2026年高考数学一轮复习（基础版）第七章 立体几何与空间向量

第七章§7.1基木立体图形、简单几何体的表面积与体积

（分值：62分）

I。知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.下面关于空间儿何体叙述不正确的是（）

A.正四棱柱都是长方体

B.在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线

C.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是极锥

D.有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱

2.（2025・湖北省新高考协作体模拟）用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中。，是

"C的中点，且轴，8'。'〃广轴，AD=B'C':2,那么等于（）

A.V2B.2C.2V2D.4

3.已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为（）

用

2

A8nnc

A.—B.3兀

3

Cc.—l°ncD./6兀

3

4.（2024.青岛模拟）在母线长为4,底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后，得到一个几何体,

则该几何体的表面积为（）

A.33TIB.39兀C.48兀D.57兀

5.（2024•嘉兴模拟汝口图是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知

该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为，：）

B.立C.V3

6.（2025•广州模拟）己知斜三棱柱A8C-A山Ci中，。为四边形ACG4对角线的交点，设四棱锥O-8CG%的

体积为Vi，三楂柱ABC-A^Q的体积为V2,则V,:©等于（）

A.2:3B.1：3

C.1:4D.1:6

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.（2023•新高考全国〃）已知圆锥的顶点为底面圆心为。，为底面直径，乙4〃3=120。，PA=2,点。

在底面圆周上，且二面角P-AC-0为45。，则（）

A.该圆锥的体积为兀

B.该网锥的侧面积为48兀

C.AC=2y/2

D.△户4c的面积为V5

8.（2025喀什模拟汝口图是圆台OiQ,在轴截面八58中，AB=AD=BC=^CD=2,下列说法正确的是（）

A.线段AG2V5

B.该圆台的表面积为11兀

C.该圜台的休积为78冗

D.沿着该圆台的表面从点。到A。中点的最短距离为5

三、填空题（每小题5分，共10分］

9.（2024.濮阳模拟）某圆锥的侧面展开图是面积为3兀，圆心角为争I勺扇形，则该圆锥的轴截面的面积

为

10.(2023・新高考全国［)在正四棱台A8CD-ABG。］中，AB=2,A|《二l,AA尸企,则该棱台的体积

为.

10能力拓展

每小题5分，共1()分

11.(2024.天津统考)虎殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊顶”“吴殿顶”，清代

称为“四阿顶”，如图(1)所示.现有如图(2)所示的尻殿顶式几何体A8CQMM其中正方形A8CO的边长为

3,MN〃AB,MN得且MN到平面48CO的距离为2,则几何体A8CDMN的体积为()

图⑴图⑵

A.—B.-C.-D.—

4422

12.魔方，乂叫鲁比克方块，最早是由厄尔诺・鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲

拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久不衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.一个三阶

魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45。，则该魔方的表面积是.

答案精析

1.C［对于A,正四棱柱的侧面都是长方形，底面是正方形，因此它是长方体，A正确；

对于B,在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的连线

平行于轴时才是母线，B正确；

对于C,有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，C错误；

对于D,根据棱柱的定义，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互

相平行的几何体是棱柱，D正确」

2.D［根据题意，把直观图还原，则原平面图形为等腰三角形，如图所示，

其中AD1BC,AD=2A'D>=4,

BC=B'C'=2,

原平面图形的面积为S^ABC=^C-AD=^X2X4=4.］

3.B［由题图可知，此几何体为从底面半径为1,高为4的圆柱的母线的中点处截去了圆柱的;后剩余的部

4

分，所以所求几何体的体积V=7iX12X4-7XTUX12X4=3TI.］

4

4.C［设圆柱的底面半径为，高为,则r=3,〃=4,体积最大的圆锥的母线长/=＞九2+丁2=自42+32

=5,则该几何体的表面积5表=5国柱m+5圆柱底+5圆锥期=2兀r/?+兀/+兀"=24兀+9兀+15兀=48兀.］

5.D［设半球体的半径为r,圆锥的高为h,由题意得吧耳!=2,解得h=y/^r,故圆锥的体积与半球体

的体积的比值为

，J

严32r2

6.B［因为。为四边形4CG4对角线的交点，所以。为CA的中点，

所以％力四棱锥―

=-v

2四棱锥Ai-BCG%

=-(V-V)

2'三棱柱ABC-&81Gl三棱锥/11-48C，

得伯一泌)I%，

所以-:%=1：3.J

7.AC|依题意，NAP8=120。，PA=2,

。C

所以。P=1,OA=OB=y/3.

