2025-2026学年江苏省南京市某校九年级下册3月学情自测数学卷 有解析

//2025-2026学年江苏省南京市某校九年级下学期3月学情自测数学卷一、单选题

1.方程2x2+A.x1=−2，x2=12 B.x1=2，x2=12

C.x12.掷一个骰子，观察向上一面的点数，求点数大于2且小于5的概率（

）A.12 B.13 C.23 D.

3.二次函数y=2(A.y=2(x+1)2−

4.为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（

）A.平均数变小，中位数变大 B.平均数不变，众数不变

C.平均数变大，中位数不变 D.平均数不变，众数变大

5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为（

A.3.5 B.4 C.5 D.7

6.如图，在平面直角坐标系中，直线y1=mx+n与抛物线y2=ax2+bx−3相交于点A，B，结合图象，判断下列结论：①当−2<x<3时，y1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题

7.若五个数据2，−1，3，x，5的极差为8，则x

8.若nm=1

9.在实数范围内因式分解：3x

10.如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为10πcm,扇形的圆心角的度数是120∘，则圆锥的侧面积为_______________（结果保留π）．

11.将一根长为20cm的铁丝，折成一个长方形，试写出长方形的面积y与长方形的一边长x之间的关系式以及x

12.若x=1是方程x2

13.如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则内角和增加_________________度．

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOD是菱形，点B的坐标为(−2,0)，∠ABO=30∘，点P从点B出发，沿折线BA

15.如图，在△ABC中，ED // BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG=

16.如图，平行四边形ABCD的三个顶点B，C，D在⊙O上，线段CF为直径，连接BD，与CF相交于点E，已知CF=10，sin∠BCD=255，则BD=________；延长CF交AD于点三、解答题

17.解方程：

(1)x2−8

18.某校八年级(1)班同学参加数学竞赛，成绩（单位：分）如下：

80，85，90，95，85，100，95，85，90（1）求这组数据的平均数、中位数和众数；（2）若成绩在90分及以上为优秀，求优秀率．

19.班委为班级联欢会设计了一个“比9点”游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的四张卡片的正面分别写上数字3、4、5、6，将这四张卡片洗匀后正面朝下放在桌子上，甲同学先从中随机抽取一张，然后乙同学再从剩下的三张中随机抽取一张，若两人的卡片上的数字之和大于9，则乙同学胜，否则甲同学胜．（1）求甲同学抽到数字3的概率；（2）请用画树状图或列表的方法分析这个游戏是否公平．

20.如图，对称轴为直线x=3的抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,7)，P是抛物线上x（1）求抛物线的表达式；（2）当m符合什么条件时，图象C的最大值与最小值的差为9？（3）如果一个四边形的一条对角线把四边形分割成两个三角形，且这两个三角形相似，我们就把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形，已知M为直线y=34x上的动点，过点P作PN⊥y轴于点N，连接OP，若四边形

21.如图，已知正方形ABCD，边长AB=6，点P为对角线BD上任一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交BC（1）求证：AP=（2）若DP=2，求四边形

22.如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一动点（不与A、D重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交边DC于点F．随着E点位置的变化，F点的位置随之发生变化．

（1）在点E运动过程中，ΔABE与Δ（2）若AD=2，AB=1．

①当F是线段CD的中点时，求线段AE的长；

②过点B作BG⊥BE交射线DC于点G，连接BF，当

23.铅球运动员在比赛时，铅球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，在某次比赛的一次投掷过程中，铅球被掷出后，设铅球距运动员出手点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），由电子监测获得的部分数据如下：

水平距离x/

0

3

6

9

12

15

18

…

竖直高度y/

2.00

4.25

5.60

6.05

5.60

4.25

2.00

…

（1）根据上述数据，直接写出铅球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=（2）请你建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出y与x的函数图象；（3）请你结合所画图象或所求函数关系式，直接写出本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离．

24.长方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A(0,2)，C(−8,0)，动点P从点O出发，沿O（1）点B的坐标为

；（2）当1<x<5时，AP（3）当点P第一次移动到点A时，有一条垂直于x轴的直线l开始从BC位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向平行移动，当点P停止时直线l也随之停止．在移动过程中，当点P在直线l上时，求点P的坐标；（4）连接OB，BP，OP，当ΔBOP的面积为2时，直接写出x

