山东省泰安市2025-2026学年高一年级上册期末数学试题（试卷+解析）

山东省泰安市2025-2026学年高一上学期期末数学试题

2026.02

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

-g<xv25=卜|x<1}

A=<x

1.设集合,则AC|3=()

A.{x\-\<x<2}B.{x|2}

C.•Jtl—<x<\'D.{x|1<x<2]

2

2.ulnx>l>>是“x>l”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4

3.已知角。的终边过点A(—3,/〃)且sina=q,则()

5

A.3B.4C.±3D.±4

2吗/'"O,则八2+/（怛8）=（

4.已知函数/(%)=）

10,x>0

A.7B.8C.9D.10

5.设〃=log|=,c=2；,则（

）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

6.已知a,h＞。且a+2力=4,则—I—的最小值为()

ab

“3+2上7

Ar>.--------C.D.

44

7.下列命题正确的是()

A.函数/(幻=(x-l)°+Vx+T的定义域为(T,l)U(l,+8)；

B.y=,在(-8,0)U(°，+8)上是减函数；

X

2x-3,x>0

C.已知函数g(x)=1，/八是奇函数，则/(x)=2x+3；

D.函数/*)=」——x(x>l)的最大值为一2.

1-X

8.已知函数/(x)=ln(4+4x+2),若对任意实数，〃，总存在实数与，使得=则实数，的取

值范围是()

A.(0,2]B.[0,2]C.[0,4-GO)D.(2,+8)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列结论正确的是()

A.若则lga>lg〃B.若avb,则

ab

C.若。>〃>(),W0—<—!—D.若〃>方且就工0,则

aa-bab,ao

10.已知函数/(尤)=Asin(&x+。)A〉0,口〉。,|。|〈日的部分图象如图所示，则下列选项正确的是

I乙)

C.若/(3)=/(%)=血，%w/，则k_WLin=S

O

D.将函数y=2cos(2x-1图象向左平移专个单位长度可得到/(")的图象

11.己知函数/(%)对任意x,yeR,总有f(x)+f(y)=/(x+y)+4,当—>0时,/(x)<4,

/(1)=2,则下列选项正确的是()

A./(—2)=0B.y=/(x)—4为奇函数

C./(8x)=8/(x)-28D.在［-1,5］上的最小值为・6

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/(x)=(m一2)x'”募函数,则〃2)=

2x2-ax+\,x>\八、

13.若函数=«入在(0,+8)上单调递增，则实数。的取值范围为

logt/x,()<x<1

14.已知函数/(x)=3sin2_r+4sin尤一1在(0,202E)上恰有奇数个零点，则a

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2x

15.已知函数/(幻=n；的定义域为集合A，集合B=

(I)求A求A低A)cB；

(2)若集合C={d加一1<工<2根},Cq((«A)c8),求实数胴的取值范围.

3.x/io

16已知aw—71,71,sinct------

410

(I)求cos2a,tan2a的值;

9R

(2)若sin(a+/7)=—笆■，夕为锐角,求sin(a一夕)的值.

5

X

17.己知函数/*)=F-,x«=(-2,2).

r-4

(1)根据定义研究)(x)的单调性;

(2)若/(2m—2)+/(机2—1)〉0,求实数〃，的取值范围.

ab

电在高等数学中，将四个数按照一定顺序排成两行两列(横排称行，竖排称列)的数表cd表达式

bb

ad-be称为此数表的二阶行列式,并记作,即be.已知函数

dd

1sin.v

fW=.(iti.

sin---x+smx

(22

(I)求函数/(x)的最小正周期；

/、-_

(2)若函数)，=/日人(">0)在一*T上是减困数，求。取值范围；

/\/-A1Ar-

(3)已知函数g(x)=—夜/—a2/q+弓-在上的最大值为2,求实数〃的值.

19.已知函数/(x)=优+〃心r(a>0且〃W1),/«+/(-X)=0.

