人教版七年级数学下册《平行线的性质》同步练习题（含答案解析）

人教版七年级数学下册《723平行线的性质》同步练习题（含

答案解析）

类型七、平行线的判定与性

质的常见模型

类型六、利用平行线的性质

研究角之间的关系

类型五、平行线的性质与实

际生活应用

A夯基础.

类型一、两直线平行同位角相等

1.（2024七年级上•全国・专题练工）把一把直尺与一块三角板如图放置，乙1=45。，42的度数为（）

C.120°D.不确定

2.（2024七年级上•全国•专题练N）如图，直线allb,若=50。，△2=30。，则N3的度数为（)

A.30°B.50°C.80°D.100°

3.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，直线QIIb,直角三角形ABC的直角顶点C在直线a上，若41=35°,

4.（22-23七年级下•山东荷泽•期口）如图，已知AB||CD,EF||G下如果EF1CD,GH是否垂直于48,试说

明理由.

类型二、两直线平行内错角相等

5.（23-24七年级下•广东揭阳•阶段练习）如图，点4D在射线4E上，直线A8||CD,iCDE=140。，那么ZA

的度数为（）

A.140°B.60°C.50°D.40°

6.（2024七年级上•全国•专题练工）如图，8。_1/七于点。，CD||AB,41=35。，则等于：）

A.35°B.45°C.55°D.65°

7.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，直线m||n,将含有45。角的三角板4BC的直角顶点C放在直线九上,

若Z1=25°,则42的度数是（）

A.35°B.30°C.25°D.20°

8.12024七年级上•全国•专题练习）如图，Z.ABC=iADC,OE、B尸分别平分和/4BC,RDEIIBF.那

么直线DF与BE的位置关系是什么？请说明理由.

I)c

类型三、两直线平行同旁内角互补

9.（2024七年级上•全国•专题练习）生活情境•管道铺设如图，工人师傅在工程施工中需在同一平面内弯制

一个变形管道48CD,使其拐角心力8c=150。,/BCD=30。，则（）

B

A.ABIIBCB.BCIICDC.ABIIDCD.48与。。相交

10.（2024♦四川雅安•模拟预测）如图,已知御CD,8C是乙48。的平分线,若42=64°,则N3的度数是（）

/CDX27

A.64°B.58°C.32°D.116°

11.（2324七年级下全国•单元测试）如图，OPIIQAIIST,下列各式中正确的是（）

A.乙1+42+43=180°B.Zl+Z2-Z3=90°

C.Z1-Z2+Z3=90°D.z2+z3-zl=180°

12.（23-24七年级下•上海宝山・期中）如图，已知乙1+△2=180。，ADIIEF,试说明3CIIDG的理由.

类型四、平行线的判定与性质

13.（七年级下•山东潍坊•阶段练习）如图，AB\\CD,4E平分"4D,C。与AE相交于"，"FE=求证:

ADWBC.

14.（23・24七年级下•广东清远•期末）如图,AB||CD,AE交CD于点F,DE1AE,垂足为£.

⑴若乙4=35。求乙。的度数；

⑵直接写出图中与乙。互余的所有角.

15.（24-25七年级上•湖北武汉•阶段练习）已知如图，ABWCD,直线MN分别交CO于点E和点F,其中

z.1=Z.2,求证：Z.G=Z.H.

16.（24-25七年级上•河南南阳•期末）如图，AD||BC,ZC=Z-3AD,AELCD,交CD的延长线于点E.

⑴求证：AB||CD.

⑵若NE4D=30。，求4B的度数.

类型五、平行线的性质与实际生活应用

17.（20-21七年级下•全国•课后作业）如图，某人骑自行车自4沿正东方向前进，至8处后，行驶方向改为

东偏南15。，行驶到C处仍按正东方向行驶，画出继续行驶的路线.

18.（22-23七年级下•湖南常德•期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其

主要作用是动力传输.如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知48IICD,CGIIE凡Z-BAG=

150°,^AGC=80°,求，的度数.

19.（21-22七年级下广西柳州•期中）如图，•条公路修在湖边，需拐弯绕道而过，如果第•次向右拐75。，

第二次拐弯形成的拐角如=135。，第三次拐弯后道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，那么第三次是如何拐

弯的？

类型六、利用平行线的性质研究角之间的关系

20.（23-24七年级下•广西河池•期中）（1）如图，乙B=LC,AD||BC.判定乙1与N2的数量关系，并说明理

（2）如图，zl=ZC,4c平分i/MB,判定。C与45的位置关系，并说明理由.

（写出主要步骤的推理依据）

21.（23-24七年级下•辽宁铁岭•期中）已知直线川1%，直线，3与直线，1、。分别相交于C、。两点.

