过。作。瓦LA4于£0£L4C于R连接OA,根据角平分线性质求出。七=。。=。/=4,根

据△A8C的面积等于△ACO的面积、△BC。的面积、△4B0的面积的和，即可求出答案.

过。作OEVAB于E,OFVAC于F,连接04,

,：OB,OD1BC,

：.OE=OD,OD=OF,

即OE=OF=OD=4,

△ABC的面积是：OB+SMOC+SAOBC

=^XABXOE+^XACXOF+^XBCXOD

=—X4X(AB+AC+BC)

2

=-1x4X21=42,

2

故答案为：42.

【变式2】如图，AABC的周长为20cm,若乙48C,AC8的平分线交于点。，且点。到AC边的距离为旦

2

cm,则△A8C的面积为.

【分析】连接。4,过。作。E_LA8于E,OG_LAC于G,。广_LBC于F,根据角平分线的性质求出。E

=OF=OG,再根据三角形的面积公式求出答案即可.

【解答】解：连接。4,过。作OE_LA8于，OG_LAC于G,OFLBC^F,

VAABC,ACB的平分线交于点。,

：,OE=OF,OG=OF,

:.OE=OF=OG,

•・•点。到AC边的距离为员

2

q

OE=OF=OG=-cm,

2

•；△ABC的周长为20c〃?，

：,AB+BC+AC=20cm,

△ABC的面积S=SMBO+S^CO+S^ACO

=yXABXXBCXOF^yXACXOG

1Q

=±X±X(AB+BC+AC)

22

=J^X—X20

22

=15(cnr),

故答案为：15.

【变式3】如图，A。是△48CIK角平分线，DF1AB,垂足为F,DE=DG,Z\AOG和△AED的面积分别

为60和35,则△£/火的面积为()

A.25B.5.5C.7.5D.12.5

【分析】过点7)作DH上AC于H,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得。尸=。"再利用

证明RtZ\A。尸和RtZ\AO”全等，RtZXOE尸和Rt^OGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程

求解即可

【解答】解：如图，过点。作O〃J_AC于H,

丁月。是△A8C的角平分线，DFLAB,

:.DF=DH,

在RtA^DF和RtAAD/7中，

DF=DH

RtA>4DF^RtA/\D/7(HL),

SR(A4DF=SRt^ADlb

在RtADEF和RtADG/7中，(DE=DG

DF=DH

RtADEF^RtADG/7(HL),

SRSDEF=SR5DGH,

•・•△ADG和△AEO的面积分别为60和35,

，

..35+5RtADEF=60-SRIADGH,

25

SRI△DEF=

~2

故选：D.

【变式4】如图，A。是△A4C的角平分线，若A8=2AC.则S“BD：SMCD=

【分析］过。作。M_LAC于M,DNLAB于N,根据角平分线性质得出。M=QM根据三角形面积公式

求出即可.

【解答】解:

过D作DMLAC于M,DN1AB于N,

是△A8C的角平分线,

:.DM=DN,

:,SSBD：SMCD=(-ABXD/V):(―ACXDA/)=AB：AC=2AC：AC=2：1,

22

故答案为：2：1.

【变式5】如图，△ABC的三边A3、BC、C4长分别是10、15、20.其三条角平分线交于点O,将△A8C

分为三个三角形，SMBO：S^BCO：S/sCAO等于（）

B

A.1：1：2B.1：2：3C.2：3：4D.1：2：4

【分析】过点。作OQL48,垂足为Q,过点。作垂足为E,过点。作OP_LAC,垂足为八

利用角平分线的性质可得0。=。片=。尸，从而可得SMHO：SABCO：S/\CAO=AB：BC：AC,进行计算即

可解答.

【解答】解：过点。作OD1AB,垂足为D,过点。作。E_BC,垂足为£过点。作O£LAC,垂足

为F,

「△ABC的三条角平分线交于点O,

OD=OE=OF,

\'AB=\O,BC=\5,AC=20,

SMBO:S^BCOiS^CAO

=AB：BC：AC

=10：15：20

=2：3：4»

故选：C.

题型03根据作图痕迹解决角平分线的问题

【典例1］如图，用直尺和圆规作在N4O4内确定射线。〃，点。是射线0〃上一点，过点夕分别作

OB于点E,作于点尸，若P£=3,则PF的长为（）

A

A.1.5B.3C.4D.5

【分析】由作图可知，OH平分NAOB,由角平分线的性质可得出答案.