A项，圆锥的体积为：X7rX(g)2xi=7r，故A正确；

B项,圆锥的侧面积为nXV3X2=

2yf3n,故B错误；

C项t取AC的中点O,

连接。。,PD,如图所示，

贝ljACJ_OQ,ACA.PD,所以NPZX?是二面角P-4C-O的平面角，

则NPDO=45。，所以OP=OD=\,

故4O=CO=V5』=四，

则AC=2&，故C正确；

D项，PD=y/l2+12=V2,

所以SAPAC=TX2V^XV^=2,

故D错误.]

8.ABD【显然四边形ABCD是等腰梯形，

AB=AD=BC=2,CD=4,

其高即为圆台的高

仁/户_(失也)2=百.

对于A,在等腰梯形ABCD中，

AC="(CD三丹

=2V3,A正确；

22

对于B,圆台的表面积S=TTXl+7iX24-7t(l+2)X2=1In,B正确；

2=

对于C,圆台的体积V=1TC(1+1X2+2~)Xy/3-^―IT,C错误；

对于D,将圆台一半侧面展开，如图中扇环ABCO所示，且E为AD中点，而圆台对应的圆锥一半侧面展

开为扇形。。。且易知0C=4,又/COZ)=e=E,在Rt/\COE中，。石="42+32=5,斜边CE上的高为

42

甯=芋＞2,即CE与弧48相离，所以点C到A。中点的最短距离为5,D正确.]

CE5

9.2&

解析设圆锥的底面半径为/•，母线长为/,

因为圆锥的侧面展开图是面积为3兀，圆心角为字的扇形，

所以9知乂尸=3兀，解得/=3,

因为2口=gx/,

所以2"=与X3,得/*=1,

所以圆锥的高为

h=V/2-r2=V9-1=2V2,

所以圆锥的轴截面的面积是WX2X2V2=2V2.

10.独

6

解析如图，过4作4ML4C,垂足为M,

易知AiM为四棱台A8CO—44iGDi的高，

因为A8=2,A]8i=l,

则

=1xV2AiBi=y,

AO=^AC=^Xy/2AB=>[2,

故AM=A。-40=日，

2

则A}M=yjAAl-AM

所以所求棱台体积为V=^X(4+1+V4x1)X=~T'-

326

1I.D[取A8,CO的中点分别为F,E,连接NE,EF,NF,

几何体/WCOMN分割为一个三棱柱ADW一尸E*和一个四棱锥N-FBCE,

将三棱柱AQM一尸EN补成一个上底面与矩形AOE厂全等的矩形的平行六面体，

可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半，

则三棱柱4OM—FEN的体积为V|=1X2X|X32=1,

四棱锥N-FBCE的体积为V2=1X|X9X2=3,所以几何体A6CDWV的体积为3+|=y.]

12.162-72企

解析如图，中间一层转动了45。后，此时的魔方相对原来正方体的魔方多出了16个小三角形的面积，

显然小三角形为等腰直角三角形，设直角边为X,则斜边为&X,

故(2+V^)x=3,可得x=3—苧,

2

由几何关系得阴影部分的面积S=gx(3-邛)=.一竽，

所以所求面积9=6X3X3+16x($9)=162—7271

§7.2球的切、接问题

（分值：52分）

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.（2025・济南统考）棱长为2或的正方体的内切球的表面积为（)

「8同

A.8在兀B.24兀D.8兀

3

2.（2024・六盘水统考）已知长方体的长、宽、高分别为2,1,1,则这个长方体外接球的表面积与体积的数

值之比为（）

AD.x/6

6若

3.如图，在圆柱0。2内有一个球。，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱0。2的体积为K，球

。的体积为L，则白的值是（）

V2

A目B?C-

4.（2024・广州模拟）已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2,所有顶点都在球。的球面上，若球。的

