2026届百师联盟高三二轮复习联考(一)数学试题含答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 A.2B.√3C.√6D.32．已知集合A={x|x<-2或x>4},B={x|a-7<x<a}，且A∩B=B，则实数a的取值范围为A.(-∞,-2)∪(11,+∞)B.[-2,11]C.(-2,11)D.(-∞,-2]∪[11,+∞)3．在直三棱柱ABC−A1B1C1中，上、下底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为4,M,N分别为棱A1B1，BC上的动点，则三棱锥M-ABN体积的最大值为B.2√3C.D.3√54．已知函数f(x)满足：∀x∈R，都有f(x+1)+f(x)=2，且当0≤x<1时，f(x)=−5x+3，则f(log56)=B.−√3C.D.26．已知函数f(x)=4sin(wx+)(1≤w≤)的图象关于点对称，当−≤x≤b时，有-2≤f(x)≤4，则实数b的取值范围为7．已知直线l,l＇都过抛物线C:y2=4x的焦点F,l⊥l′,l与抛物线C交于A,B两点，l＇与抛物线C交于D,E两点，且|FA|=2|FB|，则|DE|=A.12B.20C.28D.3618．已知a=e0.4,b=1.4,c=4.710，则a,b,c的大小关系是A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列结论中正确的是A．一组数据4,6,9,12,15,18,22,26,27,30的第60百分位数为20B.若样本3x1−1,3x2−1,⋯,3x10−1的方差为36，则样本x1,x2,⋯,x10的方差为12C.在检验A与B是否有关的过程中，X2=11.224，则在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为A与B无关P(X2≥k)kD.若随机变量ξ∼N(μ,σ2),P(ξ≥−4)+P(ξ≥10)=1，则μ=310．如图，在矩形ABCD中，P为线段CD的中点，Q为线段AD上的点，且AD=3AQ,BD∩PQ=E,QE=λEP,BE=μBD，则下列结论正确的是→A.PQBCB.λ=D.若AB=2√3,BC=6，则⋅=3011．已知数列{an}的前n项和为Sn,bn=an+1−an,cn=−,n∈N，则下列结论正确的是A.若a1=10,bn=−2，则S8−S3=0B.若a1=1,bn=cn，则0<an≤1C.若a1=1,bn=cn，则an≤D.若a1=1,bn=cn，则an≥22−n三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．某校准备从10名学生中选出5人参加演讲比赛，这10名学生中有男生4人，女生6人，则选出的5人中至少有3名女生的选法有种（用数字作答）.13．如图，圆o:x2+y2=36，直线l与直线l＇交于点P(3,4)，且l⊥l′.直线l与圆O交于A，14．如图，在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为线段AB上一点，AD=2DB,四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演名；乙医疗队有女医生6名，男医生4名.（1）现随机选定一支医疗队，再从该队中选派出两名医生进行重大疫病的预防宣传工作，若选派出的两名医生恰好是一名女医生，一名男医生，求这两名医生来自甲医疗（2）若从乙医疗队中选出3名医生对重大疾病进行会诊，在这3名医生中男医生的人数为ξ,求ξ的数学期望E(ξ).18.(17分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为椭圆C的上顶点，ΔF1PF22的面积为4线l距离的取值范围.19.(17分）已知各项为正数的数列{an}满足：a+1−a=c(c∈R，且c≠0)（2）求证：数列{an+1−an}中存在小于2的项；数学参考答案及评分意见ii(1+2i)2i2i1.B【解析】之=,"x,则I9z+l=Iil=·12i(12i)(1+2i)故选B.2.D【解析】AnB=B,.B三A,则a7≥4或a2,解得a2或a≥11,即实数a的取值范围为(o,2]u[11,+o).