高中数学一轮复习-不等式的性质与解法

2.1不等式的性质与解法

r必背知识

i.实数大小与运算性质之间的关系

(1)a-b>O<=>a>b：a-b=O<=>a=b：a-b<O<^>a<b.

^>1<=>a>b信>l=a〈b

=1<=>a=b；(a,b6/?~):(：=l<=>a=b

(-<1<=>a<d17<1<=>a>d

2.不等式的性质

性质性质内容注意

对称性a>/?<=>ft<a可逆

传递性a>b,b>ca>c同向

可加性a>b=a+c>b+c可逆

可■乘性a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bec的符号

同向可加性a>b,c>d=>a+c>b+d同向

同向同正可乘性a>b>0,c>d>0=>ac>bd同向，同正

同正可乘方性a>b>0=>an>bn(nEN,n>2)同正

同正可开方性a>b>0Va>Vb(ne/V,n>2)同正

重要结论：

⑴倒数的法则与性质

①Q>b,Qb>0=L<2②a<0vb=2<L

abab

③Q>b>0,c>d>0=：>2©0<a<b<c或avbVcvO=L>；：>Z

dcabc

⑵有关分数的性质

若Q>b>0,m>0,则

®b/诉b4^m；bb-m.—八、②cin+mcia-mr.一浜>(八))、•

)教材改编

L【人教A版必修一P43习题2.1T7］已知Q>b>0,c<d<0,e<0,则下述一定正确的是()

A.ae>beB.c2<d2

C—。D.(d-cf

2.【人教B版必修一P84复习参考题A组T9］已知％=a?-2a+3,y=2a-2,则x与），的大小关系

为________

考点归纳

考点一不等式的性质及应用

【典例精讲】

例1.（2025・广东省♦东莞市•期末考试）若Q>0,且Q=7,则和7。07的大小关系为.

例2.（2024•河北省•月考试卷）（多选）下列大小关系正确的是（）.

,n

A.口+<7>2>/~2+口B.3l>log7r3

C.2曜<17D.Inn>（“T

【方法储备】

比较两个数（式）的大小

①作差（商）法：作差（作商）一变形T与。（与1）比较-结论；

②单调性法：构造函数，将欲比较大小的数（式）视为函数值，通过函数的单调性比较大小；

③中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取“（）”或"1"作为中间量；

④哦值法：当两个式子比较大小时，可直接赋值.

【拓展提升】

练1-1（2025•浙江省温州市调研）已知Q=|,"泻c=，则（）

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

练1-2（2025•福建省•月考试卷）（多选）若Q>b>0,则（）

A*工B.lna>InbC,alna<blnbD,a-b<ea-eb

考点二利用不等式的性质判断命题的真假

【典例精讲】

例3.（2025•四川省成都市•月考试卷）下列说法中，错误的是（）

A.若a?>力2,ab>0,则工<；

ab

B.若要>",则a>b

C.若b>a>0,m>0,则争

b+mb

D.若a>b,c<d,则a—c>b—d

例4.（2025•山东省•月考试卷）（多选）已知a>b>c（a,b,cER）,且3a+2Z?+c=0,则（）

A.a+c<0H+—

C.存在a,c使得c2-36a2=oD.上?<

a+c2

【方法储备】

利用不等式性质判断命题真假

①直接法：利用不等式的相关性质或函数的相关性质推理证明；举反例证明命题是错误的；

②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是

所取的值要有代表性.

提醒：注意题目条件中变量的取值范围，必要时分类讨论.

【拓展提升】

练2-1（2025•河北省石家庄市•期中考试）如果a>b,给出下列不等式：

®-<@a3>b3：③，a?>，b?：（4）2ac2>2bc2；⑤1;⑥a?+b?+1>ab+a+b.

aD。

其中一定成立的不等式的序号是.

练2-2（2025•湖南省•单元测试）十六世纪中叫一，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把『”作为等

号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“V”和符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不

等式的发展影响深远.若a,b,ceR,则下列命题正确的是（）

A•若a"。且a〈b,则：B.若0<a<l,Ma3<a

C.若a>b>0,则察1<£D.若cVb<a月.acV0,则cb?vab?

考点三利用不等式的性质求代数式的取值

【典例精讲】

例5.（2024・江苏省•苏州市•月考试卷）已知一1<x+y<l,l<x-y<3,W1J8X•的取值范围是

()

A.[4,128]B.18,256JC[4,256]D[32,1024」

例6.（2025•河北省•石家庄市•模拟题）若实数3、y、z>0,且x+y+z=4,2x-y+z=5,则河=

4%+3y+5z的取值范围是.