【解答】解：由作图可知，OH平分NAOB,

VPELOB,PFLOA,

:.PF=PE=3,

故选：R.

【变式1】如图，RtZXA8c中，ZC=90°.用尺规作图法作出射线AE,AE交3c于点。，CD=2,P为

A8上一动点，则PQ的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】当£＞尸_148时・，根据垂线段最短可知，此时。尸的值最小.再根据角平分线的性质定理可得。P

=CO解决问题；

【解答】解：当。PJ_A/3时，艰据垂线段最短可知，此时。尸的值最小.

由作图可知：AE平分NB4c

VDC1AC,DP工AB,

:.DP=CD=2,

・・・PD的最小值为2,

故选：A.

【变式2］如图，己知NA8C,以点3为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线ZM,3c于点M,N,分

别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线8。上取点“，以点”为圆

2

心，以线段4"长为半径作弧交射线3尸于点。；点E,〃分别在射线ZM,HO上，ZAEF=6S°,射线

EF,BD交于点G,ZFDG=39°,则NEGB=()

A.29°B.30°C.38°D.39°

【分析】利用基本作图得到BP平分NABC,则NA8P=NC8P,利用基本作图可得BH=DH,所以

=ZBDH,可得N480=N8DH,所以ZEFD=ZAEF=68°,再根据三角形的外角的性质计

算即可.

【解答】解：由基本作图得到8P平分NA8C,BH=DH,

：.ZABP=ZCBP,ZHBD=NBDH,

/ABP=NBDH,

：.FH//AB,

：,ZEFD=ZAEF=6S°,

VZFDG=39°,

；・NEGB=NEFD-/FDG=680-39°=29°.

故选：A.

【变式3】如图，在△48C中，/8=90°,以点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB、AC各相交于一

点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧交点与点A作直线，与边8C交于点D若

AC=8,BD=3,则△4OC的面积是.

【分析】过点D作DE±AC于点E,由题意可知，AD是N8AC的平分线，再由角平分线的性质得DE

=DB=3,然后由三角形面积公式列式计算即可.

【解答】解：如图，过点。作。E_L4C于点

由题意可知，4。是NB4C的平分线，

VZ«=90°，

C.DBA-AB,

:.DE=DB=3,

：,SAADC=AC*DE=-X8X3=12,

2

故答案为：12.

【变式4】如图，在△ABC中，48=3,BC=9,以B为圆心，BA为半径画弧交BC于。，分别以4,D为

圆心，大于』AD为半径画弧交于点E,连接BE交4C于F,NBAC=2N4/8,则4尸的长为（）

2

A.—B.2C.3D.4

2

【分析】如图，过点F作4c于M,用V_L84交A4的延长线于N.首先证明：FC：AF=BC：AB

=3,想办法求出CF,证明CF=CD=6,即可解决问题.

【解答】解：如图，过点F作FM_L8c于M,FN_L8A交84的延长线于N.

•：BA=BD,AF=DF,BF=BF,

：・4ABFq丛DBF(SSS),

：,/ABF=/DBF,NBAF=NBDF,/AFB=/DFB,

VFM1BC,FN±BA,

：.FM=FN,

・bABCFFC

SAARF-^-AB*FN研

・FC_BC_.

’.正一而-3

：.FC=3AF,

•・・AB=OB=3,BC=9,

，CO=9・3=6,

ZBAF=2ZAFB=NAFD,

；・/AFD=/BDF,

：,ZCFD=ZCDF,

・•・CF=CD=6,

：.AF=2,

故选：B.

题型04角平分线的判定

【典例1】如图，OEJ_/W于区。凡LAC于尸，若BD=CD,BE=CF

求证：AO平分NZMC

【分析】由于E,。凡LAC于R若BD=CD,BE=CF,即可判定RlZ\BQEgRlZ\CO/(〃L),

则可得OE=OF,然后由角平分线的判定定理，即可证得A。平分NB4c.

【解答】证明：'：DE±AB,DFYAC,

：,ZE=ZDFC=9()°,

在RlABDE和RlACDF中,

fBD=CD

[BE=CF'

.*.R(ABD£^RtACDF(HL),

:.DE=DF,

在RtAADE与RtAADF中,

/AD=AD

'DE=DF'

ARt^ADE^Rt/\ADF(HL),

：.ZDAE=ZDAFf

・・・A。平分NB4C.

