平面向量（题型专练） -2026年高考数学二轮复习解析版

专题09平面向量

目录

第一部分题型破译微观解剖，精细教学

性典例引领国方法透视包变式演练

【选填题破译】

题型01向量的线性运算

题型02用已知向量表示相关向量

题型03向量共线的判断与求参

题型04求平面向量的夹角、模长、投影向量

题型05向量数量积的运算

题型06平面向量范围与最值问题

第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

一01tew；

选填题破译＜

题型01向量的线性运算

【例1・1】向量2、石分别表示向东和向北方向走10km,则Z+5表示（）

A.向东北方向走10夜kmB.向西北方向走

C.向东北方向走20kmD.向西北方向走20km

【答案】A

【分析】作苏=[US=B，以。4、（用为邻边作平行四边形3c8,则反=2+以求出一人纹以及国|

的值，结合向量的几何意义可得结论.

【详解】作况=7OB=b^以。4、0B为邻边作平行四边形QAC8,如下图所示:

由题意可知QA_LOB,|)|=|/=10,故平行四边形04cB为正方形,

所以NAOC=(,且祝=2+万，且|。4=或=JlO'lO?=10夜,

'Ka+b表不向东北方向走10夜km,

故选:A.

【例1-2】如图，在VA3。中，AD=DB,AE=2EC,则诙=()

1—1—

B.-AC——AB

32

2__1——

C.-AC——ABD.-AB--AC

3223

【答案】C

【分析】根据向量的减法运算法则即可求解.

【详解】因为而=而，荏=2配，所以而=3而，通=耳/，所以方2=荏一而=可/-5府.

ND。乙

故选：C.

方汝逡祝

解决向量线性运算问题的基本方法：向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先原则，将相

同的量看作“同类项''进行合并.要注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上,

熟练运用运算律.向量的线性运算也可以通过方程形式来考查，把所求向量当作未知量，利用解方程(组)

的方法求解.

‘支式信称

【变式1-1】已知菱%A4CO的功长为1.Z^D=60°,则|通-啊=()

A.1B.&C.6D.2

【答案】A

【分析】根据题意可得80=1,结合向量的减法运算和模的定义求解.

【详解】如图：

因为菱形A38的边长为1,N&1O=6(T,所以△A4Q是正三角形，

故80=1,所以侬-圈=|阚=1.

故选:A

【变式1・2】设向量海工满足5(12%碓+33，=；则之=()

A.-a+22bB.7«+i4Z?C.a-22bD.-7^-14^

【答案】D

【分析】根据平面向量的线性运算化简求解.

【详解】由题意可得：=5向一叫-4(:+3：)=5110:一£-£=-7〉14」,

故选：D

BC\

【变式1・3】已知。为直线A8外一点,且2074=30月一O。，则

R=

【答案】2

【分析】由条件得到2丽=而,即可求解.

【详解】由2/=3万-元，

(2OA-2OB=OB-OC^

得2BA=M

\BC

所以［==2,

\AB

故答案为：2

题型02用已知向量表示相关向量

【例2・1］如图，在平行四边形4BC。中，尸为C。的中点，反=3屁,则前=（）

5I71

--吃7—1—5——

62B.6-2-AcC.-BC+-ACD.-BC+-AC

6262

【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用BCAC将向量而表示出来即可.

【详解】因为在平行四边形A8C0中，户为C。的中点，前=3丽，

所以后户=反+C户=2百©+,函=2BC+L（比+或）=18「一，4€\

3232、f62

故选：B.

【例2・2】在四面体04BC中，点M是VA8C的重心，设0久=”，OB=b，OC=c则的=（＞

【答案】C

【分析】作出图象，利用空间向量的线性运算，结合三角形重心的性质即可得解.

【详解】设VABC的边中点为。，

则而=1(通+亚=!(08-丽+元-两

22

1(r-一一、b+C-

=-yb-a+c-aj=-----a,

.r--\,A*：226+c6+C2i?

因为M是VABC的重心，AM=—AD=------ci=-------—,

JJI/>JJ

所以。面=0印+A〃=M+^^—2=,万+16+,。

33333

故选：c.

方收透规

用已知向量表示其他相关向量式解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充

分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等，把未知向量转

化为与已知向量有直接关系的向量进行求解

1UIT1ULK

【变式2.n如图‘四边形"CO是平行四边形’则/（）.