表面积为8兀，则此正四棱台的侧棱长为（）

A.1B.V2C.2D.2V2

5.（2024•河北名校联盟联考）已知三棱锥S-ABC,SA_L平面ABC,AB=AC=2,N8AG120。，若三棱锥外接球

的表面积为28兀，则此三棱锥的体积为（

A.1B.2

C.3D.4

6.（2025・淮安统考）在三棱锥P-48C中，△PAB,AABC均为边长为2的等边三角形，平面PAB_L平面A8C,

则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（）

.5nn1011„20nc40n

ATB.亏c—D—

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.正四棱锥P-ABCD的底面边长为2,外接球的表面积为20兀，则正四楂锥P-ABCD的高可能是（）

A.V5+1B.V5-1

C.V5-V3D.V5-V3

8.（2025•郑州统考）已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为3,球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则

下列命题中正确的有（）

A.圆台的母线长为4

B.圆台的体积为26百兀

C.圆台的表面积为26兀

D.球。的表面积为12兀

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积

为.

10.（2024・福州模拟）在三棱锥A-8CO中，NA8ZXN48C=60。，BC=BD=3a,AB=6&,则三棱锥A-8CO外

接球的表面积为

答案精析

1.D［因为正方体的内切球的半径是正方体棱长的一半，所以内切球的半径R=V2,所以内切球的表面积

S=4nR2=4兀X（四）2=8兀.］

2.D［长方体的外接球直径为体对角线，因为22+12+12=6,则外接球的半径r4。=g=；=^=

3T

V6.］

3.A［设球。的半径为r,

则上等力

3

4.B［设正四棱台上、下底面互相平行的两条对角线分别为。C,A8,则由球。的表面积为8兀可得球0

的半径R=&,

又正四棱台的上、下底面边长分别是1和2,故OC=®,AB=2五,

即为球。的直径，

所以球。的球心恰好是的中点，故OA=OB=OC=OD=6.

所以△0£>C为等边三角形，故NOOC=NQOA=60。，

所以△OD4为等边三角形，

故此正四棱台的侧棱长

AO=OA=/.|

5.B［因为A8=AC=2,

ZBAC=\20°,

所以NABC=NAC8=30。，

S.xABc=^ABACsinZBAC

=ix2X2Xy=V3,

设△ABC外接圆的半径为r,

则2-缶号="即『2,

设三棱锥外接球的半径为R,4兀六=28兀,

解得（负值舍去）；

因为SA_L平面ABC,把三棱锥S-A8C补成直三棱柱（图略），

可得R2=r+传丫，

即7=4十管丫，

解得SA=2V5（负值舍去），

所以V三棱彼S-ABC=^ABC-SA三义V5X2百=2.]

6.C[如图，取A8的中点E,连接PE,CE,则PELAB,CE-AB,

B

由平面平面ABC,平面PABCl平面ABC=AB,PEu平面PAB,CEu平面ABC,

得平面ABC,CEJ_平面PAB.

取aPAB的外心Oi,

△48C的外心5,

分别过Q,Q作平面P48、平面A8C的垂线交于点O,。即为球心，连接OC,

于是OOi//CE,OO2//PE,四边形OO1EO2为平行四边形，。0=等,002=0^=^-,

22

因此三棱锥P一/WC的外接球半径R满足R2=OC2=CO2+OO2=1

所以三棱锥。一48c的外接球表面积5=4启=竽.]

7.CD[依题意，外接球的球心可能在正四棱锥内，也可能在正四棱锥外，如果球心在正四棱锥内，如图1,

其中a是正方形A8CO的中心，。是外接球的球心，

•.•P—A8CD是正四棱锥，

••・尸。」平面ABCO,

BO尸也,

设外接球的半径为R,

则BO=PO=R,

4兀R2=20兀,R=y/5,

在RtABOOi中，

2

OO}=y/B0-BO^

p。产PO+。。尸遮+V5；

图2

如果球心在正四棱锥外，如图2,PO1=尸。一OOi二“一遍.]

8.ACD[画出圆台的轴截面，如图所示，

则四边形A8C。是等腰梯形，且£W=1,AM=3,内切圆圆心即球心O；

所以圆台的母线长为AO=AE+EZ）=AM+ON=3+1=4,故选项A正确；

连接0A,OO和0E,

则△A。。是直角三角形，

且OQ=AE.ED=3,

所以球0的半径为r=OE=V3,

所以圆台的体积为1/=＞（声32+产中）X275=『，故选项B错误；

圆台的表面积为S=7tX（产+32）+兀义（]+3）X4=2671,故选项C正确；

球。的表面积为9=4兀X（e）2=12兀，故选项D正确.]