(I)求实数，"的值；

(2)若/(—1)>0,对任意xw［0,l］都有。2，“川+1>/+^^恒成立，求实数〃的取值范围;

a2x-nx

/(I)2

(3)已知。>1且7不二三设g(x)=log〃(/2(x)-"(x)+2)S>0,且/-I),问是否存在实数〃,

使得函数g。)在［l,log23］上的最大值为0?若存在，求出人的值；若不存在，请说明理由.

山东省泰安市2025-2026学年高一上学期期末数学试题

2026.02

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

A='x-<x<=x<1}

i.设集合2J，则An^=（）

A.{x\-\<x<2}B.{x|x<2}

C.lx\—<x<\'D.{x|l<x<2}

2

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，利用集合交集的定义与运算，即可求解.

【详解】由集合A={x—g<x<2»,8={x|xWl},可得区=・尤|一gvxWl».

故选：C.

2."]nx>l”是“x>l”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，利用对数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由可得x>e,此时X>1成立，所以充分性成立；

反之：若为>1,可得lnR〉0,但lnx>l不一定成立，所以必要性不成立，

所以Inx>1是x>1的充分不必要条件.

故选:A.

4

3.已知角。的终边过点A(—3,〃z)且sina=—，则()

5

A.3B.4C.±3D.±4

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解.

4

【详解】角「的终边过点4一3,“)且sina=一，

m4

所以//，=三且"2>0,解得〃?=4・

J(-3)~+"5

故选:B.

4.已知函数/(x)=<'八"，则/(-6)+/(lg8)=()

1(),x>()

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【解析】

【分析】根据分段函数解析式直接计算即可.

【详解】因为-6<0,所以/(-6)=1+虹4-(一6)]=1+怆10=2,

因为加8>。，所以〃lg8)=10*8=8,

故F(-6)+fQg8)=10.

故选：D

5.设a=log|5,〃=(g),c=2"则()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的性质，分别求得“上。的范围，即可求解.

【详解】由对数函数的性质，可得”=log>.5<logj=0,

22

又由0<(g<(；)=1，_23>2°=1,所以Ovhvl，c>1>

所以a<Z?<c.

故选:A.

6.已知名〃>。且。+2〃=4,则1+!的最小值为（）

ab

3+2正4+加

A.1c.7

44

【答案】B

【解析】

111（11、

【分析】一+7=:一+工（〃+2万）展开后，利用基本不等式求解即可.

ab41〃b）

【详解】因为。”>0且a+2〃=4,

所以5+（=X5+£|3+2”）

4、

~b)

>-(3+25/2),。=2力=1时等号成立,

4

所以的最小值为'（3+2血），故选B.

ab4

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一

正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值

（和定积最大，积定和最小）：三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参

数是否在定义域内，二是多次用？或M时等号能否同时成立）.

7.下列命题正确的是（）

A.函数/（“）=（、-1）°的定义域为（TDU（i收）；

B.）=■!•在（-8,0）U（0,+8）上是减函数；

X

2x-3,x>0

C.已知函数g（x）=《乙、八是奇函数，则/（x）=2x+3；

/（x）,x<0

D.函数/(x)=-----x(x>l)最大值为一2.

1—A

【答案】c

【解析】

【分析】根据/("的解析式有意义，列出不等式组，求得了("的定义域，可判断A错误；根据反比例函

数的性质，可判定B错误；根据g(x)为奇函数，求得g(x)的解析式，可得判定C正确；利用基本不等式，

求得/‘(X)的最大值为-3,可判定D错误.