【答案】c

【分析】根据平面向量的线性运算即可求出答案.

【详解】如图，AC与交于点。，由题意得。为ACB。的中点,

故选：C.

【变式2・2】在平行四边形/WCO中，石为八。的中点，尸为C。上更靠近。的三等分点，H.E关于尸对称的

点为G,则80=（）

|—4_1—4___1—3___1_3__

A.——八B+-AOB.-AB¥-ADC.-AB+-ADD.一一AB+-AD

1231236262

【答案】D

【分析】根据平面向量基本定理结合图形的几何性质进行求解即可.

【详解】因为在平行四边形A3CQ中，E为AC的中点，/为CZ）上更靠近C的三等分点，且£关对称

的点为G,

所以BG=BE+^=-BD+2EF=-BD+2（ED+D^）=2BD+2DF

222

3——4—3—3—4—1—3—

=-（AD-AB）+-DC=-AD--AB+-AB=——AB+-AD.

2322362

故选：D.

LKU1UUU1

【变式2・3】已知平行四边形ABC。，方=反，点尸满足丽=2乔，记A8=",AQ=〃.用a*表示

DF=;若AA7=gM厂,4B=2,AO=&,则由."=.

___1-1-.

【分析】根据平面向最基本定理以及定比分点，结合向量运算法则可得。/二^十^人，用7b表示出

万M,而,再由平面向量数量积运算律计算可得结果.

【详解】如下图所示：

AB

根据题意可知而=海+乔=历+,丽=诙+,丽==DE+^（BC+CE

22

一1_1__1__1_1____1]一-1

=DE+-BC——DE=-BC+-DE=-AD+-x-AB=--ci-\—br；

2222222,12

易知通=荏+而=而+]而=荏+;（肥+祠

_・3.31■=■31・3■•1-3―

=AB+-BC+-x-CD=AB+-AD--AB=-a+-b；

2222442

---------一1一-"13八11u

又DM=QA+AM=OA+—AF=—〃+——d+-b=—ct——b:

33（42J122

因为"=2,八力=a可知同=2,B二及；

所以£>A7A7=（'/+25]/」_万__!_5]=」-万2__1万.5_\--'x.—ab--b2

【42）U22J4882124

।1H2“工F17

481141।48412

1-1-17

故答案为：—«；

题型03向量共线的判断与求参

典例引颔

【例3・1】设4,3是两个不共线的向量，若向量正=—与3=3—21共线，则4=()

A.2B.!C.—2D.—

22

【答案】B

【分析】根据平面向量共线定理计算即可.

【详解】由共线向量定理可知存在实数7,使得万=2分，

即-q+%=%卜2-29)二猫2-2乃，又1与是不共线向量，

所以匕1=「24解得’

2[2=1

故选:B.

【例3・2】已知向量£=(1,2),5=(1/)，若与Z+4坂共线，则2=()

A.-1B.1C.2D.-2

【答案】A

【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解.

【详解】£一/；=(0,1),a+Ab=(l+^2+A),

由与Z+万共线,可得Ox(2+4)7x(l+/l)=O,

解得2=-1,

故选：A

方法通电

史式演建|

【变式31】已知向量2=(3,6),^=(-2.2),则“由=2的”是%〃行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式、平面向量模的坐标表示公式，结合充分性和必要性的定义进

行运算判断即可.

【详解】当历1=2逐时，](一2『+储=2石=九=±4,

当儿=4时，因为义工所以2〃坂不成立，

-24

当人二T时，因为,=£,所以成立,

因此由历|=2石不一定能推出2〃九

当.〃切寸，则有:二2二八-4,此时归卜八—2)2+(-4)2=2万,

所以由2〃万能推出I另1=26,

因此“小|=2百”是“2〃坂”的必要不充分条件.

故选：B

]「、

【变式3・2】(多选)已知向量2=(1,3),力=(2,1),c=-2,A-,则()

1X7

A.若(〃一区)，。，则x=lB.若x="，则

C.♦在否上的投影向量为石D.『一4的最小值为石-2

【答案】BC

【分析】A选项，根据向量垂直得到方程，求出入=±1：B选项，根据lx#-3x在=0得至IJB正确；C选

3

项，由投影向量的公式得到C正确；D选项，举出反例得到D错误.

