2024北师大版八年级数学下册 第二章 不等式与不等式组（单元自测-培优卷）

第二章不等式与不等式组•培优卷

【新教材北师大版】

时间：120分钟满分：120分

姓名：班级：____________考号：

考卷信息：

本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖

面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！

第I卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）下列各式中，是不等式的是（）

A.x—1=7B.y—2x>3C.x2—2x+1D.无+y=l

2.（3分）若a<b,则下列不等式中成立的是（）

A.a+5<b+5B,-5a<-5bC.3a>3bD.

3.（3分）以下所给的数值中，是不等式—2x+3VO的解的是（）

A.-2B.-1C.1.5D.2

4.（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）

5.（3分）（24-25七年级下•山东德州•期末）关于工不等式“一Q>2有且只有2个负整数解，那么。的取

值范围是（）

A.-5<a<-4B.-5<a<-4C.-5<a<-4D.-5<a<-4

6.（3分）（24-25七年级下•河北邢台・期末）已知关于工的不等式组°的解集为％>1,则a的取值

范围是（）

A.a=1B.a>1C.a<lD.a<1

7.（3分）々与y的和的杯大于5”用不等式表示为（）

A.^(x+y)<5B.1(x+y)>5C.1x+y<5D.1(x4-y)<5

若关于x、y的方程组｛；：2+m的解满足3%+2y>7,则整数m

8.（3分）（2025•广东广州•二模）

的最小值为（）

9.（3分）（24-25六年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶

距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1

千米计）.某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程工满足（）

A.x=8.5B.7<x<8C.7<x<8D.7<x<8

10.（3分）（2025•河北保定•二模）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“X+2TX”表示用x+2的

值作为％的值输入程序再次计算，比如：当输入％=2时，依次计算作为第一次“传输”，可得2x2=4,4-l=

3,32=9,9不大于2025,所以2+2=4,把％=4输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得4x2=8,

8-1=7,当起始输入％=4时，耍使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（：

/输入x/

平方

/输出/

［结束J

A.10次B.11次C.12次D.13次

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）不等式与一竽>-3的非负整数解为_____.

26

12.（3分）不等式组｛:［二:的所有整数解的和为.

13.（3分）（24-25七年级下•河北沧州•期末）若关于x的不等式组无解，则满足条件的正整

数日有个.

14.（3分）（24-25八年级下•河南周口•阶段练习）当k=时，不等式[（kx+6）>4%恒成立.

«3

15.（3分）（24-25七年级下・河北•期末）关于，y的方程组｛；；；；；：：的解满足％：>y>0,则m的

取值范围是.

（3--11

16.（3分）若关于％的一元一次不等式组--x+1有且仅有5个整数解，则a的取值范围______.

（3x—2<x十a

第n卷

三.解答题（共8小题，满分72分）

I7.（6分）（1）解不等式：詈一等>1.

（X—3（%—2）>4

（2）解不等式组1+2X，并把解集表示在数轴上.

I~3~>X~1

-5-4-3-2-1012345

18.（6分）（24-25七年级下•全国•期末）已知关于x的不等式（％-5）（"-3a+4）40.

⑴若x=2是该不等式的解，求〃的取值范围.

（2）在（I）的条件下，且工=1不是该不等式的解，求符合题意的整数4.

19.（8分）（24-25七年级卜陕西西安•阶段练习）已知关于工的方程当区=%-2的解是非负数.

«5

（1）求a的取值范围：

（匕>2

（2）若关于y的不等式组2-的解集为y25,求所有符合条件的整数a的和.

ly+4<3[y-2）

20.（8分）（24-25七年级下•重氏期中）如图，△48。中，乙4BC=90。,28=4,BC=3.动点P从点4出

发，沿折线4->8-C以每秒1个单位长度运动，到达点C时停止，设点P运动的时间为t秒.