答案与试题解析2025-2026学年江苏省南京市某校九年级下学期3月学情自测数学卷一、单选题1.【正确答案】A本题主要考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式利用一元二次方程的求根公式进行求解即可.解：2x2+3x−2=0a=2,b=3,c=-22.【正确答案】B此题暂无解析解：掷一个骰子，可能出现1，2，3，4，5，6，点数大于2且小于5的数有2个，因此掷一个骰子，观察向上一面的点数，点数大于2且小于5的概率为26=13，故3.【正确答案】A本题主要考查了二次函数图象的平移。根据二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”进行求解即可.解：二次函数y=2(x−1)4.【正确答案】C分别求出实成绩的中位数、众数、平均数，统计成绩的中位数、众数、平均数，进行比较即可得出答案．所在小组真实成绩的中位数为95，没有众数，平均数为15×80+86+95+96+98=91，由于小星将其中一名成员的96分错记为985.【正确答案】A根据正方形的性质和直角三角形斜边中线的性质可得CF=FE=FD，由勾股定理求出解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCE=90∘，OD=OB，

∵DF=FE，

∴CF=FE=FD，

∵EC+EF+CF=18，EC=5，

∴EF6.【正确答案】C本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，掌握数形结合的思想是解题的关键.

①根据函数的图象特征即可判断.②根据二次函数与二次方程根的关系即可判断.③将点（-2,5）、(3,0)分别代入y1=mx+n

y2=ax2+bx−3解：①∵直线y1=mx+n与抛物线y2=ax2+bx−3相交于点A，B，

∴由图象可知：当−2<x<3时，直线y1=mx+n在抛物线y2=ax2+bx−3的上方，

∴y1>y2即①正确；

②由图象可知：抛物线y2=ax2+bx−3与x轴有两个交点，

∴方程ax2+bx−3=0有两个不相等的实数根.

∴x=3是方程ax2+bx−3=0的一个解，即②正确；

二、填空题7.【正确答案】7或−根据题目给的数据和极差的定义，可分两种情况讨论：x是最大值和x是最小值，分别列式计算，可求解．解：由题意可得：极差是8，故x不可能是中间值，

若x是最大值，则x−(−1)=8，∴x=7，

若x是最小值，则5−x=8，∴x=−3，8.【正确答案】1本题主要考查了求分式的值，利用已知比例关系，通过分式运算求解即可.由nm=13可得：mn=3,9.【正确答案】3本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，令3x2解：令3x2−2x−2=0

解得x=10.【正确答案】75π由题意可知圆锥展开后的侧面扇形的弧长为10πcm，设扇形的半径为r，根据扇形的弧长公式可得r=15解：∵圆锥的底面圆周长为10πcm，

∴圆锥展开后的侧面扇形的弧长为10πcm

设扇形的半径为r，

由题意可得：120∘×2πr360∘=10π11.【正确答案】y本题主要考查列二次函数解析式，根据实际意义确定x的取值范围为解题的关键．

根据长方形的面积公式及边的长为正数解答即可．解：由题意知：该长方形的另一边长为：12×20−x=10−x，

∵0<10−12.【正确答案】−将x=解：将x=1代入方程x2+mx+2=13.【正确答案】180本题考查了多边形内角和．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．

根据n边形的内角和公式(n解：五边形ABCDE的内角和为(5−2)⋅180∘=540∘

将一个五边形ABCDE沿虚线裁去一个角后得到的多边形ABCDGF的边数是6，

则14.【正确答案】−1,33或本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，坐标与图形，如图1所示，过点A作AC⊥OB于C，根据菱形的性质和勾股定理求出点A和点D的坐标；如图2所示，当点P在AB上，且BP=OP时，过点P作PH⊥BO于H，利用三线合一定理和解直角三角形求出此时点P的坐标即可；当点P与点A重合时，解：如图1所示，过点A作AC⊥OB于C，

∵点B的坐标为（-2，0），

∴OB=2

四边形ABOD是菱形，

∴AB=OB=AD=OD=2,AD∥BO,

∵∠ABO=30∘

∴AC=12AB=1,

∴BC=AB2−AC2=3,

∴OC=2−3.

∴A3−2,1,

15.【正确答案】6本题考查了三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定；掌握等腰三角形的判定是解题的关键．

由角平分线与平行线易得∠EBG=∠EGB，从而得到EB=EG解：∵BG平分∠EBC，

∴∠EBG=∠GBC，

∵ED // BC，

∴∠EGB=∠GBC，

∴∠EBG=∠16.【正确答案】45,过O作OP⊥BD于P，连接OD、OB，根据垂径定理和等腰三角形的性质，结合圆周角定理得到DP=BP，∠BOP=∠BCD，根据已知及正弦定义求得BP=25，进而可求得BD=45；过B作BQ⊥CD于Q，连接BF、DF，先利用圆周角定理和等腰三角形的性质求得∠BFC=∠BDC=∠BCF=∠BDF=45∘，BC=BF=22CF=52，∠解：过O作OP⊥BD于P，连接OD、OB，

则DP=BP，OD=OB

∴∠BOP=12∠BOD,

又∵∠BCD=12∠BOD,

∴∠BOP=∠BCD,

∵CF=10,sin∠BCD=255，线段CF为直径，

∴OB=12CF=5,sin∠BOP=sin∠BCD=255,

∴BP=OBsin∠BOP=5×255=25,

∴BD=2BP=45;