【方法储备】

1.在约束条件下求多变量函数式范围的步骤

己知呼吆：叫，求g（a，b）的取值范围.

km2<<n2八

①设g（a，b）=pfi（a，b）十q七（a,b）；

②根据恒等变形求得待定系数p，q；

③再根据不等式的同向可加性即可求得g（a,b）的取值范围.

2.根据不等式的性质求取值范围的策略

⑴严格运用不等式的性质，注意其成立的条件.

⑵同向不等式的两边可以相加，如果在解题过程中多次使用这种转化,就会扩大其取值范围.

⑶建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系，最后一次性运用不等式的性质求得取值范围.

【拓展提升】

练3-1（2025•广东省•揭阳市•月考试卷）已知实数m,ne[1,2],那么毫的取值范围是（）

A.唳,2]B.C.[0,1]D.[-2,0]

练3-2（2025•四川省•遂宁市•期中考试）实数a,b满足一3<a+b<2,-l<a-b<4,则3a-2b的取值

范围是________

新题放送

1.（2025•湖南省怀化市・月考试卷）若P=J至+GT7,Q=/T+3+V^T4（a>0）,则P,Q的大小关

系是（）

A.P>QB.P=QC.P<QD.由a的取值确定

2.12025•广西壮族自治区•单元测试）已知-]4a<p<p求呼的范围是

3.（2025•河北省石家庄市•期末考试）（多选）根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的

是（）

A.自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积

B.用一架两臂不等长的天平秤黄金，先将5g的祛码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使

天平平衡；再将5g的祛码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤

得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金大于10g

C.某工厂第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,则这两年的平均增长率等于当

D.两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不论物品价格升降，每次购买这种物品的数

量都是一定的；第二种是不论物品价格升降，每次购买这种物品所花的钱数都是一定的.若两次购买时

价格不同，则用第二种方式购买更实惠

【答案解析】

1.【人教A版必修一P43习题2.1T7]

解：,：a>b>0,e<0,.%ae<be,故A错误，

c<d<0,c2>d2,故B错误，

va>/?>0»c<d<0,

^a-c>b-d>0,0<

a-cb-d

又e<0?——>,e——F-r—r>0,故C正确，

a—c0—(1a-caf

设c=-2,d=-1,e=-1,Q=3,b=1,贝i」(d-c)e=l,=3,故。错误,

故选：C.

2.【人教B版必修一P84复习参考题A组T9]

解：因为x=a2-2a+3,y=2a-2,

所以x-y=a2-4a4-5=(a-2)24-1>0,故x>y.

故答案为：x>y.

例L

解：窸=77-％"7=(今7-。，

7

则当a>7时，0<-a<1,7-a<0,

则4)7-a>i,...77aa>7aa7.

7

当0<a<7时，-a>1,7-a>0,

则《A一">1，:77aa>7aa7.

综上，77aa>7aa7.

故答案为:77aa>7aa7.

例2.

解；对于4,+7-7)?-(2V-2+=13+2>/-42-(13+4^-10)-2(<-42-V-4G)>0,

所以，石+，不>2「+C，故4正确；

333

二

对

所以

j氏>In-n-

In-O,T2>2>

2又log7r3<log7r7T=1,所以3故B正确;

对于C,当久＞0时，函数'=2"与函数丫=%2有2个交点(2,4),(4,16),

作出y=2》和y=/的图象，如图所示，

结合图象可知，当>>4时，2X>X2,又，17>4,所以2、厂区>（，37）2,故C错误;

对于0,设9（无）=［。>。），则g'（x）=2*丫，

显Y2

令?'(外>0，则0<x<e?；令g，(x)<0,则x>e2.

所以g(x)在(0,e?)上单调递增，在(/,+8)上单调递减，

八_InnIne

又Dvevwv，，所以。(江)>g(e),即F>-T,化间得勿乃>依。止确.

戒&

故选AI3D.

练1-L解：a=|,b=则a>b,

mil,3ln33ln2-2ln3In8-ln9,八/

因为a—c=5一比=F^=F^<°'故+/ra<c，

所以匕<a<c.

故选：C.

练1-2.解：对于选项A：a>b>0,所以白>0,所以三〉三〉0,整理得故选项A错误.

abababba

对于选项8：由于y=》工为单调递增函数，故ma>"匕，故选项B正确.

对于选项C：当Ovbvlva时：Ina>0,Inb<0,故alna〉blnb,故选项C错误.

对于选项。：设/（x）=e*-x,所以/'（x）=e"-1,

当x>o时，r（x）>0,所以函数/"（%）在x>0时为单调增函数，

由于a>b>0,所以e。—a>eb—b,

即a—bvea—e。，故选项。正确.