（1）点尸整个运动过程中，共需一秒；

（2）若AAPC的面积为2时，求t的值；

⑶若△APC的面积大于封，求t的取值范围.

21.(10分)阅读下列材料：

问题：已知x-y=2,且x>l,y<0,试确定x+y的取值范闱.

解：vy=2,•,•%=>+2,

又/.y4-2>1,/.y>—1,

又<0,.-.-1<y<0①

•••-1+2Vy+2Vo+2,

即1VXV2②，

①+②得T+l<x+y<0+2,

•,-x+y的取值范围是0V%+yV2.

请按照上述方法，完成卜.列问题：

(1)已知t—y=5,且%>—2,y<0,

①武确定y的取值范围；

②试确定％+y的取值范围

(2)已知x-y=a+1,H.x<-b,y>2b,若根据上述做法得到3%-5y的取值范围是-10<3r-5y<26,

请求出a、b的值.

22.(10分)对m、n的定义一种新运算“。”，规定：m<>n=am-bn(其中a、b均为非零常数)，等式右

边的运算是通常的四则运算，例如：5<>6=5a-6b.已知2。3=-4,3。(-1)=5.

(1)求。、b的值；

(2)求关于x的不等式xo(2-x)<-1的解集；

(3)若关于x的不等式组只有一个整数解，则t的取值范围是.

23.(12分)(24-25七年级下•重庆・期末)据《2024中国新能源汽车产、业白皮书》显示，激光雷达是整车

智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能.某企业旗下智能汽车搭载乙3级自动驾驶系统,

核心部件依赖国产激光雷达.为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构：

星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为5.2万元；

雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为7.5万元；

(1)根据生产口志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚.求出星曜与雷霆的具体

产量；

(2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份.管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情

况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长50%.求该企业7月份雷霆汽车的生产数量.

24.（12分）小明在学习了一元一次不等式与一元一次不等式纽的解法后，又根据我们学过的有理数除法

法则：两数相除，同号得正，异号得负.解出了不等式三>0的解集，解题过程如下：

X+1

解：根据上述规律，不等式可以转化为或

解得，｛72或｛x<2,

lx>-15<-1

即《>2或x<-1.

...不等式三>0的解集为无>2或k<-1.

X+1

（I）根据小明的解法，求不等式3>0的解集.

X-1

（2）直接写出不等式汽<。的解集：.

第二章不等式与不等式组•培优卷

【新教材北师大版】

参考答案与试题解析

第I卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.B

【分析】本题考查了不等式，用不等号连接的式子叫不等式，据此判断即可求解，掌握不等式的定义是解

题的关键.

【详解】解：A、工一1=7是等式，故A不符合题意；

B、y-2%>3是不等式，故B符合题意；

C、/-2%+1是代数式，不是不等式，故C不符合题意；

D、x+y=l是等式，故D不符合题意；

故选：B.

2.A

【分析】本题考查不等式的性质.

根据不等式的性质，对各选项进行分析判断即可.

【详解】解：,.,Q<b,

+S<b+S,—Sa>—Sb,3a<3b,-3<—3»

••・选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意.

故选：A.

3.D

【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤.

先移项，再系数化为1求解即可.

【洋解】解：-2x+3<0,

—2.x<—3

解得x>1.5,

故选:D.

4.C

【分析】本题主要考杳了解不等式组，先分别求出每一个不等式的解集，可得不等式组的解集，并在数轴

上表示出来即可.

【详解】解：长:1>出，

[4-2x<0@

解不等式①，得x>l;

解不等式②，得XN2,

•••不等式组的解集是x>2；

在数轴上表示为：

故选：C.

5.A

【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据不等式有且只有2个

负整数解得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关犍.

【详解】解：,.・％-Q>2,

•,•X>a+2,

••・关于x的不等式％-Q>2有且只有2个负整数解，

・•・负整数解有:-1,-2,

3Wa+2V—2,

解得；—5<a<—4,

故选：A.