【详解】A选项，1万=(-1,2),若(1可，2,

则(。一〃),c=(-1,2).(一,x=-----i_2x=0,解得入=±1,A错误;

IX/X

，敝\x瓜-3仁与

B选项,x=瓜，则。==0»

明以a〃c,B正确;

C选项，«-^=(1,3)(2,1)=2+3=5,

ahb5b7

£在加上的投影向量为WM=arr否7‘0正确;

2]

D选项，c-b=—2,x-l,

网2斗舟J+(1)：当％=1时，p/=0〈逐一2,D错误.

故选;BC

【变式3-3】已知向量2=(-4,3),b=(6,m),若Z〃B，则〃?=，若£_1凡则机=

O

【答案】-8

【分析】根据向量共线的坐标形式和向量垂直的坐标形式可求参数的值.

9

【详解】若■〃几则为〃=18即切=-；,

若Z_L石,则—24+3〃?=。即〃?=8：

故答案为：-2，8.

题型04求平面向量的夹角、模长、投影向量

共钠引名

【例4・1】若向量痴满足卜+可+叫,且同=忖=1,则悭/的值为_____,

【答案】75

【分析】先利用向量的数量积的运算律得3不=0,然后再利用数量枳的运算律及模长公式求解即可.

【详解】因为k+B卜卜-可，所以两边平方得加+中+2石=以+户-加行,则〉万=0,

因为同=W=1,所以+5卜，4求+5?+4G5=x/4+l+0=>/5.

故答案为：场

【例4・2】已知向量G是单位向量，=若2104),则G在石上的投影向量为.

【答案】(g,-g)

【分析】利用数量积的运算律及投影向量的意义求解.

【详解】由Z_L(1及，得］@_私=2-24=0,而向量及是单位向量，则2出=1,

由力=(1,-1)，得|W=2,所以及在石上的投影向量为普心，二(；,-：).

I。I111

故答案为：

方依逡祝

I、求一个向量在另一个向量方向上的投影向量时，首先要根据题意确定向量的模及两个向量的夹角，然后

代入公式计算即可.

IJUUU11

2、设向量44是向量q在向量卜上的投影向量，则有

判Irrrb'rah］nill^\a，b\

A.B.=|a|cos<a,b>-f—=|a\--F-F--r-=-f—h,则|AR|=-F—.

\b\\a\\b\\b\\b\2\b\

文式演佳

【变式4-1］向量同=应同=①忖，且〃।/；।不=。，则$认五一乙坂一◎一()

【答案】C

【分析】设同=W=1,则同=&,由4+万+八0可得无5=0,作出相应图象，结合图象利用二倍角公式

计算即可求解.

【详解】设同=|司=1,则同=6，

因为4+5+1=0,所以:+〃二・］，

即往2+庐+诩/；=12,即1+1+2「.力=2，所以G6=0.

如图，设次=万，OB=h祝=5

则网=|得=1,|0C|=>/2,

因为△O4B是等腰直角三角形，

设A8边中点为。，则OQ_LA4,

所以AB边上的高OO=",AD=—,

22

因为5+b=2OD=-c»所以C。，力三点共线,

所以co=co+oo=向也=述,

22

AF)1

则tan/ACD=——=-,

CD3

31

所以cos/AC。=,s\nZ.ACD=-j=,

-133

所以sinM—,6—d7=sinZACB=sin2/AC。=2sinNAC。cosZACD=2x-^==x-=='.

故选：C.

【变式4・2］已知|〃|=2,|B|=1,若石，（〃-匕），则£与/；的夹角为

【答案】60/y

【分析】利用向量垂直，数量积为零，再利用数量积求夹角余弦值，即可求解.

【详解】由万_L(a-B)可得：b-(a-b)=0=>a-b-=0,

又因为|5|=1,所以。出=|“=1,

ab11

H=褶=西=5，

乂因为可，所以a，/；)=g,

故答案为：5

【变式4・3】已知向量3=(2,1)石=(右Y),若打5,则k+同=.

【答案】5

【分析】先由向量垂直的坐标表示求出参数，再由向量模长公式即可计算求解.