故选：BD.

例3.

解■:对力，取Q=—3»b=—2»WJ—>:，故错误;

ab

对8,由c?>0,4>得Q>b，故正确;

斌一户也能浮=畸高由"。，得播>°，所以鼠吗故正确;

对C,

对D,由一c>-d,乂a>b,所以Q-c>b-d,故正确,

故选4.

例4.

解：对于A,a>b>c,3a+2b+c=0,所以3a+3cV3a+2b+c=0,

故a+cV0,故A正确；

对于3,a>b>c,3a+2b+c=0,所以6a>3Q+2b+c=0,可得a>0,

同理可得c<0,又因Q+CVO,所以£aH一1,

故m+5=_1(_?+(_,]<-2JT1H4)=-2>

故£+2v-2(利用基本不等式时等号取不到)，故B正确；

对于C,a>b>c,3a+2b+c=0,

由B知a>0,c<0,又2<1,若存在a,c使得c?一36Q?=o,

a

可知c=-6a,代入3a+2b+c=0可得2=，与已知相矛盾，故。错误；

a2

对干0.将条件变形为Q+C=—2(Q+/J).

_2_a+_b—_a_+_b_+_aa+b,a_1_.+_a_

a+ca+ca+ca+c2a+c'

由4知a+cV0,由8知a>0,所以二一<0,即一；H——<一故。正确.

a+c2a+cI

故选：ABD.

练2-1.

解：因为Q>匕，

①当a=1,b=-1时，工V：显然不成立，故错误；

②根据函数y=/在R上单调递增，可知当时，a3>b\故正确；

③当a=1,匕=一4时，>IP显然不成立，故错误；

④当c=0时，2^2>2比2显然不成立，故错误；

⑤当a>0,b<0时，慨VI,故错误：

⑥Q>b,

所以小+h2>2ab,

a2+l>2a,当且仅当a=1时取等号，

b2+l>2b,当且仅当b=l时取等号，

由a>b得a?+1之2a,b2+1>2b,不能同时取等号，

把以上三个式子相加得:2(a2+b2+1)>2(ab+a+b),

即M\b2\1>ab\a\故正确;

故答案为②⑥.

练2-2.

1

<-

解：A,不成立，比如a=-2,b=1,此时-d

23

B,成立，OVaVl,则0VQ2<I,a(a—1)<0,BRa<a,

万丁b+1bab+a-ab-Da-b、八二、b

C,不成“，—a+la—a(a+l)a(a+l)0,所以a工+l>一a,

D,不成立，若b=0,则cb2=Q/j2,

故选：故

例5.

解：8^•(i)^=23x~2y.

设3%-2y=m(x+y)—n(x—y)=(m—n)x+(m+n)y,

所以｛二^二解得：工，即3x-2y=1(x+y)+|(x-y),

:——

2

因为一lWx+yWl,1<x-y<3,

所以3x-2y=g(x+y)+'(x-y)W[2,8],

因为y=2%单调递增，所以z=23x-2yw[4,256].

故选：C.

例6.

x+y+z=4①

解：解:

,2x-y+z=5②'

②一①可得：x-2y=1,解得：x=2y+1,

把t=2y+1代入①得：z=3-3y,

把x=2y+1,z=3-3y代入M=4x+3y+5z,得M=-4y+19,即y=,用

把x=2y+1代入M=-4y+19,得M=-2%+21,即X=与^

把z=3-3y代入得M=-4y+19,得3M=4z+45,即z=型产，因为3,y,z为非负数,

21-M

>0

19：M

可得:>0，解得：15WMW19.

故答案为[15,19].

练3-1.

解：记点「。耳?1),设k成,2]

rn.im-n1—k2.11,

则丽=布=用r升

故选B.

练3-2.

解：设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)，

贝ij3a—2b=(m+n)a4-(m-njb,

则｛m+n=3解得租=”=|,

-n=-222

所以3a-2b=[(a+b)+?(a-b)，

因为-3Wa+bW2,-l<a-b<4,

所以一5g(a+b)W1,—(a—b)<10,

可得-4<3a-2fe<ll,即3a-2b的取值范围为[-441].

故答案为：[—4,11]•

1.解：依题意，P>0,Q>0,

P2_Q2=Q+Q+7+2Ja(a+7)-a-3-a-4-2J(a+3)(a+4)

=2Ja(a+7)-2J(a+3)(a+4),

又因为a(a+7)-(a+3)(a+4)=-12<0,

所以P2<Q2p<Q,

故选c.

2.解：因为—54av/?(，

o

Na〃

所以p

<一<-<

-4-7r一T-r

24,424

因