6.C

【分析】本题考查的是解•元•次不等式组的解集，熟练掌握我不等式组的解集的口诀是解题的关键.根

据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到“，再结合不等式组的解集即可得出。的范

围.

【详解】解：原不等式组为；产一£；°,

［X>1

由《-a>0可得%>Q,

・.•不等式组『［。的解集是x>1,

•••a<1.

故选:C

7.A

【分析】本题主要考查列不等式，熟练掌握文字语言与数学符号的转换是解题的关键.先分析'比与y的和”,

再分析”和的表，最后根据“不大于5”列出不等式.

【详解】解：由题意可得与x+y)W5.

故选：A.

8.B

【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组

的解法是解题关键.将方程组中的两个方程相加可得3x+2y=4血+2,再根据方程组解的情况得到关于m

的不等式，求最小整数解即可.

［详解］解」3m幺，

由①+②得：3x+2y=4m+2,

•.•方程组的解满足3无十2y>7,

:.4m+2>7,

解得：

m>4

・••整数〃7的最小值为2,

故选：B.

9.D

【分析】本题主要考杳了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超

过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为10+2=5千米，根据不足I千米按1千

米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即

可.

【详解】解：•.•总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米

2元，

•••超过的千米数为10+2=5千米，

•.•不足1千米按1千米计，

二实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，

.p-3>4

解得：7cxM8,

故透:D.

10.B

【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式的应用，由程序图可得，当起始输入x=4时，依次输入

的数为6,8,10…，设经过几次传输，可以结束程序，庄1442=1936<2025,462=2116>2025,可得

[4-F2(n-l)]x2-l>46,解不等式即可求解，理解题意是解题的关键.

【详解】解：由程序图可得，当起始输入％=4时，依次输入的数为6,8,10…，

设经过n次传输，可以结束程序，

v442=1936<2025,462=2116>2025,

•，•[4+2(九—1)]x2—1之46»

解得九N10.75,

•••n为正整数，

••.ri的值为11,即经过11次传输，可以结束程序，

故选：B.

二.填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)

11.()、1、2、3

【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1即可求得

不等式的解集，然后确定解集中的非负整数解即可.

【详解】解：平一下>一3,

26

去分母，得3(%—3)—(6%—1)>—18,

去括号，得3%—9—6x+l>—18

移顶，得3%-6%>-18-1+9,

合并同类项，得一3%>-10,

系数化成1,得工〈三，

则非负整数解是：0、I、2、3.

故答案为：0、1、2、3.

12.-3

【分析】本题考查的知识点是不等式组的解集以及整数解的求解.先求出不等式组的解集，再找出解集中

的所有整数解，最后计算这些整数解的和.

【详解】解：解不等式组｛晨二:,

由x>一3和x<一1可得不等式组的解集为一3<x<-1,

在该解集中的整数解为-2,-1,

整数解的和为一2+(-1)=-3,

故答案为：-3.

13.2

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集求参数，解题的关键是掌握解不等式组

的步骤和解集的意义.

求出各个不等式的解集，然后根据不等式组的解集列出不等式，然后进行求解即可.

【详解】解：俨-4呼)

工式九②

解不等式①得，x>2,

••・不等式组无解，

•••n<2,

满足条件的正整数〃有二1,2,共2个，

故答案为：2.

14.6

【分析】本题考查不等式的解，解不等式得到《上-4)%>-4,然后根据不等式恒成立可得力-4=0,

解出左值即可.

【详解】解：式依+6)>4%

2

-/cr+4>4x

2

—kx—4x>—4

o

(gk-4)%>-4

•.•不等式恒成立，

-4<0,

.*.-^-4=0,

3

解得k=6»

故答案为：6.

15.m>2

【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，

先解二元一次方程组，含有机的代数式表示x,)，，再得出不等式组，求出解集.

【洋解】解：也；苒墨丁，

解方程组，得｛箕部上；.

