江苏海安市实验中学2025-2026学年高二下学期第一次学情检测数学试题（含解析）

江苏海安市实验中学2025-2026学年高二下学期第一次学情检测数学试题（含解析）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡相应位置，不得在试卷上作任何标记。2.所有答案均需填写在答题卡指定区域，写在试卷上的答案无效。3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，严禁携带试卷和答题卡离场。4.考试范围：苏教版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册相关内容，贴合海安市实验中学高二下学期期初学情，严格遵循高中数学课程标准，兼顾基础巩固、能力提升与核心素养考查，无超纲题、偏题、怪题，侧重考查复数、立体几何、概率统计、导数及其应用等核心知识点，适配该校高二学生实际学情，注重考查知识运用的灵活性和数学综合解题能力。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z=21+i，则z（A.-1B.1C.-2D.22.设直线l的一个方向向量为v=2−13，平面α的一个法向量为A.-1B.0C.1D.23.已知函数fx=xA.-3B.-2C.2D.34.甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏，在一次游戏中，记事件A：甲、乙两人出的都是剪刀；事件B：甲、乙两人出的相同；事件C：甲、乙两人至少有人出的是布，则下列结论错误的是（）A.A与C互斥B.A与B互斥C.A⊆BD.P5.已知集合A=x|x2−3x+2≤0，A.−∞1B.1+∞C.−∞6.在空间直角坐标系中，点A123A.6B.14C.17D.197.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验三个项目，三个项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验同一个项目，则不同的体验方案共有（）A.12种B.18种C.24种D.36种8.已知函数fx=lnx+1A.1B.2C.3D.4二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.若复数z1=1+2i，A.z1+zC.z1z10.下列关于导数的说法正确的是（）A.若fx=sinx，则fC.若fx=1x，则f11.下列关于空间几何体的说法正确的是（）A.棱柱的侧棱都互相平行B.棱锥的底面是多边形，侧面是三角形C.球的表面积公式为S=4πR12.已知随机事件A，B满足PA=0.5，PBA.PAB=0.2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置）13.复数z=1+3i14.已知函数fx=x15.在空间直角坐标系中，平面α经过点000，100，16.从2名男生和3名女生中随机选出2人参加志愿服务，则选出的2人都是女生的概率为________。四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知复数z=m+m2−2m−3（1）若z为实数，求m的值；（2）若z为纯虚数，求m的值；（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围。18.（12分）已知函数fx（1）求fx的导数f（2）求fx在区间−2（3）求fx在区间−219.（12分）在空间直角坐标系中，已知点A100，B01（1）求向量AB和AC的坐标；（2）求异面直线AB与AC所成角的余弦值；（3）求三棱锥O-ABC的体积。20.（12分）某商场举办抽奖活动，抽奖规则如下：从装有3个红球和2个白球的不透明袋子中随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球，则中奖；否则不中奖。（1）求中奖的概率；（2）若有3人参与抽奖，求恰有2人中奖的概率；（3）若有100人参与抽奖，估计中奖的人数。21.（12分）已知函数fx=e（1）求fx的导数f（2）证明：fx≥0对任意（3）若fx22.（12分）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，（1）求证：AD⟂平面BCC（2）求直线A1D与平面（3）求二面角A−B参考答案及解析一、单项选择题（40分）1.B（5分）【解析】z=21+i=2.A（5分）【解析】因为l⟂α，所以直线l的方向向量与平面α的法向量平行，即v∥n，则213.A（5分）【解析】f'x=3x24.B（5分）【解析】记“石头”为S，“剪刀”为J，“布”为B，样本空间为SSSJSBJSJJJB5.A（5分）【解析】A=x|1≤x≤2，因为A∩B=A，所以A⊆B，故a≤1，即a∈6.A（5分）【解析】由空间两点间距离公式，|AB|=2−12+−1−227.D（5分）【解析】将甲、乙看作一个整体，先从3个项目中选1个给甲、乙，有C31种选法；剩余3名同学分配到3个项目（每个项目至少1人），有A33种方法，总方案数为8.B（5分）【解析】f'x=1x+x−a，因为fx在x=1二、多项选择题（20分）9.ABD（5分）【解析】z1+z2=3+i，实部为3，A正确；z1−10.ABD（5分）【解析】A项，sinx'=cosx，正确；B项，e11.ABCD（5分）【解析】棱柱侧棱互相平行且相等，A正确；棱锥底面为多边形，侧面为有公共顶点的三角形，B正确；球的表面积公式为S=4πR12.AD（5分）【解析】由PA∪B=PA+PB−PAB，得0.7=0.5+0.4−PAB，解得PAB三、填空题（20分）13.5（5分）【解析】z=1+3i14.−10∪1+∞（5分）【解析】f'x=4x315.001（答案不唯一）（5分）【解析】平面α为xOy平面，法向量垂直于xOy平面，故法向量可为16.310（5分）【解析】从5人中选2人，总选法为C52=10，选出2人都是女生的选法为四、解答题（70分）17.（10分）解：（1）若z为实数，则虚部为0，即m2解得m=3或m=−1（1分）（2）若z为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即m=0m解得m=0（1分）（3）z在复平面内对应的点为mm2−2m−3解不等式m2−2m−3<0，得−1<m<3，结合m>0，得18.（12分）解：（1）f'（2）令f'x>0，即3x2令f'x<0，即3故fx在−22上的单调递增区间为−2−1，1（3）计算区间端点及极值点的函数值：f−2f−1f1f2故最大值为3，最小值为-1（1分）19.（12分）解：（1）AB=B−A=AC=C−A=（2）异面直线AB与AC所成角θ，满足cosθ=|AB|AB|=−1cosθ=（3）三棱锥O-ABC的体积V=\frac{1}{3}S_{\triangleAOB}\cdotOC，S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}\timesOA\timesOB=\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}，OC=1（1分）故V=120.（12分）解：（1）从5个球中摸出2个球，总选法为C5摸出2个红球的选法为C32=3（2）3人参与抽奖，恰有2人中奖，符合二项分布X∼B3概率为C3（3）100人参与抽奖，中奖人数估计为100×321.（12分）解：（1）f'（2）令f'x=0当x<0时，f'x<0，fx单调递减；当x>0时，故fx的最小值为f0=e0（3）由（2）知，fx在−∞0单调递减，在当x\to−\infty时，f(x)\to+\infty；当x\to+\infty时，f(x)\to+\infty（1分）故当k>0时，fx=k有两个不同的实数解，即k的取值范围为22.（12分）解：以A为原点，AB、AC、AA1所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则