-----fx-lwO

【详解】对于A,函数/(x)=(工一1)°n+而斤有意义，则满足《,八，解得XN—I且XH1,

x+l>0

所以函数/。)的定义域为所以A不正确；

对于B,由函数)，=4，可得在(一8,0),(0,+0。)上是减函数，所以B不正确；

X

(2x-3.x>0

对于C,由g(x)=〈，当尢<0时，可得r>0,则g(-x)=2(r)-3=-2x-3,

[f(x\x<0

因为g(x)为奇函数，g(x)=-g(-x)=2x+3,

所以当x<0时，/。)=2/+3,所以C正确;

对于D,因为x>l,所以x—l>0,

贝ijf(x)=———+=-

\-xx-\」Vx-\

当且仅当」一二x-l时，即x=2时，等号成立，

x-1

所以函数/(M的最大值为—3,所以D错误.

故选：C.

8.己知函数/。)=1。体2+4尢十2),若对任意实数机，总存在实数小,使得/(,%)=〃，，则实数，的取

值范围是()

A.(0,2]B.[0,2]C.[0,y)D.(2,-boo)

【答案】B

【解析】

【分析】设g(x)=a2+4x+2.根据题意,转化为(0,+8)是函数y=g(x)R的子集,结合二次函数的

性质，分类讨论，即可求解.

【详解】因为对任意实数用，总存在实数%,使得/(%)=机，

所以函数/(x)=ln(*+4x+2)的值域为R,

设则满足(0,+8)是函数y=g(x)值域的子集,

当1=0时，g(x)=4x+2,此时g")的值域为R,符合题意；

”0

当"0时，则满足<A,2,「八，解得0<，42,

A=4--4rx2>0

综上可得：实数/的取值范围是[0,2].

故选:B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是()

A.若则lga>lg〃B.若avb,则

ab

C.若。>〃>(),W0—<—!—D.若人且就工0,<-\-

aa-bab,ao

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题意，利用对数函数的单调性，以及作差比较法和不等式的基本性质，逐项分析判断，即可求

解.

【详解】对于A,因为y=lgx为递增函数，由。>8>0,可得所以A正确；

对干B,由2_一:=与，因为可得力一。>0,但c心的符号不确定，所以B错误；

abab

11(a-b)-a-b

对于c,由--------=-------=-----,

aa-ba(a-b)a(a-b)

—b11

因为。>Z?〉0,可得。一〃>0,所以:―-<0,所以一<-所以C正确;

a(a-b)aa-b

对FD,由一1一一2=因为且。〃工0,可得。一>>0,/6>0,

ab-a-ba-h~

所以工一一1>0,即工>一1，所以D不正确•

ab~a~bab"a~b

故选：AC.

10.已知函数f（x）=4sin（④r+。）4>0"。>。,|。|〈日的部分图象如图所示，则下列选项正确的是

\乙）

C.若/（芭）=/（毛）=JLX产々,则后一回向=《

O

D.将函数y=2cos（2x-T的图象向左平移展个单位长度可得到了（幻的图象

【答案】ABD

【蟀析】

【分析】根据周期性求出。，再由/（专）=A求出。，最后由/（（））=后求出A，即可得到函数解析式,

从而结合正弦函数的性质一一判断即可.

【详解】由图可知目=4传一=],解得°=2,

（o1312）

7T7T.TT

所以—t(p=—I-2A7i,&aZ,解得w=—H2AH,AeZ,

623

又|夕|＜弓，所以e=《则"x)=Asin2x+/,又/⑼=Asing=JL解得A=2,

所以/3=2sin2工+三；

对于A：因为/(仁7兀、=2sin(2x7-兀^+7^1、=2sin3手兀=—2,

"2，\123/2

7

所以/(X)的图象关于直线X二五兀对称，故A正确；

对于B：/(m]=2sin(2x?+1]=2cosg=l,故B正确;

U/I43J3

对干C：令于(x)=叵,即sin2x+；[=*^,

所以2工+色=2+2*兀«£2或2工+'=即+2也«£2,

3434

解得x=三+kit、kEZ或犬=生+kit.kEZ,

2424

因为/(玉)=/(工2)='内工工2'

所以禺-%L号-1一盘卜%故c错误；

对干D：将函数)，=2cos(2x-gJ的图象向左平移71

个单位长度可得到

T2

y=2cos2x4

=2cosI2x+---=2sin2x+-I,故D正确.