图。图6

（1）如图Q，有一动点P在线段CD之间运动（不与C、。两点重合），问在点P的运动过程中，41、匕2、43又

怎样的数量关系？试说明理由.

⑵如图b,当动点P线段CD之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新

的结论并说明理由.

类型七、平行线的判定与性质的常见模型

22.（20・21七年级下•广东东莞・期中）（1）如图（1）AB||CD,猜想“PD与乙8、乙。的关系,说出理由.

（2）观察图（2）,已知48||CD,猜想图中的48PD与乙8、的关系，并说明理由.

（3）观察图（3）和（4）,已知力BIICD,猜想图中的4BPD与ZB、乙。的关系，不需要说明理由.

23.（24-25七年级上,湖北武汉•阶段练习）已知4BIICD,£、F分别为CD,4B上一点，P,H分别在EF,AB上,

图1图2

（1）如图1,求证；PG平分/EPH；

（2）如图2,过点P作PM1PH,交CD于点M,作NEPM的平分线交CD于点N,求匕NPG的度数.

24.（23-24七年级上•吉林长春•期末）【感知探究】如图①，已知，4811co，点M在48上，点N在C0上.求

证：乙MEN=LBME+乙DNE.

【类比迁移】如图②，"、乙BMF、4CNF的数量关系为_.（不需要证明）

【结论应用】如图③，已知力5||0E,/.BAC=120°,乙。=80。，则乙1CD=_°.

图①图②图③

提能力

一、单选题

1.（2024七年级上•全国•专题练天）如图所示,直线all瓦41=50。,42=43,则乙2的度数为（）

2.（21-22七年级上•江苏苏州・期末）已知直线allb,将一块含30。角的直角三角板（乙84C=30。）按如图所示

方式放置，并且顶点4C分别落在直线a,b上，若41=22。，则42的度数是（）

A

A.38°B.45°C.58°D.60。

3.（2024七年级上•全国・专题练N）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（）

A.Z1=N3B.若N2=30",则有

C.若42=30。，则有8CII4DD.若42=30。，必有N4=±C

4.（24-25七年级上•湖北武汉•阶段练习）己知，如图，8E平分N4BF,8c平分乙480,Z1=42,且乙4+乙2二

90%则下列结论①力BIICD：（2）AC1BCx③CD平分乙8CG；④41=45.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（24-25七年级上•湖北武汉•阶段练习）如图,已知A8IICD,Z.ABE=125°,乙DCE=30°,则zBEC的度

数等于（）

A.95。B.85°C.100°D.80°

6.（24-25七年级上•湖北武汉•阶段练习）如图,一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的

角"1=120。.第二次拐的角=150。,第三次拐的角是ZC,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平

C.140°D.150°

7.（24-25七年级上•四川眉山・期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们狗底分别为。

和上当（）时，三角形的面积大于平行四边形的面积.

C.a=2bD.a>2b

8.（2024八年级上•全国•专题练王）如图，AB||CD,有图中a,依v三角之间的关系是（）

A.a+/?+y=180oB."6+y=180°

C.a+P-Y=180°D.a+/?+y=360。

二、填空题

9.（23-24七年级下•甘肃定西•期末）如图所示，若48II0C,Z1=39°,乙。和乙0互余，则乙。=

乙B=.

10.（24-25七年级上•黑龙江大庆期中）如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若41=65。，则乙2=

11.（2018•河南•一模）如图，ABIEF,48=35。，4E=25°,则NC+乙。的值为.

12.（24-25七年级上•重庆沙坪坝•阶段练习）如图,ABWCD,乙4=205°,=120。，贝3=

B

13.（24-25七年级上•湖北武汉•阶段练习）己知Z4BC与NOEF,若48||OE,BC1EF,若448c的补角比4OE尸

的余角的2倍大30。，则NABC的度数为.

三、解答题

14.（23-24八年级上•陕西渭南•期末）如图,己知点£、尸在直线48上，点G在线段CD上,连接ED,FG交

于点〃，连接CE并延长到点M,LCED=LGHD,Z,C=Z-EFG.

⑴求证：ABIICD；

（2）若DEIGF,0=26。,求ZBEC的度数.

15.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，直线力8、CO交于点。，OE,OF分另I］平分4400和乙B。。，己知

乙1+42=90。，且41:43=1:8.

（1）求乙4OF的度数;

（2）求证：ABWEF.

16.（2025七年级下•全国•专题练习）如图，ABIICD.DE1EF.FG1EF.Z-ABG=150°,zCZ）F=140°,求

的度数.