9%

解析设正方体的棱长为a,则6"=24,解得。=2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方沐的面对角线

长即为球的直径长，所以球的半径长是或，所以此球的体积为%x（&）3=5等

10.72i

解析由题意知/A8O=NA8C=60。,BC=BD=3五,AB=6底，

在△ABC中，由余弦定理可得AC=，482+BC2-2AB•BCcos60。

=J(6a)2+(3V2)2-2x6A/2x3V2xcos60°

=3V6,

所以,4。2+3。2=4序,

贝ijAC_L8C,

在△48。中，由余弦定理可得40=

>JAB2+BD2-2AB-5Dcos60°=J(6A/2)2+(3&产-2x672x3>/2xcos60°

=3-/6,

所以必+心=4序，

贝ljAD1BD,

取A8的中点O,则在RtZ\A8C和RtZXABO中，OA=OB=OC=OD,则三棱锥A-BCO外凌球的球心为

0,其半径为第=3或，

2

所以三棱锥A—8CO外接球的表面积为4兀•（豹=4兀乂（302=72兀.

§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系

（分值:80分）

ID知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

1.（2024・银川模拟）A,8是两个不同的点，/是一条直线，«,夕为两个不同的平面，下列推理错误的是（）

A.A曰，AWa,BQl,Blanka

B.A£a,A",B£a,归aC芹AB

C./Qa，

D.A£/,/u〃=A£a

2.若直线〃，b,c满足a〃b,a,c异面，则b与以）

A.一定是异面直线

B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线

D.不可能是相交直线

3.已知平面QCI平面/M,点A,C£a,煎BG。,且阴/,XACP\l=M,过A,B,C三点确定的平面为y,

则夕小，是（）

A.直线CMB.直线BM

C.直线A8D.直线8c

4.（2024.呼和浩特模拟）如图，已知上四棱锥2ABe。的所有棱长均相等，E为棱P4的中点，则异面直线

△E与PC所成角的余弦值为（）

//\/

'/\\/

--------------»B

C.”

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

5.给出以下四个命题，其中错误的是（

A.不共面的四点中，其中任意三点不共线

B.若点A,B,C,。共面，点A,B,C,E共面，则点A,B,C,D,E共面

C.若直线a,/?共面，直线〃，。共面，则直线4c共面

D.依次首尾相接的四条线段必共面

6.（2025•昆明模拟）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（

\.AF//CN

B.BM±DE

CCN与8M所成的角为60。

D.NE与8M是异面直线

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.己知呢夕是不同的平面，/,"2,〃是不同的直线，P为空间中一点.若Q（V=/,"?ua,,〃n〃=P,则

点P与直线/的位置关系用符号表示为.

8.（2024・西安模拟）如图，在直三棱柱A8C-A用Ci中，△A8C为等腰直角三角形，且4AA尸1,则

异面直线ABi与AC所成角的正弦值为.

四、解答题（共27分）

9.（13分）如图，A8CO为空间四边形，点E,尸分别是A8,8c的中点，点G,”分别在CD,AO上，且

叫皿求证:

（1）E,F,G,〃四点共面；（6分）

（2）EH,FG必相交且交点在直线BD±.（7分）

10.（14分）如图所示,在棱长为2的正方体A3CO-为囱GDi中,E,尸分别是A8,CG的中点.