LI3j2jI3；

故选：ABD

ii.已知函数/(x)对任意,总有/(©+/(y)=/(x+y)+4,当x>o时，，/(x)<4,若

/(I)=2,则下列选项正确的是()

A./(-2)=0B,y=/(x)-4为奇函数

c./(8x)=8/(x)-28D.在［—1,5］上的最小值为-6

【答案】BCD

【解析】

【分析】令x=y=0,得至hf(0)=4,再令x=l,y=-1,求得/(—1)=6,令x=—l,y=-I,求得

/(-2)=8,可判定A错误；令双幻=/(幻一4,结合奇偶性的定义，可判定B正确；令)，=不，得到

2/(x)=/(2A-)+4,递推得到2/(2.r)=/(4x)+4,/(4.v)=4/a)-12,

进而推得/(&r)=8/(x)-28,可判断C正确；根据单调性的定义，证得/(x)在R上为减函数，得到

/(x)在上的最小值为/(5),结合递推关系，求得/(5)的值，可判定D正确.

【详解】对于A,令x=y=O,可得/(0)+/(0)=/(0)+4,可得/(0)=4,

令)'=一x,可得/(x)+/(-1)=/(0)+4=8,即/(—x)=8—/*),

因为/(1)=2,令x=l,y=-l,可得/(］)+/(_］)=/(0)+4=8,所以/(—1)=6,

令工=-1,y=一1,可得/(-1)+/(-1)=/(-2)+4,

所以/(-2)=2/(-1)-4=8,所以A错误；

对于B,令g(x)=/W-4,则式一幻=/(一幻-4,

因为/(一幻=8-f(.x),所以g(-x)=8-f(x)-4=4-f(x)=-g(x),

所以函数g(x)奇函数，即》=/(犬)-4为奇函数，所以B正确；

对干C,令丁=工，可得/(x)+/(x)=/(x+x)+4=/(2x)+4,即〃2x)=2/(x)-4(*),

由f(2x)+f(2x)=/(2x+2x)+4=f(4x)+4,可得2/(2x)=/(4x)+4,

将(*)代入上式，整理得/(4幻=4/。)-12(**),

又由/(4x)+/(4幻=f(4x+4x)+4=/(8.r)+4,可得〃8x)=2/(4x)—4,

将(**)代入上式，整理得/(8力=8/(此一28,所以C正确：

对于D,设X］，wwR且X<々，则々一%>0，

因为当x>0时，/(x)<4,所以

又由/(%)=/((勺一可)十可)=，(巧一可)十一(%)一4，

则"七)一/(%)=/(%一不)一4<0,即)</(X),

所以函数/(“在R上为减函数，所以〃力在［T5］上的最小值为了⑸，

则〃5)=/(4+1)=〃4)+〃1)-4=〃3+1)+〃1)-4=〃3)+2〃1)-8

=/(2+1)+2〃1)-8=/(2)+3〃1)-12=/(1+1)+3/⑴-12

=2/(1)+3/(1)-16=5/(1)-16,

因为/(1)=2,所以/(5)=5x2-16=-6,所以D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/(x)=(加一2)X'H是嘉函数，贝ij〃2)=.

【答案】8

【蟀析】

【分析】根据幕函数的定义求出参数〃1，得到函数解析式再求值即得.

【详解】二•函数/(x)=(〃?-2*是幕函数，・・・〃?-2=1,m=3,/(x)=P所以/(2)=8.

故答案为：8.

、2x~-ax+\,x>\…、

13.若函数/(”=〈八।在(0,+8)上单调递增，则实数〃的取值范围为__________.

log“x,0<x<l

【答案】(1,3]

【解析】

【分析】根据函数在各段上单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可.