故选D.3.C解析1:S△ABM2×ABXAA2×2x44,VMABNVNABM·当N与C重合时,三棱锥MABN的体积最大.设AB的中点为D,连接CD."△ABC为等边三角形,.CDAB.又直三棱柱ABCABiC中,平面AiABB上平面ABC,平面AiABBn平面ABC=AB,CD一平面ABC,".CD上平面ABBA1,且由f解析即fAfff2224得f由f解析即fAfff2224即<l<l<l<<g5g5g5<2即<l<l<l<<g5g5g555lllflff2223g5g5g5故选A5lllflff2223g5g5g555555S22C2CS433SSCCsinS22C2CS433SSCC解析B5tan由题意解析B5tansin2SCsin2sin2SC32SCsin32SCsin23sin2sin23故选Bsin2sin2sin2sin235函数f对称解析即BkkkkZZ(3的图象关于点35函数f对称解析即BkkkkZZ553557≤w4sinw即f≤w4sinw3有时即当sinb42332≤f有时即当sinb4233323≤7「3即实数b的取值范围为3≤b≤3T≤7「3即实数b的取值范围为3≤b≤3解得b故选B解得b22324422324直线l直线l设直线l:解析且lDll7tt:都过焦点F直线l直线l设直线l:解析且lDll7tt:tDEByADEByt消去整理得4t4联立直线l与抛物线c的方程消去整理得4t444t同理t2t2且>44t4则4t同理t2t2且>44t4t2FB2224tFAt2FB2224t84DE22243故选DDE22243tt2tlnlnblnln解析lnA84444lnblnlnblnln解析lnA84444共7页①A页数学共7页①A页设f(x)=zln(1+z)则f(x)=1当z>0时f(u)>o函数f(u)在(0+)上单调递增 f(04)>f(0)而f(0)=0f(04)=04ln(1+04)>0即04>ln(1+04)"ln>lnb>b又b=(1+04)=1十C04+C2042++C04=1十10X04+C2042++C04=5+C2042++C04>5而C=47<5即b>Cb>C综上bC的大小关系为>b>C故选AAD【解析】对于A46912151822262730共10个数据且10X06=61822..第60百分位数为第67个数据的平均数为=20故A正确;2对于B设z2的平均数为z方差为S2则数据3z13213z1的平均数z(3z1)+(3z21)++(3z1)=3x1方差s21oc(3u1)2+(3x2)2++(3u1)2[(3z3x)2+(323x)2++(33x)2]C(xx)2(z2z)2++(ux)2]=9s2=36:.S2=4故B错误;对于CX2=11224P(X2≥10828)=0001根据小概率值=0001的独立性检验推断零假设不成立"在犯错误的概率不超过01%的前提下认为A与B有关故C错误;对于DP(≥4)+P(≥10)=1:.P(≥10)=1P(≥4)=P(≤4)1042即P(卡≥10)=P(卡≤4)μ=3故D正确故选AD2ABD【解析】对于A在矩形ABCD中P为线段CD的中点AD=3AQ.BQ=BA+AQ=BA+BCBP=BC+CP=BC+BA.".PQ=BQBP=BABC故A正确3223对于BC由题意得BE=uBD=u(BA+BC)(0<U<1)QE入EPBEBQ入(BPBE)即(1+入)BE=BQ+入BPIBC,322\3).(1+入)μ(BA+BC)=BA+BC+入BC+BA=1+IBC,322\3)1245137(1+入)u245137解得入μ故B正确C错误3(1+入)μ+入3对于DBABC=0BE=(BA+BC)BP=BC+BA72(BABC+BA2+BC2+(BABC+BA2+BC2+BEBP=(BABC)BC+BCBA)BA727225(6+36)=30故D正确故选ABD7ABC【解析】对于A=10b=2即2"数列}是首项为10公差为2的等差数列.