（1）求三棱锥与-AiE尸的体积；（5分）

（2）求异面直线4石与。尸所成角的余弦值.（9分）

能力拓展

11题6分，12题5分，共11分

11.（多选）如图，在正方体A8CQ-48G。中，。为正方形A8CD的中心，当点尸在线段8G上（不包含端

点）运动时，下列直线中一定与直线0P异面的是（）

、AB\B.A1C

C.AMD.AOi

12.安装徽州古城与四川闿中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古

建筑，其底层部分可近似看作一个正方体A8CDA由iGU.已知该正方体中，点E,尸分别是极A4i，CC,

的中点，过。，E,〃三点的平面与平面A8CO的交线为/,则直线/与直线42所成的角为（）

A口

A3

4

答案精析

1.C[直线上两个不同的点在某个平面内，则直线在该平面内，故A正确；

两个不同的点同时在两个不同的平面内，则两点所在直线为两平面的交线，故B正确；

以。有两种情况，/与a相交或/〃a,若/与a相交，且交点为A点，则AWa,故C错误；

直线在平面内，则直线上的点都在平面内，故D正确」

2.C[在正方体A3CO-A山iG。中，A8〃OC,A8和。。是异面直线，DCC\DD]=D,

故直线。,b,c满足，a,c异面，则b与。可能相交，不一定是异面直线，故A,D错误；

AI3//DC,A8和SG是异面直线，。。和BCi是异面直线，

故直线a,〃，c满足a//h,afc异面，则b与c可能是异面直线，故B错误；直线a,b,c满足a//b,a,

c异面，则由平行公理得人与c不可能是平行直线，故C正确.]

3.B[已知过A,B,C三点确定的平面为y，则ACu7.又ACCl/=M,则,又平面"I平面/?=/,JW

lea,lu。,又因为ACQl=M,所以MG。,因为BG。,,

所以阳y=8M.]

4.C[连接AC,取AC的中点O,连接BO,EO,设正四棱锥户一48co的棱长为2.

由题意知

EO//PC,

则异面直线BE与PC所成的角为N8E。（或其补角），

在△BOE中，EO=^PC=\,

BO=^AC=y[2,BE#PA=6,

BE2+EO2-8。23+1-2_V3

则cosZBEO=

2XBEXE02y/33

则异面直线BE与PC所成角的余弦值为4.]

5.BCD|反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上，根据基本事实2的推论可知，

这四个点共面，这与已知矛盾，故A正确；如图1,4，8,6\。共面，4，8,€\后共面，但4,8,。,

。，石不共面，故B错误；

如图2,。"共面，〃，c共面，但b,c•异面，故C错误；

如图3,a,〃，c,d四条线段首尾相接，但a,〃，c,d不共面，故D错误J

图3

6.BCD[展开图翻折成的正方体如图所示，连接BE,CF,EM,因为CN//BE,BE1AF,

因此CN1AF,A错误；同理DE//CF,CFX.BM,

所以BM1DE,B正确；

或其补角是CN与8M所成的角，又△M8E是等边三角形，所以NMBE=60。，

所以CN与8M所成的角是60。，C正确；

又NE〃平面MFBC,且NE与BM不平行，8Mu平面MFBC,故NE与BM是异面直线，D正确.]

7.PE/

解析niaa,nup,tnC\n=P,

:・PSa且Pep,又an£=/,

・••点P在直线/上，即PWL

8百

解析将直三棱柱A8C—ABCi补形为如图所示的正四棱柱，连接BiO,A。，

去生

B

则8Q〃AC,

则异面直线AB,与AC所成的角为/。83(或其补角)，

由题意知44=遮，

则DB尸B"J12+(V2)2=V3,

A£)=\/12+12=鱼,

由余弦定理可得

cosZDBiA

_(V3^2+(V3)2-(V2)2_2

2xV3xV3-3'

所以异面直线AB1与4c所成角的正弦值为

sinZDB,A=jl-(|)2=f.

9.证明(1)连接EF,HG,

由E/分别为AI3,8c的中点，得EF//AC,

由DH=^AD,

DG=^CD,

3

f#HG//AC,J.EF//HG,

:・E,F,G,”四点共面

(2)由DH=^AD,

DG=；CD,

易知HG=9C,

又E,产分别为48,8c的中点，

即EF=-AC，:,HG¥EF,

2

结合⑴的结论可知，四边形是梯形，，直线EH,/G不平行，设它们的交点为P,则PQEH,

又平面AI3D,

・"£平面A8O,

同理P£平面BCD,

又平面A8OA平面BCD=BD,

：.P^RD,

即EH,bG必相交且交点在直线8。上.