【详解】因为函数八’7在(0,+8)上单调递增，

logax,()<x<l

a>1

所以<2-。+120,解得lv〃？3,

-<1

14

即实数。的取值范围为(1,3].

故答案为：(1,3]

14.已知函数/")=3sin2x+a£inx-l在(0,2021兀)上恰有奇数个零点，则。=.

【答案】-2

【解析】

【分析】令，=sinx,转化为3产+勿一1=0,由A)。，得到方程有两个不同的实数根乙和，2,不妨设

乙＜0＜%，设加为/（X）在（0,2兀）内的零点个数，%为在（0,兀）上的零点个数，得到/（X）的零点总个数

为N=1018n+k,分类讨论，即可求解.

【详解】由函数/（x）=3sin2x+〃sinx-l的零点，即为3sin2x+asinx—1=0的解，

令7=sinx,转化为二次方程3产+必一1=0，

因为△="+12＞0,所以方程有两个不同的实数根乙和4，

且1］，2=一,＜（），不妨设

又因为函数/（"的最小正周期为2兀，区间（0,20212的长度为2021兀，即1010.5个最小正周期,

设〃，为/"）在（0,2兀）内的零点个数，人为在（0,兀）上的零点个数，

则f（x）的零点总个数为N=1010〃?+〃，且N为奇数，

当一2＜。＜2时，此时'w（-l,0）J2w（0，l），

在（0,2兀）内，sinx=q有2个解，且均在（兀,2兀）上，sinx=4有2个解，且均在（0,兀）上，

所以加=4次=2,可得N=1010x4+2=4042,不符合题意，舍去；

当。=2时，z,=-l,r2e（0,l）,

在（0,2兀）内，sinx=—l有1个解，且工二与，$缶%=，2在（°，2兀）有2个解，且均在（0,兀）上，

所以m=3次=2,可得N=1010x3+2=3032,不符合题意，舍去；

当〃＞2时，＜-l,r2e（0,l）,

在（0,2兀）内,sinxf无解，sin%=反在（兀,2兀）有2个解,且都在区间（0,兀）上，

所以〃?=2次=2,可得N=1010x2+2=2022,不符合题意，舍去；

当〃=—2时，f\（―1,0）,/2=1,

7T

在（0,2兀）内，sinx=4有2个解，sinx=l有1个解，且为工二万，

所以6=3«=1,可得N=101（）x3+l=3031,符合题意；

当〃V-2时,G（-l,0）,r2＞1,

在（0,2兀）内，sinx=。有2解，且均在（兀,2兀）上，sinx=，2无解，

所以m=2次=0,可得N=1010x2+0=2020,不符合题意，舍去,

综上可得，实数。的值为一2.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数=的定义域为集合A,集合8二|x竺二

yJl-XIX-5

(1)求Au伐低A)c8；

(2)若集合C=3m-l<x<2"2},Cq((\A)cB),求实数〃[的取值范围.

【答案】(1)AU3=(F5),&A)c3=[l,5)

(2)(-oo,-l]u2,|

【解析】

【分析一】(1)根据函数定义域可得集合A,解分式不等式可解集合8,根据集合交集、并集、补集的概念计

算即可求解；

(2)根据集合的包含关系，分C=0,CW0两种情况求解即可.

【小问1详解】

由l-x>0得x<l,

所以函数定义域为(-8,1)，即集合A=(-8』)，

2Y—12x—1r4.4

因为二一《1等价于:-----1<0,即^一<0,

x-5x-5x-5

f(x+4)(x-5)<0「、

则'八),解得所以集合T,5),

"500L7

所以AD8=(YO,5),因为\A=[l,+8),所以(\A)c8=[l,5)；

【小问2详解】

若C=0,得〃解得”?4一1,

此时满足Cq(瓜A)c0,符合题意；

若CV0,要使Cq((aA)C8),

\m>-1

则】〃z—121,解得2W〃”*；

1

L2m<5一

综上，实数切的取值范围是（一双―l]u2,-.