17.（24-25七年级上•全国•课后作业）如图,已知力B||CD,Z.ABE=150。，乙CDE=85°,求乙BED的度数.

D

18.(23-24七年级下•浙江宁波•期末)如图，在△ABC中，CD平分乙1CB,^DEC+2^-ECD=180°：

⑴试判断OE与的位置关系，并说明理由.

(2}^Z.FGB=Z.EDC,H.Z.BFG=100",求NAOC的度数.

19.(21-22七年级下•河北保定•期中)如图，已知ABIICDIIEF.

(l)zx=60。,zy=150°,求的度数；

(2)猜想4居乙y、NZ三者之间的关系并加以说明.

20.(24-25七年级上•河南南阳•期末)综合与实践

(1)如图1,ABWCD,点。在43,CO之间，LAMP=32°,^DNP=128°,求乙MPN的度数.

图1

(2)如图2,若力例ICD,点P在CD的下方，则iAMP/CNP,乙WPN之间有何数量关系？并说明理由.

图2

（3）如图3,在（2）的条件下，4MPN=a,zAMP的平分线和4CNP的平分线交于点E,求的度数.（结

果用含。的式子表示）

参考答案与解析

类型七、平行线的判定与性

质的常见模型

类型六、利用平行线的性质

研究角之间的关系

类型五、平行线的性质与实

际生活应用

A夯基础.

类型一、两直线平行同位角相等

1.（2024七年级上•全国•专题练N）把一把直尺与一块三角板如图放置，Z1=45°,42的度数为（）

C.120°D.不确定

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，根据直角三角形两锐

角互余求出43,再根据邻补角定义求出44,然后根据两直线平厅，同位角相等解答即可.

【详解】解：如图，

13Z.1=45°,

0Z3=180°-90°-zl=90°-45°=45°,

团44=180°-45°=135%

团直尺的两边互相平行，

0Z2=44=135°.

故选：B.

2.（2024七年级上•全国•专题练工）如图，直线allb,若4=50。，42=30。，则23的度数为（）

A.30°B.50°C.80°D.100°

【答案】D

【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是：两直线平行，同位角相等.利用平角的定义求出乙4=100°,

再利用平行线的性质可得出结果.

团41=50°,42=30°,

团44=100°,

国aIIb,

0Z3=z4=100°,

故选：D.

3.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，直线aIIb,直角三角形48c的直角顶点C在直线a上，若N1=35°,

A.65°B.50°C.55°D.60°

【答案】C

【分析】本题考查三角形中求角度，涉及互余定义、平行线性质等知识，如图所示，由互余定义“两个和为

90。的角互余〃求出48,再由两直线平行同位角相等即可得到答案，熟记两直线平行同位角相等是解决问

题的关键.

•••Z-ACB=90°,Z1=35°,

LACD=90°-35°=55。,

,:a\\b,

二Z2=Z.ACD=55°,

故选:C.

4.(22-23七年级下•山东荷泽•期如图，已知AB||CD,EP||GH,如果EF1CD,GH是否垂直于4B,试说

【答案】垂直，理由见解析

【分析】本题考查了垂直的定义和平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.先由垂直的定义得出N1=

90%再根据两直线平行，同位角相等求解即可.

【详解】解：垂直，理由如下:

团41=90°,

EL4BIICD,

0z2=zl=90°,

0FF||GH,

0Z2=Z3=90°,

^GH1AB.

类型二、两直线平行内错角相等

5.（23-24七年级下•广东揭阳•阶段练习）如图，点40在射线4E上，直线48||CD/CDE=140。，那么N/

C.50°D.40°

【答案】D

【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键.

根据图示可得NCD4=40°,结合A8||CD得至IJ4CD4=4力,由此即可求解.

【详解】解：0ZCDE+Z.CDA=180°,^CDE=140%

^/.CDA=40°,

财BIICD,

团ZCDA=Z.A=40°,

故选；D.

6.（2024七年级上•全国•专题练左）如图，BC工AE于点C,CDIIAB,zl=35°,则NB等于()

C.55°D.65°

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行线的性质，利用垂直的定义得出/ECB=90。，再利用平行线的性质得出的

度数.

【详解】解：团于点C,

(ZUEC8=90°,

0Z1=35°,

团匕DCB=55°,

配。IIAB,

团/B=乙DCB=55°.

故选：C.

7.(2024七年级上•全国•专题练习)如图，直线m||71,将含有45。角的三角板ABC的直角顶点C放在直线n上,

若，1=25。，则42的度数是()

A.35。B.30°C.25°D.20°

【答案】D

【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于熟练掌握两直线平行内错角相等以及过拐角作平

行的技巧.