=10+(1)X(2)=2+12.12+12则S8S34+5++7+85=0故A正确故B正确得得2=(1)2又EN=1.'.0<对于B由b故B正确得得2=(1)2又EN=1.'.0<22222两边同时除以得对于C由b=C2两边同时除以得222数学第2页(共7页)①A221,",=222a2a2ai将以上n个式子相加,得2l2l2e(1,2],e(1,2],e(1,2],e(1,2],即2"≤2则有2"≤2则有<2'.<2··<<2'.<2·1≤a2当n·1≤a2=1"≥.当n≥2时,≥2·22a=1"≥.当n≥2时,≥2·22a则a,=ln2则a,=ln2"a,≥=2in,故D错误.故选ABC.\212.186【解析】恰有3名女生入选的选法有C3SC42=120种,恰有4名女生入选的选法有C4SC4i60种,恰有5名女生入选的选法有C56种,所以选出的5人中至少有3名女生的选法有120+60+6=186种.13.47【解析】设AB,CD的中点分别为E,F,连接OP,OE,OF,如图.=5,设OE=x,=5,设OE=x,OF=y,z2十Y2=25,则AB=236-x2CD=2336—36—x2≤36z2+36y27225≤36z2+36y27225=47,36—z2时,等号成立,".四边形ADBC面积的最大值为47.当且仅当14.96t解析设LADC-0,则在△ABC中,由正弦定理,得AB-BC.sinlsinlsinlsinl\34)\3)(2DBBC\3DB·(2DBBC\3DB·sin(X-9)在△CDB中,由正弦定理,得,".sinsinlsinTSin(xsinsinlsin434)43sinl3lCos3sinl3lCos+sin\3)sin(m8)\22)sinAD=2DB,".AB=3DB,","\3)sin(m8)\22)sinsinl+isin\34)442tanADC=96·15.解:(1)设事件A="选派出的两名医生恰好是一名女医生,一名男医生",事件B="选定的是甲医疗队",事件C="选定的是乙医疗队",则1C2iC3i3ciC48P(B)=P(C)=,P(AB)=,P(AIC)=.……………3分2C255C21O15数学第3页(共7页)①A由贝叶斯公式,若选派出的两名医生恰好是一名女医生,一名男医生,则这两名医生来自甲医疗队的概率为6分P(BA)P(BA)-PBA)P(B)P(AB)25-9P(A)P(BA)+P(CA)P(B)P(AB)+P(C)P(AC)1318176分25215(2)由题意,的所有可能取值为0,1,2,3,………………………7分C31C26C4i1P(0)=,P(1)=,C3io6C31o2ciC423C431P(2)=,P(3)=.……………………11分C31o10C3o30所以的数学期望E($)—0x]+1x+2×3+3×16·…………13分621030516.(1)解:由题意知函数f(x)=lnz2z22的定义域为(0,+).若f"(x)>0,则14z2>0,解得0<u<,所以f(x)在10,I上单调递增;22)若f"(x)<0,则14z2<0,解得z>,所以f(x)在1,+oI上单调递减.…6分综上,函数f(1)的单调递增区间为10,1,单调递减区间为I,+o1.……7分l2)\2(2)证明:由于g(1)f(1)+2z2+5zlnu十52,…设h(x)=zlnz,则h'(x)=1+lnz,所以当zEI0,I时,h'(x)<0;当zEI,十时,h'(x)>0,所以函数h(x)在10,上单调递减,在1,+o上单调递增.e)\e所以函数h(x)在(0,+)上的最小值为hl1=·……………………11分\e)e设函数u(xz)=设函数u(xz)=5z2+2z5z,5\55(1)25)5所以u(ux:)在(0,)上的最大值为ulI=·…………13分17.(1)证明:如图,在四棱锥PABCD中,取PD的中点M,连接ME,MA.数学第4页(共7页)①A在△PDC中,":M,E分别为PD,PC的中点,".EMDC,2EM=DC.又ABCD,2AB=CD,"AB=EM,ABEM,.四边形ABEM为平行四边形,AMBE.………………………2分":AM平面PAD,BE平面PAD,BE平面PAD.