VX>y>0,

->2m+l>m—2>0,

解得F,

tm>2

所以in的取值范围是m>2.

故答案为：m>2.

16.-4<a<-2

【分析】本题考查了解一元一次不等式组、根据不等式组的解的情况求参数，熟练掌握解一元一次不等式

组的解法是解此题的关键.

求出不等式组的解集为-5WXV等，结合题意得出-1〈等40,求解即可得出答案.

停三工+1①

【详解】解:

3x-2<x+a@

解不等式①得：x>-5,

解不等式②得：XV等,

・•.不等式组的解集为-53》<等，

3X-11

x+1

•.♦关于》的一元一次不等式组--有且仅有5个整数解,

3%—2<%+Q

----1<^<0,

解得：-4<Q4-2,

故答案为：-4<a4-2.

第n卷

三.解答题(共8小题，满分72分)

17.(I)x<y；(2)xMl；数轴见解析

【分析】本题考查了解一元一次不等式(组)，在数轴上表示不等式组的解集.

(1)按照去分母，去括号，移项及合并同类项，最后系数化I,解出不等式的解集;

(2)先解每一个不等式，再求不等式组的解集.

【详解】⑴解:去分母，得2a+4)—3(3%—1)>6.

去括号，得2x+8-9x+3>6.

移顶，得2%-9%>6-8-3.

合并同类项，得-7%>-5.

系数化为1，得XV*

(2)解：解不等式工一3(%-2)24,得XW1；

解不等式竽>%-1，得x<4.

解集在数轴上的表示如解图所示：

1111II.l1dl

-5-4-3-2-102345

・•.不等式组的解集为“<1.

18.⑴a<4

(2)整数。的值为：3,4

【分析】本题主要考查了求不等式的解集，理解题意，是解题的关键.

(1)根据％=2是该不等式的解集，得出(2-5)(2。-3a+4)£0,解关于。的不等式，即可得出答案：

(2)根据x=1不是该不等式的解，得出(1-5)(a-3a+4)=-4(4-2a)>0,求出a>2,再根据Q<4,

得出。的整数值即可.

【详解】(I)解：把x=2代入Q-5)(QX-3a+4)40,得：

(2-5)(2a-3a+4)<0,

解得：a<4,

••・a的取值范围是Q<4.

(2)解：当欠=1时，(l-5)(a-3a+4)=-4(4-2a)>0,

即4-2。<0,

解得：a>2,

•••由(1)得aW4,

•••2<a<4,

在(1)的条件下，满足％=1不是该不等式的解的整数。的值为：3,4.

19.(l)a>-5

(2)1

【分析】本题考查解一元一次不等式(组)，不等式组的整数解，熟记解一元一次不等式(组)，不等式

组的整数解的法则是解题关键.

(1)先求出方程的解，根据解是非负数，列出不等式求解；

(2)先求出不等式组中各个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于待定字母的不等式求解，再求

出所有符合条件的整数，并求出它们的和即可.

【详解】(1)解：当汇=%—2,解得：无=早，

•••关于》的方程话且=%-2的解是非负数，

.-.^>0,解得：QN—5；

(三>2

(2)]2-,

(y+4<3(y-2)

解不等式上手>2»得y>a+4,

解不等式y+4W3(y-2),得yN5,

匕>2

••・关于y的不等式组2-4的解集为yZ5,

(y+4<3(y-2)

.,-a4-4<5,解得：a<1,

所有符合条件的整数a为1和0,它们的和为1+0=1.

20.(1)7

⑵t的值为;或6

(3)1<t<6-

4

【分析】本题考查了一元一次不等式和•元•次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论.

(1)先求出运动的路程，再根据时间=路程+速度，即可求解；

(2)分两种情况：当P在AB上运动(0<tW4)时，当P在8c上运动(4V£W7)时，根据三角形的面积公式

列方程即可求解：

(3)根据当0<t<4时，SXAPC=；x3t>|,当4<CW7时，S“PC=X4(7-t)>|,即可求解.