过点8作BDII/n,根据平行线的性质即可推出乙3=乙1=25。，△2=44,从而求得42的度数.

【详解】解：过点B向左作BDIIm：

•••BDHmlln,

z3=zl=25°»z.2=z4,

又•.4ABC=45°,

:.Z4=乙ABC-Z3=45°-25°=20°,

Z2=z4=20°,

故选：D.

8.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，Z-ABC=^ADC,DE、85分另U平分N/1OC和N/WC,RDE||BF.那

么直线。尸与BE的位置关系是什么？请说明理由.

I)c

AL-------------------E~~

【答案】DFIIBE,理由见解析

【分析】本题主要考查了平行线的判定和件质,由角平分线的定义得;凡再证明，4/?/）=

“DF即可得出结论.

【详解】解：DF||BE.

理由为：因为。£8"分别平分ZADC和NA8C,

所以NEDF=2乙40C,乙EBF乙ABC,

22

因为/ABC=LADC.

所以NE。尸=NEB凡

因为DEIIBF,

所以44ED=乙EBF,

所以乙4EZ）=（EDF,

所以DF||BE.

类型三、两直线平行同旁内角互补

9.（2024七年级上•全国•专题练习）生活情境•管道铺设如图，工人师傅在工程施工中需在同一平面内弯制

一个变形管道A8C。，使其拐角乙A8C=150。,乙8co=30°,贝U（）

A.AB||BCB.BC||CDC.AB||DCD.AB与CD相交

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同旁内角互补,两百线平行”成为解答本题的美犍.根据同旁

内角互补，两直线平行即可解答.

【详解】解：团乙48c=150。,4BCO=30°,

S8C+乙BCD=180°,

a4B||DC.

故选C

10.（2024・四川雅安・模拟预测）如图,已知ABIICD,8c是ZABD的平分线，若42=64°,则43的度数是（）

A.64°B.58°C.32°D.116°

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及对顶角相等等知识点，由题意得：乙BDC=Z2=64°,

由得4=180。-480c=116°,根据8c是4A80的三分线得43=-LABD=58°.

2

【详解】解：由题意得：/-BDC=Z2=64°,

西BIICO,

^LABD=180°-Z.BDC=116°,

（3BC是N480的平分线，

0Z3=-^ABD=58°

2

故选：B

11.（23-24七年级下•全国•单元测试）如图,OPIIQRIIST,下列各式中正确的是（）

A.zl+z2+Z3=180°B.zl+z2-Z3=90°

C.41-42+43=90。D.Z2+Z3-Z1=180°

【答案】D

【分析】本题考杳了平行线的性质，两条直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.根据平行

线的性质，即可得到43=4QRS,Z.2+^QRP=180°,进而得出42+43-=180°.

【详解】解：WP||QR||ST,

0Z3=Z.QRS,

Plz3-z1=AQRS-z1=ZLQRP.

团OP||QR||ST,

0Z2+Z-QRP=180°,即42+43一41=180°.

故选：D.

12.（23-24七年级下•上海宝山•期中）如图,已知U1+乙2=180。，AD||EF,试说明4C||DG的理由.

【答案】见解析

【分析】本题考杳了平行线的判定与性质，先根据两直线平行同旁内角互补可得Z2+/C40=180。，进而

可得乙1=ACAD,则问题得解.

【详解】Eb4DIIEF,

回42+Z.CAD=180°,

0Z1+42=180°,

0Z1=Z.CAD,

团4cliDG.

类型四、平行线的判定与性质

13.（15-16七年级下•山东潍坊•阶段练习）如图,IBKD,AE平分上射。，8与AE相交于尸,Z.CFE=ZF.求

证：ADWBC.

【答案】证明见解析

【分析】本题主要考杳了角平分线的定义，平行线的性质（两直线平行同位角相等），平行线的判定（内错

角相等两直线平行）等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.

根据角平分线的定义可得/1=42,根据平行线的性质可证得Z1=4CFE=NE,于是可得n2=进而

可得结论.

【详解】证明：平分2840,

•••zl=z2,

vAB||CD,乙CFE=ZE,

:.Z1=Z.CFE=Z-E,

z2=zE,

.-.ADWBC.

14.（23-24七年级下•广东清远•期末）如图,AB||CDtIE交CD于点F,DELAEt垂足为£.

E

CX----------

A2---------------B

⑴若乙4=35。,求NO的度数;

⑵直接写出图中与乙。互余的所有角.

【答案】（1）55。

（2）LCFA,Z.A,Z.EFD

【分析】此题考查了平行线的性质，垂直的定义，余角的定义，正确理解平行线的性质是解题的关键.