1°.解⑴P三棱锥叱公“"三棱锥一出£=落2.此三义92><2><24

(2)如图，设8%的中点为H,连接HF,EH,AiH,因为尸是CG的中点，

所以AIOI〃C8〃”〃，AiDi=CB=HF,

因此四边形AQiFH是平行四边形，所以。尸〃4〃，。尸=4月，

因此NEAH或其补角是异面直线人化与。砂所成的角.正方体4BCO—48IGQI的棱长为2,E是A4的中

点，

所以A|E=Ai”=、22+12=花,

EH=\/12+12=V2,

由余弦定理可知，cosNE4”=空笔铲=:,所以异面直线4E与D/所成角的余弦值为

2AiEAiH2XV5XV55

4

11.BCD[对于A,如图①，连接43],G。，8。，

当P为BG的中点时，

OP//DC\//AB},故A不正确；

对于B,如图②，

连接AC,AiG,AC,

因为AiCu平面44GC,0£平面A4GC,(MAC,N平面A4GC,

所以直线4c与直线0P一定是异面直线，故B正确；

对于C,如图②，因为AiAu平面AACiC,0£平面A4GC,。生4A,内平面AAGC,

所以直线AN与直线OP一定是异面直线，故C正确；

对于D,如图③，连接A。1，DsC,AC,因为ADC平面ADC,平面ADC,O^ADi,N平面AOC,

所以直线4。与直线OP一定是异面直线,故D正确J

12.A[如图所示，在平面/Ui。/)中，连接。/与D4的延长线交于点H,则HA=AD,

在平面CCQQ中，连接。尸与0c的延长线交于点G,则GC=CD,则G”为平面QE/与平面ABCO

的交线/,且G”〃AC,

而在等边△AC9中AC与A2所成的角为为，故/与直线AD.所成的角为?.]

JO

§7.4空间直线、平面的平行

（分值：8（）分）

阈知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

1.己知两个不同的平面a,£和两条不同的直线〃2,〃，下面四个命题中，正确的是（）

A.若〃?〃〃，,则m//a

B.若m〃an〃a且nu£,则a〃夕

C.若〃z〃a,,则m//n

D.若加_LQ,6_L£,则a〃夕

2.如图所示，在空间四边形ABC。中，F,G分别是BC,CO的中点，E"〃平面BCD,则EH与FG的位

置关系是（）

A.平行B.相交

C.异面D.不确定

3.（2024.贵阳模拟）设/为直线，a为平面，则/〃。的一个充要条件是（）

A.a内存在一条直线与/平行

B./平行Q内无数条直线

C.垂直于。的直线都垂直于/

D.存在一个与a平行的平面经过I

4.（2024•衡水模拟汝口图，尸为平行四边形/WCO所在平面外一点，石为4。的中点，F为PC上一点,当PA

〃平面E8/时，段等于（）

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

5.下列说法不正确的有（）

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

6.（2025・黄山模拟）如图，已知正方体ABCO-AliG。，点E,F,G分别为棱8C,CC,,。。的中点，下列

结论正确的有（）

A.AE与。尸共面

B.平面A8|Oi〃平面EFG

CAELEF

D.8/7"平面ABQi

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.如图所示，在三棱锥。-ABC中，E,F,G,”分别在棱8。，BC,AC,AO上，CD,48均与平面

E/P”平行，且CD_LA8,则四边形的形状为.

8.如图，已知P为△A8C所在平面外一点，平面a〃平面A8C,且。分别交线段24,PB,PC于点4,B',

C,若空2,则屋皿二

AA

3ShABC

P

四、解答题（共27分）

9.（13分）（2024.银川模拟）如图所示，在三棱柱A8C-4BC中,9是BC的中点,d是分G的中点.求证:

（1）4B〃平面AG。；（6分）

（2）平面A由Di〃平面AGD（7分）

10.（14分）（2024•太原统考）如图，在四棱锥P-A8CD中，底面A8CO为平行四边形，E,尸分别为P。，BC

的中点，平面尸ABC）平面尸con.