(3、丽

16.已知一兀，兀,sincz=

(4)

(1)求cos2a,tan2a的值;

（2）若sin（a+^）=-乎，夕为锐角，求sin（a—〃）的值.

43

【：案】（1）■■■•—

5'4

⑵嚅

【解析】

根据题意，求得cosa=-Me,利用正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，先求得

【分析】（I）

10

sin2a,cos2cr的值，进而求得tan2a的值;

(33兀।

(2)求得a+夕£—I»得到cos(a+/7)=—,结合sin(a-/7)=sin[2a-(。+4)],利用两

5

角差正弦公式，即可求解.

【小问1详解】

因为兀,兀），可得cosacO,

又因为sina=[母，所以cosa=-Vl-sin2a=—3x/10

10

所以sin2a=2sinacosa=2x^x(—^^)=—3

10105

、JJo，4

cos2a=l-2sin-a=1-2x(——)~=—

105

-sin2a3

所以tanla=--------=——

cos2a4

【小问2详解】

因为。＜=（［兀,兀，且/?为锐角，可得。+/7Uf33兀

—71,一

I4/142

2yI____________r2=_6

又因为sin(a+〃)=—:，可得cos(a+/7)=-Jl-sin2(a+〃)=-Jl

~5

所以sin(a-/?)=sin[2cr-(a+J3)]=sin2acos(a+/?)-cos2asin(a+(3)

一，（一骂」x（一空）=辿

555525

17已知函数/*）=W，X£（T2）.

（1）根据定义研究/（x）的单调性;

（2）若/（2加-2）+/2-1）＞。，求实数〃，的取值范围.

【答案】（I）函数/（幻在区间（-2,2）上单调递减，理由见解析

(2)(0,1)

【解析】

【分析】（1）根据函数单调性的定义结合作差法即可判断；

（2）根据函数单调性及定义域结合函数奇偶性列不等式计算即可求解

【小问1详解】

设马五一2,2）,且MV/，

内（¥-4）-马（其-4）

小）-3）3-至［；一4）（考一4）

_」¥-4内一/工：+4占_中2（工2-％）+4（/2-％）_（尤2-片）（%/2+4）

什-4）（¥—4）解_4）（考—4）储叫优-4）'

因用,与€（-2,2）,且王＜工2,

所以X：—4<0,石一4<0,9一司>。,内石+4>0,

所以/（%）—即/（%）＞/（%），

所以函数/（x）在区间（-2,2）上单调递减：

【小问2详解】

因为函数/3）定义域为（-2,2）关于原点对称,

-X

/H)=(-"-4

所以函数是定义在（-2,2）上的奇函数,

所以/（2加-2）+/（m,得/（］一加2）,

2m-2<1-ni2-3<AW<1

由⑴可得<-2<2〃?一2<2解得<0<〃]<2,BP0<in<1,

-2<\-m2<2-y/3<m<yf3

所以实数〃?的取值范围是（0,1〉

ab

18.在高等数学中，将四个数按照一定顺序排成两行两列（横排称行，竖排称列）的数表“，表达式

c

abab

一〃c称为此数表的二阶行列式，并记作，，即,=ad-bc.已知函数

caca

1sinx

fM=.(n}.

sin——x+sinx

122

（I）求函数/（x）的最小正周期；

/、厂―

（2）若函数＞=/（0〉0）在*片上是减函数，求”的取值范围;

已知函数g(x)=-何*x+1-a2/Q+g卜在

(3)上的最大值为2,求实数〃的值.

【答案】（1）兀

⑵（0,1j

（3）-2或6.

【解析】

【分析】（I）根据题意，化简函数/（X）=¥COS（2X+：）,结合最小正周期的公式，即可求解；（2）Ftl

(0=¥cos（@x+：）,利用正弦型函数的性质，结合题意，列出不等式组，即可求

（1）得y=/

1—2x.