（1）根据平行线的性质求出NEFD=44=35。，再利用直角三角形两锐角互余求出乙。的度数；

（2）根据（1）及对顶角相等的性质解答即可.

【详解】（1）解：SAB||CD,

（3ZEFD=4力=35°,

团OE1AE,

^Z.DEF=90°,

0ZFFD+4。=90°,

0ZD=90°-(DFE=55°；

(2)^LCFA=乙EFD=乙力，乙EFD+zD=90°,

回乙71+NO=90°,Z.CFA+4。=90°,

即/C凡4,4力，4七尸0都与互余.

15.(24-25七年级上•湖北武汉•阶段练习)已知如图，ABWCD,百线MN分别交AB,CD于点E和点F,其中

z.1=z.2,求证：Z.G=Z.H.

N

【答案】见解析

【分析】此题考杳了平行线的性质和判定定理，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理.

首先根据48IICD得至=4CFE,然后证明出=47EF,得到GE||HF,进而可证明NG=4”.

【详解】如图所示，

M

^ABWCD

回乙AEM=Z.CFE

@Z1=Z2

团匕AEM-Z1=LCFE-z2

团"EM=Z.HFE

0ZPEM=乙GEF

回，HFE=LGEF

MEIIHF

团NG=Z.H.

16.（24-25七年级上•河南南阳•期末）如图，AD||BC,=^3AD,AELCD,交CO的延长线于点£.

AB

(1)求证:ABIICD.

(2)若4氏4。=30。，求4B的度数.

【答案】(1)见解析

(2)120°

【分析】本题考杳平行线的判定和性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的判定定理和性质定定理是解题关

键.

(1)由平行线的性质可证”=N4DE,结合题意得出N力再由平行线的判定定理证明即可；

(2)根据垂线的定义得出乙4EC=90。，结合平行线的性质可得=90°,结合题意可求出,=60°,

最后再次利用平行线的性质即可求解.

【详解】(1)证明：•••41IIBC,

zC=Z.ADE.

vLC=Z.BAD,

•••Z.ADE=Z.BADf

AB||CD；

(2)解：MEICD,

Z.AEC=90°.

vAB||CD,

."BAE=180°-^AEC=90°.

:./.BAD=Z.BAE-LEAD=90°-30°=60°.

vAD||BC,

:.LB=180°-Z-BAD=120°.

类型五、平行线的性质与实际生活应用

17.（20-21七年级下•全国•课后作业）如图，某人骑自行车自4沿正东方向前进，至8处后，行驶方向改为

东偏南15。，行驶到C处仍按正东方向行驶，画出继续行驶的路线.

【答案】见解析

【分析［根据两直线平行，同旁内角互补，以C为顶点作165。的角即可.

【详解】解.：如图，继续行驶的路线是按箭号方向行驶.

【点睛】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，是基础题.

18.（22-23七年级下•湖南常德•期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其

主要作用是动力传输.如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知力8IICD,CGWEF,乙BAG=

150°,/-AGC=80°,求NOEF的度数.

【分析】过点尸作FMIICD,因为4BIICD,所以ABIICDII尸M,再根据平行线的性质可以求出乙MF4乙EFA,

进而可求出NE/M,再根据平行线的性质即可求得

AABKDWFM,

Z.DEF+乙EFM=180°,^MFA+乙BAG=180°,

/.MFA=180°-/-BAG=180°-150°=30°.

vCG\\EF,

Z.EFA=Z.AGC=80°.

Z.EFM=LEFA-匕MFA=80°-30°=50°.

乙DEF=180°-匕EFM=180°-50°=130°.

【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算.

19.（21-22七年级下•广西柳州•期中）如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕道而过，如果第一次向右拐75。，

第二次拐方形成的拐角团8=135。，第三次拐弯后道路恰好和第•次拐港前的道路平行，那么第三次是如何拐

弯的？

【答案】向左拐30。

【分析】过点8作BMII04,延长8c到点P.可得8MlicN.从而得到0ABM=04=105。.再由朋8c=135。,

可得（WBC=30。即可求解.

【详解】解：过点B作2M||O4延长8c到点P.

。力||CN,

团BMIICN.

团第一次向右拐75。，即04=105。，

00^8/^=04=105°.

团M8c=135°,

00/WBC=3O0

又128Mlic7V,

^NCP=^MBC=30°.

答：第三次应向左拐30。.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.

类型六、利用平行线的性质研究角之间的关系

20.（23-24七年级下•广西河池•期中）（1）如图,CB=£C,AD||BC.判定，1与乙2的数量关系，并说明理

（2）如图，41=“，力。平分判定。。与48的位置关系，并说明理由.