（1）证明：/〃AB；（6分）

（2）在线段PD上是否存在一点G,使尸G〃平面AAE?若存在，求出多的值；若不存在，请说明理由.（8分）

10能力拓展

II题6分，12题5分，共11分

11.（多选）（2024・沈阳模拟）如图，在长方体23aMi5。孙中,AB=BC=2,A4i=4,E是棱55上的一点,

点尸在棱DDi上,若Ai，C,E,/四点共面，则下列结论正确的是（）

A

A.四边形4EC/为平行四边形

B.BE;DF

C.存在点E,使得8。〃平面ACE

D.四棱锥G-AEC1尸的体积为定值

12.（2024・商洛模拟）如图，正三楂柱的底面边长是2,侧楼长是2次，M为4G的中点，N是

侧面BCG场内的动点，且MN〃平面A8G，则点N的轨迹的长度为,

答案精析

1.D［对于A,若m//n,nua,

则m/7a或mua,故A错误；

对于B,当m//a,n//a,〃?u夕,nc.p且m与〃相交时，a//p,故B错误；

对于C,若m//a,nua，则ni//n或m与n异面，故C错误；

对于D,由线面垂直的性质可以证得，故D正确」

2.A［因为尸，G分别为BC,CO的中点，所以FG〃8O,

因为E”〃平面BCD,平面ABM平面BCD=BD,E〃u平面ABD,

所以EH〃BD,

由平行的传递性可知EH//FG.］

3.D［对于A中，由a内存在一条直线与/平行，则/〃a或/c«,所以A不正确；

对于B中，由/平行a内无数条直线，则/〃。或/ua,所以B不正确；

对于C中，由垂直于a的直线都垂直于/,则/〃a或/ua,所以C不正确；

///

%/

对于D中，如图所示，由/〃a,在直线/上任取一点P作直线。，使得a〃a,因为加。=2且/,au平面夕,

所以a//p,即充分性成立；反之，若存在一个与。平行的平面经过I,根据面面平行的性质，可得l//a,

即必要性成立，所以D正确.］

4.D［连接AC交BE于点G,连接FG,因为PA〃平面E8F,OAu平面PAC,平面PACC平面EBF=FG,

所以PA〃尸G,所以2=翌.又,E为4。的中点，

5.ABD[若两条直线和同一平面所成的角相等，这两条直线可能平行，也可能异面，也可能相交，故A错

误；若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，这两个平面可能平行，也可能相交，故B错误；由

线面平行的性质定理可知C正确；若两个平面垂直同一个平面，则两平面可以平行，也可以垂直，故D错

误.]

6.AB|如图所示，连接,BD,在正方体48CQ—A出GU中，

AB//C\D\

且，

所以四边形ABCQ为平行四边形，

贝ijBC1//AD1,

因为E,尸分别为BC,CG的中点，贝I]EF//BCx,EF=\BCx,

AE=DiF,

故E/〃4。，EF=\\Dx,所以四边形AE/孙为等腰梯形，故A正确，C错误；

因为且班?|=。。，

所以四边形BBiDiD为平行四边形,则BD〃BB、

又因为E,G分别为BC,C。的中点，则EG//BD,所以EG〃BD,

因为EGQ平面,SOU平面A%。，所以EG〃平面,

同理可证E/〃平面Abi。，

因为EFHEG=E,EF,EGu平面EFG,所以平面A8Qi〃平面EFG,B正确；

因为平面E/P〃平面，且B尸与平面EFG相交，故8尸与平面4囱。相交，D错误.]

7.矩形

解析因为CO〃平面EFGH,C£>c平面BCD,平面石尸G〃Cl平面BCD=EF,所以CD//EF.

同理HG//CD,所以Eb〃”G.同理HE//GF,

所以四边形EFG〃为平行四边形.

又因为CO_L4B,所以HE±EF,

所以四边形EFG”为矩形.

8H

解析•・•平面a〃平面48C,

且平面PACn平面ABC=AC,

平面PACA平面a=A'C,

：.A'C//AC,

.A'C'_PA'

'~AC~~PA

同理可得瞽=^=瑞

：.1\KB'C'SXABC,

•S“B'C'=（方,

SAABC

又生=2PA'_2

人Ad3PA~5

•SAAEd—4

S4ABC25'

9.证明(1)如图，连接AC,与4G交于点。，连接。。，则。。是△人由C的中位线，

：.AiB//DO,

・・・D8平面AC\D,A]8Q平面AC\D,

平面ACiD.

(2):0是8C的中点，。是囱G的中点,则DG〃BD,DC=BD,

・•・四边形BOG"为平行四边形，

则D\B〃C\D,

又又凶平面AC\D,GQu平面ACiD,二。山〃平面AGO,

•.•由⑴可知48〃平面AGO,

又D]BQAiB=B,DiB,A18u平面A}BD],

，平面平面AGO.

10.(1)证明因为底面A8CO为平行四边形，贝ljA8〃C。，又ABQ平面PCD,COu平面PCD,所以A8〃

平面PCD,

又因为平面RWCI平面PCD=l,ABu平面PAB,所以1//AB.