【变式1】如图，8凡LAC于凡CELAB于E,8尸和CE交于。，且BE=CF,求证：A£＞平分NB4c.

【分析】先根据A4S定理得出△3Q£gZ\CDF,故可得出。F=OE,由此可得出结论.

【解答】证明：•.•8F_LAC于F,CELABE,

:./BED=NCFD=90".

在RtABDE与Rt/^CDF中,

[ZBED=ZCFD

NBDE:NCDF，

IBE=CF

.♦.△5。石乡△CO尸(AAS),

:・DF=DE,

平分N8AC.

【变式2】如图，在△ABC中，点。在8c边上，连接AZ),有N8AQ=100°,NABC的平分线BE交AC

于点£过点E作£FJ_A8交BA的延长线于点立且NAEF=50°,连接。E.求证：。£平分/AOC.

【分析】过点E作EG_LA£＞于点G,EHLBC于点H,先通过计算得出/用E=NCAQ=40°,根据角

平分线的性质得Er=£G,EF=EH,进而得£G=E〃，据此根据角平分线的性质可得出结论

【解答】证明：如图，过点E作EG_L/1。于点G,EHtBC于点、H,

VEF1AB,ZAEF=50°,

AZM£=90o-50°=40°,

•••/B4O=l00°,

AZCAD=180°-100°-40°=40°,

：.ZE\E=ZCAD=4()0,即4C为ND4/的平分线.

XEFLAB,EGLAD,

：,EF=EG.

•・・/3E是NA8C的平分线，

:・EF=EH,

:.EG=EH,

:,点E在Z4DC的平分线上,

・・・OE平分N4QC.

题型04角平分线在生活中的实际应用

【典例1】如图，三条公路把A,B,C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修

建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）

A.在AC,8c两边高线的交点处

B.在AC,8c两边中线的交点处

C.在NA,N8两边角平分线的交点处

D.在AC,8C两边垂直平分线的交点处

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可.

【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在N4、NB两内角平分线的交点处.

故选：C.

【变式1】如图，直线。、仄c表示三条公路，现要建•个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则

可供选择的地址有（)

A.--处B.两处C.三处D.四处

【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；

然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3

个，可得可供选择的地址有4个.

【解答】解：内角平分线的交点到三角形三边的距离相等,

.•.△ARC内角平分线的交点满足条件:

如佟：点。是△A8C两条外角平分线的交点,

过点P作尸E_L4B,PDtBC,PFLAC,

:.PE=PF,PF=PD,

:.PE=PF=PD,

:.点P到aABC的三边的距离相等，

•••△A8C两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个：

综上，到三条公路的距离相等的点有4个，

・•・可供选择的地址有4个.

故选：

【变式2］如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭

中心到三条马路的距离相等，式确定小亭中心的位置.

【分析】由已知条件，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知在三角的平分线的交点上.

【解答】解:如图所示.

分别作三角形绿地两个角的平分线交于点P,点P即为所求.

05强化训练

1.如图所示，是一块三角形的草坪（△ABC）,现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条

边的距离相等，凉亭的位置应选在（）

B.△人-：个内角的角平分线的交点

C.△ABC三角形三条边上的高的交点

D.△A3C三角形三条中线的交点

【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC

三条角平分线的交点.由此即可确定凉亭位置.

【解答】解：•・•凉亭到草坪三条边的距离相等，

・••凉亭选择△48C三条角平分线的交点.

故选：B.

2.如图，0。是NAO8的角平分线，COJ_OA,00=5,CD=3,则点C到射线的距离是（）

0

D/\

A「\B

A.5B.3C.2D.无法计算

【分析】过点。作于£根据角平分线的性质即可求解.

【解答】解：如图，过点C作CE_LO8于上，

•••OC是NA03的平分线，CELOB,CDLOA,

：.CE=CD=3,

即点C到边0B的距离为3.

故选；13.

3.如图，0P平分NA08,PC_LOA于点C,点D在08上，若PC=2,0£>=4,则△尸0。的面积为（）

A.4B.6C.8D.12

【分析】过户作PKV0B于K,由角平分线的性质推出PK=PC=2,而0D=4,即可求出△P。。的面

积=20。・。长=4.

2

【解答】解：过P作于K,

平分NAO8,PC±OA于点C,

：.PK=PC=2,

•・・OO=4,

•••△尸0。的面积=」OO・PK=』X4X2=4.