（写出主要步骤的推理依据）

【答案】（1）△1=42,理由见解析；（2）DC||AB,理由见解析

【分析】本题考查平行线的性质和判定：

（1）根据平行线的性质，推出41=4C,Z2=Z5,结合已知条件，推出41=42即可;

（2）根据角平分线的定义，结合已知条件推出42=乙。，即可得出结论.

【详解】（1）•••/DIIBC

=（两直线平行，内错角相等）

乙2=匕8（两直线平行，同位角相等）

,:乙B=乙C

二Z1=42；

（2）证明：•.TC平分N64B

zl=Z2（角的平分线定义）

VZ1-乙C

:.z2=Z.C

.♦.DC||AB（内错角相等,两直线平行）

21.（23-24七年级下•辽宁铁岭•期中）已知直线3I%，直线G与直线匕、L分别相交于C、。两点.

⑴如图a,有一动点P在线段CD之间运动（不与C、。两点重合），问在点P的运动过程中，41、/2、/3又

怎样的数量关系？试说明理由.

（2）如图b,当动点P线段CD之外运动（不与C、。两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新

的结论并说明理由.

【答案】（1）42=41+乙3,理由见解析

（2）不成立，Z2=Z1-Z3,理由见解析

【分析1本题考查/平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键.

（1）过点P作PEII",则LIIPEIIG，则乙1=44PE，乙3=々PE,再根据角度和差计算求解即可；

（2）同（1）即可求解.

【详解】（1）解：Z2=Z1+Z3,理由如下，

IIPE||12,

Z1=4APE,Z3=乙BPE,

vZ.APB=匕APE+乙BPE,

Az2=Z14-Z.3.

(2)解：上述结论不成立.新结论：Z2=Z1-Z3,理由如下:

过点P作PE||lr.

,:kIIf-2，

叫IIPEIIl2

Z.APE=z.1,z.3=Z.BPE

-Z.APE=+Z.BPE,

:.zl=z2+z3,即z_2=zl—Z3.

类型七、平行线的判定与性质的常见模型

22.（20-21七年级下•广东东莞・期中）（1）如图（1）AB||CD,猜想4BPD与/B、NO的关系，说出理由.

（2）观察图（2）,己知48||CD,猜想图中的48PD与乙仄的关系，并说明理由.

（3）观察图（3）和（4）,已知力B||CD,猜想图中的48Po与28、乙。的关系，不需要说明理由.

【答案】（1）乙8+NBPO+NO=360。，理由见解析；（2）N8P0=NB+4D,理由见解析；（3）图（3）

乙BPD=zD-乙B,图（4）乙BPD=cB—乙D

【分析】（1）过点P作EF||ABf得到+乙BPE=180°,由|CDfEF||AB,得到EF||CD,得至I」®。4-

40=180°,由此得到乙8+4BPD+ZD=360°；

（2）过点P作PE||AB,由PE||AB||CD,得到41=乙B,42=4从而得到结论/BPO=41+匕2=+

（3）由4BIICD,根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得乙8PD与48、乙。的关系.

【详解】（1）解：猜想NB++ND=360。.

理由：过点P作EFIIAB,

0ZF+乙BPE=180°,

回4BIICD,EFIIAB,

0EFIICD,

^EPD+=180°,

0ZF+乙BPE+乙EPD+ZD=360。，

0ZF+(BPD+Z,D=360°：

(2)乙BPD=乙B+乙D.

理由：如图，过点P作PEII/18,

AB

(2)

团4B||CD,

回PE||AB||CD,

0Z.1=LB,Z2=ZD,

回zBPD=z.1+z2=zB+乙D；

(3)如图(3)：乙BPD=乙。一/B.

⑶

0Z1=乙D,

0Z1=+乙P,

回ND=Z.B+乙P,

HP^BPD=乙D一乙B；

如图(4)：乙BPD=LB—乙D.

理由：EL4B||CD,

(4)

0Z1=乙B,

0Z1=ZD4-乙P,

0ZF=Z.D+乙P,

即/8。。=48一乙。.

【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解

题的关键.

23.(24-25七年级上•湖北武汉•阶段练习)已知ABIICD,E、F分别为CD,AB上一点,P,2分别在EF,48上,

图1图2

⑴如图1,求证：PG平分乙EPH；

⑵如图2,过点P作交C。于点M,作ZEPM的平分线交COF点N,求NNPG的度数.

【答案】(1)证明见解析

(2)45°

【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.

(1)根据平行线的性质可得NEPG=乙PFH,乙GPH=乙PHF,再由NPFH=乙PHF得乙EPG=乙GPH,即可

得证；

(2)设4EPN=%,则NEPN=4NPM=",得出乙EPH=2x+90。，再由4NPG=4/PG—々EPN求出值即

可.