………………4分(2)解:如图,取PA的中点N,连接DN."PD=DA,".DN上PA.":平面PAB上平面PDA,平面PABn平面PDA=PA,DN一平面PDA,:.DN上平面PAB,即DN=h=,则DP=DA=2,AP=2.………5分DN上平面PAB,AB一平面PAB,".DN上AB.又PD上平面ABCD,AB平面ABCD,DA一平面ABCD,".PD上AB,PD上DA.DNnpD=D,DN,PD一平面PAD,".AB上平面PAD.…………………6分又DA,PD一平面PAD,".AB上DA,AB上PD.ABCD,".CD上DA,CD上PD.又PD上DA,".DA,DC,DP两两互相垂直.以D为坐标原点,DA,DC,DP所在的直线分别为z,y,x轴,建立如图所示的空间直角坐标系.…………7分△PAB的面积为2,AP=2,:AB=2,.DC=4,PB=2.则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),.'.AB=(0,2,0),PA=(2,0,2),DA=(2,0,0),BP=(2,2,2).设BF=入BP入(2,2,2)(0≤入≤1),则F(22入,22入,2入),..DF=(22入,22入,2入).…………9分设平面AFB的法向量为n=(x,y,x),PA·n=22x=0,AB·n=2y=0·令x=1,则x=1,y=0,:.n=(1,0,1).………………………11分设平面DAF的法向量为m=(x1,y1,x1),DA·m=2z1=0,DF·m=(22入)z(22入)y1十2入之i=0.令y,=2入,则x=2入2zo,"m=(0,2入,2入2).………13分平面DAF与平面AFB的夹角为—,3COS=ICOS〈m,n〉,即,解得COS=ICOS〈m,n〉,即,解得入=,F为PB的中点,故BF= 数学第5页(共7页)①AC由题意得解:设PF2FF2PF2C83C离心率C由题意得解:设PF2FF2PF2C83C3C2b2b2C2分C2b2b2C又F2Cbbc4PF2的面积为4又F2Cbbc42C2b2CC则有解得b224b2C则有解得b224bc4bc4椭圆C的方程为42直线PA与PB的斜率存在B不能为椭圆C的上点A下顶点P直线PA与PB的斜率存在B不能为椭圆C的上点A下顶点P22By设ABy设直线l:当直线l设直线l:消去化简得整理得3><2<Δ22224联立方程消去化简得整理得3><2<Δ2222422且322422解得即kPAkPB4不合题意解得即kPAkPB4设直线l:±2k当直线l的斜率存在时设直线l:±2kk消去整理得3k22k34联立方程消去整理得3k22k3423k22k22k2>224443化简得1722<3k22k22k2>224443k3分且3k2m123k2+1k3分且3k22222kkPAkPBk即2222kkPAkPB2k2整理得2k2k3整理得2k2224k3k2m123k2+1k3整理得2k2224k3k22k22k22<即2224k4k442<2k22k22<即2224k4k442分解得4k<<k<4整理得k22分解得4k<<k<424k4k4k22坐标原点到直线l的距离d24k4k4k22坐标原点k2222442224则设<<4则设<递减;在时<gg上单调递减;在时<gg222在时>44上单调递增在时>44222分分共7页①A页数学共7页①A页数学参考答案及评分意见ii(1+2i)2i2i1.B【解析】之,"x,则I9x+l=Iil=·12i(12i)(1+2i)故选B.2.D【解析】AnB=B,.B三A,则a7≥4或a≤2,解得a≤2或a≥11,即实数a的取值范围为(,2]U[11,+o).故选D.3.C解析1:S△ABM2ABXAA22x44,VMABNVNABM·当N与C重合时·三棱锥MABN的体积最大.设AB的中点为D,连接CD."△ABC为等边三角形,:.CD上AB.