【详向吊】因为向量4=(2,1)石=(/&T),a工6,

所以15=2〃?+1*(-4)=2〃7—4=0=>"?=2.

所以卜+可="2+(一3)2=5.

故答案为：5

题型05向量数量积的运算

典例引颔

【例5・1】已知点。为V48C外接圆的圆心，且A4=8,AC=6,则而・居=()

A.-14B.-7C.7D.14

【答案】A

【分析】根据数展积的定义结合三角形外接圆的性质可得加5•而•网,Ad-AC=^\AC(f再根据向

量的线性运算与数量积的运算转亿求解即可得结论.

【详解】取4B中点为E,连接OE，

A

w

B

因为点O为V/tAC外接圆的圆心，

招啊研需司可，

所以・A2=|而•cos/BAO=|AB|-\AO\

同理可得而=

则AO.8C=AO（AC-A8）=AOAC-4OAB=—[Ad]――网=18-32=-14.

22

故选：A.

【例5・2】设向量Z，囚的夹角的余弦值为:，且同=2,忖=4,则仅£一@5=（）

A.12B.-12C.20D.-20

【答案】B

【分析】利用平面向量数量积的运算律求解.

【详解]（2ci-b^b=2ab-b2=2同网8§体力）一忖=2x2x4x^-42=-12.

故选:B

方收电视

解决平面几何图形中向量数量枳问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量是指具

有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.

域式信称

【变式5・1】（多选）在菱形ABC。中，丽•丽=；丽.点昆尸满足比=2力E，觉=3定，则（）

A.NBA。=60B.EF//BD

-----II-----------1.2

C.EF=—AB——ADD.EFAC=-AB

236

【答案】AC

【分析】根据数量积的定义结合而•丽=；而2可判断A；由题意判断出瓦尸的位置，利用反证的思想可

判断B；根据向量线性运算可判断C；根据数量积的运算律可判断D.

【详解】对于A,在菱形"CO中，由血.血=卜胤喝85/朋。="85/84。=；府,

得cos/朋。=J,所以/84。=60，故A正确；

对FB,由反=2方后得E是CD的中点，由万心=3定，知产是8C上靠近点C的三等分点，

若EFHBD,则尸为BC的中点，与“是8C的三等分点矛盾，故B错误；

对干C,EF=EC+CF=-DC--BC=-AB--Ab,故C正确；

2323

对于D,EFAC=(-AB--AD)(AB+AD)

23

二4A才一44万,+，A从八力二』43—14手+!乂,48'二145'牧口错误，

23623624

故选；AC

【变式5-2]在平行四边形A8CO中，A3=4,4。=3,点E是A8的中点，点尸满足乔=2斤，且。尸=JI5，

则乔亦=.

【答案】9

【分析】先求得前关于通,而的线性表示，然后根据|加卜求解出福•而的值，结合乔关于福而

的线性表示以及数曷积公式可求得结果.

【详解】因为加=oC+c尸=从力+,5=AQ—=而一，45.

333

2

所以1；4-1|AB|--AB-AD=13,

2__________

所以16+1-,而而=13,所以病入力=6，

乂因为由=丽+8声=一而+—前=一府+一5，

2323

所以而•而=(而而)(;而+，而)=4而『_卷洞2+;南.而

=1X]6--X9+-X6=8-24-3=9,

292

故答案为：9.

D

F

AEB

TT_______

【变式5・3】在VABC中，NBAC=g，点D,E满足瓶=2而，DE=EC，CB与AE交于

点例.记==川，和力表不_________；若尸为AC的中点,DF,DC=—DC,AE二+，

4

则丽•砺=•

22-44

【答案】产料-/

【分析】设而=4而，利用氏CM三点共线，求出4,结合线性运算求解可得空一；以｛1,5｝为基底表

示出相关向量，结合己知求得同=(回=2,代入F1标式可得空二.

【详解】因为力g=觉，所以E为c。的中点，所以A"，AZ5+AC),

又血=2而，所以而而，所以荏=：(|A8+A^)

AE=ZAM>贝IJ24A/=5—AB+,B|JAC=2ZAM—^-AB,

as-5_「a_

因为用c,例三点共线，所以2"：=1,得4=3,所以m=1左0—

2422

整理得AM，="e+gA从

所以而2=4*-4而=4月一(]46+|4g)=:4万一|4。'=:1-'5.