22

故选：A.

A

4.如图，AB//CD,笈尸和C2分别平分/ABC和N8CO.八D过点产，且与A8垂直，若人7）=12.则点产

到BC的距离是（）

11Q

A.5B.—C.6D.—

22

【分析】点到直线的距离；过尸作PE18C交于E,由角平分线的性质得以=PE=P。，即可求解.

【解答】解：过户作PE_LBC交于£,

■:AB//CD,AD1AB,

：.ADLCD,

•・•/"和CP分别平分乙ABC和NBCO,

：,PA=PE=PD,

・•・PE=yAD=6=

乙

故选：c.

5.如图，Z\A08的外角NCA8,NOBA的平分线AP,8尸相交于点P,PE_L。。于E,PF_L。。于尸，下

列结论：（1）P£:=PF；（2）点P在NCO。的平分线上；（3）NAP4=90°-NO,其中正确口勺有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】（1）作尸"_LA8于”，证明△P£C@Z\PH4,得至UP£=PH,同理可证户F=户〃即可得到结论；

（2）根据角平分线的判定定理解答即可；

（3）根据全等三角形的性质证得NE%=N"必，NFPB=NHPB,再根据四边形内角和即可证得NAPB

和N。关系.

【解答】解：（1）证明：作PHLAB于H,

•••AP是NCAB的平分线，

：.ZPAE=ZPAH,

在△「£?1和中，

fZPEA=ZPHA=90°

ZPAE=ZPAH，

|PA=PA

:.XPEA仝XPHA（AAS）,

：.PE=PH,

•・・BP平分NAB。，且PH_L8A,PFLBD,

:.PF=PH,

:.PE=PF,

:.(1)正确；

(2)与(1)可知：PE=PF,

又〈PE工0C于E,PFLOD于F,

；・点尸在NCO。的平分线上，

(2)正确；

(3)VZO+ZOEP+ZEPF+ZOF'P=3600,

X*.*ZOEP+ZOFP=90°+90°=180°,

•••NO+NEP/=180°,

Z0+ZEM+ZHPA+ZHPB-^ZFPB=\800,

由(I)知：

••・NE%=N”M

同理：NFPB=NHPB,

；・/O+2CZHPA+ZHPB)=180°,

即NO+2NAP8=180°,

・・・NAP3=90°

2

*,*(3)错误；

故选：C.

6.如图所示，有三条道路围成RtZ^ABC,其中NC=90°,8C=800〃］，一个人从8处出发沿着BC行走了

500/",到达。处，AO恰为NC"的平分线，则此时这个人到/W的最短距离为（）

7

A.I300WB.8(X)/nC.500机D.300机

【分析】过点。作DE_LAB于点后推出DE=CD=BC-8Z).

【解答】解：过点。作。于点E,

•.F”为NCA4的平分线，NC=9U°,

・・・DE=CO=8C-83=800-500=300(〃?)，

故选：D.

7.如图，在△ABC中，A。平分NBAC,48=8,AC=6,若Sjc/)=12,则△ABC面积为()

A.24B.28C.32D.48

【分析】过。点作OE_LA8于点E,DFA.AC于点F,利用用平分线性质得DE=DF,再根据三角形面

积公式，利用S^ACDJ.DF-AOIZ得到。£=。/=4,再利用三角形面枳公式计算/XAb。的面枳，从

而可得△人8c的面积.

【解答】解：过。点作OE_L<8交于点E,DF上AC交于点F,如图，

A

XTXr

BD

••・A。平分N84C,

：,DE=DF,

74C=6'

SAACD=1*DF-AC=12^

・・・。尸=4,

A54皿4■•杷'DE，

•；AB=8,DE=DF=4,

：•SAABD^-AB-DE=16>

S^ABC=SMDC+S^BD=12+16=28,

故选：B.

8.如图，点。是△43C三条角平分线的交点，△A3。的面积记为Si,△4CO的面枳记为S2,△8CO的面

积记为S3,关于Si,S2,S3之间的大小关系，正确的是（）

A.Si+S2=S3B.Si+S2Vs3C.51+52>S3D.Si*52=53

【分析】根据角平分线的性质、三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可.

【解答】解：•••点。是aABC三条角平分线的交点，

・♦・和△BOC和△4OC的高相等，

•••△48。的面积记为51,△HCO的面积记为S2,△BC。的面积记为S3，设高为九

：•S,+S?=^-AB-h+-^AC*h=v（AB+AC）-hSq《BC・h，

由△ABC的三边关系得：AB+AOBC,

.*.S\+S2>S3,

故选：c.