【详解】(1)证明:(3PG||CD.AB||CD,

团PG||AB,

⑦乙EPG=£PFH,Z.GPH=^PHF,

0ZPFH="HF,

团乙£PG=乙GPH

(3PG平分4EPH.

(2)设立EPN=x,

^PN^^Z_EPM,

团/EPN=乙NPM=x,

13PM1PH,

国乙MPH=90°,

团乙EPH=乙EPM+乙MPH=2x4-90°,

团PG平分4EPH,

团匕EPG=2乙EPH=x+45°,

团乙NPG=乙EPG-乙EPN=x+45°-%=450.

24.(23-24七年级上•吉林长春•期末)【感知探究】如图①，已知，4BIICD,点M在AB上，点N在CD上.求

证：乙MEN=々BME+乙DNE.

【类比迁移】如图②，乙F、乙BMF、△。NF的数量关系为(不需要证明)

【结论应用】如图③，已知A8II0E,LBAC=120°,LD=80°.则4AC。=_°.

图②图③

【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】N尸=尸一乙。NF;【结论应用】2U

【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键.

（1）过点E作EFII48,根据平行线的性质可求解;

（2）如图②，过?作尸，II48,根据平行线的性质即可得到结论;

（3）如图③，过C作CG||AB,根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】（1）证明：如图①，过点E作EL||4B,

又加叫CD,

•%乙NEF=乙DNE,

•••乙MEN=乙MEF+乙NEF,

即/MEN=乙BME+乙DNE；

(2)解：乙BMF=^MFN+乙FND.

证明：如图②，过尸作尸KIIAB,

图②乙BMF=乙MFK,

MBIICD,

®FK||CD,

Z.FND=乙KFN，

•••乙MFN=Z-MFK-乙KFN=乙8M卜'-乙卜'ND,

即：乙BMF=^MFN+乙FND.

故答案为：乙BMF=^MFN+乙FND；

(3)如图③,过C作CGIIAB,

Z.GCA=180°-Z-BAC=60°,

团48IIDE,

团CG||OE,

Z.GCD=Z-CDE=80°,

•••£ACD=20°,

E

图③

故答案为：20.

B提能力

一、单选题

1.（2024七年级上•全国•专题练工）如图所示，直线all6/1=50。,乙2=43,则42的度数为（）

C.65°D.75°

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质求角度，根据。怙得到=乙4=50。，再根据平角定义结合乙2=乙3进行

求解即可.

【详解】解：如图,

Z1=Z4=50°,

vZ2=Z3,Z24-Z3+Z.4=180°,

z2=△3=；（180°一乙4）=65°,

故选：C.

2.（21-22七年级上•江苏苏州・期末）已知直线allb,将一块含30。角的直角三角板Q8力C=30。）按如图所示

方式放置，并且顶点A,C分别落在宜线a,b上，若41=22。，则42的度数是（）

A.38°B.45°C.58°D.60°

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握相关知识点及正确作出辅助线是解题的关键.

过点B向右作BDIIa,根据平行线的性质可得N/18D=Z1,Q=U）BC,从而求出度数即可.

【详解】如图，过点8向右作8。心，

^Z-ABD=Z1=22°,

团BDIh

回42=乙DBC=乙ABC-Z.ABD=60°-22°=38°.

答案:A.

3.（2024七年级上•全国•专题练工）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（）

A.Z1=N3B.若NZ=3U。，则有力C||〃占

C.若42=30°,则有8CII4DD.若42=30。，必有/4=4。

【答案】C

【分析】本题主要考查平行线判定与性质、余角和补角，根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判

定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案.

【详解】解：A、^CAB=LEAD=90°,

0Z.1=Z.CAB—z2>z3=Z.EAD—z2»

0Z.1=z3,正确，不符合题意.

B、0Z.2=30°,

0Z.1=90°-30°=60°,

0ZE=60°,

0Z.1=Z.E,

团4cliDE,正确，不符合题意.

C、0Z2=30°,

0Z3=90°-30°=60°,

0/B=45°,

团BC不平行于AD,原来的结论错误，符合题意.

D、由力CIIDE可得24=NC,正确，不符合题意.

故选：C.

4.（24-25七年级上•湖北武汉•阶段练习）已知，如图，BE平分匕ABF,8c平分41=42,且44+乙2=

90%则下列结论①/WIICO；©AC1DC；③C。平分乙。CG；④乙1=乙5.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活

运用角平分线的定义及三角形的内角和定理是解题的关键.根据平行线的判定定理可判定①，根据三角形

的内角和定理可判定②，根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义可判定④.