因为力户二而一人万二—B—与，DC=AC-AD=b--a,a-b=-\d\\b\,

22221111

所以而反=(*加.(5_司=涧+料一飙怀

灰[同2+麻_|同即

因为苏.配1配2,所以河+躯2_飘方卜葡42+胭24胭,

整理得同=；|5|①，

因为荏=；（[A月+〃）='i+g5，AE3

所以=3，整理得9|肃+4时+胴忖=48②，

联立①②解得同=*同=2

_一一2-3-3-29-2-9

因为DM=AM—AL）=—AC4—AB—AB=—AC-----AB=-b-----d.

552510510

片瓯叫步Q)(*孙一躯-热谒胭

18164,134「44

=------x-----------x4d------X-x2=------.

5092550375

故答案为：:22-44

5575

题型06平面向量范围与最值问题

共例引颔

【例6・1】已知向量。=（cos，,sin。）出=（1,6）,若a与/；的夹角不超过1,则|1-5|的范围是（）

।~13-

A.[1»>/3]B.—C.[1,3]D.

【答案】A

【分析】由题意确定0K6K笄，再通过Id-GF求具范围，即可求解.

【详解】由题意设网1词，得如力，且NBQx=1,

因为同=1，在单位圆上取正=1

因为乙与片的夹角不超过

所以owe咛，

所以|五一加2=方+52-2万・6=1+4-(2COS夕+2#sine)=5-4-cos6>+—sin<9=5-4sinf6>+-l,

JIJ

又所以3e+卜”，

3666

/\

月f以2V4sin6>+-<4,

6)

所以1工修一5|243,

故恒-5|的范围是[1,75],

故选：A

【例6・2】已知向量〃=。,-1),〃=(-4,5),向量不满足,十月-目=1,则向的取值范围是.

【答案】[4,6]

【分析】设3=(x,y),根据已知条件,+B-W=l可得：。+3)2+(丁-4)2=1,然后利用三角换元令

X=-3+cosa,y=4+sine,最后通过求解三角函数的最值进而求解|c|的取值范围.

【详解】设2=(x,y),因为4=(1,一1)出=(-4,5),

所以@+〃_^=(_3_x,4_y),因为卜+〃一目=1，

所以(-3-4+(4-y)2=1,即(％+3>+(y-4)2=1,

令人=-3+cus<9,j=4+sin<9,

3

所以犬+V=8sin，-6cos0+26=lOsin(6-0)+26,其中tane=j,

因为一lWsin(6-8)41,所以164+/436,

因为同寿，所以44同46.

故答案为：[4,6].

【变式6・1】在平面四边形ABC。中，A4_LAr>,a>_LAO,CO=2A4,点M在边8C（含端点〕上运动，设

人病=人认8+）9。・，则x+y的取值范围是（）

A.[1,5]B.[2,4]C.[1,3]D.[1,4]

【答案】C

【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.

【详解】如图，以A8所在直线为％轴，AD所在直线为了轴，建立平面直角坐标系，

设松=44>=6,则4（0,0）,3（40）,。（2肉,。（0步）,丽=（a,0）屁=（叫,而=（O,b）,

所以AM=xAB+yAD=x(«,0)+y(O,Z?)=(av,Z?y),

设=2BC(O<A<1),则AAy=AB+BM=(a,0)+4(〃,Z?)=((1+,

J.r=1+A

所以所以x+y=i+22,

因为04141,所以141+2143,

即工+y的取值范围是[L3],

【变式6-2]在平行四边形A3c。中，ZBAD=—,AB=\,AD=2,。是以C为圆心，白为半径的圆上

一动点，且而=2福+〃褥，则义+〃的最大值为（）

A.2+75B.@+0C.2+V7D.2+—

7

【答案】C

【分析】先利用余弦定理求出AC,易得ACCD,以C为坐标原点建立平面直角坐标系，设P（6,osO.T5sin。），

根据平面向量线性运算的坐标表示结合三角函数即可得解.