又直三棱柱ABCAiBiCi中,平面AiABB上平面ABC,平面AiABBn平面ABC=AB,CD一平面ABC,".CD上平面ABBA1,且333得得f<25故选A5sin由题意sin2函数f57即f32≤f2T3T故选B4且与双曲线C的左的中点直线PA的斜率KPA4「3即实数b的取值范围为直线PB的斜率KPB右两支分别交于A直线l过坐标原点(3的图象关于点由题意知P3≤b≤B两点为线段对称解得由f即f解析解析解析解析设B即当sin24sinAB<l<l<lsin有则S2S4时tan3即即7T<<3xb22C2CffffffAA5lDg5g5g5g5g5g5BBZZbkkkkb44422222222222733333333355555wwnllCCCSSS数学第1页(共7页)①BCC2a2+b2baaa22离心率e=22.aaa228.A【解析】f(x)是定义在R上的偶函数,当zE[1,0]时,f(x)=x2+1,当ze[0,1]时,xE[1,0],则f(x)=(x)2+1=z2+1=f(u),当ze[0,1]时,f(x)=x2+1,即当zEC1,1]时,f(x)z2+1.又函数f(u)的图象关于直线z=1对称,"当zE[1,3]时,f(x)=(x2)2+1.方程f(x)=a(x+2)有3个不同的根,"函数f(x)的图象与直线y=a(x+2)有3个交点.作出f(u)与f=a(z+2)的大致图象如图.由图可得,0<a<1.2+1联立方程整理得z2+az+2a—1=0,y=a(z+2),则a24(2a1)=0,解得a=42或a=4+2(舍去).y=(x2)2+1,联立方程整理得z2+(a4)z+2a+3=0,y=a(z+2),则=(a4)24(2a+3)=0,解得a=8215或a=8+215(舍去).故要使函数f(u)的图象与直线y=a(x+2)有3个交点,则实数a的取值范围为(8215,42).故选A.9.AD【解析】对于A,":4,6,9,12,15,18,22,26,27,30共10个数据,且10X0.6=6,1822".第60百分位数为第6,7个数据的平均数,为=20,故A正确;2对于B,设x1,x2,",ro的平均数为x,方差为S2,则数据3ri1,3z21,…,3zo1的平均数x'=(3z1)+(3z21)+…+(3z1o1)=3x—l,[(3zi3x)2+(323x)2+…+(3z1o3x)2]ioc(ri)2+(2x)2+…+(xi)2S236·S24·故B错误;对于C,X2=11.224,P(X2≥10.828)=0.001,根据小概率值a=0.001的独立性检验,推断零假设不成立,"在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B有关,故C错误;对于D,"P(≥4)+P(≥10)=1,.P(≥10)=1P(≥4)=P(≤4),1042即P(≥10)=P(4),"μ=3,故D正确.故选AD2数学第2页(共7页)①B(34(34)22AC【解析】对于AB=sin=sin=CS2(32)(4133)33同理得3332332S8(+23)++(+78)=0故A正确B错误;对于Cb=(32)232+(31)23+(3)23(32)2(31)2+(3)2=92225135(5222\2)13"数列b}为首项为公差为9的等差数列故C正确;213对于D由C知数列(b}为等差数列b=公差为921312X11.T212X+X9=78+594=672故D错误故选AC22ABD【解析】对于A在矩形ABCD中P为线段CD的中点AD=3AQBQ=BAAQ=BA+BCBP=BC+CP=BC+BA.".PQ=BQBP=BABC故A正确3223当=1时b=9bb=9(+1)9=9".32CS=CSl2=CSCS 4n对于B,C,由题意,得BE=pBD=μ(BA+BC)(0<U<1).入BP=入(BP,BE.入BP=入(BP,BE.QE入EP BE BQ=BQ十BC)=BA(1+入)μ(BA+入BC,l=十BC)=BA(1+入)μ(BA+入BC,l=I1入IBA\3)入)μ入24537解得入μ故B正确C错误373入)μ+入3对于BC),BPD,'.BA·对于BC),BPD,'.BA·BC=0,BE-;BC)··BC+2BA.'.BEBC+2BA·-;BC)··BC+2BA.'.BEBC+2BA·BP7确.故选ABD.-(s+3s-3o·确.故选ABD.