9.如图，在R【△人8C中，NC=90°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N,

再分别以点M、N为圆心，大于」•MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线4P交BC于点短，若CD

2

=5,A8=18,则△ABD的面积是（）

A.15B.30C.45D.60

【分析】根据角平分线的性质得到DE=OC=5,根据三角形的面积公式计算即可.

【解答】解：作。E_LA8于E,

由基本尺规作图可知，A。是AABC的角平分线，

VZC=90°,DELAB,

:・DE=DC=5,

AABD的面积=2XA3XOE=45,

2

10.如图，/XABC中，NABC、/尸CA的角平分线BP、CP交于点P,延长84、BC,PM1BE于M,PN

LBF于N,则下列结论：①AP平分N£4C；②/48C+2/APC=180°；③N84C=2NBPC；®S^PAC

=S&+S/JVCP.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】过点P作P>L人C于。，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①;证明Rt△加W0RtaBW,

根据全等三角形的性质得出NAPM=NAPD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形

的性质判断④.

【解答】解：①过点。作POL4C于。，

VPB^^ZABC.PC平分NFC4.PM±BE.PNtRF.PDLAC,

:.PM=PN,PN=PD,

:・PM=PD,

,：PMA.BE,PDIAC,

.♦.AP平分NEAC,故①正确：

PMLAB,PN工BC,

/.ZABC+900+/MPN+90。=360°,

，NA8C+NMPN=180°,

在RlA/^bW和Rl△布。中，

(PM=PD

(PA=PA，

ARtAEAA/^RtABAD(HL),

；・NAPM=NAP。，

同理：RtAPCD且RtAPCN(HL),

NCPD=NOW,

・•・ZMPN=2ZAPC,

・・・N48C+2NAPC=180°,②正确；

③,.・4。平分NA4C,CP平分NFC4,

・•・ZACF=ZABC+ZBAC=2ZPCFf/PCF=2/ABC+/BPC,

2

：・/BAC=2/BPC,③正确;

④由②可知Rt△%△布D(HL),RtZXPC。gRtZXPCN(HL),

.*.S.\APD=SAMAP,SACPD=S/、NCP,

:・SdPAC=SdlAP+SdNCP，故④正确,

故选：D.

11.如图，在RlZ\A8C中，ZC=90°,AO平分N/MC,交BC于D,若BD=2CD,点。到边A6的距离

为6,则BC的长是.

【分析】过点。作。EJ_A8于E,根据角平分线的性质求出。C,根据题意求出进而求出8c.

【解答】解：如图，过点。作。E_LA8于E,

•••八。平分NB4C,DEA.AB,ZC=90°,

：.DC=DE=6,

\*BD=2CD,

:・BD=12,

/.BC=DC+BD=12+6=18.

故答案为：18.

12.如图，在△/WCM，80平分NA6C,OD1.BC于点D,连接OA,若00=3,A/3=12,则△AO8的面

积是_________

【分析】过点。作0瓦LAB于点E,根据8。平分NA8C,ODA.BC,得到0£=。。=3,根据面积公式

求出三角形的面积.

【解答】解：如图，过点。作OEL48于点E,

「BO平分/ABC,OD1BC,

・・・OE=OD=3,

11

:'AAOB的面积=小皿・0£二言X12X3=1&

22

故答案为：18.

13.如图，在RtZXABC中，NC=90°,点/到RdABC三边的距离相等，则N4/B的度数为

【分析】根据点/到RtZ\A8C三边的距离相等，得出点/在△ABC的角平分线上，从而得出/A出的度

数.

【解答】解：•••点/到RlZ\"C三边的距离相等，

・••点/在AABC的角平分线上，

VZC=90°,

.•・NC43+NCZM=90°，

：.ZIAB+ZIBA=45°,

/.ZA/B=135°,

故答案为：135°.

14.如图，射线OC是NA04的角平分线，点。为射线OC上一点，OP_LO人于点P,PD=6,若点Q是

射线08上一点，0Q=5,则也。。。的面积为.

【分析】过点。作。月IC〃于凡根据角平分线的性质求出。凡再根据二角形面积公式计算即口「

【解答】解：如图，过点。作。08于E,

•・•射线0C是NAOB的角平分线，DP±O