【详解】由题意乙"X?=g,

在&AC。中，由余弦定理得AC2=DA2+DC2-2DADCCOSZADC=3，

所以AC=J5,

则AC2+cr>2=A£)2,故ac_LC。，

如图，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，

则D(T,O),A(O,G),8(1,G),设P(石cose,石Sind),

故彳户=（Gcose,Gsine-\/5）,而=（i,o）,防=（一1,一百）,

milmilmnu「

乂AP=AAB+pAD=2（1,0）+〃（-1,一6），

即（\/3cos0,x/5sin0->/i）=（2一〃,一6〃）,

CcosO=/I-〃A-1十\/5cos。-sin〃

所以〈所以《

Gsing一百二.®///=1-sin。

所以义+〃=2+省（：05。-25111。=2+>/7<：05（。+0）弓2+\/7,其中COSQ=率sg

当且仅当cos(e+8)=l时，％+〃取最大值，且它的最大值为2+".

【变式6・3］在如图所示的扇形人08中，扇形的半径为2,4408=§,点。在弧相上移动，OC=xOA+yOB.

⑵求x+y的最大值.

【答案】(1)有

(2)2

【分析】(1)建立平面直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标表示计算即可;

(2)利用三角换元表示。点坐标，结合三角函数的性质计算最大值即可.

【详解】(1)

B

O

如图所示建立平面直角坐标系，当4OC.时，易知A(2,0).8(f与。(吊卜

所以诋二(2,0),O月沅=(/1),

忑中一\解之得.型，尸且="

因为历=xO/C+yO8,则有

1=J3y33

三)，则(

(2)可设C(2cosa,2sina)ae0,OC=2cosa,2sina),

x=coscr+——sina

2cosa=2.r-y3

所以有

2sina=VJy2币

y=-----sina

,3

71

则x+y=cosa+V3sin«=2sina+—,

6

、，c2i兀t,T71tIt57t

m因为aw0,—,所以t。+工£—

3666

7T7T

由正弦函数的性质可知：当且仅当0+7=7时,

62

即C为A3中点时，(x+y)nm=2.

一02

一、单选题

1.已知单位向量1与■的夹角为60。,则［2,-司=()

A.1B.73

C.2D.V7

【答案】B

【分析】根据平面向量数量积运算律即可计算.

(详解］12q—幺卜“2e；一6)=ReJ-4e；《+e；=jx广-4x1x1xg+「=VJ.

故选:B.

2.已知平面向量”,〃满足|a|=2,|$|=3，）与〃的夹角为g,则“•（”-5）=（）.

A.7B.1C.4-373D.4+36

【答案】B

【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可.

（详解】因为己•（/一万）=,『一〃/文汗一同•同.cos^=4-2x3x；=I.

故选:B.

3.在菱形ABCO中，A8=2,NABC=W，点E是A8的中点，点尸在线段4。上（包含端点），则定.而的

取值范围为（）

A.-*1B.[1,4]

C.[0,4]D.-*4

【答案】D

【分析】设而=4而（04/IW1），根据向量的线性运算及数量积可得定•而=12（4-：）一《，结合OW；IW1得到

范围即可.

【详解】设》户=48/5（0<2<1）,因为四边形A8C。是菱形，

所以而=_%而=_%反丽，声=而+前=（1—2）册_丸丽，

由点E是A8的中点，得庵二福+丽=一：83+（3—/1）84\

由题意得，|加卜|耳4=2,84・83=|砌1叫8§1=2,

所以定•厘=（分_丸）8乙2+，2万_|/1+；）8己函+（42_3丸）从广

=12万-94+1=12以-31--，

I8）16

因为0WAW1,所以定.屈的取值范围是一?,4.

故选：D.

4.已知点P为VABC所在平面内一点，乙4=：,|词=|附=附|,若AA=2PG+〃PC,则4+〃的取值范

围是（）

A.B.[-72,1]C.[-72,1）D.（7典

【答案】c

【分析】先由条件可得N8PC=5,再建立平面直角坐标系得分+〃2=1,再进一步判断点A在优弧3C上,

两落在角。£弓,2m的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题.

【详解】由网=|明=|同，所以点尸为VA8C的外心，又因为/A三，所以〃PC=2x；q.

设网=|而|=|定|=’•,再以点P为原点，分别以所在直线为8)，轴建立平面直角坐标系，如图：

则B",0),C(0,r),ra=(r.0),PC=(0,r),所以中=2而+〃定=(力\0)+(0,")=(","),

又因为网=r,所以3尸+(〃万=/，即万+*=].