解;

(3)由⑴化简得到g(x)=sin2x+a(sinx-cosx)-,令，=sinx-co",转化为

^(r)=-/2+6/r-^,/G[-V2J],结合二次函数的性质，分类讨论，列出方程，即可求解.

【小问1详解】

1sin.v

解：由/。)=.(71}--sinA：(cosA：+sinx)=--sinxcosx-sin2A,,

sin——x+sinx22

122

11.31-cos2x1C.八、&-兀、

=------sin2x--------------=—(zcos2x-sin2x)=——cos(2x+—)，

222224

27r

所以函数/(x)的最小正周期为7=万=兀.

【小问2详解】

解：由(1)知:/3=#COS(2X+：)，则)'=/号=冬2+,

令2gxmEE,keZ,解得丘Z

coco

((°y兀2兀兀2兀2hi--2kji+—

4,4

因为y=/'三x在一2,一上是减函数，所以一弓,一c,kwZ,

COCD

,712兀713兀

当k=0时，—q，解得j9

46y4co

(o<-

8

因为切>0,所以()<&W,，即口的取值范围为(03].

22

【小问3详解】

解：由(1)知：/(x)=cos(2x+，

丹心，

可得f(x+])=cos[2(x+1)+(]=cos(2x+y)=

2

且.呜

二—cos(x+(cosx-sinx)

242

71X_l=_V2(-^sin2x)-a(cosx-sinx4)-l

所以g(x)=-拉/-V+叫-\-ci2/1-+-1

82

=sin2x+«（sinx-cosx）------1，

2

令i二sinx-cosx=&sin（x一:），P!ij/2=l-2sinxcosx=1-sin2x，

4

因为xw»可得工一二£--,所以/£[一>/5,1],

42J4L24

所以gOd+q芍

可得函数g（/）的图像开口向下，对称轴为f=3，

a

当£<一3时，即a<-2>/2时，g（""ax=g（-应）=一（夜+~）~2，

JJ

।_88

由一（、历+大）〃一2二2,解得。=7点~-\）>-2\f2,不合题意，舍去;

22V2+17

当-亚以小时，即时，且（。皿=呜）=5-9，

JLIL

由^———a-2,可得〃2一2。一8=0，解得〃=-2或。=4,所以。=-2；

42

当时，即〃>2时，g（，）max=g（D=3-1，由3-1二2，解得。=6,

乙乙乙

综上可得，实数。的值为一2或6.

19.已知函数f（x）=优+机〃7（4>0且。*1）,/（1）+f（-x）=0.

（1）求实数机的值；

（2）若/（一1）〉0,对任意都有/『-北川+1>/+与g恒成立，求实数〃的取值范围;

/(I)2

(3)已知〃〉1且=设以为=1。8/,（/2（工）一"（%）+2）（〃>0,且/-1）,问是否存在实数6,

使得函数g（x）在［l,log23］上的最大值为0?若存在，求出〃的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）-1

（2）（1,+co）

（3）不存在，理由见解析

【解析】

【分析】（1）由/（幻+/（-幻=0,得到（m+1）（优+「）=0恒成立，即可求解；

（2）根据题意，把不等式转化为〃24，忧+1一片-2/+#＞/_1在］£［0,1］上恒成立，令

〃（力二声-"一产人心，得到〃（“小＞/一1恒成立，令/=2X27U；+1，则y="-/t,结合指数

函数的单调性和二次函数的性质，即可求解：

⑶由尢/(I)2

求得。=2,得到/（工）=2'-2一、，则在R上的单调递增函数,由xc[l[og23],

求得/（可£弓,刍，令，=/（引，得到且*）=1叫”2-4+2）,再令"=/一初+2,得到

g（X）=\OOhUt分0＜方＜1和两种情况讨论，结合对数函数的性质，即可•求解.

【小问1详解】

解:由函数f(x)=ax+ma~x，可得