【详解】(I)解：••・48=4,BC=3,

点P整个运动过程中，路程为4+3=7,

・••点P整个运动过程中，所需时间为7-1=7秒，

故答案为：7；

(2)当P在48上运动(0Vt34)时，ShAPC=^BC-AP=^x3-t=2,

解得：£=%

当P在8c上运动(4<t<7)时，S^APC=1AB•PC=gx4•(7—£)=2,

解得：E=6,

综上可得t的值为:或6；

»5

(3)当0VtW4时，ShAPC=1x3t>

解得：t>1,

当4VY7时,S.APc=;x4(7-t)>

解得」V6；,

4

综上可得：1V£V6；.

4

21.(1)(1)©-7<y<0；②-9<x+y<5

【分析】本题考查了一元一次不等式的性质和解二元一次方程组，仔细阅读材料，理解解题过程是解题的

关键.

(1)①根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得y的取值；

②由①得一7<y<0,进而求得一2Vy+5V5,即一2cx<5,即可求得％+y的取值范围；

(2)根据题意求得a+b+1V-yV-2匕，2b+a+l<x<-b,然后利用不等式的性质求解3%-5y的

取值范闱，从而得到关于a,b的方程组求解.；

【详解】(1〉解：@vx-y-5,

­•x=y+5,

♦：x>一2,

•••y+5>-2,

••y>-7»

vy<0,

.*.-7<y<0,

②由①得一7<y<0,

A—2<y+5<5,

即-2VxV5,

•'•-7—2<y+x<0+5>

.•x+y的取值范围是一9<x+y<5；

(2)解：,••x-y=a+1,

=y+a+1,

-x<-b,

-y+a+1<—b,

•'-y<-a—b—1,

•••—y>a+b+1,

vy>2b,

•••-y<—2b,

•••a+b+1V-y<—2b,

•••5Q+5b+5V—5y<—10b,

,：2b+Q+l<y+a+l<-b.

•••2b+a+1<x<-b,

•••6b+3a4-3<3x<—3b,

•,-lib+8Q+8<3x—5yV—13b,

v3x-5y的取值范围是一10<3x-5y<26,

flld+8a+8=-10

"I-13b=26

解得：G：H

22.(l)a=1,b=2

(2)x<1

(3)8<t<10

【分析】（1）根据新定义及已知列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求解;

（2）由（1）可得m。n二771-2）1,再根据新定义把不等式转化为3X-4V-1,解不等式即可求解;

（3）由新定义可把不等式组转化为｛寸;,求出不等式组的解集，再根据解的情况得到关于（的不

等式，解不等式即可求解:

本题考查了有理数的新定义运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式及一元一次不等式组解的情况求

参数的取值范围，理解新定义是解题的关键.

【详解】（1）解：•••2。3=-4,3。（-1）=5,

2a-3b=-4

3Q+b=5

解明;

即a=1,b=2；

(2)解:va=1,h=2,

••mon=m—2n,

•••xo(2-%)=x-2(2-x)=3x-4

•,•不等式％o(2—x)<-1即为3x-4<—1,

解得％<1：

(3)解：o(2%-3)=x—2(2%-3)=-3%+6,2xo(-1)=2x—2x(-1)=2x+2.

・•.不等式组仔;(2：一：)：°可转化为6：0

(2xo(-1)<tt2x+2<t

解得2<x<年，

•••不等式组只有一个整数解，

••.整数解为3,

解得8<t<10,

故答案为：8<t<10.

23.(1)星曜生产30台，则宙霆生产120台.

(2)该企业7月份雷霆汽车的生产数量为110台.

【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用;

(1)设星曜生产x台，则雷霆生产(150-工)台，根据激光雷达使用总量为840枚，可得4%+6