【详解】0Z1=42,

l?\AR\\CD,故①正确：

回N4+42=90°,

^ACB=180°-90°=90°,

^AC1BC,故②正确；

回8。平分

0Z.2=Z.5,

又倒匕1=42,

0Z-1=乙5,故@正确；

但不能得出CD平分乙BCG,故③错误；

回正确的有3个.

故选:C.

5.（24-25七年级上♦湖北武汉•阶段练习）如图，已知44IICD,Z.ABE=125%Z-DCE=30°,则N8EC的度

数等于（）

A.95°B.85°C.100°D.80°

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键.

过点E作首先求出4~E8=180。一乙8=55。，然后证明出CO||EF,得至此CEF=/DCE=30。,

进而求解即可.

【详解】如图所示，过点£作“II48

必BE=125°

回乙FEB=180°-乙B=55°

团48IIC。

0CDIIEF

团4DCE=30°

0ZCFF=Z.DCE=30°

回NBEC=乙BEF+Z-CEF=85°.

故选：B.

6.(24-25七年级上•湖北武汉•阶段练习)如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的

角/A=120。，第二次拐的角ZB=150。，第三次拐的角是NC,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平

行，则“是()

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】D

【分析】此题考查了平行线的性质与判定.首先根据题意作辅助线：过点8作B0IAE,即可得4EII8DIIC凡

则可求得：LA=乙4BO,LDBC4-ZC=180°,进而可得，C的值.

【详解】解：过点8作BDIIAE,

:.AEWBDWCF,

Z.A=Z.ABD,Z.DBC+Z.C=180°,

•••LA=120°,Z-ABD+Z.DBC=/-ABC=150°,

乙DBC=ABC-ABD=30°,

ZC=180°-LDBC=180°-30°=150°,

故选:D.

7.（24-25七年级上•四川眉山・期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为。

和D.当（）时，三角形的面积大于平行四边形的面积.

A.a=bB.2a=bC.a=2bD.a>2b

【答案】D

【分析】本题考查的是三角形和平行四边形的面积公式，平行线间的距离，是解答此题的关键.根据三角

形的面积=底、高+2,平行四边形的面积=底乂高，解答此题即可.

【详解】解：设两平行线间的距离为九，

回三角形的面积大于平行四边形的面积

>bhf

0a>2b»

当a>2b时，三角形的面积大于平行四边形的面枳.

故选：D.

8.（2024八年级上•全国•专题练工）如图，ABIICD,有图中a,B，丫三角之间的关系是（）

A.a+/?+y=180°B.a-p+y=180°

C.a+0—y=180。D.a+/?+y=360°

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，

先根据“两直线平行，同旁内角互补”得4a+LAFD=180°,再根据三角形外角的性质得乙IF。="一乙y,

然后代入即可得出答案.

【详解】解：如图，延长4E交直线CD于F,

B

a

蜘BIICD,

囹Na+乙4FD=180°.

是的夕卜角，

0Z4FD=z/?—zy,

0Za+z/?-zy=180°.

故选：C.

二、填空题

9.（23-24七年级下•甘肃定西•期末）如图所示，若48IIDC,41=39。，4c和互余，则40=

【答案】39°129°

【分析】由平行线的性质可知乙。=土1,根据乙。和，。互余可求得乙C,最后根据平行线的性质可求得28.本

题主要考查的是平行线的性质、余角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键.

【详解】解：IMFIIDC,

=zl=39°.

团/C和40互余，

0zC+ZD=90°.

0ZC=9OO-39°=51°.

04B||DC,

0z5+zC=180°.

13NB=180°-51°=129°.

故答案为:39°；129°.

10.（24-25七年级上•黑龙江大庆•期中）如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若41=65°,则42=

【答案】50°

【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，平角的定义解答即可.

本题考查了平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握性质是解题的关键.

【详解】解：根据折叠宽度相等的长方形纸条，

得乙3=44,a||b,

0Z.3=zl,

0Z1=65°,

0Z3=z4=zl=65°,

0Z2=180°-z4-z3=50°,

11.（2018•河南•一模）如图，ABIEF,48=35。，△E=25。，则iC+NO的值为.

【答案】240°

【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补等知识点,

熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.

过点C作CGII/8,过点。作DHIIE凡由平行公理的推论可得4BIIE/1CGIID，，由两直线平行内错角相等可得

乙1=乙8=35°,Z2=ZE=25°,由两直线平行同旁内角互补可得乙GCO+乙HDC=180°,然后根据乙4-

乙CDE=Z14-乙GCD+