过B作BQ⊥三、解答题17.【正确答案】x根据因式分解法解一元二次方程即可；

(2)根据因式分解法解一元二次方程即可.解：x2−8x+15=0,

(x−3)(x−18.【正确答案】88.5；87.5；8550（1）根据中位数和众数的定义，平均数的计算公式解答即可；（2）先得到90分及以上的人数，然后运用90分及以上的人数除以参赛人数乘以100%（1）解：x¯=110×(80+85+90+95+85+100+95+85+90+80)=88.5分；

把数据从小到大排列为：80，80，85，85，（2）解：优秀率为51019.【正确答案】解：（1）P（抽到数字3）=列表如下：

由表可得，共有12种等可能的结果，其中数字之和大于9的结果有4种，不大于9的结果有8种，

∴P（乙同学胜）=412=13，P（甲同学胜）=812此题暂无解析（1）解：（1）P（抽到数字3）=（2）

(2)列表如下：

由表可得，共有12种等可能的结果，其中数字之和大于9的结果有4种，不大于9的结果有8种，

∴P（乙同学胜）=412=13，P（甲同学胜）=20.【正确答案】y=x3\leqm\leq6{或}m=3-3\sqrt{2}}$85,65或2,3（1）因为抛物线的对称轴为直线x=3，可得−（2）根据题意可知抛物线的顶点为（3，-2），当y=7时，可得x=0或x=6，分四种情况讨论：当m>6时，当3≤m≤6时，当0≤m<3时，当m<0时；（3）当四边形ONPM是以OP为和谐线的和谐四边形时，必须有∠OMP=90∘或∠OPM=90∘，且OP为∠NOM的平分线，当∠OMP=90∘时，设点M为M1，当∠OPM=90∘时，设点M为（1）因为抛物线的对称轴为直线x=3，可得

解得

所以抛物线的表达式为y=x2−6x+7.

为y=x2−6x+c

m1=0（舍去）或m2=6（舍去）

当3≤m≤6时

7−m2−6m+7=9

m=3（舍去）

（IV）当m<0时，图象C的最小值为7，最大值为m2−6m+7，可得

−6m+7−7=9

3≤m≤6或m=3−32时,

（3）根据题意可知，当四边形ONPM是以OP为和谐线的和谐四边形时，必然有∠OMP=90∘或∠OPM=90∘，且OP为∠NOM的平分线.

当∠OMP=90∘时，设点M为M1.

当∠OPM=90∘时，设点M为M2.

如图所示，连接NM1交OP于点B，过点M1作M1E⊥x轴于点E，过点M2作M2F⊥x轴于点F.

因为点M1在直线y=34x上，可设点M1的坐标为（4a,3a），则OM1=5a

因为点M1在直线y=54x上，可设点M的坐标为（4a，5a），则OM1=5a.

因为OP为∠NOM的平分线，PN⊥y轴，M1E⊥x轴，

所以PN=PM1.

在RtΔPNO和RtΔPM121.【正确答案】见解析25（1）过点P作MN//CD交AD于点M，交BC于点N，根据正方形的性质和已知条件先证明四边形MNCD为矩形，进而得出∠APM=∠PQN，通过证明（2）根据等腰直角三角形的性质求出DP=2，根据勾股定理得MD=MP=1，再根据四边形ABQP的面积（1）过点P作MN//CD交AD于点M，交BC于点N，

四边形ABCD是正方形，

∴∠ADB=45∘

∵MN//CD∠ADC=90∘

四边形MNCD为矩形，

∴∠NMD=90∘,∠MPD=45∘,AD=CD=MN,

∴MD=MP,

∴（2）在等腰直角三角形DMP中，DP=2,

根据勾股定理得MD=MP=1，

∴AM22.【正确答案】见解析

${①1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{或}1+\dfrac{\sqrt{2}}{2};②1\mathrm{或}\sqrt{3}}$（1）根据EF⊥BE，得出∠BEF=90∘，通过∠（2）①当点F是线段CD的中点时，DF=12CD=12，设AE=x，则DE=2-x，ΔABE∼ΔDEF得AEDF=ABDE代入即可解得AE的长；

②设AE长为x，则DE长为2-x，由于EF⊥BE，BG⊥BE，可得EF∥BG，进而得∠DFE=∠G∠BFE=∠FBG.然后分FB=FG与FG=BG两种情况进行解答即可.

ΔABE与ΔDEF中

∴∠BEF=90∘.

∵∠BAE=∠EDF=90∘,EF⊥BE.

∴∠BEA+∠DEF=90∘

∵∠BEA+∠ABE=90∘

∴∠ABE=∠DEF,

∴ΔABE∼ΔDEF;

:①∵AD=2,AB=1,

∴AD=BC=2,AB=CD=1,