⑵解存在G,使"G〃平面A8E,勺=3,

GD

理由如下：

取4。的中点N,连接FN,NG,

因为F为AC的中点，所以FN//AB,又FNG平面ABE,A8u平面ABE,所以FN〃平面ABE.

又因为R7〃平面ABE,且FNCFG=F,FN,/Gu平面FNG,

所以平面FNG〃平面ABE.

平面PAOn平面ABE=AE,平面尸AOCI平面FNG=NG,所以AE//NG，因为N为A。的中点,所以G为

EO的中点，

可得EG=G。，

又因为PE=ED,所以■=3.

11.ACD[在长方体ABCO-A/iG。|中，若4,C,E,b四点共面，因为平面A8S4〃平面CDOQ,

平面AiECTTl平面ABBXA\=A\E,平面A£C7Tl平面CDDlC\=CF,

所以CF//A\E,同理CE//AxF,

则四边形AiEC厂为平行四边形，A正确；

因为ME=CF,RtAAiZ?)£：^RtACZ)F,

所以B】E=DF,若E不是棱8巴的中点，则BEWDF,B错误；

当E是棱"片的中点时，由B项分析知，尸为的中点，四边形是平行四边形，

则EF//BD,而ERz平面A.ECF,平面A^ECF,则3。〃平面AxECF,因此存在点E,

使得B。〃平面ACE,C正确；

由长方体性质知88i〃CG,且CGu平面ACG,8以。平面ACG,

则BBi〃平面ACG,

同理可得。。〃平面4CG,

即点E,尸到平面4CG的距离为定值，又△4CG的面积为定值，

因此三棱锥E—4CG和三棱锥产一4CG的体积都为定值，

所以四棱锥G—A/CF的体积为定值，D正确」

12.2

解析如图，

取86的中点D,8®的中点E,连接MD,DE,ME,则DEHBG、

又。灰平面ABG,BGu平面ABC\,

所以DE〃平面A8G,

又历为AiG的中点，

所以MO〃48i〃4A,

又MW平面ABG"Au平面A8G,所以〃平面ABC\,

又DECiMD=D,DE,MDu平面DEM,

所以平面OEM〃平面ABCi,

又因为N是侧面BCG8上一点，且MN〃平面A8G,

所以点N的轨迹为线段。石，

DE=1V4+12=2,

所以点N的轨迹的长度为2.

§7.5空间直线、平面的垂直

（分值:80分）

阈知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

1.（2025・邯郸模拟）己知“，〃是不重合的两个平面，，小〃是两条直线，且，〃u（x,〃u〃，贝lj

是“W的（）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.加图,在TF二棱柱中,AR=1,44=6,点。是侧棱的中点,则直线G。与平面人AC所

成角的正弦值为（）

3.如图，在斜三棱柱AAC-ABG中，Z^AC=90°,"GJL4C,则Ci在平面ABC上的射影〃必在（）

4

A.直线A3上B.直线8C上

C.直线AC上D.ZM3C内部

4.如图，四棱锥S-A8C。的底面为正方形,SQJ■底面A8CD,则下列结论中不正确的是（）

A.ACLSB

B.ADLSC

C.平面SAC_L平面SBD

D.8OJ_S4

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

5.（2025・广州模拟）已知外夕，y是三个不重合的平面，旦打1尸/,0c尸n,则下列命题不正确的是（）

A.若a_Ly,/?_Ly,则/〃〃?

B.若/〃〃?，则以〃夕

C.若a邛,了，夕，则

D.若/_!_〃?，则

6.（2024.安徽省皖江名校联盟联考）如图，正方体ABCQ-AEGD的棱长为1，则下列四个命题中正确的是

)

A.直线BC与平面ABCiDi所成的角为3

B.四棱锥C-ABCiDi的体积为:

»5

C.异面直线0c和AG所成的角为g

D.二面角C-BG-Q的余弦值为§

三、填空题（每小题5分，共1（）分）

7.已知△ABC,若直线/J_A8,/J_AC,直线加_LBC,〃z_LAC,且/,加为两条不同的直线，则/，机的位置

关系是

8.（2024・荷泽模拟）某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫

做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆（如图所示）.若该同学所画的椭圆的离心率为千