又因为N4=:,所以点A在优弧5c上，所以而落在角夕€弓,2兀)的终边上,

由三角函数的定义有/厂=:.COSa/〃・=rsin。，即:=cose,4=sine,

所以/l+〃=cose+sine=&sin(e+；),乂因为。€(5,2兀)，所以e+fc(手,，),

42444

sin[，+；)w,>/2sin(6?4--)e[—72,1),所以4+〃w[—0,1).

故选:C

5.已知忖=2,3在万上的投影向量是1，则归-6|=()

A.73B.2C.2GD.4

【答案】B

【分析】根据投影向量计算公式得7加二义邛，再平方后展开代入计算即可.

abrI7

【详解】由题意得在日上的投影向量为--b=­b

d2，

ab1-_1n2

则邮■=],则。力=/W,

则,一同=弧_q=>Ja2-2ab+b2=^22-2x1|^]2+1^]2=2.

故选:B.

6.在平面直角坐标系x力中，已知点A关于1轴的对称点为(3,4),8(-2,3),若炉=0+7)砺+24丽

且有O「_LO月，

A.2

4

【答案】A

【分析】由题知A(3,-4),进而得无=(3-4-4+22),再根据向量垂直关系求解即可.

【详解】因为点A关于1轴的对称点为(3,4),所以A(3,Y),

所以丽=(一2,3),加=(3,-4)

所以丽=(1+4)赤+24丽=(3+3ZY—4/l)+(Y46%)=(3—2T+2；l),

因为而I丽,

所以丽•丽=_2（3—；l）+3（T+2/l）=0,解得2/

故选:A

7.已知向量入6,满足|：“=l,I11=2,|£-/；|=b，则3+5在5方向上的投影向量是()

1313

5方5

--C---

A.4B.44-D.4

【答案】B

【分析】根据条件|2-引=夕并结合模长求出13,最后代入投影向量公式求解.

【详解】由|£-昨"，得而-肝=7,即向2-■山2=7,

将面=1,山=2代入上式可得：1一2»4=7，即0・石=一1，

根据投影向量的计算公式,Z+B在日方向上的投影向量为

（a^-bSb-一］

则F^-力二+4-3-

H444

故选：B.

8.设向量的绕点。顺时针旋转,得到向量两，且3加-20“=(2,-1),则向量的=()

fl5A(471(35)(371

A-113^13)B.①，-瓦IC.①，-司口.信，一司

【答案】B

【分析】设9？=(，〃,〃)，若以两所在射线为终边的一个角为则以两所在射线为终边的角为

由此可得”的坐标，根据3两-痂=(2,-1)列出方程，求得机明即可得到的坐标.

【详解】设加=(〃?,〃)，

若以两所在射线为终边的一个角为a，则以两所在射线为终边的角为

mn.

因为而寿…，

Lr*■It.m

所以cosa——=sina=,sin(=-cosa=——/,

<2)>Jm2+n~

又阿口阿=/川+〃2,所以丽=(〃,_〃?).

所以3而-2ON=(3〃?-2/z,3n+2,7?)=(2,-1).

4

m=一

3m-2n=2,,13

即，2…一，解得

7.

n=---

13

所以丽=俏,7

13

故选:B.

9.在VA8C中,3ABAC+28ABC=CACB^则cosC的最小值为()

A62

BC.D.

3T33

【答案】B

【分析】先利用向量数量积的概念，结合余弦定理，探索三角形边d力"的关系，再利用余弦定理结合基本

不等式，可求cosC的最小值.

【详解】由3八瓦八乙+2加86=0(。鼠可得都ccosA+%ccosB=a力8SC,

4■口卬人#—rzp.b"+c'-ct"-a~+c、2-0"ct~+b~-c~

根据余弦定理，可得3Ax---------+2acx----------=abx-------——，

2bc2ac2ab

2222222222

+c-a)+2[a+c-b)=a+b-ca=3C,即a=Gc.

由cosC=广也二=骞；之亚二=也,当且仅当从=2/，即》二技•时取等号.

2ab2y/3bc2®c3

故选：B

10.平面上到两个定点距离之比为常数＞0乂