【解析】恰有312.186名女生入选的选法有C3SC42=【解析】恰有312.186恰有4所以种,女生入选的选法有C5s=6名女生入选的选法有C4sC4i恰有4所以种,女生入选的选法有C5s=6选出的5人中至少有3名女生的选法有选出的5人中至少有3名【解析】设AB,CD的中点13.4732十42分别为E,F,连接OP【解析】设AB,CD的中点13.4732十42'.'OP==5,设OE=x,OF=y,z2+Y2=25,则'.'OP=3636z2+36y27225=47,236—x2=,/3时,等号成立,".四边形ADBC面积的最大值为=,/3时,等号成立,".四边形ADBC面积的最大值为47.当且仅当3数学第3页(共7页)①B14.6【解析】sinA+COSA=2,sinA+COSA=1,即sinlA+l=122\6)AE(0T),"A+AE(0T),"A+EI,I,".A+,即A=6\66)623在△ABC中,由余弦定理,得a2=b2C22bcCOSA=b2+C2bc②,,:△ABC的面积S2bcsinA2×6×4×2615.解:(1)设事件A="选派出的两名医生恰好是一名女医生,一名男医生",事件B="选定的是甲医疗队",事件C="选定的是乙医疗队",则1C2iC3i3CC48P(B)=P(C)=,P(AB)=,P(AIC)=.……………3分2C255C21O15由贝叶斯公式,若选派出的两名医生恰好是一名女医生,一名男医生,则这两名医生来自甲医疗队的概率为6分P(BA)P(BA)-PBA)P(B)P(AB)25-9P(A)P(BA)+P(CA)P(B)P(AB)+P(C)P(AC)1318176分25215(2)(2)由题意的所有可能取值为01237分C31C26C41P(专=0)=P(1)=C36C31O2ciC423C431P(2)=P(3)=11分C31o10C3o30所以的数学期望E()=0X+1X+2X+3X13分6210305(1)解:由题意知函数f(x)=lnz2z22的定义域为(0+)f2分若f(x)>0则14z2>0解得0<z<所以f(1)在。上单调递增;2l2)若f(u)<0则14z2<0解得z>所以f(x)在+上单调递减6分综上函数f(x)的单调递增区间为。单调递减区间为7分l2)\2数学第4页(共7页)①B(2)证明:由于g(x)=f(u)+2z2+5z=lnz+5z2,33则要证明g(x)>,只需证zlnz>5z2+2z·……………………8设h(x)=zlnx,则h'(x)=1+lnz,所以当zEI0,I时,h'(xr)<0;当zEI,十时,h'(xr)>0,le)e)所以函数h(x)在10,上单调递减,在1,+coI上单调递增.e)\e所以函数h(x)在(0,+)上的最小值为hl1=·……………………11分\e)e3(122设函数u(xz)=5z22z5z3(1225\5)5(1)2所以u(x:)在(0,+o)上的最大值为ull=·………(1)25)52135e5因为<,所以h(x)>u(x),即g(uz)>.………5e517.(1)证明::LACB3PA-CB=1.,PBAC2,,……1分AC2AB2+BC2,即ABBC,同理PAAB.":BC上PB,PBnAB=B,PB,AB平面PAB,".BC上平面PAB.………………3分BC平面ABC,平面PAB上平面ABC.…………………5分(2)解:由(1)得BC上平面PAB,PA上AB,AB上BC·PA一平面PAB,".BC上PA.又ABnBC=B,AB,BC平面ABC,"PA上平面ABC.BC平面ABC,"PABC.以A为坐标原点,CB,AB,AP的方向分别为z,y,x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,,0),C(1,,0).……………………7分设PQ=tPB=t(0,,1)=(0,t,t),0≤t≤1,则AQ=AP+PQ=(0,0,1)+(0,t,t)=(0,t,1t).…………………8分设平面AQC的法向量为n=(U,y,x),而AC=(1,,0),AC·n=t+y=0,则AQ·n=ty十(1t)x=0.令y=t1,则z=t,=t,"n=(t,t1,t).……………10分数学第5页(共7页)①B设平面QBC的法向量为m=(Z1,y1,xi),而PC=(1,,1),PB=(0,,1